圆锥曲线
1.圆锥曲线的定义:
(1)定义中要重视“括号”内的限制条件:
椭圆中,平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数
x2y25
如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有
942
公共焦点,则该双曲线的方程_______;
(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e
2a,且此常数2a一定要大于F1F2
轨迹是线段F1F2,当常数小于
,当常数等于
F1F2
时,
2的双曲线C过点P(4,),则C的方程为
F1F2
时,无轨迹;
双曲线中,平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|且大于0,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一
支。
抛物线定义中,定点和定直线是焦点和准线,要注意定点不在定直线上,否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.
如①已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A.PF 1PF24
B.PF 1PF26C.
_______
(3)抛物线:
y22px(p0), 2
开口向左时y2px(p0),
2
开口向上时x2py(p0),
2
开口向下时x2py(p0)。
开口向右时
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由x
2
,
y
2
分母的大小决定,焦点在分母大
y
的坐标轴上。如已知方程
x2y2
1表示焦点在
m12m
,
轴上的椭圆,则m的取值范围是__
(2)双曲线:由x
2
PF1PF2
2
10
2
y
2
项系数的正负决定,焦点在系
D.PF1②
方程
PF2
12;
8表示的曲
数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数
线是_____
(2)抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系,要善于运用定义对它们进行相互转化。 如抛物线y
2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则
线段AB的中点到y轴的距离为______;
x2
已知点Q(22,0)及抛物线y
4
上一动点P(x,y),
2
a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定
形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,a
2
b2c2,在双曲线中,c最大,
c2a2b2。
4.圆锥曲线的几何性质:
则y+|PQ|的最小值是_____
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
x2y2
(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)
ab
xacos,焦点在y轴ybsin(参数方程,其中为参数)
y2x2
上时22
ab
=1(a22
b0)。方程AxByC表
示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A
≠B)。
x2y2
如(1)已知方程1表示椭圆,则k
3k2k
取值范围为____;
x2y2
(1)椭圆(以221(ab0)为例):①
ab
范围:axa,byb;②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;
c
⑤离心率:e,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;
a
e越大,椭圆越扁。
x2y2如(1)若椭圆,则m的1的离心率e
5m5
值是__;
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__
的
22
(2)若x,yR,且3x2y6,则xy的最大
值是____,x
2
y2的最小值是___
x2y2
(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y
ab
y2x222
22=1(a0,b0)。方程AxByC
ab
表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。
x2y2
21(a0,b0)为例)(2)双曲线(以:2ab
①范围:xa或xa,yR;②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④准线:两条准线
ca2
x; ⑤离心率:e,双曲线e1ac
曲线
ee越小,开口越小,e越大,开口越大;
b
⑥两条渐近线:yx。
a
如(1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线
的离心率等于______;
(2)双曲线ax
2
0直线与椭圆相离;0直
线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。
(3)相离:
特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
x2y2
(2)过双曲线22
ab
=1外一点P(x0,y0)的直线与
by2
1a:bx2y2
(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈
ab
[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________;
2
(3)抛物线(以y2px(p0)为例):①范围:
p
x0,yR;②焦点:一个焦点(,0),其中p的几何意
2
义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没
p
有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x;
2
c
⑤离心率:e,抛物线e1。如设a0,aR,
a2
则抛物线y4ax的焦点坐标为________;
x2y2
5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的
ab
关系:
22
x0y0
(1)点P(x0,y0)在椭圆外221;
ab22x0y0
(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;
ab22x0y0
(3)点P(x0,y0)在椭圆内221
ab
双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间
且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y点,这样的直线有______;
2
8x只有一个公共
y2
(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于
2
A、B两点,若AB4,则满足条件的直线l有____条
2
4x,我们称满足y024x0
的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是
(4)对于抛物线C:y
2
_______;
(5)过抛物线y
2
4x的焦点F
作一直线交抛物线于P、
Q两点,若线段PF与FQ的长分别是
p
、
q
,则
11
_______; pq
(7)求椭圆
7x24y228上的点到直线
3x2y160的最短距离;
yax1与双曲线3x2y21交于A、B
两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②
(8)直线
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
0直线与椭圆相交; 0直
线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直
(1)相交:
线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故
当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条
件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充
分条件,但不是必要条件。
22
如(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______;
(2)直线y―kx―1=0与椭圆则m的取值范围是_______;
P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别
x2y2
S,则在椭圆221为r焦点F1,r2,1PF2的面积为
ab
2b2
中, ①=1),且当r1r2即P为短轴端
r1r2
点时,②S
xy1恒有公共点,5m
22
最大为
ma=x
b2c2
arccos
a2
;
b2tan
2
x2y2
1的右焦点直线交双曲线于A、(3)过双曲线12
B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条;
c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,
x2y2
Smax的最大值为bc;对于双曲线221的焦点三角形
ab
0直线与椭圆相切;0直
线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;
(2)相切:
有:①
2b2
arccos1rr
12
;
b2x0k=2
ay0
;在抛物线
y22px(p0)中,以P(x0,y0)为
py0
。
12
②Sr1r2sinbcot。
22
如(1)短轴长为
中点的弦所在直线的斜率k=
,离心率e
2
的椭圆的两焦点为3
F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周
长为________
x2y2
1弦被点如(1)如果椭圆
369
那么这条弦所在的直线方程是 ;
A(4,2)平分,
x2y2
1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上(3)椭圆94
→→
的动点,当PF2 ·PF1
x2y2
(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)
ab
相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,
则此椭圆的离心率为(答:(; )x2y2
试确定m的取值范围,使得椭圆551上有
(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=
6
2
43
,F1、F2是它
不同的两点关于直线
的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且
; y4xm对称(答:
特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必
AB是AF2
与
BF2
等差中项,则
AB=__________
要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验
0!
12.你了解下列结论吗?
2222yyxx(1)双曲线21的渐近线方程为220; 2
abab
22
byx(2)以yx为渐近线(即与双曲线21共2aab
22
yx渐近线)的双曲线方程为(为参数,≠0)。22
ab
(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F1PF2
60,SPF1F23.求
该双曲线的标准方程;
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则
PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,22
xy反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,2)916三点共线。
的双曲线方程为_______ 10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可
A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB
=22
设为mxny1;
1x2
=
,若
y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB
,若弦AB所在直线方程设为
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)
1
y1y22k
2b2为
a
,抛物线的通径为2p,焦准距为p;
xkyb,则AB
1y2
。特别地,焦点弦
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(双
曲线除外)
(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______;
(2)过抛物线
y22px(p0)的焦点弦为AB,
A(x1,y1),B(x2,y2),则①|AB|x1x2p;
(6)若抛物线
y22x焦点的直线交抛物线于A、B两
p2
,y1y2p2 ②x1x24
点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______;
11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达
y22px(p0)顶点O的
两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)
(7)若OA、OB是过抛物线
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量u(2)给出与
xy
定理”或“点差法”求解。在椭圆221中,以
ab
b2x0
P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;在双曲
ay0x2y2
线221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率ab
22
1,k或um,n;
AB相交,等于已知过
(3)给出0,等于已知P是MN的中点; (5) 给出以下情形之一:①//;②存在实数
,使;③若存在实数
,,且1,使OCOAOB,等于已知
AB
的中点;
A,B,C三点共线.
MAMB0,等于已知MAMB,即
AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知
(7) 给出
AMB是锐角,
(8)
给出,等于已知MP是
AMB的平分线/
(9)在平行四边形ABCD中,给出()()0,等于已知ABCD是菱形;
(10) 在平行四边形ABCD中,给出
ABCD是矩形; |ABAD||AB,等于已知A|D
(11)在ABC中,给出OA
2
OBOC
22
,等于
已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外
心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12) 在ABC中,给出,等
给
出
于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(
13
)
在
ABC
中,
,等于已知O是ABC
的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
ABC在中,给出
ABAC)(R)等于已知(|AB||AC|
通过ABC的内心;
1
ABAC,等于(16) 在ABC中,给出AD2
已知AD是ABC中BC边的中线;
(
14
)
圆锥曲线
1.圆锥曲线的定义:
(1)定义中要重视“括号”内的限制条件:
椭圆中,平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数
x2y25
如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有
942
公共焦点,则该双曲线的方程_______;
(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e
2a,且此常数2a一定要大于F1F2
轨迹是线段F1F2,当常数小于
,当常数等于
F1F2
时,
2的双曲线C过点P(4,),则C的方程为
F1F2
时,无轨迹;
双曲线中,平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|且大于0,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一
支。
抛物线定义中,定点和定直线是焦点和准线,要注意定点不在定直线上,否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.
如①已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A.PF 1PF24
B.PF 1PF26C.
_______
(3)抛物线:
y22px(p0), 2
开口向左时y2px(p0),
2
开口向上时x2py(p0),
2
开口向下时x2py(p0)。
开口向右时
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由x
2
,
y
2
分母的大小决定,焦点在分母大
y
的坐标轴上。如已知方程
x2y2
1表示焦点在
m12m
,
轴上的椭圆,则m的取值范围是__
(2)双曲线:由x
2
PF1PF2
2
10
2
y
2
项系数的正负决定,焦点在系
D.PF1②
方程
PF2
12;
8表示的曲
数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数
线是_____
(2)抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系,要善于运用定义对它们进行相互转化。 如抛物线y
2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则
线段AB的中点到y轴的距离为______;
x2
已知点Q(22,0)及抛物线y
4
上一动点P(x,y),
2
a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定
形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,a
2
b2c2,在双曲线中,c最大,
c2a2b2。
4.圆锥曲线的几何性质:
则y+|PQ|的最小值是_____
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
x2y2
(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)
ab
xacos,焦点在y轴ybsin(参数方程,其中为参数)
y2x2
上时22
ab
=1(a22
b0)。方程AxByC表
示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A
≠B)。
x2y2
如(1)已知方程1表示椭圆,则k
3k2k
取值范围为____;
x2y2
(1)椭圆(以221(ab0)为例):①
ab
范围:axa,byb;②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;
c
⑤离心率:e,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;
a
e越大,椭圆越扁。
x2y2如(1)若椭圆,则m的1的离心率e
5m5
值是__;
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__
的
22
(2)若x,yR,且3x2y6,则xy的最大
值是____,x
2
y2的最小值是___
x2y2
(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y
ab
y2x222
22=1(a0,b0)。方程AxByC
ab
表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。
x2y2
21(a0,b0)为例)(2)双曲线(以:2ab
①范围:xa或xa,yR;②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④准线:两条准线
ca2
x; ⑤离心率:e,双曲线e1ac
曲线
ee越小,开口越小,e越大,开口越大;
b
⑥两条渐近线:yx。
a
如(1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线
的离心率等于______;
(2)双曲线ax
2
0直线与椭圆相离;0直
线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。
(3)相离:
特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
x2y2
(2)过双曲线22
ab
=1外一点P(x0,y0)的直线与
by2
1a:bx2y2
(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈
ab
[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________;
2
(3)抛物线(以y2px(p0)为例):①范围:
p
x0,yR;②焦点:一个焦点(,0),其中p的几何意
2
义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没
p
有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x;
2
c
⑤离心率:e,抛物线e1。如设a0,aR,
a2
则抛物线y4ax的焦点坐标为________;
x2y2
5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的
ab
关系:
22
x0y0
(1)点P(x0,y0)在椭圆外221;
ab22x0y0
(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;
ab22x0y0
(3)点P(x0,y0)在椭圆内221
ab
双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间
且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y点,这样的直线有______;
2
8x只有一个公共
y2
(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于
2
A、B两点,若AB4,则满足条件的直线l有____条
2
4x,我们称满足y024x0
的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是
(4)对于抛物线C:y
2
_______;
(5)过抛物线y
2
4x的焦点F
作一直线交抛物线于P、
Q两点,若线段PF与FQ的长分别是
p
、
q
,则
11
_______; pq
(7)求椭圆
7x24y228上的点到直线
3x2y160的最短距离;
yax1与双曲线3x2y21交于A、B
两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②
(8)直线
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
0直线与椭圆相交; 0直
线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直
(1)相交:
线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故
当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条
件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充
分条件,但不是必要条件。
22
如(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______;
(2)直线y―kx―1=0与椭圆则m的取值范围是_______;
P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别
x2y2
S,则在椭圆221为r焦点F1,r2,1PF2的面积为
ab
2b2
中, ①=1),且当r1r2即P为短轴端
r1r2
点时,②S
xy1恒有公共点,5m
22
最大为
ma=x
b2c2
arccos
a2
;
b2tan
2
x2y2
1的右焦点直线交双曲线于A、(3)过双曲线12
B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条;
c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,
x2y2
Smax的最大值为bc;对于双曲线221的焦点三角形
ab
0直线与椭圆相切;0直
线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;
(2)相切:
有:①
2b2
arccos1rr
12
;
b2x0k=2
ay0
;在抛物线
y22px(p0)中,以P(x0,y0)为
py0
。
12
②Sr1r2sinbcot。
22
如(1)短轴长为
中点的弦所在直线的斜率k=
,离心率e
2
的椭圆的两焦点为3
F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周
长为________
x2y2
1弦被点如(1)如果椭圆
369
那么这条弦所在的直线方程是 ;
A(4,2)平分,
x2y2
1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上(3)椭圆94
→→
的动点,当PF2 ·PF1
x2y2
(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)
ab
相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,
则此椭圆的离心率为(答:(; )x2y2
试确定m的取值范围,使得椭圆551上有
(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=
6
2
43
,F1、F2是它
不同的两点关于直线
的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且
; y4xm对称(答:
特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必
AB是AF2
与
BF2
等差中项,则
AB=__________
要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验
0!
12.你了解下列结论吗?
2222yyxx(1)双曲线21的渐近线方程为220; 2
abab
22
byx(2)以yx为渐近线(即与双曲线21共2aab
22
yx渐近线)的双曲线方程为(为参数,≠0)。22
ab
(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F1PF2
60,SPF1F23.求
该双曲线的标准方程;
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则
PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,22
xy反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,2)916三点共线。
的双曲线方程为_______ 10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可
A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB
=22
设为mxny1;
1x2
=
,若
y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB
,若弦AB所在直线方程设为
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)
1
y1y22k
2b2为
a
,抛物线的通径为2p,焦准距为p;
xkyb,则AB
1y2
。特别地,焦点弦
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(双
曲线除外)
(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______;
(2)过抛物线
y22px(p0)的焦点弦为AB,
A(x1,y1),B(x2,y2),则①|AB|x1x2p;
(6)若抛物线
y22x焦点的直线交抛物线于A、B两
p2
,y1y2p2 ②x1x24
点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______;
11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达
y22px(p0)顶点O的
两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)
(7)若OA、OB是过抛物线
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量u(2)给出与
xy
定理”或“点差法”求解。在椭圆221中,以
ab
b2x0
P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;在双曲
ay0x2y2
线221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率ab
22
1,k或um,n;
AB相交,等于已知过
(3)给出0,等于已知P是MN的中点; (5) 给出以下情形之一:①//;②存在实数
,使;③若存在实数
,,且1,使OCOAOB,等于已知
AB
的中点;
A,B,C三点共线.
MAMB0,等于已知MAMB,即
AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知
(7) 给出
AMB是锐角,
(8)
给出,等于已知MP是
AMB的平分线/
(9)在平行四边形ABCD中,给出()()0,等于已知ABCD是菱形;
(10) 在平行四边形ABCD中,给出
ABCD是矩形; |ABAD||AB,等于已知A|D
(11)在ABC中,给出OA
2
OBOC
22
,等于
已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外
心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12) 在ABC中,给出,等
给
出
于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(
13
)
在
ABC
中,
,等于已知O是ABC
的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
ABC在中,给出
ABAC)(R)等于已知(|AB||AC|
通过ABC的内心;
1
ABAC,等于(16) 在ABC中,给出AD2
已知AD是ABC中BC边的中线;
(
14
)