椭圆的基本知识
1、椭圆的定义：把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2
）的
点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) .
2、椭圆的标准方程：
x2y2+2=1（a＞b＞0） 2+2
=1（a＞b＞0） 2abab
焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0
，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程
3、求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法
例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP',求线段PP'中点M的轨迹.
解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x, y),
00
y
则x＝x0, y＝ 0 得x0＝x， y0＝2y.
2
∵x02＋y02＝4, 得 x2＋(2y)2＝4,
x2
即+y=1.所以点M的轨迹是一个椭圆. 4
4、范围. x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．
5、椭圆的对称性
椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
6、顶点 只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；
令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。
长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的 长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长． |B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．
在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2， 即c2＝a2－b2．
1. 若椭圆的连个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为 （ B ）
112
A. B. C. D. 无法确定 633
x2y2
2. 椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-c,0)，A(-a,0)、B(0,b)是两个顶点，
ab
b4
如果F1到直线AB的距离，则椭圆的离心率e=.
7
x2y2
3. 求经过点M(1,2)+=1有相同的离心率的椭圆的标准方程.
126(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b=a2-c2
越小，因此椭圆越扁；
(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a，
因此椭圆越接近于圆；
(3)当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程成为 x2+y2=a2.
.
x2y2
2. 已知P+
=1上的点，F1，F2为左右焦点，PF1⊥PF2，
4520
(1) 求S∆PF1F2;(2) 求P点坐标.
x2
2. 椭圆 +y2=1 的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个
4交点为P=(
)
椭圆典型例题
例1 已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为（0，2）求m的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系a=b+c可求出m的值．
2
2
2
x2y2
+=1．因为焦点在y轴上，所以2m>6，解得m>3． 解：方程变形为
62m
又c=2，所以2m-6=2，m=5适合．故m=5．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a=3b，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a和b（或a和b）的值，即可求得椭圆的标准方程．
2
2
2
x2y2
解：当焦点在x轴上时，设其方程为2+2=1(a>b>0)．
ab
由椭圆过点P(3，0)，知
9022
a=3b+=1b=1a=9，故椭圆的方．又，代入得，22
ab
x2
+y2=1． 程为9
y2x2
当焦点在y轴上时，设其方程为2+2=1(a>b>0)．
ab
由椭圆过点P(3，0)，知
90+=1．又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆22ab
y2x2
+=1． 的方程为
819
例3 ∆ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解．
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．
BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为(x，y)，
由GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，
c=8，有b=6，
x2y2
+=1(y≠0)． 故其方程为
10036
x'2y'2
+=1(y'≠0)． ① （2）设A(x，y)，G(x'，y')，则
10036
⎧'xx=，⎪x2y2⎪3
+=1(y≠0)，由题意有⎨代入①，得A的轨迹方程为其轨迹是椭圆（除900324⎪y'=y
⎪3⎩
去x轴上两点）．
例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为F1、F2，且PF1=
42和，33
4525
，PF2=．从椭圆定义知33
2a=PF1+PF2=25．即a=5．
从PF2F1中，2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt∆PF1>PF2知PF
sin∠PF1F2=
PF2
1
=， PF21
可求出∠PF1F2=
π
6
，2c=PF1⋅cos
π
6
=
1025222
，从而b=a-c=．
3x23y23x2y2
+=1或+=1． ∴所求椭圆方程为
510105
x2y2
例5 已知椭圆方程2+2=1(a>b>0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭
ab
圆上一点，∠A1PA2=θ，∠F1PF2=α．求：∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S∆=
1
absinC求面积． 2
解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F2
2
=PF1+PF2-2PFPF2cosα=4c2．① 12
22
2b2
由椭圆定义知： PF． 1⋅PF2=1+PF2=2a ②，则②－①得 PF1+cosα
故S∆F1PF2
例6 已知动圆P过定点A(-3，0)，且在定圆B：(x-3)+y2=64的内部与其相内切，求动
2
α112b2
=PF1⋅PF2sinα =sinα =b2tan．
2221+cosα
圆圆心P的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
即定点A(-3，0)和定圆圆心B(3，0)距离之和恰好等于定圆半径，
即+PB=PM+=BM=8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x2y2
+=1． 半长轴为4，半短轴长为b=4-3=的椭圆的方程：
167
2
2
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
x2
+y2=1 例7 已知椭圆2
（1）求过点P ⎪且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
⎛11⎫⎝22⎭
1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A(2，
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP⋅kOQ=-
求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
1， 2
解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则
⎧x12+2y12=2，⎪22
⎪x2+2y2=2，⎨
⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，⎩12
（1）将x=
①②③④
①－②得
(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0．
由题意知x1
≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有
(x1+x2)2(y1+y2)y1+y2=0，
x1-x2y-y2
将③④代入得x+2y1=0．⑤
x1-x2
11y-y21，y=代入⑤，得1故所求直线方程为： 2x+4y-3=0． ⑥ =-，22x1-x22
2
22
将⑥代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-
11
=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，44
2x+4y-3=0为所求．
（2）将
y1-y2
（椭圆内部分） =2代入⑤得所求轨迹方程为： x+4y=0．
x1-x2
y1-y2y-1
代入⑤得所求轨迹方程为： x2+2y2-2x-2y=0．（椭圆内=
x1-x2x-2
（3）将部分）
2
x12+x22
)+(y12+y2=2， ⑦， 将③④平方并整理得 （4）由①＋②得 ：
2
22
x12+x2=4x2-2x1x2， ⑧， y12+y2=4y2-2y1y2， ⑨
4x2-2x1x2
+4y2-2y1y2=2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：
4
()
再将y1y2=-
1⎛1⎫
x1x2代入⑩式得： 2x2-x1x2+4y2-2 -x1x2⎪=2， 即 2⎝2⎭
y2
=1． x+2
2
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
22
例8 已知椭圆4x+y=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为
2，求直线的方程． 5
2
解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+(x+m)=1， 即5x+2mx+m-1=0．∆=(2m)-4⨯5⨯m2-1=-16m2+20≥0，解得
2
2
2
()
-
． ≤m≤
22
2mm2-1（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，由（1）得x1+x2=-，x1x2=． x2，
55
m2-12⎛2m⎫
=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m=0．方程为⎪-4⨯55⎝5⎭
2
2
y=x．
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
x2y2
+=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所例9 以椭圆
123
作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
x2y2
+=1的焦点为F1(-3，解：如图所示，椭圆0)，F2(3，0)． 123
点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为
x+2y-3=0．
解方程组⎨
⎧x+2y-3=0
得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1+MF2最小．
⎩x-y+9=0
c=3， 所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，∴a=3，又
x2y2
+=1． ∴b=a-c=3-3=36．因此，所求椭圆的方程为
4536
2
2
2
()
2
2
x2y2
+=-1表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程
k-53-k⎧k-5
解：由⎨3-k
⎪k-5≠3-k,⎩
∴满足条件的k的取值范围是3
说明：本题易出现如下错解：由⎨
⎧k-5
得3
3-k
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a=b时，并不表示
椭圆．
22
例11 已知xsinα-ycosα=1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范
围．
分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．
11x2y2
>>0． +=1．因为焦点在y轴上，所以-解：方程可化为
cosαsinαsinαcosα
因此sinα>0且tanα
π3
,π)． 24
11
>0，->0，这是容易忽视的地方． sinαcosα1122
(2)由焦点在y轴上，知a=-，b=． (3)求α的取值范围时，应注意题目
cosαsinα
中的条件0≤α
说明：(1)由椭圆的标准方程知
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,-2)和B(-2,1)两点的椭圆方程
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)．由A(3,-2)和B(-2,1)两点在椭圆上可得
22
⎧11⎪m⋅(3)+n⋅(-2)=1,⎧3m+4n=1,
即⎨所以m=，n=．故所求的椭圆方程为⎨22155⎪⎩12m+n=1,⎩m⋅(-23)+n⋅1=1,
x2y2
+=1． 155
例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
分析：可以利用弦长公式AB=+kx1-x2=
2
π3
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
b=3，AB=+k2x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]．因为a=6，所以c=33．因
为焦点在x轴上，
x2y2
+=1，左焦点F(-3,0)，从而直线方程为y=3x+9． 所以椭圆方程为
369
由直线方程与椭圆方程联立得：13x+3x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根，所以
2
x1+x2=-
7213
，
x1x2=
36⨯813
，
k=， 从而
AB=+k2x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
48． 13
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
x2y2
+=1，设AF由题意可知椭圆方程为1=m，BF1=n，则AF2=12-m，369
BF2=12-n．
在
∆AF1F2
中，
AF2=AF1+F1F2-2AF1F1F2c
222
π
3
s，
即
1
(12-m)2=m2+36⋅3-2⋅m⋅63⋅；
2
所以m=
4866
AB=m+n=n=．同理在∆BF中，用余弦定理得，所以． F12
134+4-3
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程13x+3x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．
再根据焦半径AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，从而求出=AF1+BF1．
2
x2y2
+=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，例14 椭圆则ONO为259
坐标原点）的值为A．4 B．2 C．8 D．
3
2
说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1+MF2=2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
x2y2
=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭例15 已知椭圆C+43
圆C上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB⊥l；(2)弦AB的中点M在l上．
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．
解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，直线AB与l交于M(x0,y0)B(x2,y2)两点关于直线l对称，
点．
y=-x+n,1⎪⎪4∵l的斜率kl=4，∴设直线AB的方程为y=-x+n．由方程组消去y得 ⎨224xy⎪+=1,⎪3⎩4⎧1
13x2-8nx+16n2-48=0 ①。∴x1+x2=8nx+x24n=．于是x0=1，13213
112ny0=-x0+n=， 413
4n12n4n,)．∵点M在直线y=4x+m上，∴n=4⨯+m．解得即点M的坐标为(131313
13n=-m． ② 4
将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0 ③
22∵A，B是椭圆上的两点，∴∆=(26m)-4⨯13(169m-48)>0．解得22
-22
13413m，∴x0=(-m)=-m， 4134
113113y0=-x0-m=-⨯(-m)-m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m)． 4444(法2)同解法1得出n=-
(-m)2(-3m)2
+
-22．
(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0)．
xyxy∵A，B在椭圆上，∴1+1=1，2+2=1．两式相减得43432222
3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，
即3⋅2x0(x1-x2)+4⋅2y0(y1-y2)=0．∴3xy1-y2=-0(x1≠x2)． x1-x24y0
又∵直线AB⊥l，∴kAB⋅kl=-1，∴-3x0⋅4=-1，即y0=3x0 ①。 4y0
又M点在直线l上，∴y0=4x0+m ②。由①，②得M点的坐标为(-m,-3m)．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．
xy(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足0+0
建立参数不等式．
例17 在面积为1的∆PMN中，tanM=221，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、2
N为焦点且过P点的椭圆方程．
4x2y2
+=1 ∴所求椭圆方程为153
x2y2
+=1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆369
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，
得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-4)．代入椭圆方程，整理得
(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0 ①
设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1+x2=8k(4k-2) 24k+1
1x1+x24k(4k-2)k=-=，．∴所求直线方程为224k2+1∵P(4,2)为AB中点，∴4=
x+2y-8=0．
方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4．
又∵A，B在椭圆上，∴x1+4y1=36，x2+4y2=36两式相减得2222
(x1-x2)+4(y1-y2)=0，
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0．∴
为x+2y-8=0． 2222y1-y2-(x1+x2)1∴直线方程==-．x1-x24(y1+y2)2
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8-x,4-y)．
∵A、B在椭圆上，∴x2+4y2=36 ①。 (8-x)2+4(4-y)2=36 ② 从而A，B在方程①－②的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x+2y-8=0．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是(3,0)、(-3,0)的椭圆截直线x+2y-8=0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？
椭圆的基本知识
1、椭圆的定义：把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2
）的
点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) .
2、椭圆的标准方程：
x2y2+2=1（a＞b＞0） 2+2
=1（a＞b＞0） 2abab
焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0
，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程
3、求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法
例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP',求线段PP'中点M的轨迹.
解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x, y),
00
y
则x＝x0, y＝ 0 得x0＝x， y0＝2y.
2
∵x02＋y02＝4, 得 x2＋(2y)2＝4,
x2
即+y=1.所以点M的轨迹是一个椭圆. 4
4、范围. x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．
5、椭圆的对称性
椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
6、顶点 只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；
令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。
长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的 长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长． |B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．
在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2， 即c2＝a2－b2．
1. 若椭圆的连个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为 （ B ）
112
A. B. C. D. 无法确定 633
x2y2
2. 椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-c,0)，A(-a,0)、B(0,b)是两个顶点，
ab
b4
如果F1到直线AB的距离，则椭圆的离心率e=.
7
x2y2
3. 求经过点M(1,2)+=1有相同的离心率的椭圆的标准方程.
126(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b=a2-c2
越小，因此椭圆越扁；
(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a，
因此椭圆越接近于圆；
(3)当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程成为 x2+y2=a2.
.
x2y2
2. 已知P+
=1上的点，F1，F2为左右焦点，PF1⊥PF2，
4520
(1) 求S∆PF1F2;(2) 求P点坐标.
x2
2. 椭圆 +y2=1 的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个
4交点为P=(
)
椭圆典型例题
例1 已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为（0，2）求m的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系a=b+c可求出m的值．
2
2
2
x2y2
+=1．因为焦点在y轴上，所以2m>6，解得m>3． 解：方程变形为
62m
又c=2，所以2m-6=2，m=5适合．故m=5．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a=3b，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a和b（或a和b）的值，即可求得椭圆的标准方程．
2
2
2
x2y2
解：当焦点在x轴上时，设其方程为2+2=1(a>b>0)．
ab
由椭圆过点P(3，0)，知
9022
a=3b+=1b=1a=9，故椭圆的方．又，代入得，22
ab
x2
+y2=1． 程为9
y2x2
当焦点在y轴上时，设其方程为2+2=1(a>b>0)．
ab
由椭圆过点P(3，0)，知
90+=1．又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆22ab
y2x2
+=1． 的方程为
819
例3 ∆ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解．
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．
BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为(x，y)，
由GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，
c=8，有b=6，
x2y2
+=1(y≠0)． 故其方程为
10036
x'2y'2
+=1(y'≠0)． ① （2）设A(x，y)，G(x'，y')，则
10036
⎧'xx=，⎪x2y2⎪3
+=1(y≠0)，由题意有⎨代入①，得A的轨迹方程为其轨迹是椭圆（除900324⎪y'=y
⎪3⎩
去x轴上两点）．
例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为F1、F2，且PF1=
42和，33
4525
，PF2=．从椭圆定义知33
2a=PF1+PF2=25．即a=5．
从PF2F1中，2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt∆PF1>PF2知PF
sin∠PF1F2=
PF2
1
=， PF21
可求出∠PF1F2=
π
6
，2c=PF1⋅cos
π
6
=
1025222
，从而b=a-c=．
3x23y23x2y2
+=1或+=1． ∴所求椭圆方程为
510105
x2y2
例5 已知椭圆方程2+2=1(a>b>0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭
ab
圆上一点，∠A1PA2=θ，∠F1PF2=α．求：∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S∆=
1
absinC求面积． 2
解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F2
2
=PF1+PF2-2PFPF2cosα=4c2．① 12
22
2b2
由椭圆定义知： PF． 1⋅PF2=1+PF2=2a ②，则②－①得 PF1+cosα
故S∆F1PF2
例6 已知动圆P过定点A(-3，0)，且在定圆B：(x-3)+y2=64的内部与其相内切，求动
2
α112b2
=PF1⋅PF2sinα =sinα =b2tan．
2221+cosα
圆圆心P的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
即定点A(-3，0)和定圆圆心B(3，0)距离之和恰好等于定圆半径，
即+PB=PM+=BM=8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x2y2
+=1． 半长轴为4，半短轴长为b=4-3=的椭圆的方程：
167
2
2
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
x2
+y2=1 例7 已知椭圆2
（1）求过点P ⎪且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
⎛11⎫⎝22⎭
1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A(2，
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP⋅kOQ=-
求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
1， 2
解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则
⎧x12+2y12=2，⎪22
⎪x2+2y2=2，⎨
⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，⎩12
（1）将x=
①②③④
①－②得
(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0．
由题意知x1
≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有
(x1+x2)2(y1+y2)y1+y2=0，
x1-x2y-y2
将③④代入得x+2y1=0．⑤
x1-x2
11y-y21，y=代入⑤，得1故所求直线方程为： 2x+4y-3=0． ⑥ =-，22x1-x22
2
22
将⑥代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-
11
=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，44
2x+4y-3=0为所求．
（2）将
y1-y2
（椭圆内部分） =2代入⑤得所求轨迹方程为： x+4y=0．
x1-x2
y1-y2y-1
代入⑤得所求轨迹方程为： x2+2y2-2x-2y=0．（椭圆内=
x1-x2x-2
（3）将部分）
2
x12+x22
)+(y12+y2=2， ⑦， 将③④平方并整理得 （4）由①＋②得 ：
2
22
x12+x2=4x2-2x1x2， ⑧， y12+y2=4y2-2y1y2， ⑨
4x2-2x1x2
+4y2-2y1y2=2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：
4
()
再将y1y2=-
1⎛1⎫
x1x2代入⑩式得： 2x2-x1x2+4y2-2 -x1x2⎪=2， 即 2⎝2⎭
y2
=1． x+2
2
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
22
例8 已知椭圆4x+y=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为
2，求直线的方程． 5
2
解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+(x+m)=1， 即5x+2mx+m-1=0．∆=(2m)-4⨯5⨯m2-1=-16m2+20≥0，解得
2
2
2
()
-
． ≤m≤
22
2mm2-1（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，由（1）得x1+x2=-，x1x2=． x2，
55
m2-12⎛2m⎫
=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m=0．方程为⎪-4⨯55⎝5⎭
2
2
y=x．
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
x2y2
+=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所例9 以椭圆
123
作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
x2y2
+=1的焦点为F1(-3，解：如图所示，椭圆0)，F2(3，0)． 123
点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为
x+2y-3=0．
解方程组⎨
⎧x+2y-3=0
得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1+MF2最小．
⎩x-y+9=0
c=3， 所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，∴a=3，又
x2y2
+=1． ∴b=a-c=3-3=36．因此，所求椭圆的方程为
4536
2
2
2
()
2
2
x2y2
+=-1表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程
k-53-k⎧k-5
解：由⎨3-k
⎪k-5≠3-k,⎩
∴满足条件的k的取值范围是3
说明：本题易出现如下错解：由⎨
⎧k-5
得3
3-k
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a=b时，并不表示
椭圆．
22
例11 已知xsinα-ycosα=1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范
围．
分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．
11x2y2
>>0． +=1．因为焦点在y轴上，所以-解：方程可化为
cosαsinαsinαcosα
因此sinα>0且tanα
π3
,π)． 24
11
>0，->0，这是容易忽视的地方． sinαcosα1122
(2)由焦点在y轴上，知a=-，b=． (3)求α的取值范围时，应注意题目
cosαsinα
中的条件0≤α
说明：(1)由椭圆的标准方程知
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,-2)和B(-2,1)两点的椭圆方程
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)．由A(3,-2)和B(-2,1)两点在椭圆上可得
22
⎧11⎪m⋅(3)+n⋅(-2)=1,⎧3m+4n=1,
即⎨所以m=，n=．故所求的椭圆方程为⎨22155⎪⎩12m+n=1,⎩m⋅(-23)+n⋅1=1,
x2y2
+=1． 155
例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
分析：可以利用弦长公式AB=+kx1-x2=
2
π3
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
b=3，AB=+k2x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]．因为a=6，所以c=33．因
为焦点在x轴上，
x2y2
+=1，左焦点F(-3,0)，从而直线方程为y=3x+9． 所以椭圆方程为
369
由直线方程与椭圆方程联立得：13x+3x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根，所以
2
x1+x2=-
7213
，
x1x2=
36⨯813
，
k=， 从而
AB=+k2x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
48． 13
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
x2y2
+=1，设AF由题意可知椭圆方程为1=m，BF1=n，则AF2=12-m，369
BF2=12-n．
在
∆AF1F2
中，
AF2=AF1+F1F2-2AF1F1F2c
222
π
3
s，
即
1
(12-m)2=m2+36⋅3-2⋅m⋅63⋅；
2
所以m=
4866
AB=m+n=n=．同理在∆BF中，用余弦定理得，所以． F12
134+4-3
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程13x+3x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．
再根据焦半径AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，从而求出=AF1+BF1．
2
x2y2
+=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，例14 椭圆则ONO为259
坐标原点）的值为A．4 B．2 C．8 D．
3
2
说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1+MF2=2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
x2y2
=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭例15 已知椭圆C+43
圆C上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB⊥l；(2)弦AB的中点M在l上．
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．
解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，直线AB与l交于M(x0,y0)B(x2,y2)两点关于直线l对称，
点．
y=-x+n,1⎪⎪4∵l的斜率kl=4，∴设直线AB的方程为y=-x+n．由方程组消去y得 ⎨224xy⎪+=1,⎪3⎩4⎧1
13x2-8nx+16n2-48=0 ①。∴x1+x2=8nx+x24n=．于是x0=1，13213
112ny0=-x0+n=， 413
4n12n4n,)．∵点M在直线y=4x+m上，∴n=4⨯+m．解得即点M的坐标为(131313
13n=-m． ② 4
将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0 ③
22∵A，B是椭圆上的两点，∴∆=(26m)-4⨯13(169m-48)>0．解得22
-22
13413m，∴x0=(-m)=-m， 4134
113113y0=-x0-m=-⨯(-m)-m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m)． 4444(法2)同解法1得出n=-
(-m)2(-3m)2
+
-22．
(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0)．
xyxy∵A，B在椭圆上，∴1+1=1，2+2=1．两式相减得43432222
3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，
即3⋅2x0(x1-x2)+4⋅2y0(y1-y2)=0．∴3xy1-y2=-0(x1≠x2)． x1-x24y0
又∵直线AB⊥l，∴kAB⋅kl=-1，∴-3x0⋅4=-1，即y0=3x0 ①。 4y0
又M点在直线l上，∴y0=4x0+m ②。由①，②得M点的坐标为(-m,-3m)．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．
xy(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足0+0
建立参数不等式．
例17 在面积为1的∆PMN中，tanM=221，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、2
N为焦点且过P点的椭圆方程．
4x2y2
+=1 ∴所求椭圆方程为153
x2y2
+=1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆369
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，
得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-4)．代入椭圆方程，整理得
(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0 ①
设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1+x2=8k(4k-2) 24k+1
1x1+x24k(4k-2)k=-=，．∴所求直线方程为224k2+1∵P(4,2)为AB中点，∴4=
x+2y-8=0．
方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4．
又∵A，B在椭圆上，∴x1+4y1=36，x2+4y2=36两式相减得2222
(x1-x2)+4(y1-y2)=0，
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0．∴
为x+2y-8=0． 2222y1-y2-(x1+x2)1∴直线方程==-．x1-x24(y1+y2)2
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8-x,4-y)．
∵A、B在椭圆上，∴x2+4y2=36 ①。 (8-x)2+4(4-y)2=36 ② 从而A，B在方程①－②的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x+2y-8=0．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是(3,0)、(-3,0)的椭圆截直线x+2y-8=0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？