[衡水点睛大联考]2015届高三第四次联考数学文

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 总分1 5 0分, 考试时间1 2 0分

钟。

第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）

一、选择题（本大题共1 2个小题, 每小题5分, 共6 0分。在每小题给出的四个选项中, 只

有一项是符合题目要求的。） 1．设集合 M={ x | x 2+3 x+2

A．{ x | x-2} B．{ x | x>-1} C．{ x | x

－

2．若x∈（ e1, 1） , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则（） A．a

4．右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图, 其俯视图是面积为

, 则该几何体的表面积是（）

A．

2 0+8 C．8

B．

2 4+8 D．16

5．若函数f(x)同时具有以下两个性质: ①f(x) 是偶函数; ②对任意实数x, 都有

f(x)fx) 。则f(x)的解析式可以是（）

A．f(x) =cos x C．f(x) = sin(4x

B．f(x) =cos(2x





)



) D．f(x) =cos 6 x

6．已知命题p︰∃x0∈R, e x－m x=0, q︰∀x∈R, x 2+m x+1≥0, 若p∨（q）为假命题,则实数 m 的取值范围是（） A．（-∞, 0） ∪（ 2, +∞） B．[ 0, 2] C．R D．Ø

y5



7．若实数x、 y满足不等式组2xy30. 则z=| x |+2 y的最大值是（）

xy10

A．1 0

B．1 1

C．1 3

D．1 4

8．已知数列{an} 满足a1=1, 且an式为（）

an1()n(n2, 且n∈N*） , 则数列{ an} 的通项公 33

n2

A．an

n2

B．an

C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3 n

9．已知F1、 F2 为双曲线 C︰x2-y2=1的左、右焦点, 点 P 在 C 上, | P F1|=2 | P F2|, 则

c o s ∠F1P F2= （）

A．

B．

3 4

C．

3 5

D．

4 5

10.

函数f(x)

cos在[ 0, +∞) 内 ( )

B. 有且仅有一个零点 D. 有无穷多个零点

A. 没有零点 C. 有且仅有两个零点

11．与向量a(,),b(,)的夹角相等, 且模为1的向量是（）

A．(,)

71221272

4535

B．(,)或(

453543,) 55

．(

) 33

．(

)

或(,) 3333

12．在平面直角坐标系x O y中, 圆C 的方程为x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一

点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是（）

A．－

3 4

B．－

5 4

C．－

3 5

D．－

5 3

第Ⅱ卷（非选择题,共9 0分）

二、填空题（本大题共4个小题, 每小题5分, 共2 0分, 请把正确的答案填写在各小题的

横线上。） 13．已知f(x)x1og214.已知底面边长为

则f(1)f(2)f(3)2x

f(8)的值为。

各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球

面上, 则此球的表面积为。

15．若在区间[ 0, 1] 上存在实数x使2x（3 x+a）

在第一象限的交点为P, △P F1F2 是以P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e1·e2 的取值范围为。

三、解答题（本大题共6个小题, 共7 0分, 解答应写出文字说明、证明或演算步骤。） 17．（12分）在△A B C 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 函数

f(x)2cosxsin(xA)sinA(xR) 在x

（1）当x∈（ 0,

处取得最大值。 12



）时, 求函数f(x)的值域; 2

, 求△A B C 的面积。（2）若a=7

且sinBsinC

18．（1 2分）若{ an} 是各项均不为零的等差数列, 公差为d, Sn 为其前n 项和, 且满足

2anS2n1,nN*。数列{ bn} 满足bn

为数列{ bn} 的前n项和。

an.an1

（Ⅰ）求an 和Tn; （Ⅱ）是否存在正整数 m、 n（ 1

所有

m、 n的值; 若不存在, 请说明理由。

19． ( 1 2分) 如右图, 已知三棱柱A B C—A1B1C1。

(Ⅰ) 若 M、 N 分别是A B, A1C 的中点, 求证: MN∥平面BCC1B1。 (Ⅱ) 若三棱柱A B C-A1B1C1 的各棱长均为2, ∠B1B A=∠B1B C=

6 0 °, P 为线段B1B 上的动点, 当P A+ +P C 最小时, 求证: B1B⊥平面APC。

20．（ 1 2分）已知点A（ -4, 4）、 B（ 4, 4） , 直线AM 与BM 相交于点M, 且直线AM

的斜率与直线BM 的斜率之差为-2, 点 M 的轨迹为曲线C。（ Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程; （ Ⅱ） Q 为直线y=-1上的动点, 过 Q 做曲线C 的切线, 切点分别为 D、 E, 求△Q D E 的面

积S的最小值。 21． (1 2分) 已知函数f(x)ax( 1) 用a表示出b、 c;

( 2) 若f(x)1nx在[ 1, +∞) 上恒成立, 求a的取值范围; ( 3) 证明: 1

c( a>0) 的图像在点( 1, f( 1) ) 处的切线方程为y=x-1。 x

1123



1n1n(n1)(n1)。 n2(n1)

请考生在第2 2~2 4三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。 22．（1 0分）【选修4-1︰几何证明选讲】如右图, A B 是☉O 的直径, A C 是弦, ∠B A C 的平分线AD 交☉O 于点D, D E⊥A C, 交A C 的延长线于点E, O E 交AD 于点F。（Ⅰ）求证: D E 是☉O 的切线; （Ⅱ）若

AC2AF

, 求的值。

DFAB5

23．（1 0分）【选修4-4︰坐标系与参数方程】



x

已知在平面直角坐标系x O y中, 直线l

的参数方程是

y

2（t是参数） , 以原 点O 为极点, O x为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为p2cos(（1）求圆心C 的直角坐标;

（2）由直线l上的点向圆C 引切线, 求切线长的最小值。

24．（1 0分）【选修4-5︰不等式选讲】已知f(x) =| 2 x-1 |+a x-5（ a是常数, a∈R）。（Ⅰ）当a=1时求不等式f(x)0的解集;

（Ⅱ）如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点, 求a的取值范围。



) 。