2009年福建省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2009•福建）函数f （x ）=sinxcosx的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．﹣ C ．
D ．1
【考点】三角函数的最值． 【专题】计算题．
【分析】利用倍角公式可把已知转化为f （x ）=sin2x 的形式，结合三角函数中正弦函数最小值取得的条件，求解该函数的最小值 【解答】解：∵f （x ）=sinxcosx=sin2x ． ∴当x=kπ﹣
，k ∈Z 时，f （x ）min =﹣．
答案B
【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式在三角化简中的运用，利用该公式，把已知化简成y=Asin（wx+∅）的形式，进一步考查函数的相关性质．
2．（5分）（2009•福建）已知全集U=R，集合A={x|x﹣2x ＞0}，则∁U A 等于（ ） A ．{x|0≤x ≤2} B ．{x|0＜x ＜2} C ．{x|x＜0或x ＞2} D ．{x|x≤0或x ≥2} 【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．
【分析】求出集合A 中不等式的解集，然后求出集合A 在R 上的补集即可．
2
【解答】解：∵x ﹣2x ＞0， ∴x （x ﹣2）＞0， ∴x ＞2或x ＜0，
∴A={x|x＞2或x ＜0}，
2
∁U A={x|0≤x ≤2}． 故选A
【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题．
3．（5分）（2009•福建）等差数列{an }的前n 项和为S n ，且S 3=6，a 3=4，则公差d 等于（ ） A ．1
B ．
C ．2
D ．3
【考点】等差数列的前n 项和． 【专题】计算题．
【分析】用等差数列的通项公式和前n 项和公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，解方程即可．
【解答】解：设{an }的公差为d ，首项为a 1，由题意得
，解得，
故选C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，熟练应用公式是解题的关键．
4．（5分）（2009•福建）
（1+cosx）dx 等于（ ）
A ．π B ．2 C ．π﹣2 D．π+2 【考点】定积分． 【专题】计算题．
b
【分析】由于F （x ）=x+sinx为f （x ）=1+cosx的一个原函数即F ′（x ）=f（x ），根据∫a f （x ）
b
dx=F（x ）|a 公式即可求出值．
【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，
∴（1+cosx）dx=（x+sinx）
=
+sin﹣=π+2．
故选D
【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．
5．（5分）（2009•福建）下列函数f （x ）中，满足“对任意x 1、x 2∈（0，+∞），当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2）的是（ ）
A ．f （x ）= B．f （x ）=（x ﹣1） C ．f （x ）=e D ．f （x ）=ln（x+1）
【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题．
【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断． 【解答】解：∵对任意x 1、x 2∈（0，+∞），当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2）， ∴函数在（0，+∞）上是减函数；
A 、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A 正确；
2x
B 、由于f （x ）=（x ﹣1），由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数， 在（1，+∞）上是增函数，故B 不对；
C 、由于e ＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C 不对； D 、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e ＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D 不对； 故选A ．
【点评】本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．
2
6．（5分）（2009•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【考点】循环结构．
【专题】阅读型；图表型．
【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S 与n 对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n 即可．
S 与n 对应变化如下表： 故选C
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
7．（5分）（2009•福建）设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A ．m ∥β且l ∥α B ．m ∥l 1且n ∥l 2 C．m ∥β且n ∥β D ．m ∥β且n ∥l 2
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．
【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案． 【解答】解：若m ∥l 1，n ∥l 2， m ．n ⊂α，l 1．l 2⊂β，l 1，l 2相交，
则可得α∥β．即B 答案是α∥β的充分条件，
若α∥β则m ∥l 1，n ∥l 2不一定成立，即B 答案是α∥β的不必要条件， 故m ∥l 1，n ∥l 2是α∥β的一个充分不必要条件， 故选B
【点评】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 8．（5分）（2009•福建）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15 【考点】模拟方法估计概率． 【专题】计算题．
【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393． 共5组随机数，
∴所求概率为==0.25．
故选B ．
【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
9．（5分）（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于 （ ） A ．以，为邻边的平行四边形的面积 B ．以，为两边的三角形面积 C ．，为两边的三角形面积
D ．以，为邻边的平行四边形的面积 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】利用向量的数量积公式表示出，有已知得到的夹角与夹角的关
系，利用三角函数的诱导公式和已知条件表示成面积公式得到选项．
的模及夹角形式，利用平行四边形的
【解答】解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos
＜，＞|=||•||•|cos（90°±θ）|=||•
||•sin θ，
即为以，为邻边的平行四边形的面积．
故选A ．
【点评】本题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．
10．（5分）（2009•福建）函数f （x ）=ax+bx+c（a ≠0）的图象关于直线
2
2
对称．据此
可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的解集都不可能是（ ）
A ．{1，2} B ．{1，4} C ．{1，2，3，4} D ．{1，4，16，64} 【考点】二次函数的性质． 【专题】计算题；压轴题．
22
【分析】根据函数f （x ）的对称性，因为m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的解应满足y 1=ax+bx+c，
2
y 2=ax+bx+c，
进而可得到方程m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的根，应关于对称轴x=个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D ． 【解答】解：∵f （x ）=ax+bx+c的对称轴为直线x=
2
2
2
对称，对于D 中4
令设方程m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的解为f 1（x ），f 2（x ）
22
则必有f 1（x ）=y1=ax+bx+c，f 2（x ）=y2=ax+bx+c 那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x 轴的直线 它们与f （x ）有交点
由于对称性，则方程y 1=ax+bx+c的两个解x 1，x 2要关于直线x=也就是说x 1+x2=
2
2
对称
对称
同理方程y 2=ax+bx+c的两个解x 3，x 4也要关于直线x=那就得到x 3+x4=
，
在C 中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解 所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4} 而在D 中，{1，4，16，64}
找不到这样的组合使得对称轴一致， 也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和 故答案D 不可能 故选D ． 【点评】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）（2009•福建）若
=a+bi（i 为虚数单位，a ，b ∈R ），则a+b=
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件． 【专题】计算题．
【分析】把所给的等式左边的式子，分子和分母同乘以分母的共轭复数，变形为复数的标准代数形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a 和b 的值，得到结果． 【解答】解：∵∵
=a+bi
=
=
=1+i，
∴a+bi=1+i ∴a=b=1 ∴a+b=2． 故答案为：2
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数相等的充要条件，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目． 12．（4分）（2009•福建）某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a ）无法看清，若记分员计算无误，则数字a= 1 ．
【考点】茎叶图．
【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分88，余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于a 的方程，解方程即可． 【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分88后， 余下的7个数字的平均数是91，
∴636+a=91×7=637， ∴a=1
故答案为：1
【点评】本题通过茎叶图给出一组数据，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，这样的问题可以出现在选择题或填空题，本题是逆用平均数公式，考查最基本的知识点．
13．（4分）（2009•福建）过抛物线y =2px（p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p= 2 ． 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题．
【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y ，进而根据韦达定理表示出x 1+x2和x 1x 2，进而利用配方法求得|x1﹣x 2|，利用弦长公式表示出段AB 的长求得p ．
2
【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，
联立有，
∴x 1+x2=3p，x 1x 2=∴|x1﹣x 2
|=
=
又求得p=2
故答案为2
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．
14．（4分）（2009•福建）若曲线f （x ）=ax+lnx存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 {a|a＜0} ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于y 轴的切线，得到此时斜
2
率为0，问题转化为x ＞0范围内导函数=﹣2ax 与
存在零点，再将之转化为g （x ）
存在交点，讨论a 的正负进行判定即可．
．
【解答】解：由题意该函数的定义域x ＞0，由因为存在垂直于y 轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为x ＞0范围内导函数
存在零点．
再将之转化为g （x ）=﹣2ax 与存在交点．当a=0不符合题意，
当a ＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点， 当a ＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a ＜0． 故答案为：{a|a＜
0}
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题． 15．（4分）（2009•福建）五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 5 ． 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据题意可确定5位同学所报数值为斐波那契数列，然后可找到甲所报的数的规律，进而可转化为等差数列的知识来解题． 【解答】解：由题意可知：
（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，… （2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n 项均是3的倍数． （3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m ﹣4． （4）问题可化为求数列{4n}与{5m﹣4}的共同部分数，
易知，当m=4k，n=5k﹣1时，5m ﹣4=20k﹣4=4n，又1＜4n ≤100， ∴20k ﹣4＜100．∴k ≤5
∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手． 故答案为：5
【点评】本题主要考查斐波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用．
三、解答题（共6小题，满分80分） 16．（13分）（2009•福建）从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个． （Ⅰ）记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； （Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ 【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】常规题型．
【分析】（1）集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集有2﹣1个，等可能地取出一个有31种结果，而满足条件集合中的所有元素之和为10的通过列举有3个，根据古典概型公式得到结果．
（2）所取出的非空子集的元素个数为ξ，由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，类似于第一问得到各值对应的概率，写出分布列，算出期望． 【解答】解：记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A 基本事件数是C 5+C5+C5+C5+1=31
事件A 包含的事件是{1、4、5}，{2、3、5}，{1、2、3、4} ∴P （A ）=
，
1
2
3
4
5
（2）由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5， ξ的分布列是： 又P （ξ=1）=
=
，
P （ξ=2）==，
P （ξ=3）==
P （ξ=4）==
P （ξ=5）= ∴E ξ=1×
=
=
【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．本题还考到了集合的子集个数问题，一个含有n 个元
n
素的集合的子集个数是2． 17．（13分）（2009•福建）如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠OBA=75°，⊙O 的半径为1， 则OC 的长等
．
【考点】圆的切线的性质定理的证明． 【专题】计算题．
【分析】由OA=OB可以得到∠OBA 的度数，然后求出∠AOC ．设BC 的长为x ，再利用三角函数将AC 的长用含x 的代数式表示出来．在Rt △OAC 中，运用勾股定理可将BC 的长求出，进而可将OC 的长求出．
【解答】解：设BC 的长为x ，则OC 的长为1+x， ∵OA=OB，∠OBA=75°， ∴∠AOC=180°﹣75°×2=30°．
∴AC=sin∠AOC ×OC=（1+x）． 在Rt △OAC 中，OC =OA+AC 即（1+x）=1+（
∴x=﹣1+
2
2
2
2
2
）
2
（舍负值）．
． ．
∴OC=OB+BC=故答案为：
【点评】本题考查了圆的切线性质，勾股定理及解直角三角形的知识，关键是利用勾股定理列出方程． 18．（13分）（2009•福建）如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y=Asinωx （A ＞0，ω＞0）x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？
【考点】已知三角函数模型的应用问题．
【专题】综合题．
【分析】（1）由图得到A 及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的坐标，利用两点距离公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP ，MN ，求出折线段赛道MNP 的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
【解答】解：（1）因为图象的最高点为
所以A=，
由图知y=Asinϖx 的周期为T=12，又T=
所以M （4，3），P （8，0）
|MP|= ，所以ω=，所以
y=
（2）在△MNP 中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°） 由正弦定理得
所以NP=，MN=，
设使折线段赛道MNP 为L 则
L=
=
=
． 所以当角θ=30°时L 的最大值是
【点评】本题考查有图象得三角函数的性质，由性质求函数的解析式、考查两点距离公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函数的有界性．
19．（13分）（2009•福建）已知A ，B 分别为曲线C ：+y=1（y ≥0，a ＞0）与x 轴的左、2
右两个交点，直线l 过点B ，且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连接AS 交曲线C 于点T ．
（1）若曲线C 为半圆，点T 为圆弧的三等分点，试求出点S 的坐标；
（2）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ，使得O ，M ，S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题．
【分析】（1）先由曲线C 为半圆时得到a=1，再由点T 为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°，再对每一种情况下利用解三角的方法分别求点S 的坐标即可；
（II ）先把直线AS 的方程与曲线方程联立，求出点T 的坐标以及k BT ，进而求得k SM ；以及直线SM 的方程，再利用O 在直线SM 上即可求出a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）当曲线C 为半圆时，a=1，
由点T 为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°．┉┉（1分）
（1）当∠BOT=60°时，∠SAB=30°．
又AB=2，故在△SAE 中，有SB=AB•tan30°=，∴s （1，
）， ）；┉┉（3分） （2）当∠BOT=120°时，同理可求得点S 的坐标为（1，2
综上，s （1，）或s （1，2）．┉┉（5分）
（Ⅱ）假设存在a ，使得O ，M ，S 三点共线．
由于点M 在以SB 为直径的圆上，故SM ⊥BT ．
显然，直线AS 的斜率k 存在且K ＞0，可设直线AS 的方程为y=k（x+a） 22232422由⇒（1+ak ）x +2ak x+ak ﹣a =0．
设点T （x T ，y T ），则有，
故x T =⇒，故T （，） 又B （a ，0）∴k BT ==﹣，k SM =ak ． 2
由⇒S （a ，2ak ），所直线SM 的方程为y ﹣2ak=ak （x ﹣a ） 2
O ，S ，M 三点共线当且仅当O 在直线SM 上，即2ak=aka ．
又a ＞0，k ＞0⇒a=，
故存在a=，使得O ，M ，S 三点共线．
【点评】本题主要考查直线和圆相切，直线的方程，三点共线和圆的几何性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．
20．（14分）（2009•福建）已知函数f （x ）=x +ax+bx，且f ′（﹣1）=0．
（1）试用含a 的代数式表示b ，并求f （x ）的单调区间；
（2）令a=﹣1，设函数f （x ）在x 1，x 2（x 1＜x 2）处取得极值，记点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2）），P （m ，f （m ）），x 1＜m ＜x 2，请仔细观察曲线f （x ）在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的t ∈（x 1，x 2），线段MP 与曲线f （x ）均有异于M ，P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点Q （n ，f （n ）），x ≤n ＜m ，使得线段PQ 与曲线f （x ）有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）欲求：“f （x ）的单调区间”，对于三次函数而言，利用导数解决，本题还得对字母a 进行讨论；
（2）存在性问题，结合观察f （x ）的图象，帮助分析问题．
2【解答】解：（1）依题意，得f ′（x ）=x+2ax+b，
由f ′（﹣1）=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1 232
从而f （x ）=x +ax+（2a ﹣1）x ，
故f ′（x ）=（x+1）（x+2a﹣1）
令f ′（x ）=0，得x=﹣1或x=1﹣2a
①当a ＞1时，1﹣2a ＜﹣1
当x 变化时，根据f ′（x ）与f （x ）的变化情况得，
函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a ）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a ，﹣1） ②当a=1时，1﹣2a=﹣1，此时有f ′（x ）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f ′（x ）=0，故函数f （x ）的单调增区间为R 、
③当a ＜1时，1﹣2a ＞﹣1，同理可得，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a ，+∞），
单调减区间为（﹣1，1﹣2a ）
综上：当a ＞1时，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a ）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a ，﹣1）；
当a=1时，函数f （x ）的单调增区间为R ；
当a ＜1时，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a ，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a ）
（2）（Ⅰ）由a=﹣1得f （x ）=x ﹣x ﹣3x
令f ′（x ）=x﹣2x ﹣3=0得x 1=﹣1，x 2=3
23232
由（1）得f （x ）增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）， 所以函数f （x ）在处x 1=﹣1，x 2=3处取得极值，故M （﹣1，），N （3，﹣9） 观察f （x ）的图象，有如下现象：
①当m 从﹣1（不含﹣1）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线f （x ）在点P 处切线的斜率f （x ）之差Kmp ﹣f ′（m ）的值由正连续变为负、
②线段MP 与曲线是否有异于M ，P 的公共点与Kmp ﹣f ′（m ）的m 正负有着密切的关联； ③Kmp ﹣f ′（m ）=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp ﹣f ′（m ）的m 就是所求的t 最小值，下面给出证明并确定的t 最小值、曲线f （x ）在点P （m ，f （m ））处的切线斜
2率f ′（m ）=m﹣2m ﹣3；
线段MP 的斜率
Kmp=，
当Kmp ﹣f ′（m ）=0时，解得m=﹣1或m=2，
直线MP 的方程为y=（x+），
令g （x ）=f（x ）﹣（2x+）， 当m=2时，g ′（x ）=x﹣2x 在（﹣1，2）上只有一个零点x=0，可判断f （x ）函数在（﹣1，
0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，又g （﹣1）=g（2）=0，所以g （x ）在（﹣1，2）上没有零点，即线段MP 与曲线f （x ）没有异于M ，P 的公共点、
当m ∈（2，3]时，g （0）=﹣
2＞0， g （2）=﹣（m ﹣2）＜0，
所以存在δ∈（0，2]使得g （δ）=0，
即当m ∈（2，3]时，MP 与曲线f （x ）有异于M ，P 的公共点
综上，t 的最小值为2．
（Ⅱ）类似（1）于中的观察，可得m 的取值范围为（1，3]．
【点评】本题综合考查了函数导数的综合应用，本题是函数的综合题，综合考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的极值，以及存在性问题，有一定的难度，是一道很好的压轴题．
21．（14分）（2009•福建）（1）已知矩阵M
点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．
（2）已知直线l ：3x+4y﹣12=0与圆C ：（θ为参数 ）试判断他们的公共所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点个数；
（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．
【考点】直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；压轴题；转化思想．
【分析】（1）由矩阵的线性变换列出关于x 和y 的一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到点A 的坐标；可设出矩阵M 的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M 的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M 的逆矩阵；
（2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d 与半径r 比较大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的个数；
（3）分三种情况x 大于等于，x 大于等于0小于和x 小于0，分别化简绝对值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．
【解答】解：（1）由题意可知（x ，y ）=（13，5），即， 解得，所以A （2，﹣3）；
设矩阵M 的逆矩阵为，则•=，即， 且，解得a=﹣1，b=3，c=﹣1，d=2
所以矩阵M 的逆矩阵为；
22（2）把圆的参数方程化为普通方程得（x+1）+（y ﹣2）=4，圆心（﹣1，2），半径r=2
则圆心到已知直线的距离d=所以直线与圆的公共点有两个；
（3）当x ≥时，原不等式变为：2x ﹣1＜x+1，解得x ＜2，所以原不等式的解集为[，2）； =＜2=r，得到直线与圆的位置关系是相交，
当0≤x ＜时，原不等式变为：1﹣2x ＜x+1，解得x ＞0，所以原不等式的解集为（0，）； 当x ＜0时，原不等式变为：1﹣2x ＜﹣x+1，解得x ＞0，所以原不等式无解．
综上，原不等式的解集为[0，2）．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道综合题．
2009年福建省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2009•福建）函数f （x ）=sinxcosx的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．﹣ C ．
D ．1
【考点】三角函数的最值． 【专题】计算题．
【分析】利用倍角公式可把已知转化为f （x ）=sin2x 的形式，结合三角函数中正弦函数最小值取得的条件，求解该函数的最小值 【解答】解：∵f （x ）=sinxcosx=sin2x ． ∴当x=kπ﹣
，k ∈Z 时，f （x ）min =﹣．
答案B
【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式在三角化简中的运用，利用该公式，把已知化简成y=Asin（wx+∅）的形式，进一步考查函数的相关性质．
2．（5分）（2009•福建）已知全集U=R，集合A={x|x﹣2x ＞0}，则∁U A 等于（ ） A ．{x|0≤x ≤2} B ．{x|0＜x ＜2} C ．{x|x＜0或x ＞2} D ．{x|x≤0或x ≥2} 【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．
【分析】求出集合A 中不等式的解集，然后求出集合A 在R 上的补集即可．
2
【解答】解：∵x ﹣2x ＞0， ∴x （x ﹣2）＞0， ∴x ＞2或x ＜0，
∴A={x|x＞2或x ＜0}，
2
∁U A={x|0≤x ≤2}． 故选A
【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题．
3．（5分）（2009•福建）等差数列{an }的前n 项和为S n ，且S 3=6，a 3=4，则公差d 等于（ ） A ．1
B ．
C ．2
D ．3
【考点】等差数列的前n 项和． 【专题】计算题．
【分析】用等差数列的通项公式和前n 项和公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，解方程即可．
【解答】解：设{an }的公差为d ，首项为a 1，由题意得
，解得，
故选C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，熟练应用公式是解题的关键．
4．（5分）（2009•福建）
（1+cosx）dx 等于（ ）
A ．π B ．2 C ．π﹣2 D．π+2 【考点】定积分． 【专题】计算题．
b
【分析】由于F （x ）=x+sinx为f （x ）=1+cosx的一个原函数即F ′（x ）=f（x ），根据∫a f （x ）
b
dx=F（x ）|a 公式即可求出值．
【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，
∴（1+cosx）dx=（x+sinx）
=
+sin﹣=π+2．
故选D
【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．
5．（5分）（2009•福建）下列函数f （x ）中，满足“对任意x 1、x 2∈（0，+∞），当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2）的是（ ）
A ．f （x ）= B．f （x ）=（x ﹣1） C ．f （x ）=e D ．f （x ）=ln（x+1）
【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题．
【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断． 【解答】解：∵对任意x 1、x 2∈（0，+∞），当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2）， ∴函数在（0，+∞）上是减函数；
A 、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A 正确；
2x
B 、由于f （x ）=（x ﹣1），由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数， 在（1，+∞）上是增函数，故B 不对；
C 、由于e ＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C 不对； D 、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e ＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D 不对； 故选A ．
【点评】本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．
2
6．（5分）（2009•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【考点】循环结构．
【专题】阅读型；图表型．
【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S 与n 对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n 即可．
S 与n 对应变化如下表： 故选C
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
7．（5分）（2009•福建）设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A ．m ∥β且l ∥α B ．m ∥l 1且n ∥l 2 C．m ∥β且n ∥β D ．m ∥β且n ∥l 2
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．
【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案． 【解答】解：若m ∥l 1，n ∥l 2， m ．n ⊂α，l 1．l 2⊂β，l 1，l 2相交，
则可得α∥β．即B 答案是α∥β的充分条件，
若α∥β则m ∥l 1，n ∥l 2不一定成立，即B 答案是α∥β的不必要条件， 故m ∥l 1，n ∥l 2是α∥β的一个充分不必要条件， 故选B
【点评】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 8．（5分）（2009•福建）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15 【考点】模拟方法估计概率． 【专题】计算题．
【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393． 共5组随机数，
∴所求概率为==0.25．
故选B ．
【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
9．（5分）（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于 （ ） A ．以，为邻边的平行四边形的面积 B ．以，为两边的三角形面积 C ．，为两边的三角形面积
D ．以，为邻边的平行四边形的面积 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】利用向量的数量积公式表示出，有已知得到的夹角与夹角的关
系，利用三角函数的诱导公式和已知条件表示成面积公式得到选项．
的模及夹角形式，利用平行四边形的
【解答】解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos
＜，＞|=||•||•|cos（90°±θ）|=||•
||•sin θ，
即为以，为邻边的平行四边形的面积．
故选A ．
【点评】本题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．
10．（5分）（2009•福建）函数f （x ）=ax+bx+c（a ≠0）的图象关于直线
2
2
对称．据此
可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的解集都不可能是（ ）
A ．{1，2} B ．{1，4} C ．{1，2，3，4} D ．{1，4，16，64} 【考点】二次函数的性质． 【专题】计算题；压轴题．
22
【分析】根据函数f （x ）的对称性，因为m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的解应满足y 1=ax+bx+c，
2
y 2=ax+bx+c，
进而可得到方程m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的根，应关于对称轴x=个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D ． 【解答】解：∵f （x ）=ax+bx+c的对称轴为直线x=
2
2
2
对称，对于D 中4
令设方程m[f（x ）]+nf（x ）+p=0的解为f 1（x ），f 2（x ）
22
则必有f 1（x ）=y1=ax+bx+c，f 2（x ）=y2=ax+bx+c 那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x 轴的直线 它们与f （x ）有交点
由于对称性，则方程y 1=ax+bx+c的两个解x 1，x 2要关于直线x=也就是说x 1+x2=
2
2
对称
对称
同理方程y 2=ax+bx+c的两个解x 3，x 4也要关于直线x=那就得到x 3+x4=
，
在C 中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解 所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4} 而在D 中，{1，4，16，64}
找不到这样的组合使得对称轴一致， 也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和 故答案D 不可能 故选D ． 【点评】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）（2009•福建）若
=a+bi（i 为虚数单位，a ，b ∈R ），则a+b=
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件． 【专题】计算题．
【分析】把所给的等式左边的式子，分子和分母同乘以分母的共轭复数，变形为复数的标准代数形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a 和b 的值，得到结果． 【解答】解：∵∵
=a+bi
=
=
=1+i，
∴a+bi=1+i ∴a=b=1 ∴a+b=2． 故答案为：2
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数相等的充要条件，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目． 12．（4分）（2009•福建）某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a ）无法看清，若记分员计算无误，则数字a= 1 ．
【考点】茎叶图．
【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分88，余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于a 的方程，解方程即可． 【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分88后， 余下的7个数字的平均数是91，
∴636+a=91×7=637， ∴a=1
故答案为：1
【点评】本题通过茎叶图给出一组数据，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，这样的问题可以出现在选择题或填空题，本题是逆用平均数公式，考查最基本的知识点．
13．（4分）（2009•福建）过抛物线y =2px（p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p= 2 ． 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题．
【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y ，进而根据韦达定理表示出x 1+x2和x 1x 2，进而利用配方法求得|x1﹣x 2|，利用弦长公式表示出段AB 的长求得p ．
2
【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，
联立有，
∴x 1+x2=3p，x 1x 2=∴|x1﹣x 2
|=
=
又求得p=2
故答案为2
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．
14．（4分）（2009•福建）若曲线f （x ）=ax+lnx存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 {a|a＜0} ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于y 轴的切线，得到此时斜
2
率为0，问题转化为x ＞0范围内导函数=﹣2ax 与
存在零点，再将之转化为g （x ）
存在交点，讨论a 的正负进行判定即可．
．
【解答】解：由题意该函数的定义域x ＞0，由因为存在垂直于y 轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为x ＞0范围内导函数
存在零点．
再将之转化为g （x ）=﹣2ax 与存在交点．当a=0不符合题意，
当a ＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点， 当a ＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a ＜0． 故答案为：{a|a＜
0}
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题． 15．（4分）（2009•福建）五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 5 ． 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据题意可确定5位同学所报数值为斐波那契数列，然后可找到甲所报的数的规律，进而可转化为等差数列的知识来解题． 【解答】解：由题意可知：
（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，… （2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n 项均是3的倍数． （3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m ﹣4． （4）问题可化为求数列{4n}与{5m﹣4}的共同部分数，
易知，当m=4k，n=5k﹣1时，5m ﹣4=20k﹣4=4n，又1＜4n ≤100， ∴20k ﹣4＜100．∴k ≤5
∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手． 故答案为：5
【点评】本题主要考查斐波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用．
三、解答题（共6小题，满分80分） 16．（13分）（2009•福建）从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个． （Ⅰ）记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； （Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ 【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】常规题型．
【分析】（1）集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集有2﹣1个，等可能地取出一个有31种结果，而满足条件集合中的所有元素之和为10的通过列举有3个，根据古典概型公式得到结果．
（2）所取出的非空子集的元素个数为ξ，由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，类似于第一问得到各值对应的概率，写出分布列，算出期望． 【解答】解：记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A 基本事件数是C 5+C5+C5+C5+1=31
事件A 包含的事件是{1、4、5}，{2、3、5}，{1、2、3、4} ∴P （A ）=
，
1
2
3
4
5
（2）由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5， ξ的分布列是： 又P （ξ=1）=
=
，
P （ξ=2）==，
P （ξ=3）==
P （ξ=4）==
P （ξ=5）= ∴E ξ=1×
=
=
【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．本题还考到了集合的子集个数问题，一个含有n 个元
n
素的集合的子集个数是2． 17．（13分）（2009•福建）如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠OBA=75°，⊙O 的半径为1， 则OC 的长等
．
【考点】圆的切线的性质定理的证明． 【专题】计算题．
【分析】由OA=OB可以得到∠OBA 的度数，然后求出∠AOC ．设BC 的长为x ，再利用三角函数将AC 的长用含x 的代数式表示出来．在Rt △OAC 中，运用勾股定理可将BC 的长求出，进而可将OC 的长求出．
【解答】解：设BC 的长为x ，则OC 的长为1+x， ∵OA=OB，∠OBA=75°， ∴∠AOC=180°﹣75°×2=30°．
∴AC=sin∠AOC ×OC=（1+x）． 在Rt △OAC 中，OC =OA+AC 即（1+x）=1+（
∴x=﹣1+
2
2
2
2
2
）
2
（舍负值）．
． ．
∴OC=OB+BC=故答案为：
【点评】本题考查了圆的切线性质，勾股定理及解直角三角形的知识，关键是利用勾股定理列出方程． 18．（13分）（2009•福建）如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y=Asinωx （A ＞0，ω＞0）x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？
【考点】已知三角函数模型的应用问题．
【专题】综合题．
【分析】（1）由图得到A 及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的坐标，利用两点距离公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP ，MN ，求出折线段赛道MNP 的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
【解答】解：（1）因为图象的最高点为
所以A=，
由图知y=Asinϖx 的周期为T=12，又T=
所以M （4，3），P （8，0）
|MP|= ，所以ω=，所以
y=
（2）在△MNP 中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°） 由正弦定理得
所以NP=，MN=，
设使折线段赛道MNP 为L 则
L=
=
=
． 所以当角θ=30°时L 的最大值是
【点评】本题考查有图象得三角函数的性质，由性质求函数的解析式、考查两点距离公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函数的有界性．
19．（13分）（2009•福建）已知A ，B 分别为曲线C ：+y=1（y ≥0，a ＞0）与x 轴的左、2
右两个交点，直线l 过点B ，且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连接AS 交曲线C 于点T ．
（1）若曲线C 为半圆，点T 为圆弧的三等分点，试求出点S 的坐标；
（2）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ，使得O ，M ，S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题．
【分析】（1）先由曲线C 为半圆时得到a=1，再由点T 为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°，再对每一种情况下利用解三角的方法分别求点S 的坐标即可；
（II ）先把直线AS 的方程与曲线方程联立，求出点T 的坐标以及k BT ，进而求得k SM ；以及直线SM 的方程，再利用O 在直线SM 上即可求出a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）当曲线C 为半圆时，a=1，
由点T 为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°．┉┉（1分）
（1）当∠BOT=60°时，∠SAB=30°．
又AB=2，故在△SAE 中，有SB=AB•tan30°=，∴s （1，
）， ）；┉┉（3分） （2）当∠BOT=120°时，同理可求得点S 的坐标为（1，2
综上，s （1，）或s （1，2）．┉┉（5分）
（Ⅱ）假设存在a ，使得O ，M ，S 三点共线．
由于点M 在以SB 为直径的圆上，故SM ⊥BT ．
显然，直线AS 的斜率k 存在且K ＞0，可设直线AS 的方程为y=k（x+a） 22232422由⇒（1+ak ）x +2ak x+ak ﹣a =0．
设点T （x T ，y T ），则有，
故x T =⇒，故T （，） 又B （a ，0）∴k BT ==﹣，k SM =ak ． 2
由⇒S （a ，2ak ），所直线SM 的方程为y ﹣2ak=ak （x ﹣a ） 2
O ，S ，M 三点共线当且仅当O 在直线SM 上，即2ak=aka ．
又a ＞0，k ＞0⇒a=，
故存在a=，使得O ，M ，S 三点共线．
【点评】本题主要考查直线和圆相切，直线的方程，三点共线和圆的几何性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．
20．（14分）（2009•福建）已知函数f （x ）=x +ax+bx，且f ′（﹣1）=0．
（1）试用含a 的代数式表示b ，并求f （x ）的单调区间；
（2）令a=﹣1，设函数f （x ）在x 1，x 2（x 1＜x 2）处取得极值，记点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2）），P （m ，f （m ）），x 1＜m ＜x 2，请仔细观察曲线f （x ）在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的t ∈（x 1，x 2），线段MP 与曲线f （x ）均有异于M ，P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点Q （n ，f （n ）），x ≤n ＜m ，使得线段PQ 与曲线f （x ）有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）欲求：“f （x ）的单调区间”，对于三次函数而言，利用导数解决，本题还得对字母a 进行讨论；
（2）存在性问题，结合观察f （x ）的图象，帮助分析问题．
2【解答】解：（1）依题意，得f ′（x ）=x+2ax+b，
由f ′（﹣1）=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1 232
从而f （x ）=x +ax+（2a ﹣1）x ，
故f ′（x ）=（x+1）（x+2a﹣1）
令f ′（x ）=0，得x=﹣1或x=1﹣2a
①当a ＞1时，1﹣2a ＜﹣1
当x 变化时，根据f ′（x ）与f （x ）的变化情况得，
函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a ）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a ，﹣1） ②当a=1时，1﹣2a=﹣1，此时有f ′（x ）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f ′（x ）=0，故函数f （x ）的单调增区间为R 、
③当a ＜1时，1﹣2a ＞﹣1，同理可得，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a ，+∞），
单调减区间为（﹣1，1﹣2a ）
综上：当a ＞1时，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a ）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a ，﹣1）；
当a=1时，函数f （x ）的单调增区间为R ；
当a ＜1时，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a ，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a ）
（2）（Ⅰ）由a=﹣1得f （x ）=x ﹣x ﹣3x
令f ′（x ）=x﹣2x ﹣3=0得x 1=﹣1，x 2=3
23232
由（1）得f （x ）增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）， 所以函数f （x ）在处x 1=﹣1，x 2=3处取得极值，故M （﹣1，），N （3，﹣9） 观察f （x ）的图象，有如下现象：
①当m 从﹣1（不含﹣1）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线f （x ）在点P 处切线的斜率f （x ）之差Kmp ﹣f ′（m ）的值由正连续变为负、
②线段MP 与曲线是否有异于M ，P 的公共点与Kmp ﹣f ′（m ）的m 正负有着密切的关联； ③Kmp ﹣f ′（m ）=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp ﹣f ′（m ）的m 就是所求的t 最小值，下面给出证明并确定的t 最小值、曲线f （x ）在点P （m ，f （m ））处的切线斜
2率f ′（m ）=m﹣2m ﹣3；
线段MP 的斜率
Kmp=，
当Kmp ﹣f ′（m ）=0时，解得m=﹣1或m=2，
直线MP 的方程为y=（x+），
令g （x ）=f（x ）﹣（2x+）， 当m=2时，g ′（x ）=x﹣2x 在（﹣1，2）上只有一个零点x=0，可判断f （x ）函数在（﹣1，
0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，又g （﹣1）=g（2）=0，所以g （x ）在（﹣1，2）上没有零点，即线段MP 与曲线f （x ）没有异于M ，P 的公共点、
当m ∈（2，3]时，g （0）=﹣
2＞0， g （2）=﹣（m ﹣2）＜0，
所以存在δ∈（0，2]使得g （δ）=0，
即当m ∈（2，3]时，MP 与曲线f （x ）有异于M ，P 的公共点
综上，t 的最小值为2．
（Ⅱ）类似（1）于中的观察，可得m 的取值范围为（1，3]．
【点评】本题综合考查了函数导数的综合应用，本题是函数的综合题，综合考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的极值，以及存在性问题，有一定的难度，是一道很好的压轴题．
21．（14分）（2009•福建）（1）已知矩阵M
点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．
（2）已知直线l ：3x+4y﹣12=0与圆C ：（θ为参数 ）试判断他们的公共所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点个数；
（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．
【考点】直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；压轴题；转化思想．
【分析】（1）由矩阵的线性变换列出关于x 和y 的一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到点A 的坐标；可设出矩阵M 的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M 的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M 的逆矩阵；
（2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d 与半径r 比较大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的个数；
（3）分三种情况x 大于等于，x 大于等于0小于和x 小于0，分别化简绝对值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．
【解答】解：（1）由题意可知（x ，y ）=（13，5），即， 解得，所以A （2，﹣3）；
设矩阵M 的逆矩阵为，则•=，即， 且，解得a=﹣1，b=3，c=﹣1，d=2
所以矩阵M 的逆矩阵为；
22（2）把圆的参数方程化为普通方程得（x+1）+（y ﹣2）=4，圆心（﹣1，2），半径r=2
则圆心到已知直线的距离d=所以直线与圆的公共点有两个；
（3）当x ≥时，原不等式变为：2x ﹣1＜x+1，解得x ＜2，所以原不等式的解集为[，2）； =＜2=r，得到直线与圆的位置关系是相交，
当0≤x ＜时，原不等式变为：1﹣2x ＜x+1，解得x ＞0，所以原不等式的解集为（0，）； 当x ＜0时，原不等式变为：1﹣2x ＜﹣x+1，解得x ＞0，所以原不等式无解．
综上，原不等式的解集为[0，2）．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道综合题．