直线和椭圆
一、直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆有三种位置关系
(1)相交——直线与椭圆有两个不同的公共点；
(2)相切——直线与椭圆有且只有一个公共点；
(3)相离——直线与椭圆没有公共点．
2、解题
（1）直线与椭圆的位置关系问题⇔直线和椭圆的公共点问题⇔方程所组成的方程组的解的问题⇔一元二次方程解的问题（通过判别式判断）
（2）判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，
（3）记该方程的判别式为Δ，则①直线与椭圆相交⇔Δ>0；②直线与椭圆相切⇔Δ＝0；③直线与椭圆相离⇔Δ
例一、已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围．
二、弦长问题
弦长的求法：
(1)求出直线与椭圆的交点，利用两点间的距离公式求弦长．
(2)设而不求得弦长，设直线y ＝kx ＋m (k ∈R ，m ∈R) ，弦长|AB |，A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，联立直线与椭圆的方程，消去y (或x ) 得关于x (或y ) 的一元二次方程，利用弦长公式|AB |＝(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝1＋k ·|x 1－x 2|＝1＋k (x 1＋x 2)－4x 1x 2求解．（或|AB |＝ 1⎫⎛ 1＋k ⎪[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ） ⎝⎭
x 22例二、已知斜率为1的直线l 过椭圆4＋y ＝1的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，
求弦AB 的长．
三、中点弦问题
方法：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；
(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．
x 2y 2例三、过椭圆16＋4＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．
四、椭圆中的不等式 x 2y 2
例四、设椭圆的标准方程为+=1，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范k -35-k
围是（ ）
（A ）k >3 （B ）3
x 2y 2
例五、(2011•天津高考) 设椭圆a b ＝1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2. 点P (a ，b ) 满足|PF 2|＝|F 1F 2|.
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1) 2＋(y 3) 2＝16
5相交于M ，N 两点，且|MN |＝8|AB |，求椭圆的方程．
练习
1、已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F1|+|M F2|=8，则点M 的
轨迹是（ ）
（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
2、椭圆x 2+4y 2=1的离心率为 ( ) (A)3
2(B ) 2
2(C ) 5
2(D ) 2
x 2y 2
3、方程=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) +25-m 16+m
(A)-16 222x 2y 2
4．椭圆+=1的焦距为2，则m 的取值是 m 6（ ）
A ．7 B ．5 C ．5或7 D ．10
5．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长
的 （ ）
3A ．3倍 B ．2倍 C ．2倍 D ．倍 2
x 2y 2
+=13696. 已知（4，2）是直线L 被椭圆所截得的线段的中点，则L 的方程
是（ ）
A. x -2y =0 B. x +2y -4=0 C.2x +3y+4=0 D. x +2y -8=0
x 2y 2
7. 已知P 是以F1，F2为焦点的椭圆11(a>b>0)上的一点，若PF · ＝a b 1PF 20，tan ∠PF1F2＝1/2，则此椭圆的离心率为
( )
A.1/2 B.2/3
C.1/3 D.5/3
x 2y 28. P (x , y ) 是椭圆＋=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，169
M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。
x 2x 2x 24y 2x 2y 2y 2y 2（A ）＋=1 （B ）＋=1 （C ）＋=1 （D ）＋=1 [1**********]6
9. 中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的3倍，且过点P (3, 0) 的椭圆方程为_____．
10．已知两个定点F 1(-4,0) , F 2(4,0), 且MF 1+MF 2=10,则点M 的轨迹方程是
______________________
x 2y 2111.(2011•江西高考) 若椭圆a ＋b ＝1的焦点在x 轴上，过点(1，作圆 2
x2＋y2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和 上顶点，则椭圆方程是________．
12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 22
13. 求中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆s 方程
14. 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . 当直线和椭圆有公共点时求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
:附加题：
15．(2012•合肥模拟) 椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0) 和F2(3，0) ，且椭圆过点(1，－32) ．
(1)求椭圆方程；
(2)过点(－65，0) 作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．
直线和椭圆
一、直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆有三种位置关系
(1)相交——直线与椭圆有两个不同的公共点；
(2)相切——直线与椭圆有且只有一个公共点；
(3)相离——直线与椭圆没有公共点．
2、解题
（1）直线与椭圆的位置关系问题⇔直线和椭圆的公共点问题⇔方程所组成的方程组的解的问题⇔一元二次方程解的问题（通过判别式判断）
（2）判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，
（3）记该方程的判别式为Δ，则①直线与椭圆相交⇔Δ>0；②直线与椭圆相切⇔Δ＝0；③直线与椭圆相离⇔Δ
例一、已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围．
二、弦长问题
弦长的求法：
(1)求出直线与椭圆的交点，利用两点间的距离公式求弦长．
(2)设而不求得弦长，设直线y ＝kx ＋m (k ∈R ，m ∈R) ，弦长|AB |，A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，联立直线与椭圆的方程，消去y (或x ) 得关于x (或y ) 的一元二次方程，利用弦长公式|AB |＝(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝1＋k ·|x 1－x 2|＝1＋k (x 1＋x 2)－4x 1x 2求解．（或|AB |＝ 1⎫⎛ 1＋k ⎪[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ） ⎝⎭
x 22例二、已知斜率为1的直线l 过椭圆4＋y ＝1的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，
求弦AB 的长．
三、中点弦问题
方法：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；
(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．
x 2y 2例三、过椭圆16＋4＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．
四、椭圆中的不等式 x 2y 2
例四、设椭圆的标准方程为+=1，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范k -35-k
围是（ ）
（A ）k >3 （B ）3
x 2y 2
例五、(2011•天津高考) 设椭圆a b ＝1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2. 点P (a ，b ) 满足|PF 2|＝|F 1F 2|.
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1) 2＋(y 3) 2＝16
5相交于M ，N 两点，且|MN |＝8|AB |，求椭圆的方程．
练习
1、已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F1|+|M F2|=8，则点M 的
轨迹是（ ）
（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
2、椭圆x 2+4y 2=1的离心率为 ( ) (A)3
2(B ) 2
2(C ) 5
2(D ) 2
x 2y 2
3、方程=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) +25-m 16+m
(A)-16 222x 2y 2
4．椭圆+=1的焦距为2，则m 的取值是 m 6（ ）
A ．7 B ．5 C ．5或7 D ．10
5．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长
的 （ ）
3A ．3倍 B ．2倍 C ．2倍 D ．倍 2
x 2y 2
+=13696. 已知（4，2）是直线L 被椭圆所截得的线段的中点，则L 的方程
是（ ）
A. x -2y =0 B. x +2y -4=0 C.2x +3y+4=0 D. x +2y -8=0
x 2y 2
7. 已知P 是以F1，F2为焦点的椭圆11(a>b>0)上的一点，若PF · ＝a b 1PF 20，tan ∠PF1F2＝1/2，则此椭圆的离心率为
( )
A.1/2 B.2/3
C.1/3 D.5/3
x 2y 28. P (x , y ) 是椭圆＋=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，169
M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。
x 2x 2x 24y 2x 2y 2y 2y 2（A ）＋=1 （B ）＋=1 （C ）＋=1 （D ）＋=1 [1**********]6
9. 中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的3倍，且过点P (3, 0) 的椭圆方程为_____．
10．已知两个定点F 1(-4,0) , F 2(4,0), 且MF 1+MF 2=10,则点M 的轨迹方程是
______________________
x 2y 2111.(2011•江西高考) 若椭圆a ＋b ＝1的焦点在x 轴上，过点(1，作圆 2
x2＋y2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和 上顶点，则椭圆方程是________．
12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 22
13. 求中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆s 方程
14. 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . 当直线和椭圆有公共点时求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
:附加题：
15．(2012•合肥模拟) 椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0) 和F2(3，0) ，且椭圆过点(1，－32) ．
(1)求椭圆方程；
(2)过点(－65，0) 作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．