直线与椭圆的位置关系
考点一 直线与椭圆的位置关系
x 2y 2
+=1相交？相切？相离？ 例1、当m 为何值时，直线y=x+m与椭圆
169
x 2y 2
+=1恒有公共点，求实数m 的取值范围 变式、若直线y =kx +1(k ∈R ) 与椭圆5m x 2
+y 2=1，一条斜率为-1的直线l 与椭圆相切，求l 的方程。 例2、已知椭圆方程为2
x 2
+y 2=1上的点到l ' :y =-x +8的距离的范围。 变式：求椭圆2
考点二 弦长问题 例3、 已知椭圆4x
2
+y 2=1及直线y =x +m ．
2，求直线的方程． 5
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为
x 2y 2
+=1截得的弦长 变式、求直线x －y ＋1=0被椭圆
164
考点三、弦中点、中点弦
例4、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆, a 椭圆的方程。
变式1、求直线y=x+1被椭圆x +2y=4截得的弦的中点坐标。
2
2
2
=3c ，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是-
2，求3
x 2y 2
+=1的弦AB ，并使P 为弦AB 的中点，求弦长|AB| 变式2、过点P(1,1)作椭圆42
考点四、对称问题
x 2y 2
+=1，确定ｍ的取值范围使得对于直线y =4x +m ，椭圆上有两个不同的点关于该直线对称。例5、已知椭圆 43
考点五、定点定值
例6、(2011·四川) 椭圆有两顶点A (－1,0) 、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点
P . 直线AC 与直线BD 交于点Q .
3→→
(1)当|CD |＝2时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P ·O Q 为定值．
2
考点6、最值
例7、(2011·山东) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ＋y ＝1. 如图所示，斜率为k (k ＞0) 且不过原点的直线l 交
3椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m ) ． (1)求m ＋k 的最小值；(2)若|OG |＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．
32
变式1：若直线l 与椭圆C ：＋y ＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为，求△AOB 面积的最大值．
32
2
2
2
x 2
2
x 2
x 2y 2
+=1有公共焦点，长轴最短的椭圆方程。 变式2、若p 是直线x -y +9=0上的点，求过点p 且与椭圆
123
作业
1．设P 是椭圆
A ．4
＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) 2516
B．5 C．8
D ．10
x 2y 2
2．(2010·广东高考) 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
432A. 555
2
2
1
D. 5
3．“m ＞n ＞0”是“方程mx ＋ny ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
122
4．(2011·长沙模拟) 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为C ：x ＋y －2x －15＝0的半径，则椭圆
2的标准方程是( )A. ＋＝1 B. ＋＝1 C.＋y ＝1
4316124
x 2y 2x 2y 2x 2
2
D.
＋＝1
164
x 2y 2
5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
11
A ．[，43
111
B ．[，．(1)
323
1
D ．[1)
3
6．过椭圆＝1内的一点P (2，－1) 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
65
A ．5x －3y －13＝0 B．5x ＋3y －13＝0 C．5x －3y ＋13＝0 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为的方程为________________．
1
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为8，则该椭圆的方程是____________．
2
9．(2010·湖北高考) 已知椭圆C ：＋y ＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0) 满足0＜＋y 0＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范
22围为________，直线
D ．5x ＋3y ＋13＝0
x 2y 2
3
G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 2
x 2
2
x 20
2
x 0x
2
＋y 0y ＝1与椭圆C 的公共点个数为________．
10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1) ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；
(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，使|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．
11．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0) ，且长轴长与短轴长的比是23. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点M (m, 0) 在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m
的取值范围．
y 2
12． (2010·全国新课标) 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x ＋1(0＜b ＜1) 的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两
b
2
点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
直线与椭圆的位置关系
考点一 直线与椭圆的位置关系
x 2y 2
+=1相交？相切？相离？ 例1、当m 为何值时，直线y=x+m与椭圆
169
x 2y 2
+=1恒有公共点，求实数m 的取值范围 变式、若直线y =kx +1(k ∈R ) 与椭圆5m x 2
+y 2=1，一条斜率为-1的直线l 与椭圆相切，求l 的方程。 例2、已知椭圆方程为2
x 2
+y 2=1上的点到l ' :y =-x +8的距离的范围。 变式：求椭圆2
考点二 弦长问题 例3、 已知椭圆4x
2
+y 2=1及直线y =x +m ．
2，求直线的方程． 5
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为
x 2y 2
+=1截得的弦长 变式、求直线x －y ＋1=0被椭圆
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考点三、弦中点、中点弦
例4、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆, a 椭圆的方程。
变式1、求直线y=x+1被椭圆x +2y=4截得的弦的中点坐标。
2
2
2
=3c ，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是-
2，求3
x 2y 2
+=1的弦AB ，并使P 为弦AB 的中点，求弦长|AB| 变式2、过点P(1,1)作椭圆42
考点四、对称问题
x 2y 2
+=1，确定ｍ的取值范围使得对于直线y =4x +m ，椭圆上有两个不同的点关于该直线对称。例5、已知椭圆 43
考点五、定点定值
例6、(2011·四川) 椭圆有两顶点A (－1,0) 、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点
P . 直线AC 与直线BD 交于点Q .
3→→
(1)当|CD |＝2时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P ·O Q 为定值．
2
考点6、最值
例7、(2011·山东) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ＋y ＝1. 如图所示，斜率为k (k ＞0) 且不过原点的直线l 交
3椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m ) ． (1)求m ＋k 的最小值；(2)若|OG |＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．
32
变式1：若直线l 与椭圆C ：＋y ＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为，求△AOB 面积的最大值．
32
2
2
2
x 2
2
x 2
x 2y 2
+=1有公共焦点，长轴最短的椭圆方程。 变式2、若p 是直线x -y +9=0上的点，求过点p 且与椭圆
123
作业
1．设P 是椭圆
A ．4
＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) 2516
B．5 C．8
D ．10
x 2y 2
2．(2010·广东高考) 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
432A. 555
2
2
1
D. 5
3．“m ＞n ＞0”是“方程mx ＋ny ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
122
4．(2011·长沙模拟) 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为C ：x ＋y －2x －15＝0的半径，则椭圆
2的标准方程是( )A. ＋＝1 B. ＋＝1 C.＋y ＝1
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x 2y 2x 2y 2x 2
2
D.
＋＝1
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x 2y 2
5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
11
A ．[，43
111
B ．[，．(1)
323
1
D ．[1)
3
6．过椭圆＝1内的一点P (2，－1) 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
65
A ．5x －3y －13＝0 B．5x ＋3y －13＝0 C．5x －3y ＋13＝0 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为的方程为________________．
1
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为8，则该椭圆的方程是____________．
2
9．(2010·湖北高考) 已知椭圆C ：＋y ＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0) 满足0＜＋y 0＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范
22围为________，直线
D ．5x ＋3y ＋13＝0
x 2y 2
3
G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 2
x 2
2
x 20
2
x 0x
2
＋y 0y ＝1与椭圆C 的公共点个数为________．
10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1) ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；
(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，使|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．
11．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0) ，且长轴长与短轴长的比是23. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点M (m, 0) 在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m
的取值范围．
y 2
12． (2010·全国新课标) 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x ＋1(0＜b ＜1) 的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两
b
2
点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．