微积分卷01

“微积分”课程终结考试

模拟题

课程编号：BWME2009 学籍号：____________________ 学习中心：_________________ 姓 名：____________________

注意事项：1、本试卷满分100分，考试时间120分钟；

2、本试卷为闭卷考试，请将答案一律写在答题纸上。

一、单项选择题（每小题4分，共20分）

1．函数f(x)4x2有界且单调增加的区间是（ B ）． A．(2,2) B．(2,0) C．(0,2) D． (2,)

2．当x0时，x2sinx是关于x的（ D ）． A．高阶无穷小量 B．低阶无穷小量 C．同阶但不等价无穷小量 D．等价无穷小量

3．在[1, 1]上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A．yex C．y

2

1

2

1x

B．yx2

sinx

D．y

x

4． 下列等式中正确的是（ D ）． A．[f(x)dx]f(x)C C．d[f(x)dx]f(x)

5．由曲线yx2与直线yx，y轴所围平面图形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积等

于（ C ）． A．C．

D．f(x)dxf(x)C

B．df(x)f(x)



22

022

(x2x)2dx

B．D．

22

022

(xx2)2dx [x2(x2)2]dx

[(x2)2x2]dx

二、填空题（每小题4分，共28分）

1．若lim(1x)ek，则k_2____．

x0

2x

ex1

1, x0

2．设函数f(x)2x在点x0连续，则a_____．

2a, x0

微积分 第 1 页 （共 2 页）

3．曲线yxe2x的拐点坐标是__(1,

xy

1

)___________． e2

x

2z1

___________3(xy)ey_________________． 4．设ze，则

xyy

5． (x3cosxx2)dx__

1

1

2

___． 3

6．更换积分次序，



1

dy

y

y

f(x,y)dx________



1

dx

x

x2

f(x,y)dy____________________．

y(1)0

dy

exy满足初始dx

x

______yln(e1e)____________________．

7．微分方程条件的特解是

三、解答题（共52分）

arctantdt. 1．（本题5分）求极限lim

x0

x

x2

解：lim

x0

x

arctantdtx2

1

2arctanx1limlim.

x0x02x22

2．（本题7分）求曲线exeysin(xy)在(0,0)点的切线方程． 解： 方程exeysin(xy)两边同时对x求导，可得

exeyycos(xy)(yxy)

化简可得

y

exycosxyxcosxye

y

e00cos0

y(0,0)1

0cos0e0

故曲线exeysin(xy)在(0,0)点的切线方程为 y01(x0)

即 yx.

3．（本题7分）设函数zz(x,y)由方程sinzxyz确定，求dz． 解：设F(x,y,z)sinzxyz

yz,，Fyxz,Fzcoszxy, Fx

Fyzz

； x

xFzcoszxy

Fyzxz; yFzcoszxyyzxz

dxdy. 所以dz

coszxycoszxy

4．（本题7分）求微分方程y

1

yx的通解． x

微积分 第 2 页 （共 2 页）

解：由题意知，P(x)

ye

P(x)dx

1

,Q(x)x， 则 x

1

1

()dx()dxP(x)dx

(Q(x)edxC)ex(xexdxC)x(xC)

所以原方程通解为：yx2Cx.

5．（本题8分）求函数f(x)3x22x在[1,2]上的最大值和最小值． ）解：求函数的一阶导数，得

f(x)2x

13

22x

13

(1x)

13

因此f(x)33x22x在(1,2)内有不可导点x10和唯一的驻点x21， 比较下列值：f(0)0, f(1)1, f(1)5, f(2)3440

故f(x)3x22x在[1,2]上的最大值为f(1)5,最小值为f(0)0.

6．（本题9分）计算exdx.

1

解：令tx,则xt2,dx2tdt,且x从01时，t从01.

1

e

x

dx2

1

etdt2

t

1

tde2(te

tt

10

1

etdt)

12(et

e

1

4)2

e

7．（本题9分）计算

sin

D

x2y2dxdy，其中D(x,y)2x2y242．



解：积分区域D的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下 D(r,)02,r2



D

sinxydxdy

22



D

rsinrdrd



2

drsinrdr=2(sinrrcosr)262.

2

微积分 第 3 页 （共 2 页）

“微积分”课程终结考试

模拟题

课程编号：BWME2009 学籍号：____________________ 学习中心：_________________ 姓 名：____________________

注意事项：1、本试卷满分100分，考试时间120分钟；

2、本试卷为闭卷考试，请将答案一律写在答题纸上。

一、单项选择题（每小题4分，共20分）

1．函数f(x)4x2有界且单调增加的区间是（ B ）． A．(2,2) B．(2,0) C．(0,2) D． (2,)

2．当x0时，x2sinx是关于x的（ D ）． A．高阶无穷小量 B．低阶无穷小量 C．同阶但不等价无穷小量 D．等价无穷小量

3．在[1, 1]上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A．yex C．y

2

1

2

1x

B．yx2

sinx

D．y

x

4． 下列等式中正确的是（ D ）． A．[f(x)dx]f(x)C C．d[f(x)dx]f(x)

5．由曲线yx2与直线yx，y轴所围平面图形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积等

于（ C ）． A．C．

D．f(x)dxf(x)C

B．df(x)f(x)



22

022

(x2x)2dx

B．D．

22

022

(xx2)2dx [x2(x2)2]dx

[(x2)2x2]dx

二、填空题（每小题4分，共28分）

1．若lim(1x)ek，则k_2____．

x0

2x

ex1

1, x0

2．设函数f(x)2x在点x0连续，则a_____．

2a, x0

微积分 第 1 页 （共 2 页）

3．曲线yxe2x的拐点坐标是__(1,

xy

1

)___________． e2

x

2z1

___________3(xy)ey_________________． 4．设ze，则

xyy

5． (x3cosxx2)dx__

1

1

2

___． 3

6．更换积分次序，



1

dy

y

y

f(x,y)dx________



1

dx

x

x2

f(x,y)dy____________________．

y(1)0

dy

exy满足初始dx

x

______yln(e1e)____________________．

7．微分方程条件的特解是

三、解答题（共52分）

arctantdt. 1．（本题5分）求极限lim

x0

x

x2

解：lim

x0

x

arctantdtx2

1

2arctanx1limlim.

x0x02x22

2．（本题7分）求曲线exeysin(xy)在(0,0)点的切线方程． 解： 方程exeysin(xy)两边同时对x求导，可得

exeyycos(xy)(yxy)

化简可得

y

exycosxyxcosxye

y

e00cos0

y(0,0)1

0cos0e0

故曲线exeysin(xy)在(0,0)点的切线方程为 y01(x0)

即 yx.

3．（本题7分）设函数zz(x,y)由方程sinzxyz确定，求dz． 解：设F(x,y,z)sinzxyz

yz,，Fyxz,Fzcoszxy, Fx

Fyzz

； x

xFzcoszxy

Fyzxz; yFzcoszxyyzxz

dxdy. 所以dz

coszxycoszxy

4．（本题7分）求微分方程y

1

yx的通解． x

微积分 第 2 页 （共 2 页）

解：由题意知，P(x)

ye

P(x)dx

1

,Q(x)x， 则 x

1

1

()dx()dxP(x)dx

(Q(x)edxC)ex(xexdxC)x(xC)

所以原方程通解为：yx2Cx.

5．（本题8分）求函数f(x)3x22x在[1,2]上的最大值和最小值． ）解：求函数的一阶导数，得

f(x)2x

13

22x

13

(1x)

13

因此f(x)33x22x在(1,2)内有不可导点x10和唯一的驻点x21， 比较下列值：f(0)0, f(1)1, f(1)5, f(2)3440

故f(x)3x22x在[1,2]上的最大值为f(1)5,最小值为f(0)0.

6．（本题9分）计算exdx.

1

解：令tx,则xt2,dx2tdt,且x从01时，t从01.

1

e

x

dx2

1

etdt2

t

1

tde2(te

tt

10

1

etdt)

12(et

e

1

4)2

e

7．（本题9分）计算

sin

D

x2y2dxdy，其中D(x,y)2x2y242．



解：积分区域D的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下 D(r,)02,r2



D

sinxydxdy

22



D

rsinrdrd



2

drsinrdr=2(sinrrcosr)262.

2

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