《概率论与数理统计》期末试题（1）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件A , B 仅发生一个的概率为0.3，且P (A ) +P (B ) =0. 5，则A , B 至少有一个不发
生的概率为__________.
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且P (X ≤1) =4P (X =2) ，则P (X =3) =______. 3． 设随机变量X 在区间(0, 2) 上服从均匀分布，则随机变量Y =X 2在区间(0, 4) 内的概率
密度为____________
4． 设随机变量X , Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P (X >1) =e -2，则
λ=_________，P {min(X , Y ) ≤1}
5． 设总体X 的概率密度为
θ
⎧⎪(θ+1) x , 0
f (x ) =⎨ θ>-1.
⎪其它⎩0,
X 1, X 2, , X n 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A , B , C 为三个事件，且A , B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （ ） （A ）若P (C ) =1，则AC 与BC 也独立. （B ）若P (C ) =1，则A C 与B 也独立. （C ）若P (C ) =0，则A C 与B 也独立.
（D ）若C ⊂B ，则A 与C 也独立.
2．设随机变量X ~N (0,1),X 的分布函数为Φ(x ) ，则P (|X |>2) 的值为（ ） （A ）2[1-Φ(2)]. （B ）2Φ(2)-1.
（C ）2-Φ(2). （D ）1-2Φ(2). 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 () （A ）X 与Y 独立. （B ）D (X -Y ) =DX +DY . （C ）D (X -Y ) =DX -DY . （D ）D (XY ) =DXDY . 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(X , Y ) (1,1)(1,2) (1,3)(2,1)(2,2) (2,3)
1111
P αβ
69183
若X , Y 独立，则α, β的值为 ()
2112
（A ）α=, β=. （A ）α=, β=.
99991151
, β=. （C ） α=, β= （D ）α=
661818
5．设总体X 的数学期望为μ, X 1, X 2, , X n 为来自X 的样本，则下列结论中正确的是()
（A ）X 1是μ的无偏估计量. （B ）X 1是μ的极大似然估计量. （C ）X 1是μ的相合（一致）估计量. （D ）X 1不是μ的估计量.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.
五、（10分）设二维随机变量(X , Y ) 在区域D ={(x , y ) |x ≥0, y ≥0, x +y ≤1} 上服从均匀分布. 求（1）(X , Y ) 关于X 的边缘概率密度；（2）Z =X +Y 的分布函数与概率密度.
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从N (0,22) 分布. 求（1）命中环形区域D ={(x , y ) |1≤x 2+y 2≤2}的概率；（2
）命中点到目标中心距离Z =
2
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）X ~N (μ, σ) ，今抽取容量为16的
2
样本，测得样本均值=10，样本方差s =0.16. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；
.
（2）检验假设H 0:σ2≤0.1（显著性水平为0.05）.
（附注）t 0.05(16)=1.746, t 0.05(15)=1.753, t 0.025(15)=2.132,
222χ0.05(16)=26.296, χ0.05(15)=24.996, χ0.025(15)=27.488.
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设P (A ) =0.5, P (B ) =0.6, P (B |) =0.8，则A , B 至少发生一个的概率为
___P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =1.1-0.2=0.9______.
（2） 设X 服从泊松分布，若EX 2=6，则P(X>1) =__________
⎧1
⎪(x +1), 0
（3） 设随机变量X 的概率密度函数为f (x ) =⎨4 今对X 进行8次
⎪, 其他.⎩0
5315
独立观测，以Y 表示观测值大于1的观测次数，则DY =8⨯⨯=
888
1
（4） 元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够
100
正常工作100小时以上的概率为
（5） 设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布N (μ, σ2) ，今随机地测量16个零
件，得
16
16
∑X
i =1
i
=8，∑X i 2=34. 在置信度0.95下，μ的置信区
i =1
(t 0. 0(1=) 55 2. 1315) 1. 753t 1, 0. 025=(15)
二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）
（1）A , B , C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ） （A ）(A -B ) B =A B . （B ）(A B ) -A =B .
（C ）(A B ) -AB = .
（D ）(A B ) =(A -C ) (B -C ) .
（2）设X 1, X 2是随机变量，其分布函数分别为F 1(x ), F 2(x ) ，为使
F (x ) =aF 1(x ) +bF 2(x ) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值（ ）
中应取
3222
, b =-. （B ）a =, b =. 55331313
（C ）a =-, b =. （D ）a =, b =.
2222
（3）设随机变量X 的分布函数为F X (x ) ，则Y =3-5X 的分布函数为F Y (y ) =（ ）
（A ）a =
（A ）F X (5y -3) . （B ）5F X (y ) -3. （C ）F X (
y +33-y
) . （D ）1-F X () . 55
1
（4）设随机变量X 1, X 2的概率分布为 . 1 i =1, 2
P
4
且满足P (X 1X 2=
0) =1，则X 1, X 2的相关系数为ρX X = （ ）
12
11
. （C ）. （D ）-1. 42
1
, B ~2, X , ) Y 相互独立，根据切比 （5）设随机变量X ~U [0, 6]Y 且
4
雪夫不等式有P (X -3
55
（A ）≤0.25. （B ）≤. （C ）≥0.75. （D ）≥.
1212
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，
（A ）0. （B ）
求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。
四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参
数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）
X i
-10
1142
EY 和DY . (Φ(2)=0.977, Φ(1)=0.8413)
五、（10分）设(X , Y ) 在由直线x =1, x =e , y =0及曲线y =
上服从均匀分布，
（1）求边缘密度f X (x ) 和f Y (y ) ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求P (X +Y ≥2) .
2
1
所围成的区域 x
六、（8分）二维随机变量(X , Y ) 在以(-1, 0), (0,1), (1, 0) 为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z =X +Y 的概率密度。
七、（9分）已知分子运动的速度X 具有概率密度
x 2
) ⎧2-(α, x >0, α>0, f (x ) = x 1, x 2, , x n 为X 的简单随
0, x ≤0. ⎩
机样本
（1） 求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的
无偏估计。
八、（5分）一工人负责n 台同样机床的维修，这n 台机床自左到右排在一条直
线上，相邻两台机床的距离为a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为
1
，且相互独立，若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 n
的路程，求EZ .
《概率论与数理统计》期末试题（3）
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且
P (A ) =P (B ) =0.5，P (C ) =0.2，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的
概率为P (+) =P () +P ()
（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2
个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为____P (B 2|A ) =（3） 设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨
1___. 2
⎧2x , 0
现对X 进行四次独立重复观
⎩0, 其它,
1522
察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则EY =DY +(EY ) =+1=.
44
（4） 设二维离散型随机变量(X , Y ) 的分布列为
(X , Y ) (1,0) (1,1)(2, 0) (2,1)
P 0.40.2a b
若EXY =0.8，则cov(X , Y ) =EXY -EXEY =0.8-0.7=0.1.
2
（5） 设X 1, X 2, , X 17是总体N (μ, 4) 的样本，S 是样本方差，若P (S 2>a ) =0.01，则
a =______8______.
2222
（注：χ0.01(17)=33.4, χ0.005(17)=35.7, χ0.01(16)=32.0, χ0.005(16)=34.2）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
（1）设A 、B 、C 为三个事件，P (AB ) >0且P (C |AB ) =1，则有 （ C ） （A ）P (C ) ≤P (A ) +P (B ) -1. （B ）P (C ) ≤P (A B ). （C ）P (C ) ≥P (A ) +P (B ) -1. （D ）P (C ) ≥P (A B ). （2）设随机变量X 的概率密度为
f (x ) =
-
(x +2) 2
4
, -∞
且Y =aX +b ~N (0,1)，则在下列各组数中应取 （ B ） （A ）a =1/2, b =1. （B ）a =2, b
（C ）a =1/2, b =-1. （D ）a =2, b = （3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为
X P
01
0.40.6
Y 01
P 0.40.6
则有 （ C）
（A ）P (X =Y ) =0. （B ）P (X =Y ) =0.5. （C ）P (X =Y ) =0.52. （D ）P (X =Y ) =1. （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则E [E (EX )]等于 （ C ）
（A ）0. （B ）X . （C ）EX . （D ）(EX ) 3.
（5）设x 1, x 2, , x n 为正态总体N (μ, 4) 的一个样本，表示样本均值，则μ的置信度为
1-α的置信区间为 （ D ）
（A
）(-u α/2+u α/2
（B
）(-u 1-α/2+u α/2
（C
）(-u α+u α
（D
）(-u α/2+u α/2
三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
四、（10分）设随机变量X 的概率密度为
⎧ax +1, 0≤x ≤2,
f (x ) =⎨
0, 其它. ⎩
求（1）常数a ； （2）X 的分布函数F (x ) ； （3）P (1
五、（12分）设(X , Y ) 的概率密度为
⎧e -x , 0
f (x , y ) =⎨
其它. ⎩0,
求（1）边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) ； （2）P (X +Y
六、（10分）（1）设X ~U [0,1]，Y ~U [0,1]且X 与Y 独立，求E |X -Y |； （2）设X ~N (0,1),Y ~N (0,1)且X 与Y 独立，求E |X -Y |. 七、（10分）设总体的概率密度为
⎧θx θ-1, 0
(θ>0) f (x ; θ) =⎨
其它. ⎩0,
试用来自总体的样本x 1, x 2, , x n ，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计.
《概率论与数理统计》期末试题（1）
一、填空题 1. 0.9 2.
1-1
e
6
0
4. 2 =1-e -4
= 5. θ
11n
∑ln x i n i =1
-1
二、单项选择题 1~5 D A B A A
三、解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’
则（1） P (A ) =P (B ) P (A |B ) +P () P (A |) =0.9⨯0.95+0.1⨯0.02=0.857. （2） P (B |A ) =
P (AB ) 0.9⨯0.95
==0.9977. P (A ) 0.85725
35
四、解：X 的概率分布为 P (X =k ) =C 3() ()
k
k
3-k
k =0,1, 2,3.
X
即
P
[***********]38 125
X 的分布函数为
⎧0, ⎪27⎪, 125⎪⎪⎪81
, F (x ) =⎨⎪125⎪117⎪125, ⎪⎪⎩1,
x
EX =3⨯
26=, 552318
DX =3⨯⨯=.
5525
）(X , Y ) 的概率密度为 f (x , y ) =⎨
⎩0,
⎧2, (x , y ) ∈D
其它.
f X (x ) =
（2）利用公式f Z (z ) =
⎰
+∞-∞
⎧2-2x , 0≤x ≤1
f (x , y ) dy =⎨
0, 其它⎩
⎰
+∞-∞
f (x , z -x ) dx
其中f (x , z -x ) =⎨
⎧2, 0≤x ≤1,0≤z -x ≤1-x
⎩0, 其它
⎧2, 0≤x ≤1, x ≤z ≤1. =⎨ ⎩0, 其它.
当 z 1时f Z (z ) =0 0≤z ≤1时 f Z (z ) =2 故Z 的概率密度为
⎰
z 0
dx =2x 0=2z
z
⎧⎪2z , 0≤z ≤1,
f Z (z ) =⎨
⎪⎩0, 其它.
Z 的分布函数为
z -∞
f Z (z ) =
⎰
z
⎪⎪⎪z
f Z (y ) dy =⎨⎰2ydy , 0≤z ≤1=⎨z 2, 0≤z ≤1,
0⎪⎪1, z >1.
⎩z >1⎪⎩1,
或利用分布函数法
⎧
z
⎪
F Z (z ) =P (Z ≤z z 1, ) =P (X +Y ≤) z , y 0≤≤⎨=⎰⎰2d x d
⎪D 1
⎪1, z >1. ⎩
⎧0,
⎪2
, =⎨z ⎪1, ⎩
f Z (z ) =F Z '(z ) =⎨
z 1.
⎧2z , ⎩0,
0≤z ≤1, 其它.
六、解： （1）P {X , Y ) ∈D }=
⎰⎰f (x , y ) dxdy
D
1-
=⎰⎰2π⋅4D
=-
x 2+y 2
8
1
dxdy =
8π
r 2-8
2
⎰⎰
0-18
2π21
e
-
r 28
rdrd θ
⎰
21
e
r 2-8
r
d (-) =-e
8
2
=e -1x 2+y 28
-
1 （2）EZ =E =
⎰⎰
-∞r 28
+∞-∞
1-
e
8π
r 2
1
=
8π
⎰⎰
2π+∞0
re
-
1+∞-
rdrd θ=⎰e 8r 2dr
40
-r 28
=-re
r 2-8
+∞
+⎰
+∞0
e
dr =
⎰
+∞-∞
-8
dr =r 2
七、解：（1）μ的置信度为1-α下的置信区间为 (-t α/2(n -+t α/2(n - =10, s =0.4, n =16,
α=0.05, t 0.025(15)=2.132
所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
2
（2）H 0:σ2≤0.1的拒绝域为χ2≥χα(n -1) .
15S 22
=15⨯1.6=24，χ0.05 χ=(15)=24.996 0.1
2
因为
2
χ2=24
《概率论与数理统计》期末试题（2）答案 一、
1. =1-e -2e
-2
-2
=1-3e -2
5
-15
-5
4. =[P (X 1>100)]=[1-1+e ]=e . 5. (-0.2535, 1.2535). 二、 B C D A D
三、解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ k =0, 1, C n =‘一天中有n 个顾客进入超市’ n =k , 则 P (B ) = =
k +1,
∑
∞n =k
∞
n =k
P (C B =) ∑n
=n
∞
P (n C ) P (B n | C
k
∑n ! λC
-
λn
k
n
p k (1-p ) n -k
(p λ) k -λ∞λn -k
=e ∑(1-p ) n -k
k ! n =k (n -k )!
(λp ) k -λp
e k =0, 1, . =k !
四、解：（1）Y ~B (100,p ) ，其中p =P (60
84-72
σ
)
60-72
σ
12
) =2Φ() -1
σ
3P X (> 由 0. 02=
得 Φ(
9=6) -Φ124
96-7224
=-) Φ (
σσ
)
24
σ
) =0.977，即
σ
=2，故
12
σ
=1
所以 p =2Φ(1)-1=0.6826.
k
故Y 的分布列为P (Y =k ) =C 100(0.6826)k (0.3174)100-k
（2）EY =100⨯0.6826=68.26，DY =68.26⨯0.3174=21.6657. 五、解：区域D 的面积 S D =
⎰
e 21
1e 2
dx =ln x 1=2 x
⎧1
⎪, (x , y ) ∈D ,
(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨2
⎪⎩0, 其它.
（1）f X (x ) =
⎰
+∞-∞
⎧11⎪⎰0x dy ,
f (x , y ) dy =⎨2
⎪0, ⎩
1≤x ≤e 2, 其它. 1≤x ≤e 2, 其它.
⎧1
, ⎪
=⎨2x
⎪⎩0,
f Y (y ) =
⎰
+∞-∞
⎧e 21⎪⎰12dx , ⎪1
1⎪
f x (y , dx ) =⎨⎰1y dx ,
2⎪⎪
⎪0, ⎩
1≤y ≤e -2, e -2
其它
⎧12
⎪2(e -1), ⎪
⎪1-1,
=⎨
2y 2⎪⎪⎪
⎩0,
1≤y ≤e -2e -2
其它
（2）因f (x , y ) ≠f X (x ) ⋅f Y (y ) ，所以X , Y 不独立. （3）P (X +Y ≥2) =1-P (X +Y
x +y
⎰⎰
f (x , y ) dxdy
=1-
1113
⨯=1-==0.75. 2244
⎧1, (x , y ) ∈D ,
⎩0, 其它.
六、解1：(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨
设Z 的概率密度为f Z (z ) ，则 f Z (z ) =
⎰
+∞-∞
f (z -y , y ) dy
⎧≤y ≤1, y 2-
当 z 1时f Z (z ) =0
当 -1
⎰
z +1
20
dy =
z +1
2
⎧z +1
, |z |
f Z (z ) =⎨2
⎪⎩0, 其它.
解2：分布函数法，设Z 的分布函数为F Z (z ) ，则
F Z (z ) =P (Z ≤z ) =P (X +Y ≤z ) =
x +y ≤z
⎰⎰
f (x , y ) dxdy
⎧z ≤-1, ⎧0, z ≤-1⎪0, ⎪⎪⎪(z +1) 2
=⎨⎰⎰dxdy , -1
4⎪D 1⎪
z ≥1. ⎪1, ⎪⎩1, z ≥1⎩
⎧z +1
, ⎪
故Z 的密度为 f Z (z ) =F Z '(z ) =⎨2
⎪⎩0,
七、解：（1）先求矩估计
|z |
μ1=EX =⎰
2
+∞0
3
α
x
-() 2
α
dx
x -() 2
=+∞x
-() 2
⎰
+∞0
xe
α
dx =
=
∴α
2
再求极大似然估计
L (X 1, , X n ; α) =
i =1
n
2
-(
x i
α
) 2
1
n
=α-3n π ln L =-3n ln α+ln(π
-n
2
n
n -2
4n (x 1 x n ) 2⋅e
2
-
x 2∑i α
i =1
4) +ln(x 1 x n ) -
1
α
2
∑x
i =1
n
2i
αl n L 3n 2n 2
=-+3∑x i 0
d αααi =1
= 得α的极大似然估计
α
= （2）对矩估计
E α
=
=α 所以矩估计
α=
是α的无偏估计.
八、解：设从左到右的顺序将机床编号为1, 2, , n
X 为已经修完的机器编号，Y 表示将要去修的机床号码，则 P (X =i ) =
11
, P (Y =j ) =, i , j =1, 2, , n n n
P (X =i , Y =j ) =P (X =i ) P (Y =j ) = Z =|i -j |a 于是 EZ =
1 n 2
∑∑|i -j |aP (X =i , Y =j )
i =1j =1
n n
n n
=
∑∑|i -j |a ⋅n
i =1j =1
1
2
n ⎤a n ⎡i
=2∑⎢∑(i -j ) +∑(j -i ) ⎥
n i =1⎣j =1j =i +1⎦
(n 2-1)
a . =
3n
《概率论与数理统计》期末试题（3）
一、填空题
1. P (+) =P () +P () 2. P (B 2|A ) =
2
1 2
2
3. EY =DY +(EY ) =
15+1= 44
4. cov(X , Y ) =EXY -EXEY =0.8-0.7=0.1 5.8
二、单项选择题 C B C C D
三、解：设A =‘从箱中任取2件都是一等品’ B i =‘丢失i 等号’ i =1, 2, 3. 则 P (A ) =P (1B ) P (A |1B +)
P 2(B ) P (A B ) 2|+
3
3A |B ) P (B ) P (
2
1C 43C 521C 522
=⋅2+⋅2+⋅2=；
2C 910C 95C 99
所求概率为P (B 1|A ) =四、解：（1）1= ∴ a =-
（2）X 的分布函数为
P (B 1) P (A |B 1) 3
=.
P (A ) 8
2
⎰
+∞-∞
a 2
f (x ) dx =⎰(ax +1) dx =(x 2+x ) 0=2a +2
02
1
2
⎧0, ⎪x
x u ⎪
F (x ) =⎰f u (du ) =⎨⎰-(du )
-∞02⎪
⎪⎩1, x
⎪
x 2⎪
, 0≤x ≤2, =⎨x -4⎪
x >2. ⎪⎩1,
（3）P (1
+∞-∞
3
2
x 2.
2,
五、解：（1）f X (x ) =
⎰
x 1
f (x ) dx =(1-) dx =. ⎰1⎰124
, x ≤0⎧0⎧0, x ≤0, ⎪
=⎨-x f (x , y ) dy =⎨x -x
xe , x >0. e dy , x >0. ⎩⎪⎩⎰0
f Y (y ) =
⎰
+∞-∞
⎧0, ⎪
f (x , y ) dx =⎨+∞-x
e dx , ⎪⎩⎰y
y ≤0y >0.
⎧0, y ≤0,
=⎨-y
⎩e , y >0.
（2）P (X +Y
x +y
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰
-y
y
-1
120
⎡⎢⎣⎰
1-y y
e -x dx ⎤dy
⎥⎦
1
2
= （3）f Z (z ) =
⎰
(e -e ⋅e ) dy =1-2e
-
+e -1.
⎰
+∞-∞
f (x , z -x ) dx
-x
⎧⎪e , x >0, x
f (x , z -x ) =⎨
0, 其它. ⎪⎩
z ≤0 时 f Z (z ) =0 z >0 时 f Z (z ) =
z 2
⎰
z z 2
e dx =e
-x
-
-e -z
0, z ≤0, ⎧⎪
f Z (z ) =⎨-z
-z 2⎪⎩e -e , z >0.
六、解： （1）E |X -Y |= =⎰⎰
-∞1
+∞+∞-∞
f (x , y ) |x -y |dxdy
10
⎰⎰
x 0
(x -y ) dxdy +⎰⎰
1x
(y -x ) dxdy
=
13
； （2）因X , Y 相互独立，所以Z =X -Y ~N (0,2)
=~N (0,1)
=
E |X -Y |=七、解：先求矩估计 μ11=EX =⎰
θx θdx =
θθ+1
∴
θ=
μ11-μ 故θ的矩估计为θ
=1
1- 再求极大似然估计 L (x 1, , x n ; θ) =
∏n
θx θ-1i =θn (x θ-1
1 x n ) i =1n
ln L =n ln θ+(θ-1)
∑ln x
i
i =1
d ln L n n
d θ=θ+∑ln x i 0
i =1
所以θ的极大似然估计为
θ
=-11.
n ∑n
ln x i i =1
《概率论与数理统计》期末试题（1）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件A , B 仅发生一个的概率为0.3，且P (A ) +P (B ) =0. 5，则A , B 至少有一个不发
生的概率为__________.
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且P (X ≤1) =4P (X =2) ，则P (X =3) =______. 3． 设随机变量X 在区间(0, 2) 上服从均匀分布，则随机变量Y =X 2在区间(0, 4) 内的概率
密度为____________
4． 设随机变量X , Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P (X >1) =e -2，则
λ=_________，P {min(X , Y ) ≤1}
5． 设总体X 的概率密度为
θ
⎧⎪(θ+1) x , 0
f (x ) =⎨ θ>-1.
⎪其它⎩0,
X 1, X 2, , X n 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A , B , C 为三个事件，且A , B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （ ） （A ）若P (C ) =1，则AC 与BC 也独立. （B ）若P (C ) =1，则A C 与B 也独立. （C ）若P (C ) =0，则A C 与B 也独立.
（D ）若C ⊂B ，则A 与C 也独立.
2．设随机变量X ~N (0,1),X 的分布函数为Φ(x ) ，则P (|X |>2) 的值为（ ） （A ）2[1-Φ(2)]. （B ）2Φ(2)-1.
（C ）2-Φ(2). （D ）1-2Φ(2). 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 () （A ）X 与Y 独立. （B ）D (X -Y ) =DX +DY . （C ）D (X -Y ) =DX -DY . （D ）D (XY ) =DXDY . 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(X , Y ) (1,1)(1,2) (1,3)(2,1)(2,2) (2,3)
1111
P αβ
69183
若X , Y 独立，则α, β的值为 ()
2112
（A ）α=, β=. （A ）α=, β=.
99991151
, β=. （C ） α=, β= （D ）α=
661818
5．设总体X 的数学期望为μ, X 1, X 2, , X n 为来自X 的样本，则下列结论中正确的是()
（A ）X 1是μ的无偏估计量. （B ）X 1是μ的极大似然估计量. （C ）X 1是μ的相合（一致）估计量. （D ）X 1不是μ的估计量.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.
五、（10分）设二维随机变量(X , Y ) 在区域D ={(x , y ) |x ≥0, y ≥0, x +y ≤1} 上服从均匀分布. 求（1）(X , Y ) 关于X 的边缘概率密度；（2）Z =X +Y 的分布函数与概率密度.
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从N (0,22) 分布. 求（1）命中环形区域D ={(x , y ) |1≤x 2+y 2≤2}的概率；（2
）命中点到目标中心距离Z =
2
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）X ~N (μ, σ) ，今抽取容量为16的
2
样本，测得样本均值=10，样本方差s =0.16. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；
.
（2）检验假设H 0:σ2≤0.1（显著性水平为0.05）.
（附注）t 0.05(16)=1.746, t 0.05(15)=1.753, t 0.025(15)=2.132,
222χ0.05(16)=26.296, χ0.05(15)=24.996, χ0.025(15)=27.488.
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设P (A ) =0.5, P (B ) =0.6, P (B |) =0.8，则A , B 至少发生一个的概率为
___P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =1.1-0.2=0.9______.
（2） 设X 服从泊松分布，若EX 2=6，则P(X>1) =__________
⎧1
⎪(x +1), 0
（3） 设随机变量X 的概率密度函数为f (x ) =⎨4 今对X 进行8次
⎪, 其他.⎩0
5315
独立观测，以Y 表示观测值大于1的观测次数，则DY =8⨯⨯=
888
1
（4） 元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够
100
正常工作100小时以上的概率为
（5） 设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布N (μ, σ2) ，今随机地测量16个零
件，得
16
16
∑X
i =1
i
=8，∑X i 2=34. 在置信度0.95下，μ的置信区
i =1
(t 0. 0(1=) 55 2. 1315) 1. 753t 1, 0. 025=(15)
二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）
（1）A , B , C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ） （A ）(A -B ) B =A B . （B ）(A B ) -A =B .
（C ）(A B ) -AB = .
（D ）(A B ) =(A -C ) (B -C ) .
（2）设X 1, X 2是随机变量，其分布函数分别为F 1(x ), F 2(x ) ，为使
F (x ) =aF 1(x ) +bF 2(x ) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值（ ）
中应取
3222
, b =-. （B ）a =, b =. 55331313
（C ）a =-, b =. （D ）a =, b =.
2222
（3）设随机变量X 的分布函数为F X (x ) ，则Y =3-5X 的分布函数为F Y (y ) =（ ）
（A ）a =
（A ）F X (5y -3) . （B ）5F X (y ) -3. （C ）F X (
y +33-y
) . （D ）1-F X () . 55
1
（4）设随机变量X 1, X 2的概率分布为 . 1 i =1, 2
P
4
且满足P (X 1X 2=
0) =1，则X 1, X 2的相关系数为ρX X = （ ）
12
11
. （C ）. （D ）-1. 42
1
, B ~2, X , ) Y 相互独立，根据切比 （5）设随机变量X ~U [0, 6]Y 且
4
雪夫不等式有P (X -3
55
（A ）≤0.25. （B ）≤. （C ）≥0.75. （D ）≥.
1212
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，
（A ）0. （B ）
求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。
四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参
数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）
X i
-10
1142
EY 和DY . (Φ(2)=0.977, Φ(1)=0.8413)
五、（10分）设(X , Y ) 在由直线x =1, x =e , y =0及曲线y =
上服从均匀分布，
（1）求边缘密度f X (x ) 和f Y (y ) ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求P (X +Y ≥2) .
2
1
所围成的区域 x
六、（8分）二维随机变量(X , Y ) 在以(-1, 0), (0,1), (1, 0) 为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z =X +Y 的概率密度。
七、（9分）已知分子运动的速度X 具有概率密度
x 2
) ⎧2-(α, x >0, α>0, f (x ) = x 1, x 2, , x n 为X 的简单随
0, x ≤0. ⎩
机样本
（1） 求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的
无偏估计。
八、（5分）一工人负责n 台同样机床的维修，这n 台机床自左到右排在一条直
线上，相邻两台机床的距离为a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为
1
，且相互独立，若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 n
的路程，求EZ .
《概率论与数理统计》期末试题（3）
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且
P (A ) =P (B ) =0.5，P (C ) =0.2，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的
概率为P (+) =P () +P ()
（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2
个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为____P (B 2|A ) =（3） 设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨
1___. 2
⎧2x , 0
现对X 进行四次独立重复观
⎩0, 其它,
1522
察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则EY =DY +(EY ) =+1=.
44
（4） 设二维离散型随机变量(X , Y ) 的分布列为
(X , Y ) (1,0) (1,1)(2, 0) (2,1)
P 0.40.2a b
若EXY =0.8，则cov(X , Y ) =EXY -EXEY =0.8-0.7=0.1.
2
（5） 设X 1, X 2, , X 17是总体N (μ, 4) 的样本，S 是样本方差，若P (S 2>a ) =0.01，则
a =______8______.
2222
（注：χ0.01(17)=33.4, χ0.005(17)=35.7, χ0.01(16)=32.0, χ0.005(16)=34.2）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
（1）设A 、B 、C 为三个事件，P (AB ) >0且P (C |AB ) =1，则有 （ C ） （A ）P (C ) ≤P (A ) +P (B ) -1. （B ）P (C ) ≤P (A B ). （C ）P (C ) ≥P (A ) +P (B ) -1. （D ）P (C ) ≥P (A B ). （2）设随机变量X 的概率密度为
f (x ) =
-
(x +2) 2
4
, -∞
且Y =aX +b ~N (0,1)，则在下列各组数中应取 （ B ） （A ）a =1/2, b =1. （B ）a =2, b
（C ）a =1/2, b =-1. （D ）a =2, b = （3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为
X P
01
0.40.6
Y 01
P 0.40.6
则有 （ C）
（A ）P (X =Y ) =0. （B ）P (X =Y ) =0.5. （C ）P (X =Y ) =0.52. （D ）P (X =Y ) =1. （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则E [E (EX )]等于 （ C ）
（A ）0. （B ）X . （C ）EX . （D ）(EX ) 3.
（5）设x 1, x 2, , x n 为正态总体N (μ, 4) 的一个样本，表示样本均值，则μ的置信度为
1-α的置信区间为 （ D ）
（A
）(-u α/2+u α/2
（B
）(-u 1-α/2+u α/2
（C
）(-u α+u α
（D
）(-u α/2+u α/2
三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
四、（10分）设随机变量X 的概率密度为
⎧ax +1, 0≤x ≤2,
f (x ) =⎨
0, 其它. ⎩
求（1）常数a ； （2）X 的分布函数F (x ) ； （3）P (1
五、（12分）设(X , Y ) 的概率密度为
⎧e -x , 0
f (x , y ) =⎨
其它. ⎩0,
求（1）边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) ； （2）P (X +Y
六、（10分）（1）设X ~U [0,1]，Y ~U [0,1]且X 与Y 独立，求E |X -Y |； （2）设X ~N (0,1),Y ~N (0,1)且X 与Y 独立，求E |X -Y |. 七、（10分）设总体的概率密度为
⎧θx θ-1, 0
(θ>0) f (x ; θ) =⎨
其它. ⎩0,
试用来自总体的样本x 1, x 2, , x n ，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计.
《概率论与数理统计》期末试题（1）
一、填空题 1. 0.9 2.
1-1
e
6
0
4. 2 =1-e -4
= 5. θ
11n
∑ln x i n i =1
-1
二、单项选择题 1~5 D A B A A
三、解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’
则（1） P (A ) =P (B ) P (A |B ) +P () P (A |) =0.9⨯0.95+0.1⨯0.02=0.857. （2） P (B |A ) =
P (AB ) 0.9⨯0.95
==0.9977. P (A ) 0.85725
35
四、解：X 的概率分布为 P (X =k ) =C 3() ()
k
k
3-k
k =0,1, 2,3.
X
即
P
[***********]38 125
X 的分布函数为
⎧0, ⎪27⎪, 125⎪⎪⎪81
, F (x ) =⎨⎪125⎪117⎪125, ⎪⎪⎩1,
x
EX =3⨯
26=, 552318
DX =3⨯⨯=.
5525
）(X , Y ) 的概率密度为 f (x , y ) =⎨
⎩0,
⎧2, (x , y ) ∈D
其它.
f X (x ) =
（2）利用公式f Z (z ) =
⎰
+∞-∞
⎧2-2x , 0≤x ≤1
f (x , y ) dy =⎨
0, 其它⎩
⎰
+∞-∞
f (x , z -x ) dx
其中f (x , z -x ) =⎨
⎧2, 0≤x ≤1,0≤z -x ≤1-x
⎩0, 其它
⎧2, 0≤x ≤1, x ≤z ≤1. =⎨ ⎩0, 其它.
当 z 1时f Z (z ) =0 0≤z ≤1时 f Z (z ) =2 故Z 的概率密度为
⎰
z 0
dx =2x 0=2z
z
⎧⎪2z , 0≤z ≤1,
f Z (z ) =⎨
⎪⎩0, 其它.
Z 的分布函数为
z -∞
f Z (z ) =
⎰
z
⎪⎪⎪z
f Z (y ) dy =⎨⎰2ydy , 0≤z ≤1=⎨z 2, 0≤z ≤1,
0⎪⎪1, z >1.
⎩z >1⎪⎩1,
或利用分布函数法
⎧
z
⎪
F Z (z ) =P (Z ≤z z 1, ) =P (X +Y ≤) z , y 0≤≤⎨=⎰⎰2d x d
⎪D 1
⎪1, z >1. ⎩
⎧0,
⎪2
, =⎨z ⎪1, ⎩
f Z (z ) =F Z '(z ) =⎨
z 1.
⎧2z , ⎩0,
0≤z ≤1, 其它.
六、解： （1）P {X , Y ) ∈D }=
⎰⎰f (x , y ) dxdy
D
1-
=⎰⎰2π⋅4D
=-
x 2+y 2
8
1
dxdy =
8π
r 2-8
2
⎰⎰
0-18
2π21
e
-
r 28
rdrd θ
⎰
21
e
r 2-8
r
d (-) =-e
8
2
=e -1x 2+y 28
-
1 （2）EZ =E =
⎰⎰
-∞r 28
+∞-∞
1-
e
8π
r 2
1
=
8π
⎰⎰
2π+∞0
re
-
1+∞-
rdrd θ=⎰e 8r 2dr
40
-r 28
=-re
r 2-8
+∞
+⎰
+∞0
e
dr =
⎰
+∞-∞
-8
dr =r 2
七、解：（1）μ的置信度为1-α下的置信区间为 (-t α/2(n -+t α/2(n - =10, s =0.4, n =16,
α=0.05, t 0.025(15)=2.132
所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
2
（2）H 0:σ2≤0.1的拒绝域为χ2≥χα(n -1) .
15S 22
=15⨯1.6=24，χ0.05 χ=(15)=24.996 0.1
2
因为
2
χ2=24
《概率论与数理统计》期末试题（2）答案 一、
1. =1-e -2e
-2
-2
=1-3e -2
5
-15
-5
4. =[P (X 1>100)]=[1-1+e ]=e . 5. (-0.2535, 1.2535). 二、 B C D A D
三、解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ k =0, 1, C n =‘一天中有n 个顾客进入超市’ n =k , 则 P (B ) = =
k +1,
∑
∞n =k
∞
n =k
P (C B =) ∑n
=n
∞
P (n C ) P (B n | C
k
∑n ! λC
-
λn
k
n
p k (1-p ) n -k
(p λ) k -λ∞λn -k
=e ∑(1-p ) n -k
k ! n =k (n -k )!
(λp ) k -λp
e k =0, 1, . =k !
四、解：（1）Y ~B (100,p ) ，其中p =P (60
84-72
σ
)
60-72
σ
12
) =2Φ() -1
σ
3P X (> 由 0. 02=
得 Φ(
9=6) -Φ124
96-7224
=-) Φ (
σσ
)
24
σ
) =0.977，即
σ
=2，故
12
σ
=1
所以 p =2Φ(1)-1=0.6826.
k
故Y 的分布列为P (Y =k ) =C 100(0.6826)k (0.3174)100-k
（2）EY =100⨯0.6826=68.26，DY =68.26⨯0.3174=21.6657. 五、解：区域D 的面积 S D =
⎰
e 21
1e 2
dx =ln x 1=2 x
⎧1
⎪, (x , y ) ∈D ,
(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨2
⎪⎩0, 其它.
（1）f X (x ) =
⎰
+∞-∞
⎧11⎪⎰0x dy ,
f (x , y ) dy =⎨2
⎪0, ⎩
1≤x ≤e 2, 其它. 1≤x ≤e 2, 其它.
⎧1
, ⎪
=⎨2x
⎪⎩0,
f Y (y ) =
⎰
+∞-∞
⎧e 21⎪⎰12dx , ⎪1
1⎪
f x (y , dx ) =⎨⎰1y dx ,
2⎪⎪
⎪0, ⎩
1≤y ≤e -2, e -2
其它
⎧12
⎪2(e -1), ⎪
⎪1-1,
=⎨
2y 2⎪⎪⎪
⎩0,
1≤y ≤e -2e -2
其它
（2）因f (x , y ) ≠f X (x ) ⋅f Y (y ) ，所以X , Y 不独立. （3）P (X +Y ≥2) =1-P (X +Y
x +y
⎰⎰
f (x , y ) dxdy
=1-
1113
⨯=1-==0.75. 2244
⎧1, (x , y ) ∈D ,
⎩0, 其它.
六、解1：(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨
设Z 的概率密度为f Z (z ) ，则 f Z (z ) =
⎰
+∞-∞
f (z -y , y ) dy
⎧≤y ≤1, y 2-
当 z 1时f Z (z ) =0
当 -1
⎰
z +1
20
dy =
z +1
2
⎧z +1
, |z |
f Z (z ) =⎨2
⎪⎩0, 其它.
解2：分布函数法，设Z 的分布函数为F Z (z ) ，则
F Z (z ) =P (Z ≤z ) =P (X +Y ≤z ) =
x +y ≤z
⎰⎰
f (x , y ) dxdy
⎧z ≤-1, ⎧0, z ≤-1⎪0, ⎪⎪⎪(z +1) 2
=⎨⎰⎰dxdy , -1
4⎪D 1⎪
z ≥1. ⎪1, ⎪⎩1, z ≥1⎩
⎧z +1
, ⎪
故Z 的密度为 f Z (z ) =F Z '(z ) =⎨2
⎪⎩0,
七、解：（1）先求矩估计
|z |
μ1=EX =⎰
2
+∞0
3
α
x
-() 2
α
dx
x -() 2
=+∞x
-() 2
⎰
+∞0
xe
α
dx =
=
∴α
2
再求极大似然估计
L (X 1, , X n ; α) =
i =1
n
2
-(
x i
α
) 2
1
n
=α-3n π ln L =-3n ln α+ln(π
-n
2
n
n -2
4n (x 1 x n ) 2⋅e
2
-
x 2∑i α
i =1
4) +ln(x 1 x n ) -
1
α
2
∑x
i =1
n
2i
αl n L 3n 2n 2
=-+3∑x i 0
d αααi =1
= 得α的极大似然估计
α
= （2）对矩估计
E α
=
=α 所以矩估计
α=
是α的无偏估计.
八、解：设从左到右的顺序将机床编号为1, 2, , n
X 为已经修完的机器编号，Y 表示将要去修的机床号码，则 P (X =i ) =
11
, P (Y =j ) =, i , j =1, 2, , n n n
P (X =i , Y =j ) =P (X =i ) P (Y =j ) = Z =|i -j |a 于是 EZ =
1 n 2
∑∑|i -j |aP (X =i , Y =j )
i =1j =1
n n
n n
=
∑∑|i -j |a ⋅n
i =1j =1
1
2
n ⎤a n ⎡i
=2∑⎢∑(i -j ) +∑(j -i ) ⎥
n i =1⎣j =1j =i +1⎦
(n 2-1)
a . =
3n
《概率论与数理统计》期末试题（3）
一、填空题
1. P (+) =P () +P () 2. P (B 2|A ) =
2
1 2
2
3. EY =DY +(EY ) =
15+1= 44
4. cov(X , Y ) =EXY -EXEY =0.8-0.7=0.1 5.8
二、单项选择题 C B C C D
三、解：设A =‘从箱中任取2件都是一等品’ B i =‘丢失i 等号’ i =1, 2, 3. 则 P (A ) =P (1B ) P (A |1B +)
P 2(B ) P (A B ) 2|+
3
3A |B ) P (B ) P (
2
1C 43C 521C 522
=⋅2+⋅2+⋅2=；
2C 910C 95C 99
所求概率为P (B 1|A ) =四、解：（1）1= ∴ a =-
（2）X 的分布函数为
P (B 1) P (A |B 1) 3
=.
P (A ) 8
2
⎰
+∞-∞
a 2
f (x ) dx =⎰(ax +1) dx =(x 2+x ) 0=2a +2
02
1
2
⎧0, ⎪x
x u ⎪
F (x ) =⎰f u (du ) =⎨⎰-(du )
-∞02⎪
⎪⎩1, x
⎪
x 2⎪
, 0≤x ≤2, =⎨x -4⎪
x >2. ⎪⎩1,
（3）P (1
+∞-∞
3
2
x 2.
2,
五、解：（1）f X (x ) =
⎰
x 1
f (x ) dx =(1-) dx =. ⎰1⎰124
, x ≤0⎧0⎧0, x ≤0, ⎪
=⎨-x f (x , y ) dy =⎨x -x
xe , x >0. e dy , x >0. ⎩⎪⎩⎰0
f Y (y ) =
⎰
+∞-∞
⎧0, ⎪
f (x , y ) dx =⎨+∞-x
e dx , ⎪⎩⎰y
y ≤0y >0.
⎧0, y ≤0,
=⎨-y
⎩e , y >0.
（2）P (X +Y
x +y
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰
-y
y
-1
120
⎡⎢⎣⎰
1-y y
e -x dx ⎤dy
⎥⎦
1
2
= （3）f Z (z ) =
⎰
(e -e ⋅e ) dy =1-2e
-
+e -1.
⎰
+∞-∞
f (x , z -x ) dx
-x
⎧⎪e , x >0, x
f (x , z -x ) =⎨
0, 其它. ⎪⎩
z ≤0 时 f Z (z ) =0 z >0 时 f Z (z ) =
z 2
⎰
z z 2
e dx =e
-x
-
-e -z
0, z ≤0, ⎧⎪
f Z (z ) =⎨-z
-z 2⎪⎩e -e , z >0.
六、解： （1）E |X -Y |= =⎰⎰
-∞1
+∞+∞-∞
f (x , y ) |x -y |dxdy
10
⎰⎰
x 0
(x -y ) dxdy +⎰⎰
1x
(y -x ) dxdy
=
13
； （2）因X , Y 相互独立，所以Z =X -Y ~N (0,2)
=~N (0,1)
=
E |X -Y |=七、解：先求矩估计 μ11=EX =⎰
θx θdx =
θθ+1
∴
θ=
μ11-μ 故θ的矩估计为θ
=1
1- 再求极大似然估计 L (x 1, , x n ; θ) =
∏n
θx θ-1i =θn (x θ-1
1 x n ) i =1n
ln L =n ln θ+(θ-1)
∑ln x
i
i =1
d ln L n n
d θ=θ+∑ln x i 0
i =1
所以θ的极大似然估计为
θ
=-11.
n ∑n
ln x i i =1