100以内的勾股数:
i=3 j=4 k=5
i=5 j=12 k=13
i=6 j=8 k=10
i=7 j=24 k=25
i=8 j=15 k=17
i=9 j=12 k=15
i=9 j=40 k=41
i=10 j=24 k=26
i=11 j=60 k=61
i=12 j=16 k=20
i=12 j=35 k=37
i=13 j=84 k=85
i=14 j=48 k=50
i=15 j=20 k=25
i=15 j=36 k=39
i=16 j=30 k=34
i=16 j=63 k=65
i=18 j=24 k=30
i=18 j=80 k=82
i=20 j=21 k=29
i=20 j=48 k=52
i=21 j=28 k=35
i=21 j=72 k=75
i=24 j=32 k=40
i=24 j=45 k=51
i=24 j=70 k=74
i=25 j=60 k=65
i=27 j=36 k=45
i=28 j=45 k=53
i=30 j=40 k=50
i=30 j=72 k=78
i=32 j=60 k=68
i=33 j=44 k=55
i=33 j=56 k=65
i=35 j=84 k=91
i=36 j=48 k=60
i=36 j=77 k=85
i=39 j=52 k=65
i=39 j=80 k=89
i=40 j=42 k=58
i=40 j=75 k=85
i=42 j=56 k=70
i=45 j=60 k=75
i=48 j=55 k=73
i=48 j=64 k=80
i=51 j=68 k=85
i=54 j=72 k=90
i=57 j=76 k=95
i=60 j=63 k=87
i=65 j=72 k=97
勾股数的常用套路
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c 互质的勾股数组。 关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a 为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a 的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a 为大于4的偶数2n 时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a 的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n 为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n 为偶数时由于b 、c 是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
========Edward补充========
对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充,即1个N 会有多对的勾股数, 例如:
n=9时(a,b,c )=(9,24,25)or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
n=12时(a,b,c )= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*(3,4,5)
=========ShangJingbo补充=======
还有诸如此类的勾股数,20、21、29;
119、120、169;
696、697、985;
4059、4060、5741;
23660、23661、33461;
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109常见的几种通式:
(1) (3, 4, 5), (6, 8,10) … …
3n,4n,5n (n是正整数)
(2) (5,12,13) , ( 7,24,25), ( 9,40,41) … …
2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n是正整数)
(3) (8,15,17), (12,35,37) … …
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1 (n是正整数)
(4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n 均是正整数,m>n)
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。
例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x 、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182
常用勾股数口诀记忆
3,4,5 :三四五
5,12,13 :5·12记一生
8,15,17 :八月十五再一起
7,24,25 :企鹅是二百五
勾股数须知
连续的勾股数只有3,4,5
100以内的勾股数:
i=3 j=4 k=5
i=5 j=12 k=13
i=6 j=8 k=10
i=7 j=24 k=25
i=8 j=15 k=17
i=9 j=12 k=15
i=9 j=40 k=41
i=10 j=24 k=26
i=11 j=60 k=61
i=12 j=16 k=20
i=12 j=35 k=37
i=13 j=84 k=85
i=14 j=48 k=50
i=15 j=20 k=25
i=15 j=36 k=39
i=16 j=30 k=34
i=16 j=63 k=65
i=18 j=24 k=30
i=18 j=80 k=82
i=20 j=21 k=29
i=20 j=48 k=52
i=21 j=28 k=35
i=21 j=72 k=75
i=24 j=32 k=40
i=24 j=45 k=51
i=24 j=70 k=74
i=25 j=60 k=65
i=27 j=36 k=45
i=28 j=45 k=53
i=30 j=40 k=50
i=30 j=72 k=78
i=32 j=60 k=68
i=33 j=44 k=55
i=33 j=56 k=65
i=35 j=84 k=91
i=36 j=48 k=60
i=36 j=77 k=85
i=39 j=52 k=65
i=39 j=80 k=89
i=40 j=42 k=58
i=40 j=75 k=85
i=42 j=56 k=70
i=45 j=60 k=75
i=48 j=55 k=73
i=48 j=64 k=80
i=51 j=68 k=85
i=54 j=72 k=90
i=57 j=76 k=95
i=60 j=63 k=87
i=65 j=72 k=97
勾股数的常用套路
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c 互质的勾股数组。 关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a 为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a 的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a 为大于4的偶数2n 时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a 的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n 为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n 为偶数时由于b 、c 是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
========Edward补充========
对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充,即1个N 会有多对的勾股数, 例如:
n=9时(a,b,c )=(9,24,25)or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
n=12时(a,b,c )= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*(3,4,5)
=========ShangJingbo补充=======
还有诸如此类的勾股数,20、21、29;
119、120、169;
696、697、985;
4059、4060、5741;
23660、23661、33461;
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109常见的几种通式:
(1) (3, 4, 5), (6, 8,10) … …
3n,4n,5n (n是正整数)
(2) (5,12,13) , ( 7,24,25), ( 9,40,41) … …
2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n是正整数)
(3) (8,15,17), (12,35,37) … …
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1 (n是正整数)
(4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n 均是正整数,m>n)
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。
例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x 、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182
常用勾股数口诀记忆
3,4,5 :三四五
5,12,13 :5·12记一生
8,15,17 :八月十五再一起
7,24,25 :企鹅是二百五
勾股数须知
连续的勾股数只有3,4,5