成 绩 评 定 表
课程设计任务书
本次课程设计利用运筹学方法在实际生活中的重要意义，用运筹方法解决新华机械厂合理安排生产方案以及运输问题，在不同等级土地种植不同果物的单产条件下，根据三个果园的土地面积，从总产量最大以及总产值最大两方面分析，利用线性规划，建立模型，利用Lindo 软件求解并且进行灵敏度分析分析，制定果物种植计划。
关键词：合理安排生产；Lindo; 灵敏度分析；运输问题；Lingo
1 生产安排问题.......................................................................................................... 1
1.1 问题的提出................................................................................................... 1 1.2 问题的分析................................................................................................... 1
1.2.1 变量说明............................................................................................ 1 1.2.2 约束条件............................................................................................ 2 1.2.3 目标函数............................................................................................ 3 1.3 数学模型的建立........................................................................................... 3 1.4 模型的求解及解的分析............................................................................... 4
1.4.1 在 Lindow32 中输入以下代码........................................................ 4 1.4.2 运行结果............................................................................................ 4 1.4.3 灵敏度分析........................................................................................ 5 1.4.4 模型分析............................................................................................ 6
2 运输问题................................................................................................................. 7
2.1 问题的提出................................................................................................... 7 2.2 问题的分析................................................................................................... 8
2.2.1 变量说明............................................................................................ 8 2.2.2 约束条件............................................................................................ 8 2.2.3 目标函数............................................................................................ 9 2.3 数学模型的建立........................................................................................... 9 2.4 模型的求解及解的分析............................................................................... 9
2.4.1 在Lingo 中输入代码........................................................................ 9 2.4.2 运行结果.......................................................................................... 10 2.4.3 结果分析...........................................................................................11
总结.............................................................................................................................. 12 参考文献...................................................................................................................... 13
1 生产安排问题
1.1 问题的提出
新华机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品。每种产品均要经过A 、B 两道加工工序。设该厂有两种规格的设备能完成工序A ，它们以A 1、A 2表示；有三种规格的设备能完成工序B ，它们以B 1、B 2、B 3表示。产品Ⅰ可在工序A 和B 的任何规格的设备上加工；产品Ⅱ可在工序A 的任何一种规格的设备上加工，但完成工序B 时，只能在设备B 1上加工；产品Ⅲ只能在设备A 2与B 2加工。已知在各种设备上加工的单件工时、各种设备的有效台时以及满负荷操作时的设备费用如表5—20所示，另外已知产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的原料价格分别为0.25元/件、0.35元/件和0.50元/件，销售单价分别为1.25元/件、2.00元/件和2.80元/件。如何安排生产，才能使该厂利润最大？
表5—20 各生产工序、设备及费用的相关数据
1.2 问题的分析
1.2.1 变量说明
设x 1为产品Ⅰ在设备A 1上加工的数量； x 2为产品Ⅱ在设备A 1上加工的数量；
x 3为产品Ⅰ在设备A 2上加工的数量； x 4为产品Ⅱ在设备A 2上加工的数量； x 5为产品Ⅲ在设备A 2上加工的数量； x 6
为产品Ⅰ在设备B 1上加工的数量；
x 7为产品Ⅱ在设备B 1上加工的数量；x 8为产品Ⅰ在设备B 2上加工的数量； x 9为产品Ⅱ在设备B 2上加工的数量；x 10
为产品Ⅰ在设备B 3上加工的数量。
1.2.2 约束条件
(1) 三种产品在每种设备上安排的时间
（2）本问题的目标是要计算最大利润，而计算最大利润要考虑三方面的因素： 销售额：1.25x 1+2x 2+1.25x 3+2x 4+2.8x 5
（因为是两道工序，总产品数量是A 、B 任一道工序中的总和） 材料成本：0.25x 1+0.35x 2+0.25x 3+0.35x 4+0.5x 5 ●机时费：
[1**********]000
⨯(5x 1+10x 2)+⨯(4x 8+11x 9)+
[**************]
⨯(7x 3+9x 4+12x 5)+⨯(7x 10
2004000
⨯(6x 6+8x 7)+
)
得0.25x 1+0.5x 2+0.28x 3+0.36x 4+0.48x 5+0. 3x 6+0. 4x 7+0. 4x 8+1. 1x 9+0. 35x 10
⎧5x 1+10x 2≤6000(设备A 1)⎪
⎪7x 3+9x 4+12x 5≤10000(设备A 2)⎪
(3) 设备的台时数限制：⎨6x 6+8x 7≤4000(设备B 1)
⎪
4x +11x 9≤7000(设备B 2)⎪8⎪⎩7x 10≤4000(设备B 3)
(4) 每一种产品在A 工序加工的数量与在B 工序加工的数量相等限制：
⎧x 1+x 3-x 6-x 8-x 10=0
⎪
⎨x 2+x 4-x 7=0（分别为产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ在A 、B 上加工的数量相等） ⎪x -x =0
9⎩5
(5) 非负约束：
x i ≥0(i =1, 2, 3, ...... ，10)
(6) 最大利润：
最后利润=销售额-材料成本-机事费
得0. 75x 1+1. 15x 2+0. 72x 3+1. 29x 4+1. 82x 5-0. 3x 6-0. 4x 7-0. 4x 8-1. 1x 9-0. 35x 10 1.2.3 目标函数
maxZ=0. 75x 1+1. 15x 2+0. 72x 3+1. 29x 4+1. 82x 5-0. 3x 6-0. 4x 7-0. 4x 8
-1. 1x 9-0. 35x 10
1.3 数学模型的建立
根据以上可列出问题的目标规划模型： 最大利润：
maxZ=0. 75x 1+1. 15x 2+0. 72x 3+1. 29x 4+1. 82x 5-0. 3x 6-0. 4x 7-0. 4x 8
-1. 1x 9-0. 35x 10
⎧5x 1+10x 2≤6000⎪
7x +9x 4+12x 5≤10000⎪3
⎪6x 6+8x 7≤4000⎪
⎪4x 8+11x 9≤7000⎪
⎨7x 10≤4000s.t. ⎪
x +x 3-x 6-x 8-x 10=0⎪1
⎪x 2+x 4-x 7=0⎪
⎪x 5-x 9=0
⎪x ≥0(i =1, 2, 3,......, 10) ⎩i
1.4 模型的求解及解的分析
1.4.1 在 Lindow32 中输入以下代码
max0.75x1+1.15x2+0.72x3+1.29x4+1.82x5-0.3x6-0.4x7-0.4x8-1.1x9-0.35x10 st
5x1+10x2
7x3+9x4+12x5
x1+x3-x6-x8-x10=0 x2+x4-x7=0 x5-x9=0 end
1.4.2 运行结果
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1200.567
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X1 1200.000000 0.000000 X2 0.000000 0.310345 X3 230.049255 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 324.137939 0.000000 X6 0.000000 0.253017
X7 500.000000 0.000000 X8 858.620667 0.000000 X9 324.137939 0.000000 X10 571.428589 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.036897 3) 0.000000 0.022069 4) 0.000000 0.086422 5) 0.000000 0.041379 6) 0.000000 0.030788 7) 0.000000 0.565517 8) 0.000000 1.091379 9) 0.000000 1.555172
NO. ITERATIONS= 7
1.4.3 灵敏度分析
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.750000 INFINITY 0.155172 X2 1.150000 0.310345 INFINITY X3 0.720000 0.100000 0.058182 X4 1.290000 INFINITY 0.310345
X5 1.820000 0.160000 0.171429 X6 -0.300000 0.253017 INFINITY X7 -0.400000 INFINITY 0.337356 X8 -0.400000 0.081169 0.058182
X9 -1.100000 0.160000 0.171429
X10 -0.350000 INFINITY 0.215517
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 6000.000000 1678.571533 694.940491 3 10000.000000 2350.000000 606.493469 4 4000.000000 539.105347 2088.888916 5 7000.000000 555.952332 1342.857178 6 4000.000000 972.916626 2350.000000 7 0.000000 138.988083 335.714294
8 0.000000 67.388168 261.111115 9 0.000000 50.541126 122.077927
1.4.4 模型分析
“LP OPTIMUM FOUND A T STEP 7”表示LINDO 在（用单纯形法）7次迭代或旋转后得到最优解。
“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1200.567”表示最优目标值为1200.567，即新华机械厂的最大利润为1200.567元。
“VALUE ”给出最优解中各变量(VARIABLE)的值:
X1=1200.000000 X2=0.000000 X3=230.049255 X4=500.000000 X5=324.137939 X6=0.000000 X7=500.000000 X8=858.620667 X9=324.137939 X10=571.428589
“REDUCED COST”表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量。x 2为产品Ⅱ在设备A 1上加工的数量，当产品Ⅱ在设备A 1上加工一件时，总利润减少0.310345元；x 6为产品Ⅰ在设备B 1上加工的数量，当产品Ⅰ在设备B 1上加工一件时，总利润减少0.253017元。
“SLACK OR SURPLUS ”给出松驰变量的值: 第2、3、4、5、6、7、8、9行松驰变量均为0, 说明对于最优解来讲，八个约束（第2、3、4、5、6、7、8、9行）均取等号。
“DUAL PRICES ”给出对偶价格的值: 第2、3、4、5、6、7、8、9行对偶价格分别为0.036897、0.022069、0.086422、0.041379、0.030788、0.565517、1.091379 1.555172元
“NO. ITERATIONS= 7”表示用单纯形法进行了7次迭代（旋转）。
灵敏度结果分析：
当目标函数的利润系数和约束右端项在什么范围变化（此时假定其他系数保持不变）时，最优基保持不变。报告中INFINITY 表示正无穷。 其中：“OBJ COEFFICIENT RANGES”为目标函数的系数可变范围；“RIGHTHAND SIDE RANGES”为边界约束的可变范围。
最优解不变时目标函数系数允许变化范围：
c 1（0.594828，+∞），c 2（-∞，1.460345），c 3（0.661818，0.82）， c 4（0.979655，+∞），c 5（1.648571，1.66），c 6（-∞，-0.046983）， c 7（-0.062644，+∞），c 8（-0.341518，-0.318831），c 9（-0.94，-0.928571）， c 10（-0.134483，+∞）
影子价格有意义时约束右端项的允许变化范围：
b 2 (5305.059509, 7678.571533) ，b 3 (9393.506531, 12350) b 4 (1911.111084, 4539.105347)，b 5 (5657.142822, 7555.952332)
b 6 (1650, 4972.916626)，b 7（-335.714294，138.988083）
，b 9（-122.077927，50.541126） b 8（-261.111115，67.388168）生产安排方案：
2 运输问题
2.1 问题的提出
某公司有三个加工厂A 1、A 2、A 3生产同一种产品，每日的产量分别为7吨、4吨和9吨；该公司必须把这些产品分别运到四个销售点B 1、B 2、B 3、B 4进行销售，
各销售点每日的销量分别为3吨、6吨、5吨和6吨；从各工厂到各销售点的单位运价如表7—1所示. 问该公司应如何安排这些产品的调运，在满足各销售点需求量的前提下，使总的运输费用为最小？
2.2 问题的分析
2.2.1 变量说明
总产量：7+4+9=20（吨） 总销量：3+6+5+6=20（吨）
分别设x 1、x 2、x 3、x 4为从产地A 1运往销售点B 1、B 2、B 3、B 4的运货量；
x 5、x 6、x 7、x 8为从产地A 1运往销售点B 1、B 2、B 3、B 4的运货量；
x 9、x 10、x 11、x 12
为从产地A 1运往销售点B 1、B 2、B 3、B 4的运货量；
2.2.2 约束条件
1）满足产地产量的约束条件：
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=7⎪
⎨x 5+x 6+x 7+x 8=4 ⎪x +x +x +x =9
101112⎩9
2）满足销地销量的约束条件：
⎧x 1
⎪⎪x 2⎨⎪x 3⎪x ⎩4
+x 5+x 9=3+x 6+x 10=6+x 7+x 11=5+x 8+x 12=6
3）非负约束：
x i ≥0(i =1, 2,......, 12)
2.2.3 目标函数
min f=3x 1+11x 2+3x 3+10x 4+x 5+9x 6+2x 7+8x 8+7x 9+4x 10+10x 11+5x 12
2.3 数学模型的建立
min f=3x 1+11x 2+3x 3+10x 4+x 5+9x 6+2x 7+8x 8+7x 9+4x 10+10x 11+5x 12
⎧x 1⎪x ⎪5⎪x 9⎪⎪x s.t ⎨1
⎪x 2⎪x 3⎪⎪x 4⎪x ⎩i
+x 2+x 3+x 4=7+x 6+x 7+x 8=4+x 10+x 11+x 12=9+x 5+x 9=3+x 6+x 10=6+x 7+x 11=5+x 8+x 12=6≥0(i =1, 2，...... ，12)
2.4 模型的求解及解的分析
2.4.1 在Lingo 中输入代码
model : sets :
warehouses/wh1..wh3/: capacity; vendors/v1..v4/: demand;
links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets
min=@sum(links: cost*volume); @for(vendors(J):
@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); @for(warehouses(I):
@sum(vendors(J): volume(I,J))
capacity=7 4 9; demand=3 6 5 6; cost=3 11 3 10
1 9 2 8 7 4 10 5; enddata end
2.4.2 运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 85.00000 Infeasibilities: Total solver iterations:
Variable CAPACITY( WH1) CAPACITY( WH2) CAPACITY( WH3) DEMAND( V1) 3.000000 DEMAND( V2) 6.000000 DEMAND( V3) 5.000000 DEMAND( V4) 6.000000 COST( WH1, V1) COST( WH1, V2) COST( WH1, V3) COST( WH1, V4) COST( WH2, V1) COST( WH2, V2) COST( WH2, V3) COST( WH2, V4) COST( WH3, V1) COST( WH3, V2) COST( WH3, V3) COST( WH3, V4) VOLUME( WH1, V1) VOLUME( WH1, V2) VOLUME( WH1, V3) VOLUME( WH1, V4) VOLUME( WH2, V1) VOLUME( WH2, V2) VOLUME( WH2, V3) VOLUME( WH2, V4) VOLUME( WH3, V1) VOLUME( WH3, V2) VOLUME( WH3, V3) 0.000000 7 Value Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2.000000 5.000000 0.000000 2.000000 0.000000 3.000000 0.000000 0.000000 2.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 9.000000 6.000000 0.000000 0.000000 12.00000
7.000000 4.000000 9.000000 3.000000 11.00000 3.000000 10.00000 1.000000 9.000000 2.000000 8.000000 7.000000 4.000000 10.00000 5.000000
VOLUME( WH3, V4) 3.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 85.00000 -1.000000 2 0.000000 -3.000000 3 0.000000 -9.000000 4 0.000000 -3.000000 5 0.000000 -10.00000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 5.000000
2.4.3 结果分析
“Total solver iterations: 7”表示LINGO 在（用单纯形法）7次迭代或旋转后得到最优解。
“Objective value: 85.00000”表示最优目标值为85.00000，即总的最小运输费用为85元。
“VALUE ”给出最优解中各变量(VARIABLE)的值:
可知：①产地A 1应该给销地B 3、B 4分别供应5吨和2吨；
②产地A 2应该给销地B 1、B 4分别供应3吨和1吨； ③产地A 3应该给销地B 2、B 4分别供应6吨和3吨。
总结
通过本次课程设计，我深刻的了解了运筹学方法在实际生活中的重要意义，也更加明确了用运筹方法处理问题的流程。应用运筹学处理问题一般可分为如下几个阶段：
1) 规定目标和明确问题：包括把整个问题分成若干子问题，确定问题的尺
度、有效性度量、可控变量和不可控变量。
2) 收集数据和建立模型：包括定量关系、经验关系和规范关系。
3) 求解模型和优化方案：包括求解模型的数学方法，程序设计、调试运行。 4) 检验模型和评价：包括检验模型在主要参数变动时的结果是否合理，输
入发生微小变化时输出变化的相对大小是否合适及模型是否容易解出等方面的检验和评价。
5) 方案实施和不断优化：包括应用所得的结果解决实际问题，并在方案实
践过程中发现新的问题不断优化。而上述几个阶段在实际过程中往往交叉重复进行，不断反复。
此次课程设计使我对运筹学有了进一步的认识，希望以后能够把它应用到实际生产生活中去。
参考文献
[1] 胡运权. 运筹学基础及应用(第五版). 北京：高等教育出版社，2010. [2] 王冬琳. 数学建模及实验(第一版). 北京：国防工业出版社，2004. [3] 姜启源. 数学模型(第三版). 北京:高等教育出版社，2003.
[4] 谢金星、薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件. 北京:清华大学出版社，2005. [5] 夏少刚. 经济优化方法和模型. 北京:清华大学出版社，2005.
成 绩 评 定 表
课程设计任务书
本次课程设计利用运筹学方法在实际生活中的重要意义，用运筹方法解决新华机械厂合理安排生产方案以及运输问题，在不同等级土地种植不同果物的单产条件下，根据三个果园的土地面积，从总产量最大以及总产值最大两方面分析，利用线性规划，建立模型，利用Lindo 软件求解并且进行灵敏度分析分析，制定果物种植计划。
关键词：合理安排生产；Lindo; 灵敏度分析；运输问题；Lingo
1 生产安排问题.......................................................................................................... 1
1.1 问题的提出................................................................................................... 1 1.2 问题的分析................................................................................................... 1
1.2.1 变量说明............................................................................................ 1 1.2.2 约束条件............................................................................................ 2 1.2.3 目标函数............................................................................................ 3 1.3 数学模型的建立........................................................................................... 3 1.4 模型的求解及解的分析............................................................................... 4
1.4.1 在 Lindow32 中输入以下代码........................................................ 4 1.4.2 运行结果............................................................................................ 4 1.4.3 灵敏度分析........................................................................................ 5 1.4.4 模型分析............................................................................................ 6
2 运输问题................................................................................................................. 7
2.1 问题的提出................................................................................................... 7 2.2 问题的分析................................................................................................... 8
2.2.1 变量说明............................................................................................ 8 2.2.2 约束条件............................................................................................ 8 2.2.3 目标函数............................................................................................ 9 2.3 数学模型的建立........................................................................................... 9 2.4 模型的求解及解的分析............................................................................... 9
2.4.1 在Lingo 中输入代码........................................................................ 9 2.4.2 运行结果.......................................................................................... 10 2.4.3 结果分析...........................................................................................11
总结.............................................................................................................................. 12 参考文献...................................................................................................................... 13
1 生产安排问题
1.1 问题的提出
新华机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品。每种产品均要经过A 、B 两道加工工序。设该厂有两种规格的设备能完成工序A ，它们以A 1、A 2表示；有三种规格的设备能完成工序B ，它们以B 1、B 2、B 3表示。产品Ⅰ可在工序A 和B 的任何规格的设备上加工；产品Ⅱ可在工序A 的任何一种规格的设备上加工，但完成工序B 时，只能在设备B 1上加工；产品Ⅲ只能在设备A 2与B 2加工。已知在各种设备上加工的单件工时、各种设备的有效台时以及满负荷操作时的设备费用如表5—20所示，另外已知产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的原料价格分别为0.25元/件、0.35元/件和0.50元/件，销售单价分别为1.25元/件、2.00元/件和2.80元/件。如何安排生产，才能使该厂利润最大？
表5—20 各生产工序、设备及费用的相关数据
1.2 问题的分析
1.2.1 变量说明
设x 1为产品Ⅰ在设备A 1上加工的数量； x 2为产品Ⅱ在设备A 1上加工的数量；
x 3为产品Ⅰ在设备A 2上加工的数量； x 4为产品Ⅱ在设备A 2上加工的数量； x 5为产品Ⅲ在设备A 2上加工的数量； x 6
为产品Ⅰ在设备B 1上加工的数量；
x 7为产品Ⅱ在设备B 1上加工的数量；x 8为产品Ⅰ在设备B 2上加工的数量； x 9为产品Ⅱ在设备B 2上加工的数量；x 10
为产品Ⅰ在设备B 3上加工的数量。
1.2.2 约束条件
(1) 三种产品在每种设备上安排的时间
（2）本问题的目标是要计算最大利润，而计算最大利润要考虑三方面的因素： 销售额：1.25x 1+2x 2+1.25x 3+2x 4+2.8x 5
（因为是两道工序，总产品数量是A 、B 任一道工序中的总和） 材料成本：0.25x 1+0.35x 2+0.25x 3+0.35x 4+0.5x 5 ●机时费：
[1**********]000
⨯(5x 1+10x 2)+⨯(4x 8+11x 9)+
[**************]
⨯(7x 3+9x 4+12x 5)+⨯(7x 10
2004000
⨯(6x 6+8x 7)+
)
得0.25x 1+0.5x 2+0.28x 3+0.36x 4+0.48x 5+0. 3x 6+0. 4x 7+0. 4x 8+1. 1x 9+0. 35x 10
⎧5x 1+10x 2≤6000(设备A 1)⎪
⎪7x 3+9x 4+12x 5≤10000(设备A 2)⎪
(3) 设备的台时数限制：⎨6x 6+8x 7≤4000(设备B 1)
⎪
4x +11x 9≤7000(设备B 2)⎪8⎪⎩7x 10≤4000(设备B 3)
(4) 每一种产品在A 工序加工的数量与在B 工序加工的数量相等限制：
⎧x 1+x 3-x 6-x 8-x 10=0
⎪
⎨x 2+x 4-x 7=0（分别为产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ在A 、B 上加工的数量相等） ⎪x -x =0
9⎩5
(5) 非负约束：
x i ≥0(i =1, 2, 3, ...... ，10)
(6) 最大利润：
最后利润=销售额-材料成本-机事费
得0. 75x 1+1. 15x 2+0. 72x 3+1. 29x 4+1. 82x 5-0. 3x 6-0. 4x 7-0. 4x 8-1. 1x 9-0. 35x 10 1.2.3 目标函数
maxZ=0. 75x 1+1. 15x 2+0. 72x 3+1. 29x 4+1. 82x 5-0. 3x 6-0. 4x 7-0. 4x 8
-1. 1x 9-0. 35x 10
1.3 数学模型的建立
根据以上可列出问题的目标规划模型： 最大利润：
maxZ=0. 75x 1+1. 15x 2+0. 72x 3+1. 29x 4+1. 82x 5-0. 3x 6-0. 4x 7-0. 4x 8
-1. 1x 9-0. 35x 10
⎧5x 1+10x 2≤6000⎪
7x +9x 4+12x 5≤10000⎪3
⎪6x 6+8x 7≤4000⎪
⎪4x 8+11x 9≤7000⎪
⎨7x 10≤4000s.t. ⎪
x +x 3-x 6-x 8-x 10=0⎪1
⎪x 2+x 4-x 7=0⎪
⎪x 5-x 9=0
⎪x ≥0(i =1, 2, 3,......, 10) ⎩i
1.4 模型的求解及解的分析
1.4.1 在 Lindow32 中输入以下代码
max0.75x1+1.15x2+0.72x3+1.29x4+1.82x5-0.3x6-0.4x7-0.4x8-1.1x9-0.35x10 st
5x1+10x2
7x3+9x4+12x5
x1+x3-x6-x8-x10=0 x2+x4-x7=0 x5-x9=0 end
1.4.2 运行结果
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1200.567
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X1 1200.000000 0.000000 X2 0.000000 0.310345 X3 230.049255 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 324.137939 0.000000 X6 0.000000 0.253017
X7 500.000000 0.000000 X8 858.620667 0.000000 X9 324.137939 0.000000 X10 571.428589 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.036897 3) 0.000000 0.022069 4) 0.000000 0.086422 5) 0.000000 0.041379 6) 0.000000 0.030788 7) 0.000000 0.565517 8) 0.000000 1.091379 9) 0.000000 1.555172
NO. ITERATIONS= 7
1.4.3 灵敏度分析
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.750000 INFINITY 0.155172 X2 1.150000 0.310345 INFINITY X3 0.720000 0.100000 0.058182 X4 1.290000 INFINITY 0.310345
X5 1.820000 0.160000 0.171429 X6 -0.300000 0.253017 INFINITY X7 -0.400000 INFINITY 0.337356 X8 -0.400000 0.081169 0.058182
X9 -1.100000 0.160000 0.171429
X10 -0.350000 INFINITY 0.215517
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 6000.000000 1678.571533 694.940491 3 10000.000000 2350.000000 606.493469 4 4000.000000 539.105347 2088.888916 5 7000.000000 555.952332 1342.857178 6 4000.000000 972.916626 2350.000000 7 0.000000 138.988083 335.714294
8 0.000000 67.388168 261.111115 9 0.000000 50.541126 122.077927
1.4.4 模型分析
“LP OPTIMUM FOUND A T STEP 7”表示LINDO 在（用单纯形法）7次迭代或旋转后得到最优解。
“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1200.567”表示最优目标值为1200.567，即新华机械厂的最大利润为1200.567元。
“VALUE ”给出最优解中各变量(VARIABLE)的值:
X1=1200.000000 X2=0.000000 X3=230.049255 X4=500.000000 X5=324.137939 X6=0.000000 X7=500.000000 X8=858.620667 X9=324.137939 X10=571.428589
“REDUCED COST”表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量。x 2为产品Ⅱ在设备A 1上加工的数量，当产品Ⅱ在设备A 1上加工一件时，总利润减少0.310345元；x 6为产品Ⅰ在设备B 1上加工的数量，当产品Ⅰ在设备B 1上加工一件时，总利润减少0.253017元。
“SLACK OR SURPLUS ”给出松驰变量的值: 第2、3、4、5、6、7、8、9行松驰变量均为0, 说明对于最优解来讲，八个约束（第2、3、4、5、6、7、8、9行）均取等号。
“DUAL PRICES ”给出对偶价格的值: 第2、3、4、5、6、7、8、9行对偶价格分别为0.036897、0.022069、0.086422、0.041379、0.030788、0.565517、1.091379 1.555172元
“NO. ITERATIONS= 7”表示用单纯形法进行了7次迭代（旋转）。
灵敏度结果分析：
当目标函数的利润系数和约束右端项在什么范围变化（此时假定其他系数保持不变）时，最优基保持不变。报告中INFINITY 表示正无穷。 其中：“OBJ COEFFICIENT RANGES”为目标函数的系数可变范围；“RIGHTHAND SIDE RANGES”为边界约束的可变范围。
最优解不变时目标函数系数允许变化范围：
c 1（0.594828，+∞），c 2（-∞，1.460345），c 3（0.661818，0.82）， c 4（0.979655，+∞），c 5（1.648571，1.66），c 6（-∞，-0.046983）， c 7（-0.062644，+∞），c 8（-0.341518，-0.318831），c 9（-0.94，-0.928571）， c 10（-0.134483，+∞）
影子价格有意义时约束右端项的允许变化范围：
b 2 (5305.059509, 7678.571533) ，b 3 (9393.506531, 12350) b 4 (1911.111084, 4539.105347)，b 5 (5657.142822, 7555.952332)
b 6 (1650, 4972.916626)，b 7（-335.714294，138.988083）
，b 9（-122.077927，50.541126） b 8（-261.111115，67.388168）生产安排方案：
2 运输问题
2.1 问题的提出
某公司有三个加工厂A 1、A 2、A 3生产同一种产品，每日的产量分别为7吨、4吨和9吨；该公司必须把这些产品分别运到四个销售点B 1、B 2、B 3、B 4进行销售，
各销售点每日的销量分别为3吨、6吨、5吨和6吨；从各工厂到各销售点的单位运价如表7—1所示. 问该公司应如何安排这些产品的调运，在满足各销售点需求量的前提下，使总的运输费用为最小？
2.2 问题的分析
2.2.1 变量说明
总产量：7+4+9=20（吨） 总销量：3+6+5+6=20（吨）
分别设x 1、x 2、x 3、x 4为从产地A 1运往销售点B 1、B 2、B 3、B 4的运货量；
x 5、x 6、x 7、x 8为从产地A 1运往销售点B 1、B 2、B 3、B 4的运货量；
x 9、x 10、x 11、x 12
为从产地A 1运往销售点B 1、B 2、B 3、B 4的运货量；
2.2.2 约束条件
1）满足产地产量的约束条件：
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=7⎪
⎨x 5+x 6+x 7+x 8=4 ⎪x +x +x +x =9
101112⎩9
2）满足销地销量的约束条件：
⎧x 1
⎪⎪x 2⎨⎪x 3⎪x ⎩4
+x 5+x 9=3+x 6+x 10=6+x 7+x 11=5+x 8+x 12=6
3）非负约束：
x i ≥0(i =1, 2,......, 12)
2.2.3 目标函数
min f=3x 1+11x 2+3x 3+10x 4+x 5+9x 6+2x 7+8x 8+7x 9+4x 10+10x 11+5x 12
2.3 数学模型的建立
min f=3x 1+11x 2+3x 3+10x 4+x 5+9x 6+2x 7+8x 8+7x 9+4x 10+10x 11+5x 12
⎧x 1⎪x ⎪5⎪x 9⎪⎪x s.t ⎨1
⎪x 2⎪x 3⎪⎪x 4⎪x ⎩i
+x 2+x 3+x 4=7+x 6+x 7+x 8=4+x 10+x 11+x 12=9+x 5+x 9=3+x 6+x 10=6+x 7+x 11=5+x 8+x 12=6≥0(i =1, 2，...... ，12)
2.4 模型的求解及解的分析
2.4.1 在Lingo 中输入代码
model : sets :
warehouses/wh1..wh3/: capacity; vendors/v1..v4/: demand;
links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets
min=@sum(links: cost*volume); @for(vendors(J):
@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); @for(warehouses(I):
@sum(vendors(J): volume(I,J))
capacity=7 4 9; demand=3 6 5 6; cost=3 11 3 10
1 9 2 8 7 4 10 5; enddata end
2.4.2 运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 85.00000 Infeasibilities: Total solver iterations:
Variable CAPACITY( WH1) CAPACITY( WH2) CAPACITY( WH3) DEMAND( V1) 3.000000 DEMAND( V2) 6.000000 DEMAND( V3) 5.000000 DEMAND( V4) 6.000000 COST( WH1, V1) COST( WH1, V2) COST( WH1, V3) COST( WH1, V4) COST( WH2, V1) COST( WH2, V2) COST( WH2, V3) COST( WH2, V4) COST( WH3, V1) COST( WH3, V2) COST( WH3, V3) COST( WH3, V4) VOLUME( WH1, V1) VOLUME( WH1, V2) VOLUME( WH1, V3) VOLUME( WH1, V4) VOLUME( WH2, V1) VOLUME( WH2, V2) VOLUME( WH2, V3) VOLUME( WH2, V4) VOLUME( WH3, V1) VOLUME( WH3, V2) VOLUME( WH3, V3) 0.000000 7 Value Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2.000000 5.000000 0.000000 2.000000 0.000000 3.000000 0.000000 0.000000 2.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 9.000000 6.000000 0.000000 0.000000 12.00000
7.000000 4.000000 9.000000 3.000000 11.00000 3.000000 10.00000 1.000000 9.000000 2.000000 8.000000 7.000000 4.000000 10.00000 5.000000
VOLUME( WH3, V4) 3.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 85.00000 -1.000000 2 0.000000 -3.000000 3 0.000000 -9.000000 4 0.000000 -3.000000 5 0.000000 -10.00000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 5.000000
2.4.3 结果分析
“Total solver iterations: 7”表示LINGO 在（用单纯形法）7次迭代或旋转后得到最优解。
“Objective value: 85.00000”表示最优目标值为85.00000，即总的最小运输费用为85元。
“VALUE ”给出最优解中各变量(VARIABLE)的值:
可知：①产地A 1应该给销地B 3、B 4分别供应5吨和2吨；
②产地A 2应该给销地B 1、B 4分别供应3吨和1吨； ③产地A 3应该给销地B 2、B 4分别供应6吨和3吨。
总结
通过本次课程设计，我深刻的了解了运筹学方法在实际生活中的重要意义，也更加明确了用运筹方法处理问题的流程。应用运筹学处理问题一般可分为如下几个阶段：
1) 规定目标和明确问题：包括把整个问题分成若干子问题，确定问题的尺
度、有效性度量、可控变量和不可控变量。
2) 收集数据和建立模型：包括定量关系、经验关系和规范关系。
3) 求解模型和优化方案：包括求解模型的数学方法，程序设计、调试运行。 4) 检验模型和评价：包括检验模型在主要参数变动时的结果是否合理，输
入发生微小变化时输出变化的相对大小是否合适及模型是否容易解出等方面的检验和评价。
5) 方案实施和不断优化：包括应用所得的结果解决实际问题，并在方案实
践过程中发现新的问题不断优化。而上述几个阶段在实际过程中往往交叉重复进行，不断反复。
此次课程设计使我对运筹学有了进一步的认识，希望以后能够把它应用到实际生产生活中去。
参考文献
[1] 胡运权. 运筹学基础及应用(第五版). 北京：高等教育出版社，2010. [2] 王冬琳. 数学建模及实验(第一版). 北京：国防工业出版社，2004. [3] 姜启源. 数学模型(第三版). 北京:高等教育出版社，2003.
[4] 谢金星、薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件. 北京:清华大学出版社，2005. [5] 夏少刚. 经济优化方法和模型. 北京:清华大学出版社，2005.