如何求函数的值域

如何求函数的值域

函数的值域是函数的三要素之一，也是三要素中的难点和重点，有和函数的最值有密彻的联系，因此，如何求它就显得特别重要。许多的资料上面都有很多的方法，学生如何去用这些方法，就决定了学生能否解决问题。而方法越多，学生的感觉就越困惑，该怎样用呢，用那种方法呢，这么多的方法，有的资料上介绍的不下十种，但归根结底，这些方法都有一些相似之处，因此，对这些方法的归类，会对如何求它可以有一个整体的认识，解决问题的时候就会有一个大的方向。

一、 利用已知的函数模型

1． 配方法：利用的是二次函数的模型，采用配方与函数的图象相结合的方式求值域。

例1.求函数y=xx的值域

211分析：先求定义域为x≥0

0则又

y=2

4函数，由图象知，y≤1. 4

2 点评：配方法适合的题型是二次型函数y=Af(x)+Bf(x)+C。这种方法要注意的是其结构是

同一个函数中具备一个函数和这个函数的平方的关系，如：x

e2x与e等。换元法

x

中的许多的问题也可以归为此类，如：yx就可以令

≥0)。

2.分离常数（或整式）法：对某些分式型的函数进行分离，使函数解析式更为简洁。实质是1的模型去处理的问题。 x

1x 例2．求函数y （1x2 ） 2x5利用的反比例函数y

分析：y1x171=y，1x2，72x59，2x522(2x5)

[1**********]1，0，函数的值域为（,0） 92x571822x529222x59

3、换元法：此题所给出这类无理函数或关于某个整体的二次结构，一般采用换元法，转化为二次函数的条件最值来求值域

例3．求函数

当t=1时，y有最大值4

∴函数值域为（-∞，+4]

4.不等式法：运用均值不等式，其实质是利用函数yx

型去处理问题 k,(k0)这个函数的模x

2x2x1例5.求函数y（x>1）的值域。 x1

2x2x12(x1)23(x1)222(x1)3437,当且 分析：y=x1x1x1

仅当2(x1)2即x=2时取得“=”号，因此y∈[7,+∞). x1

点评：（1）不等式法适合于解析式能运用均值不等式的函数；

（2）使用中注意公式成立的条件“正、定、等”。

5.单调性法：这更加是利用函数的模型去求值域，先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域。

例6.

求y

,显然是定义域内的减函数，由定义域分析：把原解析式化成：

y=

{x|x≥1},当x=1时，原函数取得最大值为

所以值域为{y|y∈

点评：对于一些能确定单调性的函数，用此法是最佳选择。

二、 利用反函数与原函数间的关系求值域

6.判别式法:把函数解析式化为关于x的，利用一元二次方程的根的判别式求出值域。其实质是解二次方程，有根的条件是判别式△≥0。

xx22例7.求y=的值域。 x22

分析：原函数解析式变为：(y+1)x-x+2y+2=0,当y=-1时，x=0成立；当y≠-1时，此方程的判别式△≥0解出y∈

[-1-2,-1+]。 4

4

7.有界性法:充分利用三角函数或一些非负数的式子的有界性，求出值域。

ex1(x0)的值域。 例8.求函数yxe1

ex11y1yx(x0) 求得ex1，分析：由yx，又e≥1,所以求出0≤y

它的实质还是在反解过程中，反函数有意义的条件。

例9.求函数y=

分析：由y=sinx的值域 2cosxsinx2得sinxycosx2y,ysin(x)2y 2cosx

sin(x)2y

y2，反解有意义，必须的条件是12yy21，可以说是利用有界

性求的值域，但它的实质还利用原函数与反函数的关系的

三、 利用几何的最值求函数的值域

例10.求函数

uu2v22(u0,v0)分析：令

v函数y=u+v，则u-v=2(u≥0,v≤

0)所表示的曲线

如图1，可由等轴双曲线在第四象限内的部分（含

顶点）与直线y=u+v有公共点时的截距的范围，

求出引函数的值域。当直线过顶点A0）时， 22） yu+v=0时与双曲线无交点，所以y∈点评：利用图形的几何性质解题，要求对几何知识有非常好的理解能力；适用于较方便利用代数式的几何意义的题目。

sinx的值域 2cosx

sinx0(sinx)分析：y==，可视y为过点A（cosx,-sinx）、B(2,0)的直线的斜2cosx2cosx例11.求函数y=

率。显然，A点的轨迹为一个单位圆，如图2，y=KAB为定点B（2，0）到单位圆上的点的

斜率的取值范围，即切线位置时，≤KAB≤33

则y∈[,]. 33

点评：（1是公式简洁、图形上斜率直观。

（2调结构意识，怎样的结构用怎样的方法；但又不拘泥于死板的题型与方法，而多开拓出一种题型的多种求值域的方法，从而给解题提供更多的思路，达到迅速、准确解题的目的。

如何求函数的值域

函数的值域是函数的三要素之一，也是三要素中的难点和重点，有和函数的最值有密彻的联系，因此，如何求它就显得特别重要。许多的资料上面都有很多的方法，学生如何去用这些方法，就决定了学生能否解决问题。而方法越多，学生的感觉就越困惑，该怎样用呢，用那种方法呢，这么多的方法，有的资料上介绍的不下十种，但归根结底，这些方法都有一些相似之处，因此，对这些方法的归类，会对如何求它可以有一个整体的认识，解决问题的时候就会有一个大的方向。

一、 利用已知的函数模型

1． 配方法：利用的是二次函数的模型，采用配方与函数的图象相结合的方式求值域。

例1.求函数y=xx的值域

211分析：先求定义域为x≥0

0则又

y=2

4函数，由图象知，y≤1. 4

2 点评：配方法适合的题型是二次型函数y=Af(x)+Bf(x)+C。这种方法要注意的是其结构是

同一个函数中具备一个函数和这个函数的平方的关系，如：x

e2x与e等。换元法

x

中的许多的问题也可以归为此类，如：yx就可以令

≥0)。

2.分离常数（或整式）法：对某些分式型的函数进行分离，使函数解析式更为简洁。实质是1的模型去处理的问题。 x

1x 例2．求函数y （1x2 ） 2x5利用的反比例函数y

分析：y1x171=y，1x2，72x59，2x522(2x5)

[1**********]1，0，函数的值域为（,0） 92x571822x529222x59

3、换元法：此题所给出这类无理函数或关于某个整体的二次结构，一般采用换元法，转化为二次函数的条件最值来求值域

例3．求函数

当t=1时，y有最大值4

∴函数值域为（-∞，+4]

4.不等式法：运用均值不等式，其实质是利用函数yx

型去处理问题 k,(k0)这个函数的模x

2x2x1例5.求函数y（x>1）的值域。 x1

2x2x12(x1)23(x1)222(x1)3437,当且 分析：y=x1x1x1

仅当2(x1)2即x=2时取得“=”号，因此y∈[7,+∞). x1

点评：（1）不等式法适合于解析式能运用均值不等式的函数；

（2）使用中注意公式成立的条件“正、定、等”。

5.单调性法：这更加是利用函数的模型去求值域，先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域。

例6.

求y

,显然是定义域内的减函数，由定义域分析：把原解析式化成：

y=

{x|x≥1},当x=1时，原函数取得最大值为

所以值域为{y|y∈

点评：对于一些能确定单调性的函数，用此法是最佳选择。

二、 利用反函数与原函数间的关系求值域

6.判别式法:把函数解析式化为关于x的，利用一元二次方程的根的判别式求出值域。其实质是解二次方程，有根的条件是判别式△≥0。

xx22例7.求y=的值域。 x22

分析：原函数解析式变为：(y+1)x-x+2y+2=0,当y=-1时，x=0成立；当y≠-1时，此方程的判别式△≥0解出y∈

[-1-2,-1+]。 4

4

7.有界性法:充分利用三角函数或一些非负数的式子的有界性，求出值域。

ex1(x0)的值域。 例8.求函数yxe1

ex11y1yx(x0) 求得ex1，分析：由yx，又e≥1,所以求出0≤y

它的实质还是在反解过程中，反函数有意义的条件。

例9.求函数y=

分析：由y=sinx的值域 2cosxsinx2得sinxycosx2y,ysin(x)2y 2cosx

sin(x)2y

y2，反解有意义，必须的条件是12yy21，可以说是利用有界

性求的值域，但它的实质还利用原函数与反函数的关系的

三、 利用几何的最值求函数的值域

例10.求函数

uu2v22(u0,v0)分析：令

v函数y=u+v，则u-v=2(u≥0,v≤

0)所表示的曲线

如图1，可由等轴双曲线在第四象限内的部分（含

顶点）与直线y=u+v有公共点时的截距的范围，

求出引函数的值域。当直线过顶点A0）时， 22） yu+v=0时与双曲线无交点，所以y∈点评：利用图形的几何性质解题，要求对几何知识有非常好的理解能力；适用于较方便利用代数式的几何意义的题目。

sinx的值域 2cosx

sinx0(sinx)分析：y==，可视y为过点A（cosx,-sinx）、B(2,0)的直线的斜2cosx2cosx例11.求函数y=

率。显然，A点的轨迹为一个单位圆，如图2，y=KAB为定点B（2，0）到单位圆上的点的

斜率的取值范围，即切线位置时，≤KAB≤33

则y∈[,]. 33

点评：（1是公式简洁、图形上斜率直观。

（2调结构意识，怎样的结构用怎样的方法；但又不拘泥于死板的题型与方法，而多开拓出一种题型的多种求值域的方法，从而给解题提供更多的思路，达到迅速、准确解题的目的。