海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习
数 学
2015．6
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．
1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3 119万册，其中古籍善本约有2 000 000册．2 000 000用科学记数法可以表示为
A．0.2⨯10
B．2⨯10 C．20⨯10 D．10⨯2 2.x的取值范围是
A． x≤0 B．x≥0 C．x≤2 D． x≥2
3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为
7
6
5
6
A．
1
B．
C．
D． 34612
4.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形
A B C D
5.如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立
2222
A．(a+b)=a+2ab+b B. (a-b)=a-2ab+b
2
2
a
C. (a+b)(a-b)=a2-b2 D. a(a-b)=a2-ab
6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是 A．甲的方差比乙的方差小 B．甲的方差比乙的方差大 C．甲的平均数比乙的平均数小 D．甲的平均数比乙的平均数大
7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：
对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是：
A．根据“边边边”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB B．根据“边角边”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB C．根据“角边角”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB D．根据“角角边”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB
8.小明家端午节聚会，需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱
A．45元 B．50元 C．55元 D． 60元
9.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图
中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为 A．2 B
C
． D
10.如右图所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处（点O与点P不重合）利用仪器测量了∠POQ的大小．设蜜蜂飞行时间为x，∠POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与
x的函数关系的图象大致是
CA
Q
O
A B C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 将函数y=x2 −2x + 3写成y=a(x-h)+k的形式为 12. 点A,B是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A（2,5），写出一个满足条件的B点的坐标是 ．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BAC的度数为 ．
14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处，点C在点A南偏西15°方向20米处，则点B与点C的距离为 米．
2
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°， BC=1，以B为圆心， BA为半径画弧交CB的延长线与点D，则AC的长为
16. 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为 （7，5），则白子B的坐标为______________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______________的位置处．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
1-1+tan45︒+(-)． 17.
计算：
3
2
18.解不等式(x-1)≤x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
3
A
D
19．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．
求证：∠E=∠D．
2
20.已知x-4x-1=0，求代数式
x-31
-的值． x-4x
21.列方程或方程组解应用题:
小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．
22．已知关于x的方程x2-4x+3a-1=0有两个实数根． （1）求实数a的取值范围； （2）若a为正整数，求方程的根．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，
AE=4，EC=2.
(1)求证：AD=CD；
(2)若tanB=3，求线段AB的长．
24. 小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：
经过调查，他们得到了如下36个数据：
B C B A D A C D B C B C D
C D C E C C A B E A D E C B C B C E D E D D C
（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值； （2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；
（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？ ．（填“适中”或者“不适中”）
25．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上， CE=CA， AB，CE的延长线交于点F ． （1） 求证：CE与⊙O相切；
（2） 若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．
x的个数．小明发
y=x的图象（如图）的
请回答：
（1） 当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为 _______； （2） 当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______； （3） 当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为 _______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：
关于x的不等式x2+a-
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题
7分，第29题8分）
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）.
()
4
（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y=kx+b经过点D和点 E(-1,-2)，求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴
下方，直接写出t的取值范围．
28．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC =α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD， ∠DAE+∠BAC=180°
． （1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD； ②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
图1 图2
图3
29. 如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A(-1,0)，B(-1,1)，C(1,0)，D(1,1)，记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1-T2联络点．
例如，点P(0,)是T1-T2联络点．
（1）以下各点中，__________________是T1-T2联络点（填出所有正确的序号）；
①(0,2)；②(-4,2)；③(3,2).
1
2
图1 备用图
（2）直接在图1中画出所有T1-T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M 为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T1-T2联络点， ①若r=1，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围．
海淀区九年级第二学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
2015．6
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
17.(本小题满分5分)
解：原式=2+1-3……………………..……………………………………………………...4分
4．……………………………………………………………………………………...5分
18. (本小题满分5分) 解法一：去括号
,得
移项， 得
22
x-≤x+1．…………………………………………………………………..1分 33
22
x-x≤1+．…………………………………………………………………..2分 33
合并，得 -1x≤5． ……………………………………………………………………3分
33
系数化为1，得 x ≥-5． …………………………………………………………...……4分
不等式的解集在数轴上表示如下：
． …………………………………………………………5分
解法二：去分母，得 2x-2≤3x+3． …………………………………………………………………1分
移项， 得 2x-3x≤3+2．……………………………………………………………………2分
合并， 得 -x≤5． ………………………………………………………………..3分 系数化为1，得 x≥-5． …………………………………………………………………..4分
不等式的解集在数轴上表示如下：
． …………………………………………………………5分
19．(本小题满分5分) 证明：在△ABC中 ∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB． ……………………………………………1分 ∵∠BAE=∠BCD=90°， 在Rt△EAB和Rt△DCB中， ⎧AB=CB,
⎨
BE=BD,⎩
A
D
∴Rt△EAB≌Rt△DCB． ……………………………………4分 ∴∠E=∠D． …………………………………………5分
20.(本小题满分5分) 解：原式=
x(x-3)xx-4-
x-4
……………………………………………………………………….1分
xx-4x2-3x-x+4=……………………………………………..………………………………2分
xx-4x2-4x+4
．………………………………………………………………………………3分 =
x2-4x
∵x-4x-1=0，
∴x-4x=1．………………………………………………………………………………………4分 ∴原式=
2
2
1+4
=5．………………………………………………………………………………..5分 1
21. (本小题满分5分)
解：设小明家到学校的距离为x米．……………………………………………………………………..1分
xx+40=．………………………………………………………………………..3分3025
解得 x=6000． ……………………………………………………………………..4分
由题意，得
答：小明家到学校的距离为6000米． ………………………………………………………………….5分
22. (本小题满分5分)
解：（1）∵关于x的方程x2-4x+3a-1=0有两个实数根，
∴∆=(-4)2-4(3a-1)≥0．……………………………………………………………………..1分 5
解得 a≤．……………………………………………………………………………………2分
35
∴a的取值范围为a≤．
3
5
（2）∵a≤，且a为正整数，
3
∴a=1．…………………………………………………………………………………………3分
∴方程x2-4x+3a-1=0可化为x2-4x+2=0．
∴此方程的根为x1=2+x2=2………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明： ∵ED⊥AD，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4， ∴∠DEA=60o，DE=∵EC=2， ∴DE=EC． ∴∠EDC=∠C．
又Q∠EDC+∠C=∠DEA=60o,
o
∴∠C=30=∠DAE．
1
AE=2．………………………………………………………………1分 2
∴AD=DC． ………………….…………………………………………………………………2分
（2）解：过点A作AF⊥BC于点F，如图． ∴∠AFC=∠AFB=90°．
∵AE=4，EC=2， ∴AC=6．
在Rt△AFC中，∠AFC =90°，∠C=30°， ∴AF=
1
AC=3 …………………………………………………………………………3分 2
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3， ∴BF=
AF
=1．……….………………………………………………………………………4分
tanB
∴AB=……….……………………………………………………………5分
11
24. (本小题满分5分)
（1）m=8；n=5；………………………………………………………………………………...2分 （2）
………………………………………………………………...4分
（3）适中． ………………………………………………………………………………….5分 25．(本小题满分5分) 证明：连接OE，OC．
在△OEC与△OAC中， ⎧OE=OA,⎪
⎨OC=OC, ⎪CE=CA,⎩
F
∴△OEC≌△OAC．………………………………………………………………………………..1分 ∴∠OEC=∠OAC．
∵∠OAC =90°，
∴∠OEC=90°． ∴OE⊥CF于E．
∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分
（2）解：连接AD．
∵∠OEC=90°， ∴∠OEF=90°．
12
F
∵⊙O的半径为3， ∴OE=OA=3．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4，
∴OF5，………………………………………………………………………3分
tanF=
OE3
=． EF4
在Rt△FAC中，∠FAC=90°，AF=AO+OF=8，
∴AC=AF⋅tanF=6．…………………………………………………………………………4分 ∵AB为直径，
∴AB=6=AC，∠ADB=90°． ∴BD=
BC
． 2
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC
∴BD
=．
26. (本小题满分5分)
解：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x（2）当0＜k＜1（3）当k＞1时，使得原等式成立的x解决问题：将不等式x2+a-
40)与函数y=
4
x
4
∵函数y=的图象经过点A(1,4)，Bx
函数y=x2的图象经过点C(1,1)，D若函数y=x2+a(a>0)经过点A(1,4)结合图象可知，当0
13
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. (本小题满分7分)
解：（1）∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3），
∴m+4=3． ∴m=-1．
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．…………………………………………………………………1分 ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B，C， ∴令y=0，即 -x2+2x+3=0． 解得 x1=-1，x2=3． 又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(3,0)．…………………………………………………...……3分 （2）∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1． ∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标为(1,0)．…………………………………………………………………………...………4分 ∵直线y=kx+b经过点D(1,0)和点E(-1,-2)，
⎧k+b=0,
∴⎨
-k+b=-2.⎩
⎧k=1,
解得⎨
⎩b=-1.
∴直线DE的表达式为y=x-1. ………………………………………………………………………5分 （3）t3 ……………………………………………………………………………………………7分
28．(本小题满分7分)
（1）∠ADE =90︒-α．…………………………………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AB∥EF．
14
∴∠EDC=∠ABC=α． …………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90︒-α
，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90︒． …………………...……3分 ∴AD⊥BC． ∵AB=AC，
∴BD=CD．……………………………………………………………………………………..……………4分 ②证明：
∵AB=AC，∠ABC =α， ∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF, AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α．……………………………………………………………………………………………5分 由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴∠DAC=∠C． ∴AD=CD． ∵AD=AE=BF， ∴BF=CD．
∴BD=CF．………………………………………………………………………………………………………7分
∴点M的坐标为(0，-1)或(0，2)．………………6分
经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为T1-T2联络点，符合题意． ∴点M的坐标为(0，-1)或(0
② 阴影部分关于直线y=
1
2
∵点M在y轴上，⊙M阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于O(0作ME⊥AD于E，设AD与1
∴MO = r，ME > r，F(0，2
在Rt△AOF中，∠AOF=90∴AF=AO=，sin∠AFO=．
AF1
，sin∠EFM=sin∠AFO=，
2
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM = FO + OM = r +∴ME=FM⋅sin∠EFM=． >r．又∵r>0， ∴0
16
海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习
数 学
2015．6
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．
1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3 119万册，其中古籍善本约有2 000 000册．2 000 000用科学记数法可以表示为
A．0.2⨯10
B．2⨯10 C．20⨯10 D．10⨯2 2.x的取值范围是
A． x≤0 B．x≥0 C．x≤2 D． x≥2
3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为
7
6
5
6
A．
1
B．
C．
D． 34612
4.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形
A B C D
5.如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立
2222
A．(a+b)=a+2ab+b B. (a-b)=a-2ab+b
2
2
a
C. (a+b)(a-b)=a2-b2 D. a(a-b)=a2-ab
6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是 A．甲的方差比乙的方差小 B．甲的方差比乙的方差大 C．甲的平均数比乙的平均数小 D．甲的平均数比乙的平均数大
7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：
对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是：
A．根据“边边边”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB B．根据“边角边”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB C．根据“角边角”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB D．根据“角角边”可知，△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'=∠AOB
8.小明家端午节聚会，需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱
A．45元 B．50元 C．55元 D． 60元
9.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图
中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为 A．2 B
C
． D
10.如右图所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处（点O与点P不重合）利用仪器测量了∠POQ的大小．设蜜蜂飞行时间为x，∠POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与
x的函数关系的图象大致是
CA
Q
O
A B C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 将函数y=x2 −2x + 3写成y=a(x-h)+k的形式为 12. 点A,B是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A（2,5），写出一个满足条件的B点的坐标是 ．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BAC的度数为 ．
14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处，点C在点A南偏西15°方向20米处，则点B与点C的距离为 米．
2
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°， BC=1，以B为圆心， BA为半径画弧交CB的延长线与点D，则AC的长为
16. 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为 （7，5），则白子B的坐标为______________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______________的位置处．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
1-1+tan45︒+(-)． 17.
计算：
3
2
18.解不等式(x-1)≤x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
3
A
D
19．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．
求证：∠E=∠D．
2
20.已知x-4x-1=0，求代数式
x-31
-的值． x-4x
21.列方程或方程组解应用题:
小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．
22．已知关于x的方程x2-4x+3a-1=0有两个实数根． （1）求实数a的取值范围； （2）若a为正整数，求方程的根．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，
AE=4，EC=2.
(1)求证：AD=CD；
(2)若tanB=3，求线段AB的长．
24. 小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：
经过调查，他们得到了如下36个数据：
B C B A D A C D B C B C D
C D C E C C A B E A D E C B C B C E D E D D C
（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值； （2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；
（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？ ．（填“适中”或者“不适中”）
25．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上， CE=CA， AB，CE的延长线交于点F ． （1） 求证：CE与⊙O相切；
（2） 若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．
x的个数．小明发
y=x的图象（如图）的
请回答：
（1） 当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为 _______； （2） 当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______； （3） 当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为 _______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：
关于x的不等式x2+a-
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题
7分，第29题8分）
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）.
()
4
（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y=kx+b经过点D和点 E(-1,-2)，求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴
下方，直接写出t的取值范围．
28．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC =α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD， ∠DAE+∠BAC=180°
． （1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD； ②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
图1 图2
图3
29. 如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A(-1,0)，B(-1,1)，C(1,0)，D(1,1)，记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1-T2联络点．
例如，点P(0,)是T1-T2联络点．
（1）以下各点中，__________________是T1-T2联络点（填出所有正确的序号）；
①(0,2)；②(-4,2)；③(3,2).
1
2
图1 备用图
（2）直接在图1中画出所有T1-T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M 为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T1-T2联络点， ①若r=1，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围．
海淀区九年级第二学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
2015．6
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
17.(本小题满分5分)
解：原式=2+1-3……………………..……………………………………………………...4分
4．……………………………………………………………………………………...5分
18. (本小题满分5分) 解法一：去括号
,得
移项， 得
22
x-≤x+1．…………………………………………………………………..1分 33
22
x-x≤1+．…………………………………………………………………..2分 33
合并，得 -1x≤5． ……………………………………………………………………3分
33
系数化为1，得 x ≥-5． …………………………………………………………...……4分
不等式的解集在数轴上表示如下：
． …………………………………………………………5分
解法二：去分母，得 2x-2≤3x+3． …………………………………………………………………1分
移项， 得 2x-3x≤3+2．……………………………………………………………………2分
合并， 得 -x≤5． ………………………………………………………………..3分 系数化为1，得 x≥-5． …………………………………………………………………..4分
不等式的解集在数轴上表示如下：
． …………………………………………………………5分
19．(本小题满分5分) 证明：在△ABC中 ∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB． ……………………………………………1分 ∵∠BAE=∠BCD=90°， 在Rt△EAB和Rt△DCB中， ⎧AB=CB,
⎨
BE=BD,⎩
A
D
∴Rt△EAB≌Rt△DCB． ……………………………………4分 ∴∠E=∠D． …………………………………………5分
20.(本小题满分5分) 解：原式=
x(x-3)xx-4-
x-4
……………………………………………………………………….1分
xx-4x2-3x-x+4=……………………………………………..………………………………2分
xx-4x2-4x+4
．………………………………………………………………………………3分 =
x2-4x
∵x-4x-1=0，
∴x-4x=1．………………………………………………………………………………………4分 ∴原式=
2
2
1+4
=5．………………………………………………………………………………..5分 1
21. (本小题满分5分)
解：设小明家到学校的距离为x米．……………………………………………………………………..1分
xx+40=．………………………………………………………………………..3分3025
解得 x=6000． ……………………………………………………………………..4分
由题意，得
答：小明家到学校的距离为6000米． ………………………………………………………………….5分
22. (本小题满分5分)
解：（1）∵关于x的方程x2-4x+3a-1=0有两个实数根，
∴∆=(-4)2-4(3a-1)≥0．……………………………………………………………………..1分 5
解得 a≤．……………………………………………………………………………………2分
35
∴a的取值范围为a≤．
3
5
（2）∵a≤，且a为正整数，
3
∴a=1．…………………………………………………………………………………………3分
∴方程x2-4x+3a-1=0可化为x2-4x+2=0．
∴此方程的根为x1=2+x2=2………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明： ∵ED⊥AD，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4， ∴∠DEA=60o，DE=∵EC=2， ∴DE=EC． ∴∠EDC=∠C．
又Q∠EDC+∠C=∠DEA=60o,
o
∴∠C=30=∠DAE．
1
AE=2．………………………………………………………………1分 2
∴AD=DC． ………………….…………………………………………………………………2分
（2）解：过点A作AF⊥BC于点F，如图． ∴∠AFC=∠AFB=90°．
∵AE=4，EC=2， ∴AC=6．
在Rt△AFC中，∠AFC =90°，∠C=30°， ∴AF=
1
AC=3 …………………………………………………………………………3分 2
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3， ∴BF=
AF
=1．……….………………………………………………………………………4分
tanB
∴AB=……….……………………………………………………………5分
11
24. (本小题满分5分)
（1）m=8；n=5；………………………………………………………………………………...2分 （2）
………………………………………………………………...4分
（3）适中． ………………………………………………………………………………….5分 25．(本小题满分5分) 证明：连接OE，OC．
在△OEC与△OAC中， ⎧OE=OA,⎪
⎨OC=OC, ⎪CE=CA,⎩
F
∴△OEC≌△OAC．………………………………………………………………………………..1分 ∴∠OEC=∠OAC．
∵∠OAC =90°，
∴∠OEC=90°． ∴OE⊥CF于E．
∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分
（2）解：连接AD．
∵∠OEC=90°， ∴∠OEF=90°．
12
F
∵⊙O的半径为3， ∴OE=OA=3．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4，
∴OF5，………………………………………………………………………3分
tanF=
OE3
=． EF4
在Rt△FAC中，∠FAC=90°，AF=AO+OF=8，
∴AC=AF⋅tanF=6．…………………………………………………………………………4分 ∵AB为直径，
∴AB=6=AC，∠ADB=90°． ∴BD=
BC
． 2
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC
∴BD
=．
26. (本小题满分5分)
解：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x（2）当0＜k＜1（3）当k＞1时，使得原等式成立的x解决问题：将不等式x2+a-
40)与函数y=
4
x
4
∵函数y=的图象经过点A(1,4)，Bx
函数y=x2的图象经过点C(1,1)，D若函数y=x2+a(a>0)经过点A(1,4)结合图象可知，当0
13
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. (本小题满分7分)
解：（1）∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3），
∴m+4=3． ∴m=-1．
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．…………………………………………………………………1分 ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B，C， ∴令y=0，即 -x2+2x+3=0． 解得 x1=-1，x2=3． 又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(3,0)．…………………………………………………...……3分 （2）∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1． ∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标为(1,0)．…………………………………………………………………………...………4分 ∵直线y=kx+b经过点D(1,0)和点E(-1,-2)，
⎧k+b=0,
∴⎨
-k+b=-2.⎩
⎧k=1,
解得⎨
⎩b=-1.
∴直线DE的表达式为y=x-1. ………………………………………………………………………5分 （3）t3 ……………………………………………………………………………………………7分
28．(本小题满分7分)
（1）∠ADE =90︒-α．…………………………………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AB∥EF．
14
∴∠EDC=∠ABC=α． …………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90︒-α
，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90︒． …………………...……3分 ∴AD⊥BC． ∵AB=AC，
∴BD=CD．……………………………………………………………………………………..……………4分 ②证明：
∵AB=AC，∠ABC =α， ∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF, AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α．……………………………………………………………………………………………5分 由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴∠DAC=∠C． ∴AD=CD． ∵AD=AE=BF， ∴BF=CD．
∴BD=CF．………………………………………………………………………………………………………7分
∴点M的坐标为(0，-1)或(0，2)．………………6分
经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为T1-T2联络点，符合题意． ∴点M的坐标为(0，-1)或(0
② 阴影部分关于直线y=
1
2
∵点M在y轴上，⊙M阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于O(0作ME⊥AD于E，设AD与1
∴MO = r，ME > r，F(0，2
在Rt△AOF中，∠AOF=90∴AF=AO=，sin∠AFO=．
AF1
，sin∠EFM=sin∠AFO=，
2
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM = FO + OM = r +∴ME=FM⋅sin∠EFM=． >r．又∵r>0， ∴0
16