直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线相交的弦长公式

①AB =

②AB =+k 2⋅x 2-x 1=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]

③AB =y 2-y 1一、已知双曲线方程和直线方程求弦长

y 2π

=1的左焦点F 1,作倾斜角为的弦AB ,求AB ;⑵∆F 2AB 的面积(F 2为例1、 过双曲线x -

63

2

双曲线的右焦点)。

y 2

=1截得的弦长; 1、求直线y =x +1被双曲线x -4

2

2、过双曲线16x -9y =144的右焦点作倾斜角为

2

2

π

的弦AB ,求弦长AB ; 3

x 2y 2

-=1截得的弦长为2,求直线L 的方程; 3、已知斜率为2的直线L 被双曲线54

4、过双曲线x 2-y 2=1的左焦点F 2,作倾斜角为(1)弦长AB

(2)△∆F 1AB 的周长(F 2为双曲线的右焦点)

二、已知弦长求双曲线方程

5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ,到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线y =x -2被双曲线截得的弦长为2,求此双曲线的标准方程.

6、已知倾斜角为

π

的直线与双曲线相交于A , B 两点,求: 3

π22

的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82,求直线l 的方程. 4

例2、 已知双曲线方程为3x -y =3,求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程.

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标,而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解.此时,若已知点在双曲线的内部,则中点弦一定存在,所求出的直线可不检验,若已知点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而对所求直线必须进行检验,以免增解,若用待定系数法时,只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可. 例3、 双曲线方程为3x -y =3.

问:以定点B(1,1)为中点的弦存在吗?若存在,求出其所在直线的方程;若不存在,请说明理由.

2

2

22

7、已知中心在原点,顶点A 1, A 2在x

轴上,离心率为(Ⅰ)求双曲线的方程;

的双曲线经过点P (6,6) 3

(Ⅱ)动直线l 经过∆A 1PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点M , N ,问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。

题型三:

x 22

9、设双曲线C :2-y =1(a >0)与直线l :x +y =1相交于不同的点A 、B.

a

⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围; ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ,且=

x 22

解:(1)将y =-x +1代入双曲线y =1中得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0 ① 由题设条件知,

a

2

⎧⎪1-a ≠0⎨4

22

⎪4a +8a -a ⎩

5

,求a 的值。 12

1+a ,解得0

6

且e≠2. 2

1, a ∵2且a≠1,∴

→→

555

(2)设A(x1,y 1) ,B(x2,y 2) ,P(0,1). ∵PA , ∴(x1,y 1-1) =2,y 2-1) .∴x 1=x 2,

121212172a 2522a 2

∵x 1、x 2是方程①的两根,且1-a ≠0, ∴x 2x =-

121-a 1221-a 2

2a 228917

消去x 2得,- ∵a>0,∴a =. =60131-a

10. 已知双曲线的焦点为F 1(-c , 0),F 2(c , 0),过F 2且斜率为,PQ =4,求双曲线方程。 OP ⊥OQ (其中O 为原点)

11. 双曲线的中心为原点O ,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为l 1,l 2,经过右焦点F 垂直于l 1的直线分

3

的直线交双曲线于P 、Q 两点,若5

AB OB 成等差数列,且BF 与FA 同向. 别交l 1,l 2于A ,B 两点.已知OA (Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

解:(Ⅰ)设OA =m -d ,AB =m ,OB =m +d 由勾股定理可得:(m -d ) +m =(m +d )

2

2

2

1b AB 4

m ,tan ∠AOF =,tan ∠AOB =tan 2∠AOF == 4a OA 3

b 2

=4,解得b =1,

则离心率e = 由倍角公式∴2

a 23⎛b ⎫

1- ⎪⎝a ⎭

x 2y 2a

(Ⅱ)过F 直线方程为y =-(x -c ) , 与双曲线方程2-2=1联立,将a =

2b ,c =代入,

b a b

得:d =

152化简有2x -

x +21=0

4=1-x 2=4b b x 2y 2解得b =3 故所求的双曲线方程为-=1。 将数值代入,有4=369x 2y 2

12、已知双曲线1(b >a >0),O 为坐标原点,离心率e =2,点M (5,3) 在双曲线上.

a b 11

(1) 求双曲线的方程;(2) 若直线l 与双曲线交于P ,Q 两点,且⋅=0. 求 |OP ||OQ |

2

2

2

2

x 2y 2

解: (1)∵e =2,∴c =2a ,b =c -a =3a -1,即3x 2-y 2=3a 2.

a 3a

∵点M (,在双曲线上,∴15-3=3a 2. ∴a 2=4. x 2y 2

∴所求双曲线的方程为=1.

412

x 2y 2

(2)设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0) ,联立=1,得

412

12⎧2

x =⎪12(k 2+1)1⎪3-k 2222

∴|OP |=x +y = 则OQ 的方程为y =-, ⎨2k 3-k

⎪y 2=12k ⎪3-k 2⎩

1⎫⎛

12 1+2⎪2

3-k 2+(3k 2-1)2+2k 2111k ⎭12(k +1)⎝2

同理有|OQ |==, +=|OP ||OQ |3k -112(k +1)12(k +1)63-2

k

13.(2012上海) 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1.

(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;

(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1. 若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.

⎛x 2⎫

-y 2=1,左顶点

A -解:(1)双曲线C 1:

2⎪⎪,渐近线方程为:y =2x . ⎝⎭

2

过点A 与渐近线y =2x

平行的直线方程为y =

x +,即y =2x +1.

2⎭⎧y =⎪⎧12⎪⎪y =. ∴解方程组⎨,得⎨所求三角形的面积为S =|OA ||y |=.

281y =+1⎪⎪⎩

y =

⎪⎩2

|b |

(2)证明:设直线PQ 的方程是y =x +b ,∵直线PQ =1,即b 2=2.

由⎨

⎧y =x +b ⎩2x -y =1

2

2

得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1) 、Q (x 2,y 2) ,则⎨

⎧x 1+x 2=2b ⎩x 1x 2=-1-b

2

又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ) ,

∴OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2) +b 2=2(-1-b 2) +2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ . (3)证明:当直线ON 垂直于x 轴时,|ON |=1,|OM |23

,则O 到直线MN 的距离为23

当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为y =kx (

显然k >

) , 2

1⎧2

x =⎪⎧y =kx 1⎪4+k 2

则直线OM 的方程为y =-. 由⎨2得⎨ 22k

⎩4x +y =1⎪y 2=k

⎪4+k 2⎩

1+k 21+k 22

∴|ON |=. 同理|OM |=. 设O 到直线MN 的距离为d .

4+k 2k -1

2

3k 2+31113

∵(|OM |+|ON |) d =|OM ||ON |, =3,即d =. =d |OM ||ON |3k +1

2

2

2

2

2

综上,O 到直线MN 的距离是定值.

五、能力提升

1.若不论k 为何值,直线y=k(x-2)+b与双曲线x -y =1总有公共点,则b 的取值范围是( ) (A) -3, 3 (B)[-3, 3] (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]

2

2

()

y 2

=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、2.过双曲线x -B 两点,若|AB|=4,则这样的直线l 有( ) 2

2

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

x 2y 2b ⎫⎛

3.过点P -1, -⎪的直线l 与双曲线2-2=1(a >0, b >0)有且仅有一个公共点,且这个公共点恰

a b a ⎭⎝

是双曲线的左顶点,则双曲线的实轴长等于( )

(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4

x 2y 2

4. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为45 的直线与双曲线的右支

a b

有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

(A) (1,2] (B)(1,2) (C) [2,+∞) (D) (2,+∞)

6.直线l :y =kx +2与双曲线C :x -y =6的右支交于不同两点,则k 的取值范围是 7. 已知倾斜角为

2

2

π22

的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82,求直线l 的方程.

4

x 2y 2

8. 设直线l :y =3x -1与双曲线于2-2=1(a >0, b >0)相交于A 、B 两点,且弦AB 中点的横坐标

a b

1

. 2

a 2

(1)求2的值;(2)求双曲线离心率.

b

x 2y 2

9. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的离心率e >1+2,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,

a b

l d 与PF 2的等比中项? 能否在双曲线的左支上找到一点P ,使得PF 1是P 到的距离

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线相交的弦长公式

①AB =

②AB =+k 2⋅x 2-x 1=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]

③AB =y 2-y 1一、已知双曲线方程和直线方程求弦长

y 2π

=1的左焦点F 1,作倾斜角为的弦AB ,求AB ;⑵∆F 2AB 的面积(F 2为例1、 过双曲线x -

63

2

双曲线的右焦点)。

y 2

=1截得的弦长; 1、求直线y =x +1被双曲线x -4

2

2、过双曲线16x -9y =144的右焦点作倾斜角为

2

2

π

的弦AB ,求弦长AB ; 3

x 2y 2

-=1截得的弦长为2,求直线L 的方程; 3、已知斜率为2的直线L 被双曲线54

4、过双曲线x 2-y 2=1的左焦点F 2,作倾斜角为(1)弦长AB

(2)△∆F 1AB 的周长(F 2为双曲线的右焦点)

二、已知弦长求双曲线方程

5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ,到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线y =x -2被双曲线截得的弦长为2,求此双曲线的标准方程.

6、已知倾斜角为

π

的直线与双曲线相交于A , B 两点,求: 3

π22

的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82,求直线l 的方程. 4

例2、 已知双曲线方程为3x -y =3,求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程.

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标,而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解.此时,若已知点在双曲线的内部,则中点弦一定存在,所求出的直线可不检验,若已知点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而对所求直线必须进行检验,以免增解,若用待定系数法时,只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可. 例3、 双曲线方程为3x -y =3.

问:以定点B(1,1)为中点的弦存在吗?若存在,求出其所在直线的方程;若不存在,请说明理由.

2

2

22

7、已知中心在原点,顶点A 1, A 2在x

轴上,离心率为(Ⅰ)求双曲线的方程;

的双曲线经过点P (6,6) 3

(Ⅱ)动直线l 经过∆A 1PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点M , N ,问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。

题型三:

x 22

9、设双曲线C :2-y =1(a >0)与直线l :x +y =1相交于不同的点A 、B.

a

⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围; ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ,且=

x 22

解:(1)将y =-x +1代入双曲线y =1中得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0 ① 由题设条件知,

a

2

⎧⎪1-a ≠0⎨4

22

⎪4a +8a -a ⎩

5

,求a 的值。 12

1+a ,解得0

6

且e≠2. 2

1, a ∵2且a≠1,∴

→→

555

(2)设A(x1,y 1) ,B(x2,y 2) ,P(0,1). ∵PA , ∴(x1,y 1-1) =2,y 2-1) .∴x 1=x 2,

121212172a 2522a 2

∵x 1、x 2是方程①的两根,且1-a ≠0, ∴x 2x =-

121-a 1221-a 2

2a 228917

消去x 2得,- ∵a>0,∴a =. =60131-a

10. 已知双曲线的焦点为F 1(-c , 0),F 2(c , 0),过F 2且斜率为,PQ =4,求双曲线方程。 OP ⊥OQ (其中O 为原点)

11. 双曲线的中心为原点O ,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为l 1,l 2,经过右焦点F 垂直于l 1的直线分

3

的直线交双曲线于P 、Q 两点,若5

AB OB 成等差数列,且BF 与FA 同向. 别交l 1,l 2于A ,B 两点.已知OA (Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

解:(Ⅰ)设OA =m -d ,AB =m ,OB =m +d 由勾股定理可得:(m -d ) +m =(m +d )

2

2

2

1b AB 4

m ,tan ∠AOF =,tan ∠AOB =tan 2∠AOF == 4a OA 3

b 2

=4,解得b =1,

则离心率e = 由倍角公式∴2

a 23⎛b ⎫

1- ⎪⎝a ⎭

x 2y 2a

(Ⅱ)过F 直线方程为y =-(x -c ) , 与双曲线方程2-2=1联立,将a =

2b ,c =代入,

b a b

得:d =

152化简有2x -

x +21=0

4=1-x 2=4b b x 2y 2解得b =3 故所求的双曲线方程为-=1。 将数值代入,有4=369x 2y 2

12、已知双曲线1(b >a >0),O 为坐标原点,离心率e =2,点M (5,3) 在双曲线上.

a b 11

(1) 求双曲线的方程;(2) 若直线l 与双曲线交于P ,Q 两点,且⋅=0. 求 |OP ||OQ |

2

2

2

2

x 2y 2

解: (1)∵e =2,∴c =2a ,b =c -a =3a -1,即3x 2-y 2=3a 2.

a 3a

∵点M (,在双曲线上,∴15-3=3a 2. ∴a 2=4. x 2y 2

∴所求双曲线的方程为=1.

412

x 2y 2

(2)设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0) ,联立=1,得

412

12⎧2

x =⎪12(k 2+1)1⎪3-k 2222

∴|OP |=x +y = 则OQ 的方程为y =-, ⎨2k 3-k

⎪y 2=12k ⎪3-k 2⎩

1⎫⎛

12 1+2⎪2

3-k 2+(3k 2-1)2+2k 2111k ⎭12(k +1)⎝2

同理有|OQ |==, +=|OP ||OQ |3k -112(k +1)12(k +1)63-2

k

13.(2012上海) 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1.

(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;

(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1. 若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.

⎛x 2⎫

-y 2=1,左顶点

A -解:(1)双曲线C 1:

2⎪⎪,渐近线方程为:y =2x . ⎝⎭

2

过点A 与渐近线y =2x

平行的直线方程为y =

x +,即y =2x +1.

2⎭⎧y =⎪⎧12⎪⎪y =. ∴解方程组⎨,得⎨所求三角形的面积为S =|OA ||y |=.

281y =+1⎪⎪⎩

y =

⎪⎩2

|b |

(2)证明:设直线PQ 的方程是y =x +b ,∵直线PQ =1,即b 2=2.

由⎨

⎧y =x +b ⎩2x -y =1

2

2

得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1) 、Q (x 2,y 2) ,则⎨

⎧x 1+x 2=2b ⎩x 1x 2=-1-b

2

又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ) ,

∴OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2) +b 2=2(-1-b 2) +2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ . (3)证明:当直线ON 垂直于x 轴时,|ON |=1,|OM |23

,则O 到直线MN 的距离为23

当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为y =kx (

显然k >

) , 2

1⎧2

x =⎪⎧y =kx 1⎪4+k 2

则直线OM 的方程为y =-. 由⎨2得⎨ 22k

⎩4x +y =1⎪y 2=k

⎪4+k 2⎩

1+k 21+k 22

∴|ON |=. 同理|OM |=. 设O 到直线MN 的距离为d .

4+k 2k -1

2

3k 2+31113

∵(|OM |+|ON |) d =|OM ||ON |, =3,即d =. =d |OM ||ON |3k +1

2

2

2

2

2

综上,O 到直线MN 的距离是定值.

五、能力提升

1.若不论k 为何值,直线y=k(x-2)+b与双曲线x -y =1总有公共点,则b 的取值范围是( ) (A) -3, 3 (B)[-3, 3] (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]

2

2

()

y 2

=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、2.过双曲线x -B 两点,若|AB|=4,则这样的直线l 有( ) 2

2

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

x 2y 2b ⎫⎛

3.过点P -1, -⎪的直线l 与双曲线2-2=1(a >0, b >0)有且仅有一个公共点,且这个公共点恰

a b a ⎭⎝

是双曲线的左顶点,则双曲线的实轴长等于( )

(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4

x 2y 2

4. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为45 的直线与双曲线的右支

a b

有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

(A) (1,2] (B)(1,2) (C) [2,+∞) (D) (2,+∞)

6.直线l :y =kx +2与双曲线C :x -y =6的右支交于不同两点,则k 的取值范围是 7. 已知倾斜角为

2

2

π22

的直线l 被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82,求直线l 的方程.

4

x 2y 2

8. 设直线l :y =3x -1与双曲线于2-2=1(a >0, b >0)相交于A 、B 两点,且弦AB 中点的横坐标

a b

1

. 2

a 2

(1)求2的值;(2)求双曲线离心率.

b

x 2y 2

9. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的离心率e >1+2,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,

a b

l d 与PF 2的等比中项? 能否在双曲线的左支上找到一点P ,使得PF 1是P 到的距离


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