排队论
摘要：医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用. 所谓排队系统模拟建模,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.
关键字： 随机性，排队系统，动态模拟
正文 ：排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的，本文用泊松输入，建立模型。 泊松输入即满足以下4个条件的输入：
(1)、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院.
(2)、服务时间是指患者接收服务的时间规律.
(3)、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者.
(4)、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务.
患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；
患者接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的. 常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和埃尔朗分布.
一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为
B ( t ) = 1- e - m t (t ≥0).
其中m＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而1/m 则是平均服务时间. 服务窗口的主要属性是服务台的个数. 其类型有：单服务台、多服务台.
多服务台又分并联、串联和混合型三种. 最基本的类型为多服务台并联.
分为三类：损失制、等待制、混合制.
损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失. 等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则：
①先到先服务,如就诊、排队取药等；
②后到先服务,如医院处理急症病人；
③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务；
④优先权服务,如照顾号.
1
混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的； 容量可能是有限的，也可能是无限的
排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述.
根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即
输入过程 | 服务分布 | 服务台个数
例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统.
评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映.
排队系统的主要数量指标 ：
建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长.
⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.
用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度.
⑶ 队长 指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者).
用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长.
此外, 用r 表示服务强度,其值为有效的平均到达率l与平均服务率m 之比, 即r =l/m . M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型.
假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队规则是先到先服务.
设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率. Pn=(1- r )r n, n = 0, 1, 2, … .
其中r =l/m 表示有效的平均到达率l与平均服务率m 之比(0＜r ＜1).
M | M | 1 模型的几个主要指标
⑴ 在系统中的平均患者数(平均队长)Ls
⑵ 在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq
⑶ 患者在系统中平均逗留时间Ws
⑷ 患者在队列中平均等待时间Wq
⑸ 闲期的平均长度I
⑹ 忙期的平均长度B
通过上述分析，各公式如下：LsLq
2 ,WqLq,WsLs,
2
，从其中的计算可知，等待时间，逗留时间，闲期的平均长度，忙Ls()
期的平均长度等。
不同的服务规则，（先到先服务，后到先服务，随即服务），他们的不同点主要反映在等待时间的分布函数的不同，而一些期望是相同的。上面讨论的这些指标，因为都是期望值，所以这些指标的计算公式对这三种服务规则都试用。但对有优先权的规则不适用。 参考文献
[1] 高等学校试用教材.运筹学(第三版).北京：清华大学出版社，2008
[2] 郭耀煌.运筹学原理与方法. 西南交通大学出版社,1994
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排队论
摘要：医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用. 所谓排队系统模拟建模,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.
关键字： 随机性，排队系统，动态模拟
正文 ：排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的，本文用泊松输入，建立模型。 泊松输入即满足以下4个条件的输入：
(1)、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院.
(2)、服务时间是指患者接收服务的时间规律.
(3)、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者.
(4)、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务.
患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；
患者接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的. 常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和埃尔朗分布.
一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为
B ( t ) = 1- e - m t (t ≥0).
其中m＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而1/m 则是平均服务时间. 服务窗口的主要属性是服务台的个数. 其类型有：单服务台、多服务台.
多服务台又分并联、串联和混合型三种. 最基本的类型为多服务台并联.
分为三类：损失制、等待制、混合制.
损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失. 等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则：
①先到先服务,如就诊、排队取药等；
②后到先服务,如医院处理急症病人；
③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务；
④优先权服务,如照顾号.
1
混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的； 容量可能是有限的，也可能是无限的
排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述.
根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即
输入过程 | 服务分布 | 服务台个数
例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统.
评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映.
排队系统的主要数量指标 ：
建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长.
⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.
用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度.
⑶ 队长 指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者).
用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长.
此外, 用r 表示服务强度,其值为有效的平均到达率l与平均服务率m 之比, 即r =l/m . M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型.
假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队规则是先到先服务.
设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率. Pn=(1- r )r n, n = 0, 1, 2, … .
其中r =l/m 表示有效的平均到达率l与平均服务率m 之比(0＜r ＜1).
M | M | 1 模型的几个主要指标
⑴ 在系统中的平均患者数(平均队长)Ls
⑵ 在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq
⑶ 患者在系统中平均逗留时间Ws
⑷ 患者在队列中平均等待时间Wq
⑸ 闲期的平均长度I
⑹ 忙期的平均长度B
通过上述分析，各公式如下：LsLq
2 ,WqLq,WsLs,
2
，从其中的计算可知，等待时间，逗留时间，闲期的平均长度，忙Ls()
期的平均长度等。
不同的服务规则，（先到先服务，后到先服务，随即服务），他们的不同点主要反映在等待时间的分布函数的不同，而一些期望是相同的。上面讨论的这些指标，因为都是期望值，所以这些指标的计算公式对这三种服务规则都试用。但对有优先权的规则不适用。 参考文献
[1] 高等学校试用教材.运筹学(第三版).北京：清华大学出版社，2008
[2] 郭耀煌.运筹学原理与方法. 西南交通大学出版社,1994
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