开普勒定律文档

万有引力学案（2012-10-29）

考点一 基本概念规律

1、开普勒三定律

1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个____上．

2） 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的______．

a3

3）开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________的比值都相等，即k. T例1、太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从

的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的

周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确

的是 ( )

练习1、如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做同向匀速圆周运动，且行星

的轨道半径比地球的轨道半径小，已知地球的运转周期为T.地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所

夹的角叫做地球对该行星的观察视角(简称视角)．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．则此时行星绕太阳转动的角速度ω行与地球绕太阳转动的

角速度ω地的比值ω行∶ω地为( )．

tan θ cos θ C.

2、卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至

对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，

运行周期约为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号的传播速度为3×108 m/s.)( )．

A．0.1 s B．0.25 s C．0.5 s D．1 s

3、如图所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期

为T2，某一时刻两行星相距最近，则 ( )

TTA．经过T1＋T2两行星再次相距最近 B．经过 T2－T1

T1＋T2T1T2C．经过两行星相距最远 D．经过两行星相距最远 2T2－

T

1

1 1 D. sin θ1tan θ

考点二、天体产生的重力及重力加速度问题

1、关于重力

在地面上，由于Fn＝mRω2非常小，可以忽略地球自转，各处位置均有mg＝

2、重力加速度

MmGM任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，Gmg，g＝. RR(R为星球半径，M为星球质量)

MmGM星球上空某一高度h处的重力加速度： G mg′，g′＝R＋hR＋h

例2. 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400

km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为 ( )

11A．400g B.g C．20g D.g 40020

11练习4、火星的质量和半径分别约为地球的，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度102

约为 ( )

A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g

5、火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的

1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是( )．

A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B．火星公转的周期比地球的长

C．火星公转的线速度比地球的大 D．火星公转的向心加速度比地球的大

6、近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度

上的重力加速度大小分别为g1、g2，则( )．

gT4gT4gT2gT2A.＝ B. C.＝ D.＝ g2T23g2T13g2T2g2T1

7、(2009·江苏单科·3)英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在

XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的

Mc2关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ) R2G

A．108 m/s2 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2

考点三、天体质量和密度的估算

1．解决天体圆周运动问题的一般思路

利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤

(1)两条线索

2

①万有引力提供向心力F＝Fn. ②重力近似等于万有引力提供向心力．

(2)两组公式

Mmv24π2v24π222①＝m＝mωr＝r ②mgr＝m＝mωr＝mr(gr为轨道所在处重力加速度) rrTrT2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2MM3g由于Gmg，故天体质量M，天体密度ρ＝RGV434πGRR3

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算．

Mm4π24π2r3

①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝ rTGT3MM3πr②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝ V43GTRR3

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ

3π＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． GT

例3、 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球

绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种

Mm2π24π2h3

估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由Gm()h得M＝hT2GT2

(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．

(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．

例4、 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已

知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10

的平均密度约为 ( )

A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3

C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3

练习8、为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火

一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视

( )

A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量 D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

9、一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体

对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为 ( ) 3A. B. 3Gρ4πGρ

C. D. GρGρ

3 －11 N·m2/kg2，由此估算该行星为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出

10、最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间

为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳

运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有

( )

A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比

C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比

11、为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为

T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质

量为m2，则( )．

4π2r34π2rA．X星球的质量为M＝B．X星球表面的重力加速度为gX＝ GT1T1

v1C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝ 2

D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1 mrm2r1r1

考点四、人造卫星的动力学特征

1．人造卫星的动力学特征

2πMmv2万有引力提供向心力，即Gmrω2＝m(r2rT

2．人造卫星的运动学特征

(1)线速度v：v＝ ____________(2)角速度ω：ω＝ ____________

(3)周期T：T＝ ____________．(4)加速度a：a＝ ____________

例5、.2010年10月1日我国成功发射“嫦娥二号”绕月卫星，绕月运行高度为100公里.2007年10月24

日发射的“嫦娥一号”绕月运行高度为200公里，如图1所示．“嫦娥二号”卫星与“嫦娥一号”卫星绕

月运行相比，下列判断正确的是 ( )

A．周期小，线速度大 B．周期大，加速度小

C．线速度大，加速度小 D．角速度大，线速度大

图1

12、2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成

后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则v1等于 （

） v2

2RR2C. 2D. 2R1 R1 4

13、“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若

11月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，月球半径为地球半径的，根据以上信息得( )． 64

A32 B2∶3

C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6 D．月球与地球质量之比为1∶96

14、甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )．

A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度

C．甲的加速度小于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方

如图甲所示，物块与质量为m的小球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连接。物块置于左侧滑轮正下方的表面水平的压力传感装置上，小球与右侧滑轮的距离为l。开始时物块和小球均静止，将此时传感装置的示数记为初始值。现给小球施加一始终垂直于l段细绳的力，将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成60o角，如图乙所示，此时传感装置的示数为初始值的1.25倍；再将小球由静止释放，当运动至最低位置时，传感装置的示数为初始值的0.6倍.不计滑轮的大小和摩擦，重力加速度的大小为g。求：

（1）物块的质量；

（2

）从释放到运动至最低位置的过程中，小球克服阻力所做的功。

5

万有引力学案（2012-10-29）

考点一 基本概念规律

1、开普勒三定律

1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个____上．

2） 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的______．

a3

3）开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________的比值都相等，即k. T例1、太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从

的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的

周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确

的是 ( )

练习1、如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做同向匀速圆周运动，且行星

的轨道半径比地球的轨道半径小，已知地球的运转周期为T.地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所

夹的角叫做地球对该行星的观察视角(简称视角)．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．则此时行星绕太阳转动的角速度ω行与地球绕太阳转动的

角速度ω地的比值ω行∶ω地为( )．

tan θ cos θ C.

2、卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至

对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，

运行周期约为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号的传播速度为3×108 m/s.)( )．

A．0.1 s B．0.25 s C．0.5 s D．1 s

3、如图所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期

为T2，某一时刻两行星相距最近，则 ( )

TTA．经过T1＋T2两行星再次相距最近 B．经过 T2－T1

T1＋T2T1T2C．经过两行星相距最远 D．经过两行星相距最远 2T2－

T

1

1 1 D. sin θ1tan θ

考点二、天体产生的重力及重力加速度问题

1、关于重力

在地面上，由于Fn＝mRω2非常小，可以忽略地球自转，各处位置均有mg＝

2、重力加速度

MmGM任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，Gmg，g＝. RR(R为星球半径，M为星球质量)

MmGM星球上空某一高度h处的重力加速度： G mg′，g′＝R＋hR＋h

例2. 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400

km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为 ( )

11A．400g B.g C．20g D.g 40020

11练习4、火星的质量和半径分别约为地球的，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度102

约为 ( )

A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g

5、火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的

1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是( )．

A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B．火星公转的周期比地球的长

C．火星公转的线速度比地球的大 D．火星公转的向心加速度比地球的大

6、近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度

上的重力加速度大小分别为g1、g2，则( )．

gT4gT4gT2gT2A.＝ B. C.＝ D.＝ g2T23g2T13g2T2g2T1

7、(2009·江苏单科·3)英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在

XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的

Mc2关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ) R2G

A．108 m/s2 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2

考点三、天体质量和密度的估算

1．解决天体圆周运动问题的一般思路

利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤

(1)两条线索

2

①万有引力提供向心力F＝Fn. ②重力近似等于万有引力提供向心力．

(2)两组公式

Mmv24π2v24π222①＝m＝mωr＝r ②mgr＝m＝mωr＝mr(gr为轨道所在处重力加速度) rrTrT2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2MM3g由于Gmg，故天体质量M，天体密度ρ＝RGV434πGRR3

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算．

Mm4π24π2r3

①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝ rTGT3MM3πr②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝ V43GTRR3

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ

3π＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． GT

例3、 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球

绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种

Mm2π24π2h3

估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由Gm()h得M＝hT2GT2

(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．

(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．

例4、 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已

知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10

的平均密度约为 ( )

A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3

C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3

练习8、为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火

一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视

( )

A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量 D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

9、一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体

对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为 ( ) 3A. B. 3Gρ4πGρ

C. D. GρGρ

3 －11 N·m2/kg2，由此估算该行星为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出

10、最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间

为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳

运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有

( )

A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比

C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比

11、为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为

T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质

量为m2，则( )．

4π2r34π2rA．X星球的质量为M＝B．X星球表面的重力加速度为gX＝ GT1T1

v1C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝ 2

D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1 mrm2r1r1

考点四、人造卫星的动力学特征

1．人造卫星的动力学特征

2πMmv2万有引力提供向心力，即Gmrω2＝m(r2rT

2．人造卫星的运动学特征

(1)线速度v：v＝ ____________(2)角速度ω：ω＝ ____________

(3)周期T：T＝ ____________．(4)加速度a：a＝ ____________

例5、.2010年10月1日我国成功发射“嫦娥二号”绕月卫星，绕月运行高度为100公里.2007年10月24

日发射的“嫦娥一号”绕月运行高度为200公里，如图1所示．“嫦娥二号”卫星与“嫦娥一号”卫星绕

月运行相比，下列判断正确的是 ( )

A．周期小，线速度大 B．周期大，加速度小

C．线速度大，加速度小 D．角速度大，线速度大

图1

12、2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成

后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则v1等于 （

） v2

2RR2C. 2D. 2R1 R1 4

13、“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若

11月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，月球半径为地球半径的，根据以上信息得( )． 64

A32 B2∶3

C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6 D．月球与地球质量之比为1∶96

14、甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )．

A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度

C．甲的加速度小于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方

如图甲所示，物块与质量为m的小球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连接。物块置于左侧滑轮正下方的表面水平的压力传感装置上，小球与右侧滑轮的距离为l。开始时物块和小球均静止，将此时传感装置的示数记为初始值。现给小球施加一始终垂直于l段细绳的力，将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成60o角，如图乙所示，此时传感装置的示数为初始值的1.25倍；再将小球由静止释放，当运动至最低位置时，传感装置的示数为初始值的0.6倍.不计滑轮的大小和摩擦，重力加速度的大小为g。求：

（1）物块的质量；

（2

）从释放到运动至最低位置的过程中，小球克服阻力所做的功。

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