函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x ) 解：设f (x ) =ax +b
(a ≠0) ，则
2
f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a x +ab +b
⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2
或 ∴⎨∴⎨⎨
⎩b =3⎩ab +b =3⎩b =1
∴f (x ) =2x +1 或 f (x ) =-2x +3
三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定
义域的变化。
例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1) 解：令t =
x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x ∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,
2
2
2
∴f (x ) =x -1 (x ≥1) ∴f (x +1) =(x +1) -1=x +2x (x ≥0)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数y =x 2+x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式 解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M '(x ', y ') 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点
⎧x '+x
=-2⎪2⎧x '=-x -42
则⎨，解得：⎨ ， 点M '(x ', y ') 在y =g (x ) 上 ∴y '=x '+x '
y '+y ⎩y '=6-y ⎪=32⎩
⎧x '=-x -4222
把⎨代入得：6-y =(-x -4) +(-x -4) 整理得y =-x -7x -6 ∴g (x ) =-x -7x -6 ⎩y '=6-y
五例5 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x )
x
1
1
解 f (x ) -2f () =x ① 显然x ≠0, 将x 换成
x
x 3
23x
1x
，得：f () -2f (x ) =
x
11x
②
解① ②联立的方程组，得：f (x ) =--
1x -1
例6 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式
解 f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x ) 又f (x ) +g (x ) =
1x -1
① ，
用-x 替换x 得：f (-x ) +g (-x ) =-
1x +11
即f (x ) -g (x ) =-
1x -x
2
1x +1
②
解① ②联立的方程组，得 f (x ) =
x -1
2
， g (x ) =
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体
化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f (0) =1，对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，求f (x )
解 对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，
不妨令x =0，则有f (-y ) =f (0) -y (-y +1) =1+y (y -1) =y 2-y +1 再令 -y =x 得函数解析式为：f (x ) =x 2+x +1
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得
函数解析式。
例8 设f (x ) 是定义在N +上的函数，满足f (1) =1，对任意的自然数a , b 都有f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，求f (x ) 解 f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，a , b ∈N +，∴不妨令a =x , b =1，得：f (x ) +f (1) =f (x +1) -x ， 又f (1) =1, 故f (x +1) -f (x ) =x +1 ① 分别令①式中的x =1, 2 n -1 得：
a a -1
2
(a t －a －t ) ∴f (x )=
a a -1
2
(a x －a －x )(a >1,x >0;0
(2)由f (1)=a +b +c , f (－1)=a －b +c , f (0)=c
得并且f (1)、f (－1) 、f (0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.
)=－x +2
⎧x +1, x ≤-1
⎪
综上可知：f (x )=⎨2-x 2, -1
⎪-x +2, x ≥1⎩
，设x 表示P 点的行程，f (x ) 表示P A 的长，g (x ) 表示△ABP 的面积，求f (x ) 和g (x ), 并作出g (x ) 的简图.
4x -3mx 4⋅-34x -3m ⋅
mx
. ∴f ［f (x ) ］==x , 整理比较系数得m =3.答案：A
2. 解析：利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1, 最小值为－1，又y =f (x ) 关于x =1对称，故在x >1上，f (x ) 的对称轴为x =3且最小值为－1. 答案：B
二、3. 解析：由f (x )+2f ()=3x 知f ()+2f (x )=3. 由上面两式联立消去f () 可得f (x )=－x .
x
x
x
x
x
1
1
1
1
2
答案：f (x )= －x 4. 解析：∵f (x )=ax 2+bx +c , f (0)=0,可知c =0.又f (x +1)=f (x )+x +1,
x
2
2
2
t ) ·(2－t ) ≤(
1696
2t +2-t +2-t
3
222
) 3=
6427
, 当且仅当2t 2=2－t 2, 即t =
63
时取等号. ∴S 2≤
64⨯827
即S ≤
169
6
,
∴S max =.
+(x -1)
2
7. 解：(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ; 当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD 可得P A =当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =
+(3-x )
2
;
; 当P 点在DA 上运动时，P A =4－x , 故f (x ) 的表达
1
1
2
2
12
如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =AB ·BP =(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △AB P =·1·1=；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =(4
2
2
1
1
－x ).
⎧0 (0≤x ≤1)
⎪1
⎪(x -1) (1
故g (x )=⎪ ⎨1
(2
⎪1(4-x ) (3
8.(1)证明：∵y =f (x ) 是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1), 又y =f (x )(－1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.
(2)解：当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2) 2－5(a ≠0), 由f (1)+f (4)=0得a (1－2) 2－5+a (4－2) 2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2) 2－5(1≤x ≤4).
(3)解：∵y =f (x )(－1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (0)=－f (－0), ∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1) 是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1), ∵f (1)=2(1－2) 2－5=－3, 又f (1)=k ·1=k , ∴k =－3. ∴当0≤x ≤1时，f (x ) =－3x , 当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x , 当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1, ∴f (x )=f (x －5)=
－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4, f (x )=f (x －5)=2［(x －5) －2］2－5=2(x －7) 2－5. ∴
⎧-3x +15 (4≤x ≤6)
f (x )=⎨. 2
2(x -7) -5 (6
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x ) 解：设f (x ) =ax +b
(a ≠0) ，则
2
f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a x +ab +b
⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2
或 ∴⎨∴⎨⎨
⎩b =3⎩ab +b =3⎩b =1
∴f (x ) =2x +1 或 f (x ) =-2x +3
三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定
义域的变化。
例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1) 解：令t =
x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x ∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,
2
2
2
∴f (x ) =x -1 (x ≥1) ∴f (x +1) =(x +1) -1=x +2x (x ≥0)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数y =x 2+x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式 解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M '(x ', y ') 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点
⎧x '+x
=-2⎪2⎧x '=-x -42
则⎨，解得：⎨ ， 点M '(x ', y ') 在y =g (x ) 上 ∴y '=x '+x '
y '+y ⎩y '=6-y ⎪=32⎩
⎧x '=-x -4222
把⎨代入得：6-y =(-x -4) +(-x -4) 整理得y =-x -7x -6 ∴g (x ) =-x -7x -6 ⎩y '=6-y
五例5 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x )
x
1
1
解 f (x ) -2f () =x ① 显然x ≠0, 将x 换成
x
x 3
23x
1x
，得：f () -2f (x ) =
x
11x
②
解① ②联立的方程组，得：f (x ) =--
1x -1
例6 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式
解 f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x ) 又f (x ) +g (x ) =
1x -1
① ，
用-x 替换x 得：f (-x ) +g (-x ) =-
1x +11
即f (x ) -g (x ) =-
1x -x
2
1x +1
②
解① ②联立的方程组，得 f (x ) =
x -1
2
， g (x ) =
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体
化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f (0) =1，对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，求f (x )
解 对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1) 恒成立，
不妨令x =0，则有f (-y ) =f (0) -y (-y +1) =1+y (y -1) =y 2-y +1 再令 -y =x 得函数解析式为：f (x ) =x 2+x +1
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得
函数解析式。
例8 设f (x ) 是定义在N +上的函数，满足f (1) =1，对任意的自然数a , b 都有f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，求f (x ) 解 f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，a , b ∈N +，∴不妨令a =x , b =1，得：f (x ) +f (1) =f (x +1) -x ， 又f (1) =1, 故f (x +1) -f (x ) =x +1 ① 分别令①式中的x =1, 2 n -1 得：
a a -1
2
(a t －a －t ) ∴f (x )=
a a -1
2
(a x －a －x )(a >1,x >0;0
(2)由f (1)=a +b +c , f (－1)=a －b +c , f (0)=c
得并且f (1)、f (－1) 、f (0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.
)=－x +2
⎧x +1, x ≤-1
⎪
综上可知：f (x )=⎨2-x 2, -1
⎪-x +2, x ≥1⎩
，设x 表示P 点的行程，f (x ) 表示P A 的长，g (x ) 表示△ABP 的面积，求f (x ) 和g (x ), 并作出g (x ) 的简图.
4x -3mx 4⋅-34x -3m ⋅
mx
. ∴f ［f (x ) ］==x , 整理比较系数得m =3.答案：A
2. 解析：利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1, 最小值为－1，又y =f (x ) 关于x =1对称，故在x >1上，f (x ) 的对称轴为x =3且最小值为－1. 答案：B
二、3. 解析：由f (x )+2f ()=3x 知f ()+2f (x )=3. 由上面两式联立消去f () 可得f (x )=－x .
x
x
x
x
x
1
1
1
1
2
答案：f (x )= －x 4. 解析：∵f (x )=ax 2+bx +c , f (0)=0,可知c =0.又f (x +1)=f (x )+x +1,
x
2
2
2
t ) ·(2－t ) ≤(
1696
2t +2-t +2-t
3
222
) 3=
6427
, 当且仅当2t 2=2－t 2, 即t =
63
时取等号. ∴S 2≤
64⨯827
即S ≤
169
6
,
∴S max =.
+(x -1)
2
7. 解：(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ; 当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD 可得P A =当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =
+(3-x )
2
;
; 当P 点在DA 上运动时，P A =4－x , 故f (x ) 的表达
1
1
2
2
12
如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =AB ·BP =(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △AB P =·1·1=；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =(4
2
2
1
1
－x ).
⎧0 (0≤x ≤1)
⎪1
⎪(x -1) (1
故g (x )=⎪ ⎨1
(2
⎪1(4-x ) (3
8.(1)证明：∵y =f (x ) 是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1), 又y =f (x )(－1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.
(2)解：当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2) 2－5(a ≠0), 由f (1)+f (4)=0得a (1－2) 2－5+a (4－2) 2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2) 2－5(1≤x ≤4).
(3)解：∵y =f (x )(－1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (0)=－f (－0), ∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1) 是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1), ∵f (1)=2(1－2) 2－5=－3, 又f (1)=k ·1=k , ∴k =－3. ∴当0≤x ≤1时，f (x ) =－3x , 当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x , 当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1, ∴f (x )=f (x －5)=
－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4, f (x )=f (x －5)=2［(x －5) －2］2－5=2(x －7) 2－5. ∴
⎧-3x +15 (4≤x ≤6)
f (x )=⎨. 2
2(x -7) -5 (6