高等数学（上册）复习资料
一：函数的两个要素： 定义域 对应法则
1 两个函数相同： （1）定义域相同 （2）对应法则相同 至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。 例如：
y =sin x -∞
-∞
2 函
（1）有界性 y =f (x ) x ∈D
如果存在实数k 1 ，使得f (x ) ≤k 1 ，则称f (x ) 在D 上有上界 如果存在实数k 2 ，使得f (x ) ≥k 1 ，则称f (x ) 在D 上有下界。
有界：既有上界 ，又有下界 。即存在实数k 1，k 2使得k 2≤f (x ) ≤k 1 等价于存在k >0 ，使得f (x ) ≤k （2）单调性
若对区间I 内任意两点x 1
若将“≤(≥) ”改成“) ”称为严格单调增加（减少）。 （3）奇偶性
设函数y =f (x ) 的定义域关于原点对称 如果 f (-x ) =f (x ) ，则称 f (x ) 为偶函数 如果f (-x ) =-f (x ) ，则称 f (x ) 为奇函数 （4） 周期性
若f (x +l ) =f (x ) 则称f (x ) 是以l 为周期的函数 注：周期通常指的是它的最小正周期 3复合函数
设y =f (u ) 的定义域为D 1 ，又u =g (x ) 的定义域为D ，且g (D ) ⊂D 1 ，则函数
x ∈D
y =f [g (x ) ]x ∈D 称为由函数u =g (x ) 和 函数 y =f (u ) 构成的复合函数。u 称为中间变量，记为：(f g )(x ) =f [g (x ) ]
4 基本初等函数：
（1）幂函数 y =x μ （2）指数函数 y =a x （3）对数函数y =log a x 特例a =e , y =ln x （4）三角函数 y =s i n x
, y =
c o x s 等
(a >0, a ≠1)
（5）反三角函数 y =arcsin x , y =arccos x 等
5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到
的并可以用一个式子表示的函数。
⎧x +1x ≤0
例：f (x ) =⎨2 两个式子 ，故不是初等函数
⎩-x +1x >06 函数的极限
当x →∞时，若f (x ) 无限地接近于某个确定的数A ，则称A 为f (x ) 当x →∞时的极限。记为lim f (x ) =A
x →∞
重要结论：lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A
x →∞
x →+∞
x →-∞
lim f (x ) =A
x →∞
的几何意义：
1=0x →∞x
一、 y =A 是他的水平渐近线 例如： lim
二、 lim f (x ) =A
x →+∞
x →-∞
lim f (x ) =B 而 A ≠B ，则说明它有两条渐近
线。例如：lim arctan x , y =
x →∞
π
2
, y =-
π
2
两条渐近线。
当x →x 0时 ，如果f (x ) 无限地接近于某一确定的常数A ，则称A 为f (x ) 当
x →x 0时的极限。记为：lim f (x ) =A
x →x 0
注：（1）f (x ) 在x 0处的极限存在与否与f (x ) 在x =x 0处有无定义没有关系。因为定义中没有要求x =x 0，只是 x →x 0
（2）x 趋近于x 0的方式是任意的。（即 可以从左边 ，也可以从右边）
-
左极限：当x 从左边趋近于x 0（记为：x →x 0）时 ，f (x ) →A ，则称A 为f (x )
-
f (x ) =A 当x →x 0时的左极限。记为：lim 或f (x 0) =A 。 -
x →x 0
f (x ) =A 右极限：lim +
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A -+
x →x 0
x →x 0
即左右极限存在且相等
-+
若： f (x 0) ≠f (x 0) ，则lim f (x ) 不存在
x →x 0
7 无穷小量
定义：以 0为极限的变量称为无穷小（量）
定义：当x →x 0（或x →∞）时
f (x ) 无限增大 注意 无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大 无穷大的几何意义：
lim f (x ) =∞ ，直线x =x 0是函数y =f (x ) 图形的铅直渐近线 （回忆水
x →x 0
平渐近线
定理二：在自变量的同一变化过程中，如果f (x ) 为无穷大 ，则
1
为无穷f (x )
小；反之 ，如果f (x ) 为无穷小 ，且f (x ) ≠0 ，则
无穷小的性质：
定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小 定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论：（1） 有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。
（有极限⇒有界）
（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小 （3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小
8 无穷小的比较
定义： 设α, β都是无穷小
1
为无穷大。 f (x )
β
=0 ，则称β是比α高阶的无穷小 ，记为：β=0(α) αβ
(2) 若lim =∞ ，则称β是比α低阶的无穷小
αβ
(3) 若lim =c ≠0 ，则称β与α是同阶无穷小
αβ
(4) 若lim =1 ，则称β与α是等价无穷小 ，记为：α~β
α
最重要是等价无穷小 ，关于等价无穷小，我们要记住以下结论 (1) 若lim
当x →0时 ，sin x ~x , tan x ~x ,ln(1+x ) ~x , e x -1~x ，arcsin x ~x ，
arctan x ~x
1~
11
x ，1-cos x ~x 2 ，a x -1~x ln a ，(1+x ) α-1~αx n 2
k x ~k x 注意其引申 s i n
'
, t a k n x ~k 即x 上面的无穷小可换成其他无穷小
'
β'
定理一：设α~α ，β~β ，且lim ' 存在，则
α
ββ'
l i =l
αα' 9 函数的连续性
定义：设函数y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义 ，如果
lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0) ]=0 ，则称y =f (x ) 在点x 0处连续。
∆x →0
∆x →0
强调：∆x →0包含 ∆x >0, ∆x →0 ；∆x
∆x →0 相当于 x →x 0
∆y →0 相当于 f (x ) →f (x 0) 由此 ，我们得到连续的另一个等价定义
定义2 ：设y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义，如果lim f (x ) =f (x 0) ，则
x →x 0
称y =f (x ) 在点x 0处连续。
即 ：在x 0处的极限等于它在该点的函数值 与左、右极限相对应 ，也有左、右连续的概念
f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在点x 0处左连续 若lim -∆y =0 ，即lim -
∆x →0
x →x 0
f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在点x 0处右连续 若lim +∆y =0 ，即lim +
∆x →0
x →x 0
y =f (x ) 在点x 0处连续⇔左右都连续
即 lim -f (x ) =lim +f (x ) =f (x 0)
∆x →0
∆x →0
若函数y =f (x ) 在点x 0处不连续 ，则称y =f (x ) 在点x 0处间断 。x 0称为
y =f (x ) 的间断点 。
（1） 可去间断点
极限lim f (x ) 存在 ，但y =f (x ) 在点x 0处无定义或y =f (x ) 在点x 0处有定
x →x 0
义 ，但lim f (x ) ≠f (x 0) 。则称x 0为f (x ) 的可去间断点 。
x →x 0
（2 ）跳跃间断点
f (x ) 与 lim f (x ) 存在，但 lim f (x ) ≠lim f (x ) 若lim -+-+
x →x 0
x →x 0
x →x 0
x →x 0
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 。第一类间断点的特点是左右
极限都存在。
第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点 。特点：是至少有一个单侧极限不存在。
常见的有无穷间断点 。特点：至少有一个单侧极限为无穷大 。 一切初等函数在其定义区间内是连续的 10 函数的导数
定义：设函数y =f (x ) 在点x 0处的某个邻域U (x 0) 内有定义，给x 0以增量∆x （∆x ≠0,(x 0+∆x ) ∈U (x 0) 仍然在该邻域内），若lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
存在。 则称f (x ) 在x 0处可导。 并称这个极限值为f (x ) 在x 0处的导数。记为：
f '(x ) ，y 'x =x ，
df (x )
dx x =x 0
,
f (x 0+∆x ) -f (x 0) dy
即 f '(x ) =lim
∆x →0∆x dx x =x 0
关于导数的几点说明：
（1）导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。 （2） 令x 0+∆x =x ，当∆x →0时 x →x 0 等价定义
f (x ) -f x (0)
f '(x 0) =l i 或
x →x 0x -x 0
f '(x 0) =lim
h →0
f (x 0+h ) -f (x 0)
h
（1） 若定义中极限不存在， 则称f (x ) 在x 0处不可导。 在不可导中有一个特
殊情形。当lim
∆y
=∞ ，则称f (x ) 在x 0处的导数为无穷大。
∆x →0∆x
（2） 如果函数y =f (x ) 在开区间I 内的每一点处都可导， 就称函数y =f (x )
在开区间I 内可导。
（3） 对于任一个x ∈I ，都对应着f (x ) 的一个确定的导数值 ，x →f '(x ) 。
这个函数 叫做原来函数f (x ) 的导函数 。记作：y '
即 y '=l i f (x +∆x ) -∆x →0∆x f (x +h ) -f (x )
f '(x ) =lim
h →0h
f (x )
或
f '(x )
dy df (x ) 或 dx dx
注 ：（1）导函数f '(x ) 简称为导数
（2）f '(x 0) =f '(x ) x =x
（6）单侧导数
1、 左导数
f (x ) -f (0x ) f (x +∆x ) -
f -'(x 0) =l i -=l x →0x ∆→x 0-x -x 0∆x
f (x )
2、 右导数
f (x ) -f (0x ) f (x +∆x ) -
f +'(x 0) =l i +=l x →0x ∆→x 0+x -x 0∆x
f (x )
f '(x 0) 存在⇔f -'(x 0) =f +'(x 0)
（7）如果f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导 ，且f -'(b ) 及f +'(a ) 都存在，就说f (x ) 在闭区间[a , b ]上可导。
函数f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) 的几何意义就是曲线y =f (x ) 在对应点
A (x 0, y 0) 处的切线的斜率。
于是：曲线y =f (x ) 在点A (x 0, y 0) 处的切线方程可写成： （1）f '(x 0) 存在，则
切线方程： y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) 法线方程： y -y 0=-（2）若f '(x 0) =∞
切线方程：x =x 0 法线方程：y =y 0
1
(x -x 0) f '(x 0)
定理：若f (x ) 在x 0处可导 。则f (x ) 在x 0处必连续 连续但不可导的例子： y =x 在x =0处
0f l i x ==
x →0
( 0) 所以连续 ，但不可导
注：若不连续 ，则一定不可导
11 函数的微分
定义：设函数y =f (x ) 在某区间内有定义，在x =x 0处给自变量以增量∆x ， 如果相应的函数的增量∆y 总能表示为：∆y =A ∆x +o (∆x ) ，其中A 与∆x 无关，
o (∆x ) 是∆x 的高阶无穷小。则称函数y =f (x ) 在点x 0处可微 。并称A ∆x 为f (x )
在点x 0处的微分。 记作：dy 或df (x ) 即：dy =A ∆x A 称为微分系数。
定理：函数y =f (x ) 在x 0处可微⇔函数y =f (x ) 在x 0处可导 我们得到函数的可微性与可导性是等价的。 （可微⇔可导）。 函数在x 处的微分dy =f '(x ) dx
12 函数的不定积分
定义1 设函数F （x ）在某区间I 上可导，且∀x ∈I 有F ′(x )=f （x ），则称F （x ）为函数f （x ）在区间I 上的一个定理1 设F （x ）是f （x ）在区间I 上的一个原函数，则F （x ）+C （C 为任意常数）为f （x ）的全体原函数.
定义 设函数f （x ）在区间I 上有定义，称f （x ）在区间I 上的原函数的全体为f （x ）在I 上的不定积分，记作
⎰f (x )d x ，其中记号“⎰
”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x
称为积分变量.
定理1 设F （x ）是f （x ）在区间I 上的一个原函数，则
⎰f (x )d x =F （x ）+C ，
C 为任意常数.
强调：c 不能丢，F (x ) 仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。 通常，我们把f （x ）在区间I 上的原函数的图形称为f （x ）的积分曲线， 不定积分的性质
（1）（2）（3）
⎰[αf (x ) +βg (x ) ]d x =α⎰f (x )d x +β⎰g (x )d x ，其中α，β为常数；
d
f (x )d x =f （x ）； ⎰d x
⎰f '(x )d x =f (x )+C , C 为任意常数.
13 函数的定积分
定义 设函数f （x 在区间［a ，b ］上有界，今取n +1个分点：
a =x 0＜x 1＜x 2＜„＜x i -1＜x i ＜„＜x n -1＜x n =b ，
将［a ，b ］分成n 个小区间［x i -1，x i ］，其长度记为Δx i =x i -x i -1（i =1，2，„，n ），并令λ=max ∆x i },
1≤i ≤n
{
若∀ξi ∈［x i -1, x i ］（i =1，2，„，n ），极限
lim
λ→0
∑f (ξ
i =1
n
i ) Δx i
存在，且该极限值与对区间［a ，b ］的分划及ξi 的取法无关，则称f （x ）在［a ，b ］f （x ）在［a ，b ⎰
b
a
f (x )d x ，其中, f （x ）称为
被积函数，x 称为积分变量，a 和b 分别称为积分下限和上限，［a ，b ］称为积分区间，
∑f
i =1
n
（ξi ）Δx i . 注意：
（1） 定积分是一个和式的极限 ，它是一个数。和式很复杂 ，区间的分法 无穷多 ，
点的 取法也无穷多。 但是，极限与取法、分法无关。
（2）
定积分由被积函数f (x ) 与积分区间[a , b ]确定 ，与积分变量无关。即
⎰
（3） （4）
b
a
f (x ) dx =⎰f (t ) dt =⎰f (u ) du 。
a
a
b b
曲边梯形的面积A =
⎰
b
a
f (x ) dx
当被积函数在积分区间上恒等于1时，其积分值即为积分区间长度，即
⎰
b
a
f (x )d x =b -a ；
（5） 可积条件
为方便起见，我们用R （［a ，b ］）表示区间［a ，b ］上所有可积函数的集合，可
以证明：
（1）若f （x ）∈C （［a ，b ］），则f （x ）∈R （［a ，b ］）； （2）若f （x ）为［a ，b ］上的单调有界函数，
则f （x ）∈R （［a ，b ］）；
（3）若f （x ）在［a ，b ］上仅有有限个第一类间断点，
则f （x ）∈R （［a ，b ］）.
定积分的几何意义：
（1）f (x ) ≥0
, ⎰f (x ) dx =S 图
a
b
（2）f (x ) ≤0,
⎰
b
a
f (x ) dx =-S 图
（3） f (x ) 在[a , b ]上有正有负 图
⎰
b
a
面积的代数和 f (x ) dx =S 1-S 2+S 3
总之，若f （x ）∈C （［a ，b ］），则定积分
⎰
b
a
f (x )d x 的几何意义是表示由x 轴、曲线y =f
（x ）、直线x =a 与x =b 所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于x 轴上方的图形面积取
正号，位于x 轴下方的图形面积取负号.
定积分的性质
（1） 当a =b 时，（2） 当a ＞b 时，
⎰
b
a
f (x )d x =0；
⎰
b
a
f (x )d x = -
⎰⎰
a
b
f (x )d x
积分中值定理） 设f （x ）∈C （［a ，b ］），则∃ξ∈［a ，b ］，使得
b a
（b -a ）. f (x )d x =f （ξ）
设f （x ）∈C （［a ，b ］），F （x ）是f （x ）在［a ，b ］上的一个原函数，则 ⎰f (x )d x =F （b ） -F （a ）.
a b
要掌握的具体内容： 如何求极限；
如何求导数与微分
如何求不定积分与定积分 导数和定积分的应用 一 如何求极限
求极限的方法
型） 0
∞
（2） 无穷小因子分出法（适用于x →∞时的型）
∞
当x →∞时有理分式的极限为
（1） 约去零因子法（适用于x →x 0时的
⎧a 0
n =m ⎪b 0
a 0x m +a 1x m -1+ +a m ⎪⎪lim =⎨0n >m x →∞b x n +b x n -1+ +b 01n ⎪∞n
⎪⎪⎩
（3） 有理化（适用于含有根式的极限） （4） 通分（适用于∞-∞型） （5） 利用两个重要极限
sin x
=1 1 第一个重要极限 lim
x →0x
这个极限的特点：
0sin x （1）型 （2）
0x
推广： lim
sin u (x )
=1 ，其中u (x ) 是x 的该变化过程中的无穷小
某过程u (x ) 1x
2 第二个重要极限
lim(1+) =e （e 是无理数 ，e =2.71828 ）
x →∞
x
几种变形
1
lim(1+) n =e n →∞n
lim (1+x ) =e
x →0
1
x
有如下特点： （1） 1型
（2） 加号上的量与肩膀上的量互为倒数
∞
⎡1⎤
推广：若 lim u (x ) =∞ ，则lim ⎢1+⎥
⎣u (x ) ⎦
若 lim u (x ) =0 ，lim [1+u (x ) ]
1u (x )
u (x )
=e
=e
（6）等价无穷小替换
当x →0时 ，sin x ~x , tan x ~x ,ln(1+x ) ~x , e x -1~x ，arcsin x ~x ，
arctan x ~x
1~
11
x ，1-cos x ~x 2 ，a x -1~x ln a ，(1+x ) α-1~αx n 2
k x ~k x 注意其引申 s i n
'
, t a k n x ~k 即x 上面的无穷小可换成其他无穷小
'
β'
定理一：设α~α ，β~β ，且lim ' 存在，则
α
ββ'
l i =l '
αα
强调：乘积时才用等价无穷小代替 ，在加减中不能代替
， 即被替换的无穷小必须处于乘积因子位置
tan x -sin x
例：lim 3x →0sin x
x -x
原式=lim 3=0 错 在加减中不要替换
x →0x
（7）利用无穷小的性质（定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小） （8）利用左右极限与极限的关系（适用于分段函数在分段点处的极限） （9）连续性的定义（设连续函数y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义，则
x →x 0
lim f (x ) =f (x 0) ）
（10）洛必达法则
0∞
型，型直接使用法则， 0∞
0⋅∞型，将其中的一个倒下来，化成
0∞
型或型，再使用法则。 0∞
∞-∞型，通分后化成型，再使用法则。
1∞, 00, ∞0型，化成以e 为底的指数，或取对数后化成0⋅∞
以上10种方法中，特别要注意洛必达法则与重要极限，无穷小替换，相结合
二 如何求导数 （1）基本求导公式 求导公式： （1）(c ) '=0
（2）(x μ) '=μx μ-1
特例：(x ) '=1'=（3）(a x ) '=a x ln a 特例：(e x ) '=e x （4）(loga x ) '=
11
特例： (lnx ) '=x ln a x
,(lnx ) '=
1
x
11,() '=-2 x x
（5）(sinx ) '=cos x (tanx ) '=sec 2x
c '=) (s e x
s x e ⋅c
x t a n
(cosx ) '=-sin x
(cotx ) '=-csc 2x
'(=x c -s c ) ⋅x
c s x c
（6
）(arcsinx ) '=
(arctanx ) '=
(a r c c x o 's =11'(a r c c x o t =-)
1+x 21+x 2
（2）求导的四则运算法则：
(u ±v ) '=u '±v ' (uv ) '=u 'v +uv '
u u 'v -uv '() '=(v ≠0) (cu ) '=cu 'c 为常数 v v 2
（3） 复合函数的求导法则
定理三： 如果u =g (x ) 在点x 处可导，而y =f (u ) 在点u =g (x ) 处可导， 则复
合函数y =f [g (x ) ]在点x 处可导，且其导数为：
d y d y d u
'u '(x =⋅) ⋅g 或 y '=f ( ) 链式法则
d x d u d x dy dy ：函数对x 的导数 ：f (u ) 对u 的导数
du dx
du
：u =g (x ) 对x 求导 dx
复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
（4） 参数方程的求导法
⎧x =ϕ(t )
若参数方程⎨确定y 与x 之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函
y =ψ(t ) ⎩数。
dy
dy ψ'(t )
求导公式 y 对t 的导数比上x 对t 的导数 ==
dx dx ϕ'(t ) dt
d dy ()
dy d 2y 二阶导数 对t 的导数比上x 对t 的导数 =
dx dx dx 2
dt
（5） 隐含数的求导法 什么叫隐含数？
定义：由方程所确定的函数y =f (x ) 称为隐函数
隐函数的求导法则：
用复合函数的求导法则直接对方程两边求导
（6）对数求导法： 先两边取对数 ，然后按照隐函数的求导方法求导。 适用范围：（1）幂指函数 u (x ) v (x ) （2）多个函数相乘或还有开方的情况 （7）变限函数的求导
d x
f (t )d t =f (x ) Φ′(x )=
d x ⎰a
()
(⎰
β(x )
α
f (t ) dt ) '=f (β(x )) β'(x )
d u (x )
f (t )d t =f （u （x ））u ′(x ) -f (v (x )) v ′(x ). ⎰v (x ) d x
（8）如何求微分dy =f '(x ) dx
先求出函数的导数，则dy =f '(x ) dx 千万不要忘记写dx
三 如何求积分
基本积分公式① ⎰k d x =kx +C （k 为常数）,
a
② x d x =
⎰
1a +1
x +C (a ≠ -1), a +1
特别地：
11=-+c =c ⎰
x 2x ③
1
⎰x d x =ln ｜x ｜+C (x ≠0),
x
④ e d x =ex +C ,
⎰
x
⑤ a d x =
⎰
1x
a +C (a ＞0且a ≠1), ln a
⑥ cos x d x =sin x +C , ⑦ sin x d x = -cos x +C ,
2
⑧ sec x d x =t an x +C ,
⎰
⎰
⎰⎰
2
⑨ csc x d x = -co tx +C ,
⑩ sec x tan x d x =sec x +C ,
11 csc x cot x d x = -csc x +C , ○
⎰
⎰
12
○
x =arcsin x +C ,
1
⎰1+x 2d x =arctan x +c
积分的方法 一，分项积分
13 ○
⎰[αf (x ) +βg (x ) ]d x =α⎰f (x )d x +β⎰g (x )d x ，其中α，β为常数；
⎰
b
a
[αf (x ) +βg (x ) ]d x =α⎰f (x )d x +β⎰g (x )d x
a
a
b b
二 换元法
第一换元法（凑微分）
⎰f (ψ(x )) ψ'(x )d x =⎰f (ψ(x )) d ψ(x ) u =ψ(x ) ⎰f (u ) du =F (u ) +c
u =ψ(x ) F (ψ(x ))+C .
（注意：中间的换元过程可省略。）
⎰
b a
f (ψ(x )) ψ'(x ) dx =⎰f (ψ(x )) d ψ(x ) =F (ψ(x )) a
a
b
b
第二换元
⎰f (x ) dx x =ψ(t ) ⎰f (ψ(t )) d ψ(t ) =⎰f (ψ(t )) ψ'(t ) dt =F (t ) +c
还原t=ϕ-1(x ) F (ϕ-1(x )) +c
βx =ϕ(t ) β
'=F (t ) f (x ) dx f (ϕ(t )) ϕ(t ) dt ⎰ααdx =(t ) dt
⎰
b
a
对于定积分的第二换元法要注意：
（1） 换元必换限
（2） 当a
对应上限
（3） α, β选取可能不唯一 ，原则上：不自找麻烦 ，α-β越小越好 三 分部积分
⎰u v 'dx =⎰udv =uv -⎰vdu =uv -⎰v u 'dx
⎰
b a
u v 'dx =⎰udv =uv a -⎰vdu uv a -⎰v u 'dx
a
a
a
b
b
b
b
b
注意：1将谁看成v ' 2回归法
对于定积分还有三个要注意的地方 一， 分段函数的定积分
如果积分区间包含了被积函数的分段点，则利用积分对区间的可加性，分成几个定积分的和。
2
⎧⎪1+x ,
例：f (x ) =⎨-x
⎪⎩e ,
x
，计算⎰f (x ) dx
-1
1
2
1
1
解：
⎰
1
-1
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx =⎰(1+x ) dx +⎰e -x dx
-1
-1
137-x 1
=(x +x ) +(-e ) =-e -1
033-1
1-3
例：f (x ) =x +，求⎰f (x ) dx
x ≥-1; ⎧x +1,
解：因为f (x ) =⎨
-x -1, x
⎰
1
-3
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx =⎰(-x -1) dx +⎰(x +1) dx
-3
-1
-3
-1
-11-11
11
=(-x 2-x ) +(x 2+x ) =2
22-3-1
-11
二 奇零偶倍
⎰
a -a
⎧0
⎪
f (x ) dx =⎨a
2f (x ) dx ⎪⎩⎰0
若f (x ) 为奇函数若f (x ) 为偶函数
三、广义积分
（1）无穷积分 定义：⎰
+∞a
f (x ) dx =lim ⎰f (x ) dx
t →+∞a
b
t →-∞t
t
⎰
b
-∞
f (x ) dx =l i m (d ) x ⎰f x
0-∞
若广义积分⎰f (x ) dx 与⎰
+∞
f (x ) dx 都收敛 ，则⎰
+∞
+∞
-∞
f (x ) dx 收敛 ，且定义为这两
个广义积分之和。
⎰
计算：⎰
+∞
+∞
-∞
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰
-∞
f (x ) dx
t
=lim ⎰f (x ) dx +lim ⎰f (x ) dx
t →-∞t +∞a
t →+∞0
a
f (x ) dx =F (x )
b
=lim F (x ) -F (a )
x →+∞
x →+∞
⎰
b
-∞+∞
f (x ) dx =F (x )
-∞+∞-∞
=F (b ) -l i m F (x ) =lim F (x ) -lim F (x )
x →+∞
x →-∞
⎰
-∞
f (x ) dx =F (x )
（2）瑕积分
定义：若x =b 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =lim f (x ) dx -⎰
a
t →b
a
b
t
若x =a 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =lim f (x ) dx +⎰
a
t →a
t
b b
若x =c ∈(a , b ) 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =lim f (x ) dx +lim f (x ) dx -⎰+⎰
a
t →c
a
t →c
t
b t b
计算：
若x =b 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =F (x )
a b
b a b a
=lim F (x ) -F (a ) -
x →b
若x =a 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =F (x )
a
b
=F (b ) -lim F (x ) +
x →a
若x =c ∈(a , b ) 为f (x ) 的瑕点，则
⎰
b a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx =F (x )
a
c
x →c
x →c
c b
c a
+F (x ) c
b
=lim F (x ) -F (a ) +F (b ) -lim F (x ) -+
四 应用题
（一）求曲线的切线，法线
（二）求极值，单调区间，拐点，凹凸区间，最大值，最小值。 确定函数单调区间，极值的步骤为：
（1） 写出定义域
（2） 找出驻点和导数不存在的点 ，将定义域进行划分。 （3） 判断各区间导数的符号 ，并判断单调性，。 （4）写出单调区间，求出各极值点的函数值 ，即得全部极值。
判断凹凸区间，曲线拐点的步骤： （1） 写出定义域，求f ''(x )
（2） 令f ''(x ) =0 ，解出实根 ，并找出二阶导数不存在的点，将定义域进行
划分。
对每一点x 0 ，考察f ''(x ) 在x 0的左、右两侧的符号。写出凹凸区间，若左、右两侧符号相反， 则(x 0, f (x 0)) 为拐点，否则不是。 求最值的步骤：
（1） 在[a , b ]内找出驻点和不可导点，x 1, x 2 x n （2） 计算f (x i ) 及f (a ) , f (b )
（3） 从这些值中找出最大值、最小值。 （三）与中值定理有关的证明题 （四）利用单调性证明不等式
（五）关于闭区间上连续函数性质的证明题 （六）求平面图形的面积
A =⎰[f 1(x ) -f 2(x )]dx
a
b
记住：被积函数是上面的函数减下面的函数。
A =⎰[ϕ1(y ) -ϕ2(y )]dy
c
d
记住：被积函数是右边的函数减左边的函数 （七）求体积
平面截面面积为已知的立体体积
V =⎰A (x )d x
a
b
旋转体的体积
设一旋转体是由连续曲线y =f （x ），直线x =a 和x =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而形成的
V =π⎰f (x 2)d x
a
b
由曲线x =ϕ(y ) ，直线y =c , y =d (c
c d
2
（八）求弧长
弧微分公式ds =(dx ) 2+(dy ) 2
若曲线的方程为y =f （x ），x ∈［a ，b ］，且f （x ）在［a ，b ］上有一阶连续导数，
则s =⎰
a
x
若曲线弧的方程由参数方程
⎧x =ϕ(t ),
α≤t ≤β， ⎨
⎩y =ψ(t ),
给出，设φ（t ），ψ（t ）在［α，β］上具有连续导数，
则
d s =
β
=t (t ) d
曲线弧的弧长为
s =⎰
α
t
如果曲线方程由极坐标方程r =r （θ） （α≤θ≤β）给出，且R （θ）存在一阶
连续导数，则由
⎧x =r (θ)cos θ,
（α≤θ≤β）
⎨
y =r (θ)sin θ, ⎩
可知s =⎰
βα
θ
第六章 常微分方程
一阶微分方程：
dy
=f (x ) g (y ) 方法： 分离变量后，两边同时积分 dx
dy y y
=ϕ() 方法：令=u 化成可分离变量 ，最后回代 2、齐次方程 dx x x
dy
+p (x ) y =q (x ) 方法：公式法 3、一阶线性微分方程： dx
1、可分离变量的方程
-p (x ) dx ⎡p (x ) dx
q (x ) e ⎰+C ⎤ 通解y =e ⎰
⎢⎣⎰
⎥⎦
可降阶的高阶微分方程： 1、y
(n )
=f (x ) 方法： 逐次积分n 次
2、 y ''=f (x , y ') ，特点：不显含未知函数y 方法：令y '=p (x ) ⇒p '=f (x , p ) 。
利用解一阶方程的的方法解出p ，再代入 ，再积分。
2、 y ''=f (y , y ') ，特点：不显含x 方法：令y '=p (y ) ⇒y ''=p
dp
从而方程化为dy
p
dp
=f (y , p ) 。利用解一阶方程的的方法解出p ，再代入 ，再积dy
分。
二阶常系数线性微分方程：
1、 齐次y ''+py '+qy =0 解题步骤： （1） 写特征方程 r 2+p r +q =0 （2） 解特征方程 ，求出特征根 r 1, r 2 （3） 写出通解
βx )
2、 非齐次 y ''+py '+qy =
f (x )
方法： 先求出对应齐次方程的通解Y ，再求出特解y *，则通解y =Y +y *
k λx
若f (x ) =e λx P m (x ) 则y *=x Q m (x ) e
2. y ''+p y '+q y =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]
~x 则设特解为 y *=x k e λ[R m (x ) cos ωx +R m (x ) sin ωx ]
m =max {l , n }
⎧0
k =⎨
⎩1
λ+i ω不是特征根λ+i ω是特征根
高等数学（上册）复习资料
一：函数的两个要素： 定义域 对应法则
1 两个函数相同： （1）定义域相同 （2）对应法则相同 至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。 例如：
y =sin x -∞
-∞
2 函
（1）有界性 y =f (x ) x ∈D
如果存在实数k 1 ，使得f (x ) ≤k 1 ，则称f (x ) 在D 上有上界 如果存在实数k 2 ，使得f (x ) ≥k 1 ，则称f (x ) 在D 上有下界。
有界：既有上界 ，又有下界 。即存在实数k 1，k 2使得k 2≤f (x ) ≤k 1 等价于存在k >0 ，使得f (x ) ≤k （2）单调性
若对区间I 内任意两点x 1
若将“≤(≥) ”改成“) ”称为严格单调增加（减少）。 （3）奇偶性
设函数y =f (x ) 的定义域关于原点对称 如果 f (-x ) =f (x ) ，则称 f (x ) 为偶函数 如果f (-x ) =-f (x ) ，则称 f (x ) 为奇函数 （4） 周期性
若f (x +l ) =f (x ) 则称f (x ) 是以l 为周期的函数 注：周期通常指的是它的最小正周期 3复合函数
设y =f (u ) 的定义域为D 1 ，又u =g (x ) 的定义域为D ，且g (D ) ⊂D 1 ，则函数
x ∈D
y =f [g (x ) ]x ∈D 称为由函数u =g (x ) 和 函数 y =f (u ) 构成的复合函数。u 称为中间变量，记为：(f g )(x ) =f [g (x ) ]
4 基本初等函数：
（1）幂函数 y =x μ （2）指数函数 y =a x （3）对数函数y =log a x 特例a =e , y =ln x （4）三角函数 y =s i n x
, y =
c o x s 等
(a >0, a ≠1)
（5）反三角函数 y =arcsin x , y =arccos x 等
5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到
的并可以用一个式子表示的函数。
⎧x +1x ≤0
例：f (x ) =⎨2 两个式子 ，故不是初等函数
⎩-x +1x >06 函数的极限
当x →∞时，若f (x ) 无限地接近于某个确定的数A ，则称A 为f (x ) 当x →∞时的极限。记为lim f (x ) =A
x →∞
重要结论：lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A
x →∞
x →+∞
x →-∞
lim f (x ) =A
x →∞
的几何意义：
1=0x →∞x
一、 y =A 是他的水平渐近线 例如： lim
二、 lim f (x ) =A
x →+∞
x →-∞
lim f (x ) =B 而 A ≠B ，则说明它有两条渐近
线。例如：lim arctan x , y =
x →∞
π
2
, y =-
π
2
两条渐近线。
当x →x 0时 ，如果f (x ) 无限地接近于某一确定的常数A ，则称A 为f (x ) 当
x →x 0时的极限。记为：lim f (x ) =A
x →x 0
注：（1）f (x ) 在x 0处的极限存在与否与f (x ) 在x =x 0处有无定义没有关系。因为定义中没有要求x =x 0，只是 x →x 0
（2）x 趋近于x 0的方式是任意的。（即 可以从左边 ，也可以从右边）
-
左极限：当x 从左边趋近于x 0（记为：x →x 0）时 ，f (x ) →A ，则称A 为f (x )
-
f (x ) =A 当x →x 0时的左极限。记为：lim 或f (x 0) =A 。 -
x →x 0
f (x ) =A 右极限：lim +
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A -+
x →x 0
x →x 0
即左右极限存在且相等
-+
若： f (x 0) ≠f (x 0) ，则lim f (x ) 不存在
x →x 0
7 无穷小量
定义：以 0为极限的变量称为无穷小（量）
定义：当x →x 0（或x →∞）时
f (x ) 无限增大 注意 无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大 无穷大的几何意义：
lim f (x ) =∞ ，直线x =x 0是函数y =f (x ) 图形的铅直渐近线 （回忆水
x →x 0
平渐近线
定理二：在自变量的同一变化过程中，如果f (x ) 为无穷大 ，则
1
为无穷f (x )
小；反之 ，如果f (x ) 为无穷小 ，且f (x ) ≠0 ，则
无穷小的性质：
定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小 定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论：（1） 有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。
（有极限⇒有界）
（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小 （3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小
8 无穷小的比较
定义： 设α, β都是无穷小
1
为无穷大。 f (x )
β
=0 ，则称β是比α高阶的无穷小 ，记为：β=0(α) αβ
(2) 若lim =∞ ，则称β是比α低阶的无穷小
αβ
(3) 若lim =c ≠0 ，则称β与α是同阶无穷小
αβ
(4) 若lim =1 ，则称β与α是等价无穷小 ，记为：α~β
α
最重要是等价无穷小 ，关于等价无穷小，我们要记住以下结论 (1) 若lim
当x →0时 ，sin x ~x , tan x ~x ,ln(1+x ) ~x , e x -1~x ，arcsin x ~x ，
arctan x ~x
1~
11
x ，1-cos x ~x 2 ，a x -1~x ln a ，(1+x ) α-1~αx n 2
k x ~k x 注意其引申 s i n
'
, t a k n x ~k 即x 上面的无穷小可换成其他无穷小
'
β'
定理一：设α~α ，β~β ，且lim ' 存在，则
α
ββ'
l i =l
αα' 9 函数的连续性
定义：设函数y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义 ，如果
lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0) ]=0 ，则称y =f (x ) 在点x 0处连续。
∆x →0
∆x →0
强调：∆x →0包含 ∆x >0, ∆x →0 ；∆x
∆x →0 相当于 x →x 0
∆y →0 相当于 f (x ) →f (x 0) 由此 ，我们得到连续的另一个等价定义
定义2 ：设y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义，如果lim f (x ) =f (x 0) ，则
x →x 0
称y =f (x ) 在点x 0处连续。
即 ：在x 0处的极限等于它在该点的函数值 与左、右极限相对应 ，也有左、右连续的概念
f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在点x 0处左连续 若lim -∆y =0 ，即lim -
∆x →0
x →x 0
f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在点x 0处右连续 若lim +∆y =0 ，即lim +
∆x →0
x →x 0
y =f (x ) 在点x 0处连续⇔左右都连续
即 lim -f (x ) =lim +f (x ) =f (x 0)
∆x →0
∆x →0
若函数y =f (x ) 在点x 0处不连续 ，则称y =f (x ) 在点x 0处间断 。x 0称为
y =f (x ) 的间断点 。
（1） 可去间断点
极限lim f (x ) 存在 ，但y =f (x ) 在点x 0处无定义或y =f (x ) 在点x 0处有定
x →x 0
义 ，但lim f (x ) ≠f (x 0) 。则称x 0为f (x ) 的可去间断点 。
x →x 0
（2 ）跳跃间断点
f (x ) 与 lim f (x ) 存在，但 lim f (x ) ≠lim f (x ) 若lim -+-+
x →x 0
x →x 0
x →x 0
x →x 0
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 。第一类间断点的特点是左右
极限都存在。
第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点 。特点：是至少有一个单侧极限不存在。
常见的有无穷间断点 。特点：至少有一个单侧极限为无穷大 。 一切初等函数在其定义区间内是连续的 10 函数的导数
定义：设函数y =f (x ) 在点x 0处的某个邻域U (x 0) 内有定义，给x 0以增量∆x （∆x ≠0,(x 0+∆x ) ∈U (x 0) 仍然在该邻域内），若lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
存在。 则称f (x ) 在x 0处可导。 并称这个极限值为f (x ) 在x 0处的导数。记为：
f '(x ) ，y 'x =x ，
df (x )
dx x =x 0
,
f (x 0+∆x ) -f (x 0) dy
即 f '(x ) =lim
∆x →0∆x dx x =x 0
关于导数的几点说明：
（1）导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。 （2） 令x 0+∆x =x ，当∆x →0时 x →x 0 等价定义
f (x ) -f x (0)
f '(x 0) =l i 或
x →x 0x -x 0
f '(x 0) =lim
h →0
f (x 0+h ) -f (x 0)
h
（1） 若定义中极限不存在， 则称f (x ) 在x 0处不可导。 在不可导中有一个特
殊情形。当lim
∆y
=∞ ，则称f (x ) 在x 0处的导数为无穷大。
∆x →0∆x
（2） 如果函数y =f (x ) 在开区间I 内的每一点处都可导， 就称函数y =f (x )
在开区间I 内可导。
（3） 对于任一个x ∈I ，都对应着f (x ) 的一个确定的导数值 ，x →f '(x ) 。
这个函数 叫做原来函数f (x ) 的导函数 。记作：y '
即 y '=l i f (x +∆x ) -∆x →0∆x f (x +h ) -f (x )
f '(x ) =lim
h →0h
f (x )
或
f '(x )
dy df (x ) 或 dx dx
注 ：（1）导函数f '(x ) 简称为导数
（2）f '(x 0) =f '(x ) x =x
（6）单侧导数
1、 左导数
f (x ) -f (0x ) f (x +∆x ) -
f -'(x 0) =l i -=l x →0x ∆→x 0-x -x 0∆x
f (x )
2、 右导数
f (x ) -f (0x ) f (x +∆x ) -
f +'(x 0) =l i +=l x →0x ∆→x 0+x -x 0∆x
f (x )
f '(x 0) 存在⇔f -'(x 0) =f +'(x 0)
（7）如果f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导 ，且f -'(b ) 及f +'(a ) 都存在，就说f (x ) 在闭区间[a , b ]上可导。
函数f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) 的几何意义就是曲线y =f (x ) 在对应点
A (x 0, y 0) 处的切线的斜率。
于是：曲线y =f (x ) 在点A (x 0, y 0) 处的切线方程可写成： （1）f '(x 0) 存在，则
切线方程： y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) 法线方程： y -y 0=-（2）若f '(x 0) =∞
切线方程：x =x 0 法线方程：y =y 0
1
(x -x 0) f '(x 0)
定理：若f (x ) 在x 0处可导 。则f (x ) 在x 0处必连续 连续但不可导的例子： y =x 在x =0处
0f l i x ==
x →0
( 0) 所以连续 ，但不可导
注：若不连续 ，则一定不可导
11 函数的微分
定义：设函数y =f (x ) 在某区间内有定义，在x =x 0处给自变量以增量∆x ， 如果相应的函数的增量∆y 总能表示为：∆y =A ∆x +o (∆x ) ，其中A 与∆x 无关，
o (∆x ) 是∆x 的高阶无穷小。则称函数y =f (x ) 在点x 0处可微 。并称A ∆x 为f (x )
在点x 0处的微分。 记作：dy 或df (x ) 即：dy =A ∆x A 称为微分系数。
定理：函数y =f (x ) 在x 0处可微⇔函数y =f (x ) 在x 0处可导 我们得到函数的可微性与可导性是等价的。 （可微⇔可导）。 函数在x 处的微分dy =f '(x ) dx
12 函数的不定积分
定义1 设函数F （x ）在某区间I 上可导，且∀x ∈I 有F ′(x )=f （x ），则称F （x ）为函数f （x ）在区间I 上的一个定理1 设F （x ）是f （x ）在区间I 上的一个原函数，则F （x ）+C （C 为任意常数）为f （x ）的全体原函数.
定义 设函数f （x ）在区间I 上有定义，称f （x ）在区间I 上的原函数的全体为f （x ）在I 上的不定积分，记作
⎰f (x )d x ，其中记号“⎰
”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x
称为积分变量.
定理1 设F （x ）是f （x ）在区间I 上的一个原函数，则
⎰f (x )d x =F （x ）+C ，
C 为任意常数.
强调：c 不能丢，F (x ) 仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。 通常，我们把f （x ）在区间I 上的原函数的图形称为f （x ）的积分曲线， 不定积分的性质
（1）（2）（3）
⎰[αf (x ) +βg (x ) ]d x =α⎰f (x )d x +β⎰g (x )d x ，其中α，β为常数；
d
f (x )d x =f （x ）； ⎰d x
⎰f '(x )d x =f (x )+C , C 为任意常数.
13 函数的定积分
定义 设函数f （x 在区间［a ，b ］上有界，今取n +1个分点：
a =x 0＜x 1＜x 2＜„＜x i -1＜x i ＜„＜x n -1＜x n =b ，
将［a ，b ］分成n 个小区间［x i -1，x i ］，其长度记为Δx i =x i -x i -1（i =1，2，„，n ），并令λ=max ∆x i },
1≤i ≤n
{
若∀ξi ∈［x i -1, x i ］（i =1，2，„，n ），极限
lim
λ→0
∑f (ξ
i =1
n
i ) Δx i
存在，且该极限值与对区间［a ，b ］的分划及ξi 的取法无关，则称f （x ）在［a ，b ］f （x ）在［a ，b ⎰
b
a
f (x )d x ，其中, f （x ）称为
被积函数，x 称为积分变量，a 和b 分别称为积分下限和上限，［a ，b ］称为积分区间，
∑f
i =1
n
（ξi ）Δx i . 注意：
（1） 定积分是一个和式的极限 ，它是一个数。和式很复杂 ，区间的分法 无穷多 ，
点的 取法也无穷多。 但是，极限与取法、分法无关。
（2）
定积分由被积函数f (x ) 与积分区间[a , b ]确定 ，与积分变量无关。即
⎰
（3） （4）
b
a
f (x ) dx =⎰f (t ) dt =⎰f (u ) du 。
a
a
b b
曲边梯形的面积A =
⎰
b
a
f (x ) dx
当被积函数在积分区间上恒等于1时，其积分值即为积分区间长度，即
⎰
b
a
f (x )d x =b -a ；
（5） 可积条件
为方便起见，我们用R （［a ，b ］）表示区间［a ，b ］上所有可积函数的集合，可
以证明：
（1）若f （x ）∈C （［a ，b ］），则f （x ）∈R （［a ，b ］）； （2）若f （x ）为［a ，b ］上的单调有界函数，
则f （x ）∈R （［a ，b ］）；
（3）若f （x ）在［a ，b ］上仅有有限个第一类间断点，
则f （x ）∈R （［a ，b ］）.
定积分的几何意义：
（1）f (x ) ≥0
, ⎰f (x ) dx =S 图
a
b
（2）f (x ) ≤0,
⎰
b
a
f (x ) dx =-S 图
（3） f (x ) 在[a , b ]上有正有负 图
⎰
b
a
面积的代数和 f (x ) dx =S 1-S 2+S 3
总之，若f （x ）∈C （［a ，b ］），则定积分
⎰
b
a
f (x )d x 的几何意义是表示由x 轴、曲线y =f
（x ）、直线x =a 与x =b 所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于x 轴上方的图形面积取
正号，位于x 轴下方的图形面积取负号.
定积分的性质
（1） 当a =b 时，（2） 当a ＞b 时，
⎰
b
a
f (x )d x =0；
⎰
b
a
f (x )d x = -
⎰⎰
a
b
f (x )d x
积分中值定理） 设f （x ）∈C （［a ，b ］），则∃ξ∈［a ，b ］，使得
b a
（b -a ）. f (x )d x =f （ξ）
设f （x ）∈C （［a ，b ］），F （x ）是f （x ）在［a ，b ］上的一个原函数，则 ⎰f (x )d x =F （b ） -F （a ）.
a b
要掌握的具体内容： 如何求极限；
如何求导数与微分
如何求不定积分与定积分 导数和定积分的应用 一 如何求极限
求极限的方法
型） 0
∞
（2） 无穷小因子分出法（适用于x →∞时的型）
∞
当x →∞时有理分式的极限为
（1） 约去零因子法（适用于x →x 0时的
⎧a 0
n =m ⎪b 0
a 0x m +a 1x m -1+ +a m ⎪⎪lim =⎨0n >m x →∞b x n +b x n -1+ +b 01n ⎪∞n
⎪⎪⎩
（3） 有理化（适用于含有根式的极限） （4） 通分（适用于∞-∞型） （5） 利用两个重要极限
sin x
=1 1 第一个重要极限 lim
x →0x
这个极限的特点：
0sin x （1）型 （2）
0x
推广： lim
sin u (x )
=1 ，其中u (x ) 是x 的该变化过程中的无穷小
某过程u (x ) 1x
2 第二个重要极限
lim(1+) =e （e 是无理数 ，e =2.71828 ）
x →∞
x
几种变形
1
lim(1+) n =e n →∞n
lim (1+x ) =e
x →0
1
x
有如下特点： （1） 1型
（2） 加号上的量与肩膀上的量互为倒数
∞
⎡1⎤
推广：若 lim u (x ) =∞ ，则lim ⎢1+⎥
⎣u (x ) ⎦
若 lim u (x ) =0 ，lim [1+u (x ) ]
1u (x )
u (x )
=e
=e
（6）等价无穷小替换
当x →0时 ，sin x ~x , tan x ~x ,ln(1+x ) ~x , e x -1~x ，arcsin x ~x ，
arctan x ~x
1~
11
x ，1-cos x ~x 2 ，a x -1~x ln a ，(1+x ) α-1~αx n 2
k x ~k x 注意其引申 s i n
'
, t a k n x ~k 即x 上面的无穷小可换成其他无穷小
'
β'
定理一：设α~α ，β~β ，且lim ' 存在，则
α
ββ'
l i =l '
αα
强调：乘积时才用等价无穷小代替 ，在加减中不能代替
， 即被替换的无穷小必须处于乘积因子位置
tan x -sin x
例：lim 3x →0sin x
x -x
原式=lim 3=0 错 在加减中不要替换
x →0x
（7）利用无穷小的性质（定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小） （8）利用左右极限与极限的关系（适用于分段函数在分段点处的极限） （9）连续性的定义（设连续函数y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义，则
x →x 0
lim f (x ) =f (x 0) ）
（10）洛必达法则
0∞
型，型直接使用法则， 0∞
0⋅∞型，将其中的一个倒下来，化成
0∞
型或型，再使用法则。 0∞
∞-∞型，通分后化成型，再使用法则。
1∞, 00, ∞0型，化成以e 为底的指数，或取对数后化成0⋅∞
以上10种方法中，特别要注意洛必达法则与重要极限，无穷小替换，相结合
二 如何求导数 （1）基本求导公式 求导公式： （1）(c ) '=0
（2）(x μ) '=μx μ-1
特例：(x ) '=1'=（3）(a x ) '=a x ln a 特例：(e x ) '=e x （4）(loga x ) '=
11
特例： (lnx ) '=x ln a x
,(lnx ) '=
1
x
11,() '=-2 x x
（5）(sinx ) '=cos x (tanx ) '=sec 2x
c '=) (s e x
s x e ⋅c
x t a n
(cosx ) '=-sin x
(cotx ) '=-csc 2x
'(=x c -s c ) ⋅x
c s x c
（6
）(arcsinx ) '=
(arctanx ) '=
(a r c c x o 's =11'(a r c c x o t =-)
1+x 21+x 2
（2）求导的四则运算法则：
(u ±v ) '=u '±v ' (uv ) '=u 'v +uv '
u u 'v -uv '() '=(v ≠0) (cu ) '=cu 'c 为常数 v v 2
（3） 复合函数的求导法则
定理三： 如果u =g (x ) 在点x 处可导，而y =f (u ) 在点u =g (x ) 处可导， 则复
合函数y =f [g (x ) ]在点x 处可导，且其导数为：
d y d y d u
'u '(x =⋅) ⋅g 或 y '=f ( ) 链式法则
d x d u d x dy dy ：函数对x 的导数 ：f (u ) 对u 的导数
du dx
du
：u =g (x ) 对x 求导 dx
复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
（4） 参数方程的求导法
⎧x =ϕ(t )
若参数方程⎨确定y 与x 之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函
y =ψ(t ) ⎩数。
dy
dy ψ'(t )
求导公式 y 对t 的导数比上x 对t 的导数 ==
dx dx ϕ'(t ) dt
d dy ()
dy d 2y 二阶导数 对t 的导数比上x 对t 的导数 =
dx dx dx 2
dt
（5） 隐含数的求导法 什么叫隐含数？
定义：由方程所确定的函数y =f (x ) 称为隐函数
隐函数的求导法则：
用复合函数的求导法则直接对方程两边求导
（6）对数求导法： 先两边取对数 ，然后按照隐函数的求导方法求导。 适用范围：（1）幂指函数 u (x ) v (x ) （2）多个函数相乘或还有开方的情况 （7）变限函数的求导
d x
f (t )d t =f (x ) Φ′(x )=
d x ⎰a
()
(⎰
β(x )
α
f (t ) dt ) '=f (β(x )) β'(x )
d u (x )
f (t )d t =f （u （x ））u ′(x ) -f (v (x )) v ′(x ). ⎰v (x ) d x
（8）如何求微分dy =f '(x ) dx
先求出函数的导数，则dy =f '(x ) dx 千万不要忘记写dx
三 如何求积分
基本积分公式① ⎰k d x =kx +C （k 为常数）,
a
② x d x =
⎰
1a +1
x +C (a ≠ -1), a +1
特别地：
11=-+c =c ⎰
x 2x ③
1
⎰x d x =ln ｜x ｜+C (x ≠0),
x
④ e d x =ex +C ,
⎰
x
⑤ a d x =
⎰
1x
a +C (a ＞0且a ≠1), ln a
⑥ cos x d x =sin x +C , ⑦ sin x d x = -cos x +C ,
2
⑧ sec x d x =t an x +C ,
⎰
⎰
⎰⎰
2
⑨ csc x d x = -co tx +C ,
⑩ sec x tan x d x =sec x +C ,
11 csc x cot x d x = -csc x +C , ○
⎰
⎰
12
○
x =arcsin x +C ,
1
⎰1+x 2d x =arctan x +c
积分的方法 一，分项积分
13 ○
⎰[αf (x ) +βg (x ) ]d x =α⎰f (x )d x +β⎰g (x )d x ，其中α，β为常数；
⎰
b
a
[αf (x ) +βg (x ) ]d x =α⎰f (x )d x +β⎰g (x )d x
a
a
b b
二 换元法
第一换元法（凑微分）
⎰f (ψ(x )) ψ'(x )d x =⎰f (ψ(x )) d ψ(x ) u =ψ(x ) ⎰f (u ) du =F (u ) +c
u =ψ(x ) F (ψ(x ))+C .
（注意：中间的换元过程可省略。）
⎰
b a
f (ψ(x )) ψ'(x ) dx =⎰f (ψ(x )) d ψ(x ) =F (ψ(x )) a
a
b
b
第二换元
⎰f (x ) dx x =ψ(t ) ⎰f (ψ(t )) d ψ(t ) =⎰f (ψ(t )) ψ'(t ) dt =F (t ) +c
还原t=ϕ-1(x ) F (ϕ-1(x )) +c
βx =ϕ(t ) β
'=F (t ) f (x ) dx f (ϕ(t )) ϕ(t ) dt ⎰ααdx =(t ) dt
⎰
b
a
对于定积分的第二换元法要注意：
（1） 换元必换限
（2） 当a
对应上限
（3） α, β选取可能不唯一 ，原则上：不自找麻烦 ，α-β越小越好 三 分部积分
⎰u v 'dx =⎰udv =uv -⎰vdu =uv -⎰v u 'dx
⎰
b a
u v 'dx =⎰udv =uv a -⎰vdu uv a -⎰v u 'dx
a
a
a
b
b
b
b
b
注意：1将谁看成v ' 2回归法
对于定积分还有三个要注意的地方 一， 分段函数的定积分
如果积分区间包含了被积函数的分段点，则利用积分对区间的可加性，分成几个定积分的和。
2
⎧⎪1+x ,
例：f (x ) =⎨-x
⎪⎩e ,
x
，计算⎰f (x ) dx
-1
1
2
1
1
解：
⎰
1
-1
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx =⎰(1+x ) dx +⎰e -x dx
-1
-1
137-x 1
=(x +x ) +(-e ) =-e -1
033-1
1-3
例：f (x ) =x +，求⎰f (x ) dx
x ≥-1; ⎧x +1,
解：因为f (x ) =⎨
-x -1, x
⎰
1
-3
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx =⎰(-x -1) dx +⎰(x +1) dx
-3
-1
-3
-1
-11-11
11
=(-x 2-x ) +(x 2+x ) =2
22-3-1
-11
二 奇零偶倍
⎰
a -a
⎧0
⎪
f (x ) dx =⎨a
2f (x ) dx ⎪⎩⎰0
若f (x ) 为奇函数若f (x ) 为偶函数
三、广义积分
（1）无穷积分 定义：⎰
+∞a
f (x ) dx =lim ⎰f (x ) dx
t →+∞a
b
t →-∞t
t
⎰
b
-∞
f (x ) dx =l i m (d ) x ⎰f x
0-∞
若广义积分⎰f (x ) dx 与⎰
+∞
f (x ) dx 都收敛 ，则⎰
+∞
+∞
-∞
f (x ) dx 收敛 ，且定义为这两
个广义积分之和。
⎰
计算：⎰
+∞
+∞
-∞
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰
-∞
f (x ) dx
t
=lim ⎰f (x ) dx +lim ⎰f (x ) dx
t →-∞t +∞a
t →+∞0
a
f (x ) dx =F (x )
b
=lim F (x ) -F (a )
x →+∞
x →+∞
⎰
b
-∞+∞
f (x ) dx =F (x )
-∞+∞-∞
=F (b ) -l i m F (x ) =lim F (x ) -lim F (x )
x →+∞
x →-∞
⎰
-∞
f (x ) dx =F (x )
（2）瑕积分
定义：若x =b 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =lim f (x ) dx -⎰
a
t →b
a
b
t
若x =a 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =lim f (x ) dx +⎰
a
t →a
t
b b
若x =c ∈(a , b ) 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =lim f (x ) dx +lim f (x ) dx -⎰+⎰
a
t →c
a
t →c
t
b t b
计算：
若x =b 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =F (x )
a b
b a b a
=lim F (x ) -F (a ) -
x →b
若x =a 为f (x ) 的瑕点，则⎰f (x ) dx =F (x )
a
b
=F (b ) -lim F (x ) +
x →a
若x =c ∈(a , b ) 为f (x ) 的瑕点，则
⎰
b a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx =F (x )
a
c
x →c
x →c
c b
c a
+F (x ) c
b
=lim F (x ) -F (a ) +F (b ) -lim F (x ) -+
四 应用题
（一）求曲线的切线，法线
（二）求极值，单调区间，拐点，凹凸区间，最大值，最小值。 确定函数单调区间，极值的步骤为：
（1） 写出定义域
（2） 找出驻点和导数不存在的点 ，将定义域进行划分。 （3） 判断各区间导数的符号 ，并判断单调性，。 （4）写出单调区间，求出各极值点的函数值 ，即得全部极值。
判断凹凸区间，曲线拐点的步骤： （1） 写出定义域，求f ''(x )
（2） 令f ''(x ) =0 ，解出实根 ，并找出二阶导数不存在的点，将定义域进行
划分。
对每一点x 0 ，考察f ''(x ) 在x 0的左、右两侧的符号。写出凹凸区间，若左、右两侧符号相反， 则(x 0, f (x 0)) 为拐点，否则不是。 求最值的步骤：
（1） 在[a , b ]内找出驻点和不可导点，x 1, x 2 x n （2） 计算f (x i ) 及f (a ) , f (b )
（3） 从这些值中找出最大值、最小值。 （三）与中值定理有关的证明题 （四）利用单调性证明不等式
（五）关于闭区间上连续函数性质的证明题 （六）求平面图形的面积
A =⎰[f 1(x ) -f 2(x )]dx
a
b
记住：被积函数是上面的函数减下面的函数。
A =⎰[ϕ1(y ) -ϕ2(y )]dy
c
d
记住：被积函数是右边的函数减左边的函数 （七）求体积
平面截面面积为已知的立体体积
V =⎰A (x )d x
a
b
旋转体的体积
设一旋转体是由连续曲线y =f （x ），直线x =a 和x =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而形成的
V =π⎰f (x 2)d x
a
b
由曲线x =ϕ(y ) ，直线y =c , y =d (c
c d
2
（八）求弧长
弧微分公式ds =(dx ) 2+(dy ) 2
若曲线的方程为y =f （x ），x ∈［a ，b ］，且f （x ）在［a ，b ］上有一阶连续导数，
则s =⎰
a
x
若曲线弧的方程由参数方程
⎧x =ϕ(t ),
α≤t ≤β， ⎨
⎩y =ψ(t ),
给出，设φ（t ），ψ（t ）在［α，β］上具有连续导数，
则
d s =
β
=t (t ) d
曲线弧的弧长为
s =⎰
α
t
如果曲线方程由极坐标方程r =r （θ） （α≤θ≤β）给出，且R （θ）存在一阶
连续导数，则由
⎧x =r (θ)cos θ,
（α≤θ≤β）
⎨
y =r (θ)sin θ, ⎩
可知s =⎰
βα
θ
第六章 常微分方程
一阶微分方程：
dy
=f (x ) g (y ) 方法： 分离变量后，两边同时积分 dx
dy y y
=ϕ() 方法：令=u 化成可分离变量 ，最后回代 2、齐次方程 dx x x
dy
+p (x ) y =q (x ) 方法：公式法 3、一阶线性微分方程： dx
1、可分离变量的方程
-p (x ) dx ⎡p (x ) dx
q (x ) e ⎰+C ⎤ 通解y =e ⎰
⎢⎣⎰
⎥⎦
可降阶的高阶微分方程： 1、y
(n )
=f (x ) 方法： 逐次积分n 次
2、 y ''=f (x , y ') ，特点：不显含未知函数y 方法：令y '=p (x ) ⇒p '=f (x , p ) 。
利用解一阶方程的的方法解出p ，再代入 ，再积分。
2、 y ''=f (y , y ') ，特点：不显含x 方法：令y '=p (y ) ⇒y ''=p
dp
从而方程化为dy
p
dp
=f (y , p ) 。利用解一阶方程的的方法解出p ，再代入 ，再积dy
分。
二阶常系数线性微分方程：
1、 齐次y ''+py '+qy =0 解题步骤： （1） 写特征方程 r 2+p r +q =0 （2） 解特征方程 ，求出特征根 r 1, r 2 （3） 写出通解
βx )
2、 非齐次 y ''+py '+qy =
f (x )
方法： 先求出对应齐次方程的通解Y ，再求出特解y *，则通解y =Y +y *
k λx
若f (x ) =e λx P m (x ) 则y *=x Q m (x ) e
2. y ''+p y '+q y =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]
~x 则设特解为 y *=x k e λ[R m (x ) cos ωx +R m (x ) sin ωx ]
m =max {l , n }
⎧0
k =⎨
⎩1
λ+i ω不是特征根λ+i ω是特征根