海淀区九年级第一学期期中测评
数 学 试 卷
（分数：120分 时间：120分钟） 2015.11
学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的．．位置.
1．一元二次方程2x 2-x -3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A ．2,1,3 B ．2,1, -3 C ． 2, -1, 3 D ．2, -1, -3 2．下列图形是中心对称图形的是
A ． B ． C ． D ．
3．二次函数y =-(x +1)2-2的最大值是
A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
4．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆内
B ．点P 在圆上
C ．点P 在圆外
D ．不能确定
5．将抛物线y =x 2沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A ．y =x +2 B ．y =x -2 C ．y =(x +2) D ．y =(x -2)
2
2
2
2
6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为
A ．9π B ．6π C ．3π D ．π 7．用配方法解方程x 2+4x =3，下列配方正确的是
A ．(x -2)=1 B ．(x -2)=7 C ．(x +2)=7 D ．(x +2)=1
2
2
22
8．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列选 项中不正确的是 ．．．
A ．a
B ．c >0
b
9．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若∠DBC =33 ，则∠A 等于
A ． 33
B ．57 C ．67 D ．66
10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是
A ．7分 B ．6.5分 C ．6分 D ．5.5分 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程x 2-4=0的解为
_______________．
12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．若二次函数y =2x 2-5的图象上有两个点A (2,a ) 、B (3,b ) ， 则a____b （填“”）．
14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，则∠ABC =______°．
15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______1.4）．
16．如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0︒
B
'
C
'
、A ' C ' 、OA ' 、OB ' ． （1）∠A ' OB ' =_______〬； （2）当α
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
= 〬时，△A ' B ' C ' 的周长最大．
17．解方程：x 2=3x -2．
18．若抛物线y =x 2+3x +a 与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．
19．已知点(3, 0)在抛物线y =-3x 2+(k +3) x -k 上，求此抛物线的对称轴．
20．如图，AC 是⊙O 的直径，P A , PB 是⊙O 的切线，A , B为切点，∠BAC =25 ．求∠P 的度数．
21．已知x =1是方程x 2-5ax +a 2=0的一个根，求代数式3a 2-15a -7的值．
22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1.6m ．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m ，求水面下降的高度．
23．已知关于x 的方程3x 2-(a -3) x -a =0(a >0) . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．
24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m
，那么它的下部应设计为多高
2.2 ）．
25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC
AD =1，求∠CAD 的度数．
26．抛物线y 1=x
2
+bx +c 与直线y 2=-2x +m 相交于A (-2, n ) 、B (2,-3) 两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若-4≤x ≤1，则y 2-y 1的最小值为________.
∠PCD =2∠BAC . 27. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D . P 为AB 延长线上一点，
（1）求证：CP 为⊙O 的切线； （2）BP =1
，CP = ①求⊙O 的半径；
②若M 为AC 上一动点，则OM +DM 的最小值为
28. 探究活动：
利用函数y =(x -1)(x -2) 的图象(如图1)
和性质，探究函数y =. 下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)
函数y =x 的取值范围是___________；
(2)如图2
，他列表描点画出了函数y =
图1 图2 解决问题：
11
x -b =0的两根为x 1、x 2，且x 1
44
根为x 3、x 4，且x 3
若1
x 1、x 2、x 3、x 4的大小关系为
29．在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕
点A 顺时针旋转60︒得到点Q . 点N 为x 轴上一动点（N 不与A 重合 ），将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P . PQ 与x 轴所夹锐角为α. （1） 如图1，若点M 的横坐标为
1
，点N 与点O 重合，则α=________︒； 2
（2） 若点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求
α的度数；
（3） 当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________.
图1 图2 备用图
海淀区九年级第一学期期中测评
数学试卷参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：x 2-3x +2=0. ……………………………………………1分
(x -1)(x -2) =0． ……………………………………………3分
∴x -1=0或x -2=0．
∴x 1=1, x 2=2. ………………………………………………………5分
18．解：∵抛物线y =x 2+3x +a 与x 轴只有一个交点，
∴∆=0，………………………………………2分
即9-4a =0．……………………………………………4分 ∴a =
19．解：∵点
(3, 0)在抛物线y =-3x 2+(k +3) x -k 上，
∴0=-3⨯32+3(k +3) -k ．………………………………………2分 ∴k =9．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为y =-3x 2+12x -9．
∴对称轴为x =2．……………………………………………5分
20．解：∵P A , PB 是⊙O 的切线，
∴P A =PB ．………………………………………1分
∴∠PAB =∠PBA ．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．
∴∠PAC =90º．………………………………………3分
9
．……………………………………………5分 4
∵∠BAC =25º，
∴∠PAB =65º．………………………………………4分
∴∠P =180 -2∠PAB =50º．………………………………………5分
21．解：∵x =1是方程x 2-5ax +a 2=0的一个根，
∴1-5a +a 2=0．………………………………………2分 ∴a 2-5a =-1．…………………………………………3分 ∴原式=3(a 2-5a ) -7 ………………………………………4分
=-10．………………………………………5分
22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分
∴∠ONC =90º.
∵AB ∥CD ，
∴∠OMA =∠ONC =90º． ∵AB =1.6，CD =1.2， ∴AM =
11
AB =0.8，CN =CD =0.6． …………………………2分 22
在Rt △OAM 中， ∵OA =1，
∴OM ==0.6． ………………………………3分 同理可得ON =0.8．………………………………4分
∴MN =ON -OM =0.2.
答：水面下降了0.2米．…………………………5分
23．（1）证明： ∆=(a -3) -4⨯3⨯(-a ) =(a +3) ．……………………………1分
∵a >0， ∴(a +3) >0．
即∆>0．
∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分
（2）解方程，得x 1=-1, x 2=∵方程有一个根大于2， ∴
2
22
a
．……………………………………………4分 3
a
>2．
3
∴a >6．……………………………………………5分
24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有AC :BC =BC :2，即
BC 2=2AC ．
设BC 为x m. …………………………………1分
依题意，得x 2=2(2-x ) ．. ………………………………………3分 解得x 1=-1+, x 2=-1-（不符合题意，舍去）．……4分
1≈1.2．
答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分
25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB =90º． 在Rt △ACB 中， ∵AB
=2，AC
∴BC =．
∴∠BAC =45º．………………2分 ∵OA =OD =AD =1，
∴∠BAD =60º．………………3分
∴∠CAD =∠BAD +∠BAC =105º．………………4分
当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得∠BAC =45︒，
∠BAD =60︒．
∴∠CAD =∠BAD -∠BAC =15º．
∴∠CAD 为15º或105º． …………………5分
26．解：（1）∵直线y 2=-2x +m 经过点B （2，-3），
∴-3=-2⨯2+m ．
∴m =1．……………………………………………1分 ∵直线y 2=-2x +m 经过点A （-2，n ），
∴n =5．……………………………………………2分 ∵抛物线y 2
1=x
+bx +c 过点A 和点B ，
∴⎧⎨5=4-2b
+c ,
⎩
-3=4+2b +c .
⎧b =-2, ∴⎨
c =-3. ⎩
∴y 1=x 2-2x -3．……………………………………………4分 （2）-12. ……………………………………………5分
27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分
∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ， ∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ，
∴∠ODC =90︒．
∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．
∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r . 在Rt △OCP 中，OC 2+CP 2=OP 2．
∵BP =1, CP =
∴r 2+2=(r +1) 2． ………………………4分 解得r =2．
∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分
②
28．解：（1）x ≤1或x ≥2；……………………………………………2分 （2）如图所示：
． ……………………………………………7分 3
……………………………………5分
x 1
29. 解：（1）60. ……………………………………………2分
（2）
. ……………………………………………3分
连接MQ , MP . 记MQ , PQ 分别交x 轴于E , F .
∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分
∴MA =MQ ，MN =MP ，∠AMQ =∠NMP =60︒.
∴∠AMN =∠QMP . ∴△MAN ≌△MQP . . ………………………………5分
∴∠MAN =∠MQP .
∵∠AEM =∠QEF ，
∴∠QFE =∠AMQ =60︒.
∴α=60︒. . …………………………………………….6分
（3）
（
11，）或（--）. ………………………8分 2
222
11
海淀区九年级第一学期期中测评
数 学 试 卷
（分数：120分 时间：120分钟） 2015.11
学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的．．位置.
1．一元二次方程2x 2-x -3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A ．2,1,3 B ．2,1, -3 C ． 2, -1, 3 D ．2, -1, -3 2．下列图形是中心对称图形的是
A ． B ． C ． D ．
3．二次函数y =-(x +1)2-2的最大值是
A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
4．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆内
B ．点P 在圆上
C ．点P 在圆外
D ．不能确定
5．将抛物线y =x 2沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A ．y =x +2 B ．y =x -2 C ．y =(x +2) D ．y =(x -2)
2
2
2
2
6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为
A ．9π B ．6π C ．3π D ．π 7．用配方法解方程x 2+4x =3，下列配方正确的是
A ．(x -2)=1 B ．(x -2)=7 C ．(x +2)=7 D ．(x +2)=1
2
2
22
8．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列选 项中不正确的是 ．．．
A ．a
B ．c >0
b
9．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若∠DBC =33 ，则∠A 等于
A ． 33
B ．57 C ．67 D ．66
10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是
A ．7分 B ．6.5分 C ．6分 D ．5.5分 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程x 2-4=0的解为
_______________．
12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．若二次函数y =2x 2-5的图象上有两个点A (2,a ) 、B (3,b ) ， 则a____b （填“”）．
14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，则∠ABC =______°．
15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______1.4）．
16．如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0︒
B
'
C
'
、A ' C ' 、OA ' 、OB ' ． （1）∠A ' OB ' =_______〬； （2）当α
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
= 〬时，△A ' B ' C ' 的周长最大．
17．解方程：x 2=3x -2．
18．若抛物线y =x 2+3x +a 与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．
19．已知点(3, 0)在抛物线y =-3x 2+(k +3) x -k 上，求此抛物线的对称轴．
20．如图，AC 是⊙O 的直径，P A , PB 是⊙O 的切线，A , B为切点，∠BAC =25 ．求∠P 的度数．
21．已知x =1是方程x 2-5ax +a 2=0的一个根，求代数式3a 2-15a -7的值．
22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1.6m ．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m ，求水面下降的高度．
23．已知关于x 的方程3x 2-(a -3) x -a =0(a >0) . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．
24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m
，那么它的下部应设计为多高
2.2 ）．
25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC
AD =1，求∠CAD 的度数．
26．抛物线y 1=x
2
+bx +c 与直线y 2=-2x +m 相交于A (-2, n ) 、B (2,-3) 两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若-4≤x ≤1，则y 2-y 1的最小值为________.
∠PCD =2∠BAC . 27. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D . P 为AB 延长线上一点，
（1）求证：CP 为⊙O 的切线； （2）BP =1
，CP = ①求⊙O 的半径；
②若M 为AC 上一动点，则OM +DM 的最小值为
28. 探究活动：
利用函数y =(x -1)(x -2) 的图象(如图1)
和性质，探究函数y =. 下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)
函数y =x 的取值范围是___________；
(2)如图2
，他列表描点画出了函数y =
图1 图2 解决问题：
11
x -b =0的两根为x 1、x 2，且x 1
44
根为x 3、x 4，且x 3
若1
x 1、x 2、x 3、x 4的大小关系为
29．在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕
点A 顺时针旋转60︒得到点Q . 点N 为x 轴上一动点（N 不与A 重合 ），将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P . PQ 与x 轴所夹锐角为α. （1） 如图1，若点M 的横坐标为
1
，点N 与点O 重合，则α=________︒； 2
（2） 若点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求
α的度数；
（3） 当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________.
图1 图2 备用图
海淀区九年级第一学期期中测评
数学试卷参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：x 2-3x +2=0. ……………………………………………1分
(x -1)(x -2) =0． ……………………………………………3分
∴x -1=0或x -2=0．
∴x 1=1, x 2=2. ………………………………………………………5分
18．解：∵抛物线y =x 2+3x +a 与x 轴只有一个交点，
∴∆=0，………………………………………2分
即9-4a =0．……………………………………………4分 ∴a =
19．解：∵点
(3, 0)在抛物线y =-3x 2+(k +3) x -k 上，
∴0=-3⨯32+3(k +3) -k ．………………………………………2分 ∴k =9．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为y =-3x 2+12x -9．
∴对称轴为x =2．……………………………………………5分
20．解：∵P A , PB 是⊙O 的切线，
∴P A =PB ．………………………………………1分
∴∠PAB =∠PBA ．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．
∴∠PAC =90º．………………………………………3分
9
．……………………………………………5分 4
∵∠BAC =25º，
∴∠PAB =65º．………………………………………4分
∴∠P =180 -2∠PAB =50º．………………………………………5分
21．解：∵x =1是方程x 2-5ax +a 2=0的一个根，
∴1-5a +a 2=0．………………………………………2分 ∴a 2-5a =-1．…………………………………………3分 ∴原式=3(a 2-5a ) -7 ………………………………………4分
=-10．………………………………………5分
22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分
∴∠ONC =90º.
∵AB ∥CD ，
∴∠OMA =∠ONC =90º． ∵AB =1.6，CD =1.2， ∴AM =
11
AB =0.8，CN =CD =0.6． …………………………2分 22
在Rt △OAM 中， ∵OA =1，
∴OM ==0.6． ………………………………3分 同理可得ON =0.8．………………………………4分
∴MN =ON -OM =0.2.
答：水面下降了0.2米．…………………………5分
23．（1）证明： ∆=(a -3) -4⨯3⨯(-a ) =(a +3) ．……………………………1分
∵a >0， ∴(a +3) >0．
即∆>0．
∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分
（2）解方程，得x 1=-1, x 2=∵方程有一个根大于2， ∴
2
22
a
．……………………………………………4分 3
a
>2．
3
∴a >6．……………………………………………5分
24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有AC :BC =BC :2，即
BC 2=2AC ．
设BC 为x m. …………………………………1分
依题意，得x 2=2(2-x ) ．. ………………………………………3分 解得x 1=-1+, x 2=-1-（不符合题意，舍去）．……4分
1≈1.2．
答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分
25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB =90º． 在Rt △ACB 中， ∵AB
=2，AC
∴BC =．
∴∠BAC =45º．………………2分 ∵OA =OD =AD =1，
∴∠BAD =60º．………………3分
∴∠CAD =∠BAD +∠BAC =105º．………………4分
当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得∠BAC =45︒，
∠BAD =60︒．
∴∠CAD =∠BAD -∠BAC =15º．
∴∠CAD 为15º或105º． …………………5分
26．解：（1）∵直线y 2=-2x +m 经过点B （2，-3），
∴-3=-2⨯2+m ．
∴m =1．……………………………………………1分 ∵直线y 2=-2x +m 经过点A （-2，n ），
∴n =5．……………………………………………2分 ∵抛物线y 2
1=x
+bx +c 过点A 和点B ，
∴⎧⎨5=4-2b
+c ,
⎩
-3=4+2b +c .
⎧b =-2, ∴⎨
c =-3. ⎩
∴y 1=x 2-2x -3．……………………………………………4分 （2）-12. ……………………………………………5分
27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分
∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ， ∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ，
∴∠ODC =90︒．
∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．
∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r . 在Rt △OCP 中，OC 2+CP 2=OP 2．
∵BP =1, CP =
∴r 2+2=(r +1) 2． ………………………4分 解得r =2．
∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分
②
28．解：（1）x ≤1或x ≥2；……………………………………………2分 （2）如图所示：
． ……………………………………………7分 3
……………………………………5分
x 1
29. 解：（1）60. ……………………………………………2分
（2）
. ……………………………………………3分
连接MQ , MP . 记MQ , PQ 分别交x 轴于E , F .
∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分
∴MA =MQ ，MN =MP ，∠AMQ =∠NMP =60︒.
∴∠AMN =∠QMP . ∴△MAN ≌△MQP . . ………………………………5分
∴∠MAN =∠MQP .
∵∠AEM =∠QEF ，
∴∠QFE =∠AMQ =60︒.
∴α=60︒. . …………………………………………….6分
（3）
（
11，）或（--）. ………………………8分 2
222
11