解三角形.不等式

解三角形

一、正余弦定理及其运用

重点：正弦、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：定理的灵活运用

1.[探索研究] (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

abc

sinA，sinB，又sinC1, A cccabc则csinAsinBsinC

abc

从而在直角三角形ABC中，

sinAsinBsinC

的定义，有

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则同理可得从而

a

sinA



b

sinB

，c

sinC



b

sinB

，a

sinA

b

sinB

c

sinC

A c B

(图1．1-3)

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA



b

sinB



c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC； （2）

a

sinA



b

sinB



c

sinC

等价于

a

sinA



b

sinB

，

c

sinC



b

sinB

，

a

sinA



c

sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

ab

[例题分析]

例1 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

例2 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

课堂练习

1已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ

3 D 2

2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 4-3 D 8-8 3.已知a+b=12 B=450 A=600

则则

则a=------------------------，b=------------------------

4.已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------

5.已知b11,c12,B600则三角形ABC有（）解

A 一 B 两 C 无解 6已知a7,b3,A1100则三角形ABC有（）解

A 一 B 两 C 无解

7.在ABC中，三个内角之比A:B:C1:2:3，那么a:b:c等于____ 8.在ABC中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____

9.在ABC中，已知axcm,b2cm,B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则

x的取值范围是_____

2.[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A



如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则 bc

ccabab

 abb2ab C a2a2

ab2ab

2



从而 c2a2b22abcosC (图1．1-5)

同理可证 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2

cosA

a2c2b2

cosB

b2a2c2

cosC

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 【典例分析】

例1．在ABC中，已知acB600，求b及A

【变式训练1】在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A

例2. 例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2x20的两根，

2

2cosAB1。

（1） 求角C的度数； （2） 求AB的长； （3）求△ABC的面积。

【变式训练2】

在△ABC

中，A1200,cb,aSABCb,c。

【课堂演练】

1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．90 B．120 C．135 D．150

2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.

5 18

B.

3 4

C.

7 D.

82

4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanB3ac，则

角B的值为（ ）

52 C.或 D. 或

63363

13

5．在△ABC中，若a7,b8,cosC，则最大角的余弦是（ ）

14

1111A． B． C． D．

5867

A.

B.

6. 在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形



6

D. 等边三角形

二．不等式的性质

【教学目标】掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1） 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即______________ （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即______________ （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即______________

2.讲授新课

1、不等式的基本性质 请同学们证明下列不等式

(1)acbc (2) ab,bcac 于是，我们就得到了不等式的基本性质：

（1）ab,bcac （2）abacbc

（3）ab,c0acbc （4）ab,c0acbc

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）ab,cdacbd；

（2）ab0,cd0acbd；

（3

）ab0,nN,n1anbn 证明：

[范例讲解]：

例1、已知ab0,c0,求证

cc。 ab

3.随堂练习1

1、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2） ６＋2； （2）（－2） （6－1）；

2

2

2

（3）

1

； (4)当a＞b＞0时，log1a log1b

5

222

[补充例题]

例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，

合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

随堂练习2：比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2 4.课时小结：作差法比较大小的步骤

三．均值不等式

22

1．重要不等式：对于任意实数 a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号

成立。

(2)特别地,

如果a0,b0,a、b,可得ab也可写成 2.



ab2

例题分析：

1若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是 （ ）

1

Ａ． Ｂ．a2b2 Ｃ．2ab Ｄ．a

2

2 a,b

是正数，则

Ａ．Ｃ．

ab

,2

2ab

三个数的大小顺序是 （ ）

ab

ab2abab2ab



2ab2ab2abab

Ｄ．ab2

2abab



ab2

51

变式训练：1。已知xf（x）＝4x＋

44x－5 2. Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+

1

有最小值，最小值是多少 x

小结：求最值常用的不等式：abab(

ab2

)，a2b22ab． 2

2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小． 当堂检测：

1.下列叙述中正确的是（ ）.

（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值 （D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值 2下面给出的解答中，正确的是（ ）. 1

（A）y＝x≥2

x

x·2，∴y有最小值2

x

4

|sinx|·＝4，∴y有最小值4

|sinx|2

＝（

2

1

4

（B）y＝|sinx|＋2

|sinx|（C）y＝x（－2x＋3）≤（

x－2x＋3

－x＋32

，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴2

当x＝1时，y有最大值（

9

－1＋32

）＝1 2

（D）y＝3x－

xx

3－x·

9

x

＝－3，y有最大值－3

4

3.已知x＞0，则x＋3的最小值为（ ）.

（A）4 （B）7 （C）8 （D）11 1

4.设函数f（x）＝2x1（x＜0），则f（x）（ ）.

x

（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数 四、 一元二次不等式及其解法 【教学目标】

1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；

2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式．

重点：一元二次不等式的解法．

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系． 【提出问题】

1．如何解一般的一元二次不等式ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)？ 2．如何解一般的一元二次不等式ax2bxc0(a0)？ 【合作探究】

1．探究不等式x25x0与二次函数yx25x的零点之间的关系．

3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固． 例1 求不等式4x24x10的解集．

变式训练：课本练习

例2解不等式x22x30．

变式训练：课本练习

【反思总结】

解一元二次不等式的步骤：

①将二次项系数化为“”：Aax2bxc0(或0) (a0)． ②计算判别式，分析不等式的解的情况：

若A0，则xx1或x2;

ⅰ．0时，求根x1x2，

若A0，则xxx.12

若A0，则xx0的一切实数；

ⅱ．0时，求根x1x2x0，若A0，则x；

若A0，则xx.

0若A0，则xR；

ⅲ．0时，方程无解，

若A0，则x.

③写出解集．

课后练习与提高

1．与不等式(x3)(x5)0的解集相同的是（ ）

x30x30x50x30

A． B． C． D．

x50x50x30x50

axb

2．关于x的不等式axb0的解集为xx2，则关于x的不等式20的解

x2x3

集为（ ）

A．{x|2x1或x3} B．{x|3x2或x1}

C．{x|1x2或x3} D．{x|1或x3}

3．集合Axx25x40，Bxx25x60，则AB（ ） A．{x|1x2或3x4} B．{x|1x2且3x4} C．{1, 2, 3, 4} D．{x|4x1或2x3}

4．已知集合Uxx23x20，Axx3或x1，则CUA． 5．不等式2x22x8的正整数解集为 6．解下列不等式

① (x1)(3x)52x； ② 2x(x11)3(x1)2)； ③ (2x1)(x3)＞3(x22)





五．有理不等式的解法

一、解题思想与方法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论：对ax>b形式的不等式，当a>0时解集

bb

为,当a

aa解集为；

因未限制a的符号，故ax-b不必另行列出。

②一元二次不等式我们总可化为ax2+bx+c>0和ax2+bx+c+0)两形式之一，记△=b2-4ac。

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)

0f(x)g(x)0;g(x)

二、基础训练： 1、下列不等式与(A)

f(x)g(x)0f(x)

0

g(x)0g(x)

2x

0 同解的是„„„„„„„（ ） x1

x1

0 (B)x(x1)0 x

11

(C)lg(x1)0 (D)|x|

x2

2、不等式(x－2)2·(x－1)>0的解集为 . 3、不等式(x＋1) ·(x－1)2≤0的解集为 .

1

4、不等式x的解集为 .

x

三、例题分析：

例1.解不等式：(x－1)·(x－2)·(x－3)·(x－4)>120

例2. 解不等式：(x2)2(x3)(x1)(x5)0

3x2x4

x2 例3. 解不等式：

2xx2

(x1)2

1的整数x的值. 例6.求适合不等式0

x1

例7. 解关于x的不等式

x

1a x1

四、课堂练习：

3x1

1的解集为„„„„„„„„„„„（ ） 1、不等式

2x33

(A){x|≤x≤2} (B) {x|≤x

44

3

(C) {x|x>2或者x≤} (D){x|x＜2}

4

x

2的解集为 . 2、不等式

x1

xaxb1

23、如果不等式2的解集为（，1），则ab= .

2xx1xx1

六、无理不等式、含绝对值不等式的解法

一、解题思想与方法

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1

f(x)0 定义域

g(x)0

f(x)g(x)

f(x)03f(x)0 ○f(x)g(x)g(x)0或g(x)0

2f(x)[g(x)]

○2

f(x)0



f(x)g(x)g(x)0

2

f(x)[g(x)]

（4）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)



g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

二、基础训练：

|x2|2

1. (05重庆卷)不等式组的解集为 (C ) 2

log2(x1)1(A) (0,3)；

(B) (,2)；

(C) (3,4)；

(D) (2,4)。

2.（04年全国卷一.文9理8）不等式1|x1|3的解集为（ ）.

A.(0,2) B. (2,0)(2,4) C. (4,0) D. (4,2)(0,2)

3.不等式(x－1)x20的解为„„„„„„„„„„„„„（ ）

(A)x≥1 (B)x>1 (C) x≥1或者x=－2 (D) x≥－2且x≠1 4.不等式x2x1 的解集为； 三、例题分析： 例1.|x2-9|≤x+3.

例2.解不等式|x2─3|x|─3|1.

例3.求使不等式|x─4|+|x─3|

例6.解不等式：2axx21x(a>0).

四、课堂练习：

1.不等式x231的解集是 „„„„„„„„„„（ ）

2

（A） （B）xx2或x6 （C）xx6 （D）

32

xx2 3

2.解关于x的不等式a22x2xa

3.解不等式：

2x1123x

1

七、指数不等式、对数不等式的解法

一、解题思想与方法

（5）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);

（6）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0

logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)

af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

f(x)0

logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0

f(x)g(x)

二、基本训练

1.不等式log1log2x0的解集为„„„„„„„„„„„„„„（ ）

2

（A）{x|x2}

1a2

0，则a的取值范围是 2. （05辽宁卷）6．若log2a

1a

（ ）

1

A．(,)

2

B．(1,)

1C．(,1)

21

D．(0,)

2

3. (05全国卷Ⅰ) 设0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)0的x的取值范围是（ ）

（A）(,0)

（B）(0,)

（C）(,loga3)（D）(loga3,)

4. （05山东卷）0a1，下列不等式一定成立的是（ ）

（A）log(1a)(1a)log(1a)(1a)2（B）log(1a)(1a)log(1a)(1a) （C）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) （D）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) 三、例题分析 例1.解不等式0.22x

例2.解不等式logx

2

5x6

5x

2

x6

4

1 . 5

例3.如果x=3是不等式：loga(x2x2)loga(3x3)的一个解，解此关于x的不等式.

1

例4.解关于x的不等式：()

2

x2x2

2x2

例5.解不等式：ax13logax

(0a1)

例6．a1时解关于x的不等式loga[a2x2x(ax2x1)1]0

四、课堂练习

12

1、不等式()x832x 的解集为

32、不等式lg(x22x2)1的解集为

解三角形

一、正余弦定理及其运用

重点：正弦、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：定理的灵活运用

1.[探索研究] (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

abc

sinA，sinB，又sinC1, A cccabc则csinAsinBsinC

abc

从而在直角三角形ABC中，

sinAsinBsinC

的定义，有

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则同理可得从而

a

sinA



b

sinB

，c

sinC



b

sinB

，a

sinA

b

sinB

c

sinC

A c B

(图1．1-3)

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA



b

sinB



c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC； （2）

a

sinA



b

sinB



c

sinC

等价于

a

sinA



b

sinB

，

c

sinC



b

sinB

，

a

sinA



c

sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

ab

[例题分析]

例1 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

例2 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

课堂练习

1已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ

3 D 2

2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 4-3 D 8-8 3.已知a+b=12 B=450 A=600

则则

则a=------------------------，b=------------------------

4.已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------

5.已知b11,c12,B600则三角形ABC有（）解

A 一 B 两 C 无解 6已知a7,b3,A1100则三角形ABC有（）解

A 一 B 两 C 无解

7.在ABC中，三个内角之比A:B:C1:2:3，那么a:b:c等于____ 8.在ABC中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____

9.在ABC中，已知axcm,b2cm,B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则

x的取值范围是_____

2.[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A



如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则 bc

ccabab

 abb2ab C a2a2

ab2ab

2



从而 c2a2b22abcosC (图1．1-5)

同理可证 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2

cosA

a2c2b2

cosB

b2a2c2

cosC

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 【典例分析】

例1．在ABC中，已知acB600，求b及A

【变式训练1】在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A

例2. 例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2x20的两根，

2

2cosAB1。

（1） 求角C的度数； （2） 求AB的长； （3）求△ABC的面积。

【变式训练2】

在△ABC

中，A1200,cb,aSABCb,c。

【课堂演练】

1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．90 B．120 C．135 D．150

2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.

5 18

B.

3 4

C.

7 D.

82

4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanB3ac，则

角B的值为（ ）

52 C.或 D. 或

63363

13

5．在△ABC中，若a7,b8,cosC，则最大角的余弦是（ ）

14

1111A． B． C． D．

5867

A.

B.

6. 在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形



6

D. 等边三角形

二．不等式的性质

【教学目标】掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1） 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即______________ （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即______________ （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即______________

2.讲授新课

1、不等式的基本性质 请同学们证明下列不等式

(1)acbc (2) ab,bcac 于是，我们就得到了不等式的基本性质：

（1）ab,bcac （2）abacbc

（3）ab,c0acbc （4）ab,c0acbc

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）ab,cdacbd；

（2）ab0,cd0acbd；

（3

）ab0,nN,n1anbn 证明：

[范例讲解]：

例1、已知ab0,c0,求证

cc。 ab

3.随堂练习1

1、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2） ６＋2； （2）（－2） （6－1）；

2

2

2

（3）

1

； (4)当a＞b＞0时，log1a log1b

5

222

[补充例题]

例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，

合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

随堂练习2：比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2 4.课时小结：作差法比较大小的步骤

三．均值不等式

22

1．重要不等式：对于任意实数 a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号

成立。

(2)特别地,

如果a0,b0,a、b,可得ab也可写成 2.



ab2

例题分析：

1若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是 （ ）

1

Ａ． Ｂ．a2b2 Ｃ．2ab Ｄ．a

2

2 a,b

是正数，则

Ａ．Ｃ．

ab

,2

2ab

三个数的大小顺序是 （ ）

ab

ab2abab2ab



2ab2ab2abab

Ｄ．ab2

2abab



ab2

51

变式训练：1。已知xf（x）＝4x＋

44x－5 2. Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+

1

有最小值，最小值是多少 x

小结：求最值常用的不等式：abab(

ab2

)，a2b22ab． 2

2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小． 当堂检测：

1.下列叙述中正确的是（ ）.

（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值 （D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值 2下面给出的解答中，正确的是（ ）. 1

（A）y＝x≥2

x

x·2，∴y有最小值2

x

4

|sinx|·＝4，∴y有最小值4

|sinx|2

＝（

2

1

4

（B）y＝|sinx|＋2

|sinx|（C）y＝x（－2x＋3）≤（

x－2x＋3

－x＋32

，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴2

当x＝1时，y有最大值（

9

－1＋32

）＝1 2

（D）y＝3x－

xx

3－x·

9

x

＝－3，y有最大值－3

4

3.已知x＞0，则x＋3的最小值为（ ）.

（A）4 （B）7 （C）8 （D）11 1

4.设函数f（x）＝2x1（x＜0），则f（x）（ ）.

x

（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数 四、 一元二次不等式及其解法 【教学目标】

1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；

2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式．

重点：一元二次不等式的解法．

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系． 【提出问题】

1．如何解一般的一元二次不等式ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)？ 2．如何解一般的一元二次不等式ax2bxc0(a0)？ 【合作探究】

1．探究不等式x25x0与二次函数yx25x的零点之间的关系．

3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固． 例1 求不等式4x24x10的解集．

变式训练：课本练习

例2解不等式x22x30．

变式训练：课本练习

【反思总结】

解一元二次不等式的步骤：

①将二次项系数化为“”：Aax2bxc0(或0) (a0)． ②计算判别式，分析不等式的解的情况：

若A0，则xx1或x2;

ⅰ．0时，求根x1x2，

若A0，则xxx.12

若A0，则xx0的一切实数；

ⅱ．0时，求根x1x2x0，若A0，则x；

若A0，则xx.

0若A0，则xR；

ⅲ．0时，方程无解，

若A0，则x.

③写出解集．

课后练习与提高

1．与不等式(x3)(x5)0的解集相同的是（ ）

x30x30x50x30

A． B． C． D．

x50x50x30x50

axb

2．关于x的不等式axb0的解集为xx2，则关于x的不等式20的解

x2x3

集为（ ）

A．{x|2x1或x3} B．{x|3x2或x1}

C．{x|1x2或x3} D．{x|1或x3}

3．集合Axx25x40，Bxx25x60，则AB（ ） A．{x|1x2或3x4} B．{x|1x2且3x4} C．{1, 2, 3, 4} D．{x|4x1或2x3}

4．已知集合Uxx23x20，Axx3或x1，则CUA． 5．不等式2x22x8的正整数解集为 6．解下列不等式

① (x1)(3x)52x； ② 2x(x11)3(x1)2)； ③ (2x1)(x3)＞3(x22)





五．有理不等式的解法

一、解题思想与方法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论：对ax>b形式的不等式，当a>0时解集

bb

为,当a

aa解集为；

因未限制a的符号，故ax-b不必另行列出。

②一元二次不等式我们总可化为ax2+bx+c>0和ax2+bx+c+0)两形式之一，记△=b2-4ac。

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)

0f(x)g(x)0;g(x)

二、基础训练： 1、下列不等式与(A)

f(x)g(x)0f(x)

0

g(x)0g(x)

2x

0 同解的是„„„„„„„（ ） x1

x1

0 (B)x(x1)0 x

11

(C)lg(x1)0 (D)|x|

x2

2、不等式(x－2)2·(x－1)>0的解集为 . 3、不等式(x＋1) ·(x－1)2≤0的解集为 .

1

4、不等式x的解集为 .

x

三、例题分析：

例1.解不等式：(x－1)·(x－2)·(x－3)·(x－4)>120

例2. 解不等式：(x2)2(x3)(x1)(x5)0

3x2x4

x2 例3. 解不等式：

2xx2

(x1)2

1的整数x的值. 例6.求适合不等式0

x1

例7. 解关于x的不等式

x

1a x1

四、课堂练习：

3x1

1的解集为„„„„„„„„„„„（ ） 1、不等式

2x33

(A){x|≤x≤2} (B) {x|≤x

44

3

(C) {x|x>2或者x≤} (D){x|x＜2}

4

x

2的解集为 . 2、不等式

x1

xaxb1

23、如果不等式2的解集为（，1），则ab= .

2xx1xx1

六、无理不等式、含绝对值不等式的解法

一、解题思想与方法

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1

f(x)0 定义域

g(x)0

f(x)g(x)

f(x)03f(x)0 ○f(x)g(x)g(x)0或g(x)0

2f(x)[g(x)]

○2

f(x)0



f(x)g(x)g(x)0

2

f(x)[g(x)]

（4）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)



g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

二、基础训练：

|x2|2

1. (05重庆卷)不等式组的解集为 (C ) 2

log2(x1)1(A) (0,3)；

(B) (,2)；

(C) (3,4)；

(D) (2,4)。

2.（04年全国卷一.文9理8）不等式1|x1|3的解集为（ ）.

A.(0,2) B. (2,0)(2,4) C. (4,0) D. (4,2)(0,2)

3.不等式(x－1)x20的解为„„„„„„„„„„„„„（ ）

(A)x≥1 (B)x>1 (C) x≥1或者x=－2 (D) x≥－2且x≠1 4.不等式x2x1 的解集为； 三、例题分析： 例1.|x2-9|≤x+3.

例2.解不等式|x2─3|x|─3|1.

例3.求使不等式|x─4|+|x─3|

例6.解不等式：2axx21x(a>0).

四、课堂练习：

1.不等式x231的解集是 „„„„„„„„„„（ ）

2

（A） （B）xx2或x6 （C）xx6 （D）

32

xx2 3

2.解关于x的不等式a22x2xa

3.解不等式：

2x1123x

1

七、指数不等式、对数不等式的解法

一、解题思想与方法

（5）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);

（6）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0

logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)

af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

f(x)0

logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0

f(x)g(x)

二、基本训练

1.不等式log1log2x0的解集为„„„„„„„„„„„„„„（ ）

2

（A）{x|x2}

1a2

0，则a的取值范围是 2. （05辽宁卷）6．若log2a

1a

（ ）

1

A．(,)

2

B．(1,)

1C．(,1)

21

D．(0,)

2

3. (05全国卷Ⅰ) 设0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)0的x的取值范围是（ ）

（A）(,0)

（B）(0,)

（C）(,loga3)（D）(loga3,)

4. （05山东卷）0a1，下列不等式一定成立的是（ ）

（A）log(1a)(1a)log(1a)(1a)2（B）log(1a)(1a)log(1a)(1a) （C）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) （D）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) 三、例题分析 例1.解不等式0.22x

例2.解不等式logx

2

5x6

5x

2

x6

4

1 . 5

例3.如果x=3是不等式：loga(x2x2)loga(3x3)的一个解，解此关于x的不等式.

1

例4.解关于x的不等式：()

2

x2x2

2x2

例5.解不等式：ax13logax

(0a1)

例6．a1时解关于x的不等式loga[a2x2x(ax2x1)1]0

四、课堂练习

12

1、不等式()x832x 的解集为

32、不等式lg(x22x2)1的解集为