数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲
线
1.圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数且此常数
一定要大于
,当常数等于
时,轨迹是线段FF,当常数小于
,且此常数
,
时,无轨迹;
双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数的“绝对值”与
<|FF|不可忽视。若
一定要小于|FF|,定义中
﹥
=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若
|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:
①已知定点 A. C. ②方程
表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
D.
(答:C);
B.
,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点
及抛物线
上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:焦点在轴上时
(
)
(参数方程,其中为参数),
焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,
且A,B,C同号,A≠B)。比如:
①已知方程 ②若
,且
表示椭圆,则的取值范围为____(答:);
,则的最大值是____,的最小值是___(答:)
(2)双曲线:焦点在
轴上: =1
,焦点在
轴上:=1
(
)。方程
表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。比如:
①
双曲线的离心率等于
,且与椭圆
有公共焦点,则该双曲线的方程_______
(答:
);
②设中心在坐标原点方程为_______(答:
(3)抛物线:开口向右时开口向下时
。
,开口向左时
,开口向上时
,
,焦点
)
、
在坐标轴上,离心率
的双曲线C过点
,则C的
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由
,
分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
(2)双曲线:由
,
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)
项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、
双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数
,确定椭圆、双曲
线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,
,在双曲线中,最大,
。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以
(
)为例):①范围:
,一个对称中心(0,0),四个顶点
;②焦点:两个焦点
,其中长轴
;③对称性:两条对称轴
长为2,短轴长为
2;④准线:两条准线椭圆越圆;越大,椭圆越扁。比如:
①若椭圆
的离心率
,则
; ⑤离心率:
,椭圆,越小,
的值是__(答:3或);
②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:)
(2)双曲线
(以
焦点为2
(
)为例):①范围:
或
;②焦点:两个,其中实轴长
;③对称性:两条对称轴,虚轴长为
2
,一个对称中心(0,0),两个顶点
,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为
;④准线:两条准线; ⑤离心率:,
双曲线,
等轴双曲线,
越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:
。比如:
①双曲线的渐近线方程是 ②双曲线
的离心率为
,则该双曲线的离心率等于______(答:或);
,则= (答:4或);
③
设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈
[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是
________(答:
(3)抛物线
(以
);
为例):①范围:;②焦点:一个焦点
,其中的
几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
④准线:一条准线
如设 5
、点
和椭圆
; ⑤离心率:
,抛物线。
,则抛物线的焦点坐标为________(答:);
()的关系:(1
)点
在椭圆外;
(2)点
在椭圆上=1;(3)点
在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有
是直线与双曲线
,
,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故相交的充分条件,但不是必要条件;
直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有
当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相
交的充分条件,但不是必要条件。比如:
①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:
(-
,-1));
②直线y―kx―1=0与椭圆+∞));
恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,
③
过双曲线条(答:3);
(2)相切:
(3)相离:
的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____
直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;
直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
特别提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线
=1外一点
的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两
条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如:
①过点
②过点(0,2)
与双曲线
有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______
(答:
作直线与抛物线
只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);
);
③过双曲线条(答:3);
④对于抛物线C:物线的内部,则直线:
,我们称满足
的点
在抛物线的内部,若点
在抛
的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若
4,则满足条件的直线有____
与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);
⑤过抛物线
的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、
,则
_______(答:1);
⑥
设双曲线
,则
和
的右焦点为
,右准线为,设某直线
交其左支、右支和右准线分别于
的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);
⑦求椭圆 ⑧直线
上的点到直线的最短距离(答:);
与双曲线交于、两点。①当为何值时,、分别在双曲线的两支
上?②当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①;②);
7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径
①已知椭圆
②已知抛物线方程为____;
③若该抛物线上的点
④点P在椭圆
上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______到焦点的距离是4,则点
的坐标为_____(答:
);
,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:
);
,其中表示P到与F所对应的准线的距离。比如:
(答:
);
⑤抛物线2);
上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为______(答:
⑥椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则
点M的坐标为_______(答:)
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
到两焦点
的距离分别为
,焦点
的面积
为,则在椭圆中, ①=,且当即为短轴端点时,最大为
=
;②,当即为短轴端点时,的最大值为bc
;对于双曲线
的焦点三角形有:①
①短轴长为
,离心率
;②。比如:
的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,
则
的周长为________(答:6);
②设P是等轴双曲线
则该双曲线的方程为 (答:
右支上一点,F1、F2是左右焦点,若
);
,|PF1|=6,
③双曲线的虚轴长为4,离心率e=于A、B两点,且
是
与
,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交
=__________(答:
);
等差中项,则
④已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求
该双曲线的标准方程(答:);
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
10、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,
且分别为A、B的横坐标,则
=
,则
,若=
分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB
所在直线方程设为
。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用
弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。比如:
①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);
②过抛物线
焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心
的横坐标为_______(答:3);
11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为中点的弦
所在直线的斜率k=比如:
①
如果椭圆
);
;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。
弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是
(答:
②已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-
2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:
③试确定m
的取值范围,使得椭圆
);
上有不同的两点关于直线
对称(答:
);
特别提醒:因为务必别忘了检验
!
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,
12.你了解下列结论吗?
(1)双曲线
的渐近线方程为;
(2)以
为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。
如与双曲线
有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:)
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为物线的通径为
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物
线
的焦点弦为AB
,
,焦准距为
;
,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛
,则
①;
②
(7)若OA、OB是过抛物线
13.动点轨迹方程:
顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:直接利用条件建立
之间的关系
;
如已知动点P到定点F(1,0)和直线或
);
的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:
②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件
确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)
,端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称
);
轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:
③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
如(1)由动点P
向圆为 (答:点M的轨迹方程是_______ (答:
作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则动点P的轨迹方程
);(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线);(3) 一动圆与两圆⊙M:
和⊙N:
的距离小于1,则
都
外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);
④代入转移法:动点用
的代数式表示
如动点P是抛物线
上任一点,定点为
,点M分
所成的比为2,则M的轨迹方程为__________
依赖于另一动点,再将
的变化而变化,并且
又在某已知曲线上,则可先
代入已知曲线得要求的轨迹方程;
(答:
);
⑤参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量
(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点求点
的轨迹。(答:
);(2)若点
在圆
上运动,则点
,使
,
的轨迹方
程是____(答:
点M的轨迹方程是________(答:
);(3)过抛物线
);
的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆点,满足
的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动
点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
(1)设为点P的横坐标,证明
轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=
;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.
(答:(1)略;(2)
;(3)当时不存在;当时存在,此时∠F1MF2=2)
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1) 给出直线的方向向量 (2)给出 (3)给出 (4)给出
(5) 给出以下情形之一:
①
,等于已知
;②存在实
数三点共线.
;③若存在实
数
或;
与相交,等于已知过的中点;
,等于已知是的中点;
,等于已知与的中点三点共线;
(6) 给出
(7)
给出是钝角, 给出
,等于已知是的定比分点,为定比,即
,
等于已知
,等于已知
,
即是直角,
给出
是锐角。
,
等于已知
(8)给出
(9)在平行四边形
(10) 在平行四边形
(11)在 (12) 在
点);
中,给出中,给出
,等于已知是的平分线/
中,给出,等于已知是菱形;
中,给出,等于已知是矩形;
,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是
三角形三边垂直平分线的交点);
,等于已知
是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交
(13
)在
中,给出
,等于已知
是的垂心(三角形的垂心
是三角形三条高的交点);
(14)在
(15
)在
中,给出等于已知通过的内心;
中,给出
等于已知
是的内心(三角形内切圆的圆
心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16) 在
中,给出,等于已知是中边的中线
数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲
线
1.圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数且此常数
一定要大于
,当常数等于
时,轨迹是线段FF,当常数小于
,且此常数
,
时,无轨迹;
双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数的“绝对值”与
<|FF|不可忽视。若
一定要小于|FF|,定义中
﹥
=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若
|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:
①已知定点 A. C. ②方程
表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
D.
(答:C);
B.
,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点
及抛物线
上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:焦点在轴上时
(
)
(参数方程,其中为参数),
焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,
且A,B,C同号,A≠B)。比如:
①已知方程 ②若
,且
表示椭圆,则的取值范围为____(答:);
,则的最大值是____,的最小值是___(答:)
(2)双曲线:焦点在
轴上: =1
,焦点在
轴上:=1
(
)。方程
表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。比如:
①
双曲线的离心率等于
,且与椭圆
有公共焦点,则该双曲线的方程_______
(答:
);
②设中心在坐标原点方程为_______(答:
(3)抛物线:开口向右时开口向下时
。
,开口向左时
,开口向上时
,
,焦点
)
、
在坐标轴上,离心率
的双曲线C过点
,则C的
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由
,
分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
(2)双曲线:由
,
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)
项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、
双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数
,确定椭圆、双曲
线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,
,在双曲线中,最大,
。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以
(
)为例):①范围:
,一个对称中心(0,0),四个顶点
;②焦点:两个焦点
,其中长轴
;③对称性:两条对称轴
长为2,短轴长为
2;④准线:两条准线椭圆越圆;越大,椭圆越扁。比如:
①若椭圆
的离心率
,则
; ⑤离心率:
,椭圆,越小,
的值是__(答:3或);
②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:)
(2)双曲线
(以
焦点为2
(
)为例):①范围:
或
;②焦点:两个,其中实轴长
;③对称性:两条对称轴,虚轴长为
2
,一个对称中心(0,0),两个顶点
,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为
;④准线:两条准线; ⑤离心率:,
双曲线,
等轴双曲线,
越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:
。比如:
①双曲线的渐近线方程是 ②双曲线
的离心率为
,则该双曲线的离心率等于______(答:或);
,则= (答:4或);
③
设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈
[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是
________(答:
(3)抛物线
(以
);
为例):①范围:;②焦点:一个焦点
,其中的
几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
④准线:一条准线
如设 5
、点
和椭圆
; ⑤离心率:
,抛物线。
,则抛物线的焦点坐标为________(答:);
()的关系:(1
)点
在椭圆外;
(2)点
在椭圆上=1;(3)点
在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有
是直线与双曲线
,
,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故相交的充分条件,但不是必要条件;
直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有
当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相
交的充分条件,但不是必要条件。比如:
①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:
(-
,-1));
②直线y―kx―1=0与椭圆+∞));
恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,
③
过双曲线条(答:3);
(2)相切:
(3)相离:
的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____
直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;
直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
特别提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线
=1外一点
的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两
条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如:
①过点
②过点(0,2)
与双曲线
有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______
(答:
作直线与抛物线
只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);
);
③过双曲线条(答:3);
④对于抛物线C:物线的内部,则直线:
,我们称满足
的点
在抛物线的内部,若点
在抛
的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若
4,则满足条件的直线有____
与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);
⑤过抛物线
的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、
,则
_______(答:1);
⑥
设双曲线
,则
和
的右焦点为
,右准线为,设某直线
交其左支、右支和右准线分别于
的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);
⑦求椭圆 ⑧直线
上的点到直线的最短距离(答:);
与双曲线交于、两点。①当为何值时,、分别在双曲线的两支
上?②当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①;②);
7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径
①已知椭圆
②已知抛物线方程为____;
③若该抛物线上的点
④点P在椭圆
上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______到焦点的距离是4,则点
的坐标为_____(答:
);
,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:
);
,其中表示P到与F所对应的准线的距离。比如:
(答:
);
⑤抛物线2);
上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为______(答:
⑥椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则
点M的坐标为_______(答:)
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
到两焦点
的距离分别为
,焦点
的面积
为,则在椭圆中, ①=,且当即为短轴端点时,最大为
=
;②,当即为短轴端点时,的最大值为bc
;对于双曲线
的焦点三角形有:①
①短轴长为
,离心率
;②。比如:
的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,
则
的周长为________(答:6);
②设P是等轴双曲线
则该双曲线的方程为 (答:
右支上一点,F1、F2是左右焦点,若
);
,|PF1|=6,
③双曲线的虚轴长为4,离心率e=于A、B两点,且
是
与
,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交
=__________(答:
);
等差中项,则
④已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求
该双曲线的标准方程(答:);
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
10、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,
且分别为A、B的横坐标,则
=
,则
,若=
分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB
所在直线方程设为
。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用
弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。比如:
①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);
②过抛物线
焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心
的横坐标为_______(答:3);
11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为中点的弦
所在直线的斜率k=比如:
①
如果椭圆
);
;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。
弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是
(答:
②已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-
2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:
③试确定m
的取值范围,使得椭圆
);
上有不同的两点关于直线
对称(答:
);
特别提醒:因为务必别忘了检验
!
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,
12.你了解下列结论吗?
(1)双曲线
的渐近线方程为;
(2)以
为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。
如与双曲线
有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:)
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为物线的通径为
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物
线
的焦点弦为AB
,
,焦准距为
;
,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛
,则
①;
②
(7)若OA、OB是过抛物线
13.动点轨迹方程:
顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:直接利用条件建立
之间的关系
;
如已知动点P到定点F(1,0)和直线或
);
的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:
②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件
确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)
,端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称
);
轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:
③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
如(1)由动点P
向圆为 (答:点M的轨迹方程是_______ (答:
作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则动点P的轨迹方程
);(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线);(3) 一动圆与两圆⊙M:
和⊙N:
的距离小于1,则
都
外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);
④代入转移法:动点用
的代数式表示
如动点P是抛物线
上任一点,定点为
,点M分
所成的比为2,则M的轨迹方程为__________
依赖于另一动点,再将
的变化而变化,并且
又在某已知曲线上,则可先
代入已知曲线得要求的轨迹方程;
(答:
);
⑤参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量
(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点求点
的轨迹。(答:
);(2)若点
在圆
上运动,则点
,使
,
的轨迹方
程是____(答:
点M的轨迹方程是________(答:
);(3)过抛物线
);
的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆点,满足
的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动
点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
(1)设为点P的横坐标,证明
轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=
;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.
(答:(1)略;(2)
;(3)当时不存在;当时存在,此时∠F1MF2=2)
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1) 给出直线的方向向量 (2)给出 (3)给出 (4)给出
(5) 给出以下情形之一:
①
,等于已知
;②存在实
数三点共线.
;③若存在实
数
或;
与相交,等于已知过的中点;
,等于已知是的中点;
,等于已知与的中点三点共线;
(6) 给出
(7)
给出是钝角, 给出
,等于已知是的定比分点,为定比,即
,
等于已知
,等于已知
,
即是直角,
给出
是锐角。
,
等于已知
(8)给出
(9)在平行四边形
(10) 在平行四边形
(11)在 (12) 在
点);
中,给出中,给出
,等于已知是的平分线/
中,给出,等于已知是菱形;
中,给出,等于已知是矩形;
,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是
三角形三边垂直平分线的交点);
,等于已知
是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交
(13
)在
中,给出
,等于已知
是的垂心(三角形的垂心
是三角形三条高的交点);
(14)在
(15
)在
中,给出等于已知通过的内心;
中,给出
等于已知
是的内心(三角形内切圆的圆
心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16) 在
中,给出,等于已知是中边的中线