轻绳、轻杆模型
例：质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）
A . 0 B. mg C .3mg D 5mg
分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型 当小球经过最高点的临界速度为v ，则
当小球以 2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则
因为
所以
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是 ，故选 c.
例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ）
A. 外轨道受到24N 的压力 B. 外轨道受到6N 的压力
C. 内轨道受到24N 的压力 D. 内轨道受到 6N 的压力
分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：
当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有
则， = >2m/s
所以，内轨道对小球有向上的支持力 ，则有
代入数值得： N=6N
1
根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选 D
例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R 。一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg （g 为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围。
解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v ，由机械能守恒定律得
mgh ＝2mgR ＋
mv ① 2
物块在最高点受的力为重力mg 、轨道的压力N 。重力与压力的合力提供向心力，有
mg ＋N ＝m
②
物块能通过最高点的条件是
N ≥0 ③
由②③式得
V ≥
由①④式得
2 ④
H ≥2．5R ⑤
按题的需求，N ＝5mg ，由②式得
V ＜
由①⑥式得
h ≤5R ⑦
h 的取值范围是2．5R ≤h ≤5R
例2 如图所示光滑管形圆轨道半径为R （管径远小于R ）固定，小球a 、b 大小相同，质量相同，均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是（ ）
⑥
A ．速度v 至少为
B ．当v =
C ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mg
D ．只要v ≥，小球a 对轨道最低点压力比小球b 对轨道最高点压力都大6mg 时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力 ，才能使两球在管内做圆周运动
解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知得，所以A 错，
得，此时 3
即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力。最低点时的向心力为5mg ，向心力相差4
倍，B 对，C 错，最高点 ，最低点
由机械能守恒有
，所以，D 对。 4
5
轻绳、轻杆模型
例：质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）
A . 0 B. mg C .3mg D 5mg
分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型 当小球经过最高点的临界速度为v ，则
当小球以 2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则
因为
所以
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是 ，故选 c.
例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ）
A. 外轨道受到24N 的压力 B. 外轨道受到6N 的压力
C. 内轨道受到24N 的压力 D. 内轨道受到 6N 的压力
分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：
当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有
则， = >2m/s
所以，内轨道对小球有向上的支持力 ，则有
代入数值得： N=6N
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根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选 D
例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R 。一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg （g 为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围。
解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v ，由机械能守恒定律得
mgh ＝2mgR ＋
mv ① 2
物块在最高点受的力为重力mg 、轨道的压力N 。重力与压力的合力提供向心力，有
mg ＋N ＝m
②
物块能通过最高点的条件是
N ≥0 ③
由②③式得
V ≥
由①④式得
2 ④
H ≥2．5R ⑤
按题的需求，N ＝5mg ，由②式得
V ＜
由①⑥式得
h ≤5R ⑦
h 的取值范围是2．5R ≤h ≤5R
例2 如图所示光滑管形圆轨道半径为R （管径远小于R ）固定，小球a 、b 大小相同，质量相同，均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是（ ）
⑥
A ．速度v 至少为
B ．当v =
C ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mg
D ．只要v ≥，小球a 对轨道最低点压力比小球b 对轨道最高点压力都大6mg 时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力 ，才能使两球在管内做圆周运动
解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知得，所以A 错，
得，此时 3
即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力。最低点时的向心力为5mg ，向心力相差4
倍，B 对，C 错，最高点 ，最低点
由机械能守恒有
，所以，D 对。 4
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