微积分习题库答案

习题参考解答

习题1—2

1．（1）(,3)(3,)； （2）(0,1]； （3）{x|xk,k0,1,2,}；

3

（4）(,2)(2,)； （5）[1,2)。

2

2．定义域(,)；值域[1,1]。 3．（1）不同，值域不同； （2）相同； （3）不同，定义域不同； （4）相同。 5．a4,b1。 6．（1）偶函数； （2）既非奇函数，又非偶函数； （3）偶函数； （4）奇函数； （5）既非奇函数，又非偶函数； （6）偶函数。 10．（1）2；

（6）2。

11．（1）ysin2t，定义域(,)； （2）yax，定义域为(,)； （3）yloga(3x22)定义域为R； （4）不能； （5）y

3

x2

2

（2）

； 2

（3）2； （4）非周期函数； （5）；

，定义域[0,]；

（2）y3u,u(x1)2；

（6）yloga(x22)，定义域为(,)(2,)。 12．（1）y,u(1x2)1；

（3）yu2,usin(3x1) （4）y,ulogav,vcos2x

xx

13．（1）yarcsin； （2）yax12； （3）ylog2(0x1)。

21x

习题1—4

1．（2）f(10)1,f(10)2； 3．（1）否； （2）否；

（3）否。

2.（1）1； （2）1； （3）-1。

（5）否；

（6）0。

（3）否；

（4）否；

习题1—5

1．1； 2.

1

； 2. 9； 2

4. 0； 5. 2x； 6.

2。 3

习题1—6

1．（1）

a1

； （2）； b21

（7）； （8）e；

e

（3）

1； 2

（4）1； （5）1；

（6）e2； （12）1。

（9）e；

（10）ea； （11）e；

习题1—7

1．（1）是； （2）是；

（4）是。

11

2．（1）x0时，xsinx,ln(1x)是无穷小量；2,是无穷大量；

xx

11

（2）x时，2,,ex是无穷小量；ln(1x),ex是无穷大量；

xx

（3）否，须指明x的变化趋势。

1b1

3．否；否。 4.（1）0； （2）1； （3）； （4）； （5）； （6）4。

1a3

5．（1）； （2）0； （3）0； （4）0； （5）不存在； （6）0。 6．均不正确。

2

8．（1）； （2）2； （3）0(mn)，1(mn),(mn)； （4）2。

3

9．二阶。 10. 三阶。 11. 二阶。

（3）否；

习题1—8

1．（1）f(x)在(,0)(0,)上连续，x0为可去间断点； （2）f(x)在[0,2]上连续；

（3）f(x) (,1)(1,)上连续x1为第一类间断点； （4）f(x)在(,0)(0,)上连续，x0为第一类间断点。 2．（1）x1为可去间断点；x2为第二类间断点；

xk为第二类间断点；为可去间断点；这里k1,2,；

2

（3）x0为第二类间断点。 3．ae1。 4. x1为第一类间断点。

x0及xk（2）



习题1—9

3．（1）； （7）1；

（2）1； （8）1；

（4）cos； （5）ablna （6）3；

11

（9）； （10）； （11）1； （12）。

2a（3）2；

第二章

习题2—1

1．（1）a； （2）sinx；

x22．（1）Af(x0)； （2）Af(0)；

3

19

（3）

1

。

（3）A2f(x0)。

5

7

343153．（1）x2； （2）x15； （3）x2； （4）x6。

15262

211

4．f(1)1； f(2)。 5. f(2)； f(4)。

444

6．（1）53.90米/秒，49.49米/秒，49.254米/秒，49.0049米/秒；（2）49米/秒；（3）gt。

1

7．不一定。 8. a2,b1。 9. 1,。

2

10．12xy160,x12y980。 11. （2，4）。 13. 不存在。 14．（1）在x0处连续且可导；（2）在x1处不连续当然不可导；（3）在x2处连续但不可导。

习题2—2

1．（1）y2axb；

5

（2）y4xx2；

2

3

（3）f(v)3v22v1；

1

1

（4）y2xcosxx2sinx； （6）y3axlna（8）s

2cost(1sint)

2

2x2

；

1

（5）()2sin2cos；

2

12x

（7）y；

(1xx2)2

；

n

（9）ysec2t2cost。 ； （2）y(2)4。

2．（1）f(0)a1； 3．（1）

f(1)

ka

k1

k

x(ax)

2

23

； （2）

x32a2x(xa)

2

23

； （3）

lnxxlnx

2

；

1xx

cotsec2； （4）422

（5）

ex

x

； （6）

xsinx2

2

2ecosx1x12x1xx

（7）； （8）sinxcotsin2csc2；

3322322x(1x2)3

（9）2sin(4x2)；

（10）

xcosx2

x

2

； （11）

2xcsc2(x2)3(x)

2

；

（12）(2x1)ex

2

x2

cos(ex

2

x2

（13）sin(2cos2)xsin2x；（14）2xsin)；

11

cos；

xx

1

x(x21)sec2(x)

ln2(lnx1)xln（15）； （16）2x； （17）3t23tln3； 2

lnx1

2x2tan(x)

x

6ln2(x2)12sin3x

（18） （19）3sinxcosxe； （20）；

2x2xx113

（21）； （22）； （23）；

22tlntln(lnt)23x9x|x|x1

（24）

arctanx2x

x



x1x

2

； （25）arccosx； （26）

x2xarcsinx

(1x)

23

；

1111

arccos； （28）（27）earccos；

2x|x|x21x2|x1|xx

1x

（29）；（30）； （31）；

322222

2x(2x)xarctanx2x(arccosx)

（32）

earcsinxx21



ex1e2x

2

；

abxaab

（33）()x()a()b)](x0)；

bxabxx（35）chxsh(shx)； （36）

1xch2(lnx)

2sin

（34）2sine

xx

chx

1

()

x；

；

1sh2x

（37）e(chxshx)； （38）； （39）thx； 422chx12shx

311

4．2xy40；6xy40。 5. xy20。6. (1,1);(,)。

416e

2

7．x2y20；d。

2

1

8．（1）2xf(x2)；

（2）ef(x)[f(ex)f(x)exf(ex)]；

（3）f[f(f(x))]f(f(x))f(x)； （4）sin2x[f(sin2x)f(cos2x)]。

习题2—3

1．（1）2sinxxcosx； （2）

a2(a2

3

22x)

；

3

（3）4x28x3；

4

5

（4）2secxtanx； （7）csc2x；

2

（5）2arctanx

2x1x2

； （6）

(x1)e4xx

x

； x

（8）sin2x4sin4x9sin6x；（9）

(xa)

223

。

4．（1）y(20)220e2x(x220x95)；

1225

sin2x)； 2

5．（1）2f(x2)4x2f(x2)； （2）f(sin2x)sin22x2f(sin2x)cos2x； （2）y(50)250(x2sin2x50xcos2x （3）

f(x)f(x)[f(x)]2

[f(x)]2

。

习题2—4

x1．（1）；

y

2xy

（2）；

x2y

（3）

exyyxexy

；

xylnyy2

（4）；

xylnxx

（5）

cosycos(xy)xy

； （6）。

xsinycos(xy)xy

x

2．（1）x

x

1

2

21

ln(lnx)；（3）(1lnx)xx； (2lnx)； （2）(lnx)lnx

1

（4）[cotxcosxsinxln(sinx)](sinx)cosx； （5） （6）

13x2213；

2(52x)(x1)3x252xx1

x46x21x(x21)3x(1x)

4

(x21)24. y

。 sin(xy)

3．x4y60。

[cos(xy)1]

3

。 5. St

e2s(3s)(2s)

3

。

d2yd2y11dy2dy

6．； 7. ； 。 ； tant

dxtdxdx2t3dx23aco4stsint

d2y1dy

8．。 cot； 2

a(1cos)dx2dx

2b22a2b(xa)；法线方程：yb(xa)。 2a22b212461236

（2）切线方程：ya(xa)；法线方程：ya(xa)。

535545

10．（1）（1，0）；（2）水平速度为-2，铅直速度为16；（3）水平方向加速度为-2；铅直方向加速度为8。

2001612．米/秒。 13. 米/分。

2526

5

14．（1）米； （2）0.875米/秒； （3）下端离墙4米时。

9．（1）切线方程：y

习题2—5

1．（1）(10x3)dx；

2xdx|x|x

2

2dxx

2dxx

2

（2）3x24x8dx； (1x0)

（3）



；

(0x1)

2

2sin2xcosxcos2x

（6）dx。 21sinx(1sinx)

211

dx； 2．（1）当x时，dydx；当x时，dy

222||2

（2）当x0时，dydx；当x1时，dy0。



0.0059。 3．（1）1.9； （2）

270150y0.0201； ydy0.0001。 4．（1）dy0.02；

1

5．（1）x2C； （2）lnxC； （3）C

x

1

（4）exC （5）cos2xC； （6）xC；

24

（4）lnx1dx； （5）sectdt；

x

（7）exC;2xex；

22

（8）sinxC;cosxsinx。

第三章

习题3—1



。 3. 否。 4. 2

（3，4）上。

1．

4



1 5. 否；否。 6. 三个实根，分别在（1，2）、（2，3）、

习题3—2

1．（1）1； （2）

； （3）1；

3a1

（7）0； （8）； （9）1；

2

2

（4）2； （10）1；

（5）； （11）0；

（6）1； （12）2。

习题3—3

1．5621(x4)37(x4)211(x4)3(x4)4。

2．f(x)x69x530x445330x29x1。 111

3．x2(x4)(x4)2(x4)3

464512

15(x4)44!16[4(x

7

4)]2

(01)。

(x1)n112nn1

4．[1(x1)(x1)(x1)](1)(01)。 n2

x[1(x1)]

习题3—4

1．单调增加。 3. 单调减少。 5．（1）在(,1),[3,)上单调增加，在[1,3]上单调减少；

111111

（2）在(,),,上单调增加，在,上单调减少；

218218

11

（3）在(,0),(0,],[1,)上单调减少，在[,1]上单调增加；

2222

（4）在(,a],[a,]上单调减少，在[a,a]上单调减少；

3311

（5）在(0,]上单调减少，在[,)上单调增加；

22

（6）在(,)上单调增加； （7）在(,)上单调增加。

8．有三个实根，分别于(,1)(1,3)、(3,)上。

9．单调函数的导函数可能不是单调函数，例如函数f(x)xsinx的导函数就不是单调的。

习题3—5

1．（1）极大值y(0)0，极小值y(1)1

121

（2）极大值y()205；

510 （3）无极值；

（4）极大值y(e)

1

ee

；

1

（5）极小值y(ln2)22；

2

（6）无极值。 2．（1）最大值y(1)2，最小值y(1)10；

13

（2）最大值y(0)y(1)1，最小值y()；

25

a2

（3）y无最大值，最小值y(ab)；

ab

3

（4）最大值y=1.25，最小值y(5)56；

4



（5）最大值y，最小值y；

2222

（6）最大值y(0)

，最小值y(1)0；

4

（7）最大值f(10)132，最小值f(1)f(2)0。 3．4，4． 4.

2R。



5.

xy

1。 36

7. 杆长为1.4（米）。 8. 

26

。 3

习题3—6

555250

1．（1）在(,]上是凸的，在[,)上是凹的，拐点(,）；

33327

（2）在(,3a),(0,3a)上是同凹的，在(3a,0),(3a,)上是凸的，拐点99

(3a,a)，(0,0)，(3a,a)；

44

（3）在(,0)上是凸的，在(0,)上是凹的，拐点（0，0）； （4）处处是凹的，没有拐点；

1211

) （5）在(,]上是凹的，在[,)上是凸的，拐点(,e

222

（6）在(,1),[1,)上是凸的，在[1,1]上是凹的，拐点(1,ln2),(1,ln2)； （7）在(0,1]上是凸的，在[1,)上是凹的，拐点（1，-7）；

2

（8）在(,2]上是凸的，在[2,)上是凹的，拐点(2,2)。

e

239

2．a,b。 3. 拐点（1，-4），（1，4）。 4. k。

822

1

习题3—7

1．y0。

2. y0,x1,x1。

3. yx3,x1. 5. y2x

4．x1,x1,yx,yx。



2

,y2x



2

。

习题3—8

1．k2,R

21

。 2. k1。 3. k。

3asin2t02

4. k

2

。 |a|

习题3—10

1．0.20x00.19。

2. 2.50x02.51。

第四章

习题4—1

1．否。 2. lim

0

F()x

i

i1

n

i

. 4.（1）lim

0

2

3

1

i1

n

1

2i

（2）limxi；

0

sinx

i

i1

n

i

。

x

5．（1）较大。



10

（2）xdx较大；

2



1

（3）xdx较大；



21

（4）lnxdx较大；



1123

dx

4221dysinx

（1；（2；（3）（4） 2xexex。eycos(x2)。 7.y4；

dxx2x

1

8．（1）30；（2）45；（3）；（4）；（5）1e1；（6）1（7）4；（8）8。

6364

x3

(0x1)23

9．（1）-1；（2）。 10. (x)2，(x)在（0，2）上连续。

2x1(1x2)

26

211．。

3

6．

习题4—2

2

1．（1）x2C；

5

2

1

5

22xC； （2）3

3

m

x（3）

nm

nmm

C；

152h（4）u56u23lnuC；（5）C；

2g

5

3

(x2)3

C； （6）

3

x523x32222

xxC （8）xxxC；（7）（9）10ln|x|x3C； 53353

24

3arctanx2arcsinxC；x3arctanxC;0（（10x2x22x2C；（11） 12）

53etat52

C； （15）2x（14）C；

1lnaln2ln33

1

（16）tanxsecxC；（17）tanxxC （18）tanxC；

2

1

（19）(xsinx)C；（20）sinxcosxC；（21）(cotxtanx)C。

2

531

1

（13）eC；

x

x

x

2．是。 3. yx2C；y2x21

4.（1）27米；

（2）3607.11秒。

习题4—3

e5t

C； 1．（1）5

3

（2）

1

(12x)6C； 12

（3）

1

ln|32x|C； 2

x1

（4）(82x)2C；（5）2costC； （6）eeC；

3

x1

（7）aarcsina2x2C；（8）ln|lnlnx|C；（9）tan11xC；

a11

1

（10）ln|tanx|C； （11）arctanexC； （12）sin(x2)C；

2

1x321

C； （14）(1x3)2C； （15）（13）arctanarcsin(2x)C；

629ln2

x291x212x2x

C；（16）（20ln(x9)C；（21arctan arcsineeC；

2242

3

12x1

C； （23）（22）ln

42x221x2

C； C； （24）ln

3x12x1

2x1

sin3xt11

C；（25）sinx（26）（27）sec3xsecxC； sin2(t)C；32431111

（28）（29）(sin2xsin8x)C；（30） 102arccosxC；C；

2ln1044arcsinx2axxx1arcsina2x2C； （32）arccosC；C； （31）（33）

22a2xx

（34）x293arccos（36）arcsinx2．（1）

x

3

12x)C； C； （35）2xln(

x

2

C。

1x

51

； 5121

arctan2； （4） （7）2(2)； （10）2（13）1e（16）





； 2（5）；

（2）

6

8

2

（3）22ln；

3（6）

4； 15

（8）



2

； 3

12

162

（11）；

3

a4；

（9）1



4

；

（12）(1)a； （15）

；

（14）2(31)； （17）22；

2； 3

2 1e

（4）0。

4； 3

（18）1ln（3）

3．（1）0；

3

（2）；

2

3

324

；

习题4—4

11

xsinmx2cosmxC； mme2t1

(t)C； （2）22

1．（1）

（3）tarcsintt2C； 1111

（4）x2ln(x1)x2xln(x1)C；

242211

（5）x2lnxx3C；

39111

（6）x3arctanxx2ln(x21)C；

3661

（7）x2xtanxln|cosx|C；

2

（8）x2sinx2xcosx2sinxC； （9）x(lnx)22xlnx2xC； （10）

lnx1x

lnC； 1xx

123x

(x)cos2xsin2xC； 22211

（12）xcos2xsin2xC；

481

（13）(22lnxln2x)C；

x2xx

（14）e2x(cos4sin)C；

17221ax

（15）2e(asinnxncosnx)C； 2

an（11）

（16）(2x11)e2x1C；

1x1

（17）x2sin2xcos2xC；

448

（18）x(arcsinx)22x2arcsinx2xC； （19）2x[ln(1x)2]C；

a22x2a422

xaxln(xa2x2)C； （20）

88

（21）(x1)arctanxxC。

1

2．（1）(e21)；

4

1

（4）ln2；

3

11ln3； （2）

49222

（5）ln(2)；

3

3

； （3）64

1

（6）(e2)；

5

1

（7）(esin1ecos11)； （8）2(e21)；

2

1

（9）21。

e

习题4—5

1．（1）ln|x2|ln|x5|C；

11

（2）x3xx8ln|x|4ln|x1|3ln|x1|C；

32

|x1|2x1

3arctanC； （3）ln

23xx1(x2)41

C； （4）ln

2|(x1)(x3)3|

（5）

11

ln|x21|C； x12

|x|

C； （6）ln

2

x1x41

arctanxC； （7）ln

4(1x)2(1x2)2

2x22x122ln2arctan(2x1)x1)C； （8）844x2x11x11

arctanxC； （9）ln

4x121

（10）(xln|sinxcosx|)C；

2

x

（11）ln|1tan|C；

2

3

（12）(1x)23x13lnxC；

2123

（13）x2xxC

23

（14）x4x14x1)C；

（15）2x4x4x1)C； （16）2arctan（17）ln(x（18）2．（1）

12

1

1x

x2C； 1x

1

x(x1))C； 2

[ln|x|ln(2x44x2x2)]C。

2(1x)2



1

C； 1x

（2）

1

6(6x6)2(6x6)2

（3）ln|xsinx|C； （4）lnx[ln(lnx)1]C；



1

C；

13xx3

 （5）4

223a(a2x2)3ax

C； 

（6）

(1x2)3

3x3

（7）(42x)cosx4xsinxC； （8）xln(1x2)2x2arctanxC；

11

（9）xcsc2xcotxC；

22

xx

（10）2lncsccotC；

22（11）

x48(1x8)



1

arctanx4C； 8

x2C；

x

4

14x1

（12）xln4C

4x211x1

arctanxC； （13）ln

31x21x1x

（14）cotxcsc2C；

4282|x|

C； （15）ln

(x1)6

（16）esin

2

x

C；

（17）xln2(xx2)2x2ln(xx2)2xC；

xlnx

ln(xx2)C； （18）

x21xx222

xarcsinC； （19）(arcsinx)

42411

（20）x2(x22)arccosxx(x26)C；

391

（21）(tanxln|tanx|)C；

2

(tan2x1)(tan4xtan2x1)

C； （22）3

3tanx

41xarctan(tan)C； （23）ln(2cosx)

23

（24）

12

sin(x



4

)

122

ln[sec(x



2

)tan(x



4

)]C。

第五章

习题5—2

1．（1）

3

； 2

（2）e

1

2； e

（3）ba； （3）18a2。

（4）

7。 6

3

（2）a2；

8

135

3．（1）2； （2）。

624

2．（1）a2；

习题5—3

1．



2

(83)。 2.

2

。 35

3. 741103kg。

6.

43

R。 3

3

1602。4. （1； （2）

10

1

5．h[2(abAB)aBAb]。

6

习题5—4

1．(ln)(165)3ln22a2

4．6a。 5. 。 6.

2

1

ln3。 2

2. 23

4。 3

3. 4。

a2a35

(e1). 7. ln. 8. 8a. 9. ln(21)。 a212

习题5—6

27

KC3a3（其中K为比例常数）1．800ln2（焦耳）。 2. 。 7

3．17.3（千牛）。 4. 14373（千牛）。 5. 1103248（焦耳）。 6. 1.65（牛）。

1

7．pgab(2hbsina)。

2

11;FGml （其中G为引力8．取y轴通过细棒，FyGmxa22alaa2l2

常数）。

2Gm

9．引力的大小Fsin，方向由点M指向圆弧形细棒的中心（其中G为引力

R2

常数）。

2

7

习题5—7

1．12（米/秒）。

2.



a。 4

第六章

习题6—1

1

1．。

3

2. 发散。

习题6—2

1．

2ln2

。 3

2.

. 2

3.

1

。 a

4. 发散。

习题7—1

2．（1）(a,b,c)关于xOy面的对犯法点的坐标为(a,b,c)；

(a,b,c)关于yOz面的对犯法点的坐标为(a,b,c)； (a,b,c)关于xOz面的对犯法点的坐标为(a,b,c)； （2）(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,b,c)；

(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(a,b,c)； (a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(a,b,c)；

（3）(a,b,c)关于坐标原点的对称点的坐标为(a,b,c)。

3．xOy面上的垂足为(x0,y0,0)；yOz面上的垂足为(0,y0,z0)；zOx面上的垂足

为(x0,0,z0)；x轴上的垂足为(x0,0,0)；y轴上的垂足为(0,y0,0)；z轴上的垂足为(0,0,z0)。

4．(

(0,

222222a,0,0),(a,0,0),(0,a,0),(0,a,0),(a,0,a),(a,0,a)，22222222

a,a),(0,a,a)。 22

5．x轴：；y轴：41；z轴：5。

6. （0，1，-2）。

习题7—2

1．coscos

2

,cos0或coscos0,cos1。 2

2．（1）垂直于x轴，平行于yOz平面；（2）指向与y轴正向一致，垂直于xOz平面；（3）平行于z轴，垂直于xOy平面。

111

3．|a|3； |b|； |c|3； a0,,；



2123520

c,,。 b0； ,,3333838

习题7—3

1．（1）a与b垂直；（2）a与b平行且同向。 2. 5a11b7c。

111

3．ca,ab,bc。 5. (1,2,2),(2,4,4).

222

447

6．A点坐标为（-2，3，0），|a|9；cos,cos,cos。

999214,cos,cos7．F大小为：21，方向余弦：cos。 212121

667667

8．,,,,,。

111111111111

习题7—4

1．（1）否；（2）否；（3）否。 2.（1）3；（5，1，7）；（2）3434

6．0,,,0,,。

5555

3221

； 3. –61； 4. 9. 

3

。 2

7. 5880焦耳。 8. 30.

3. 511.

91. 2

10．（1）（-3，-13，-33）；

（2）（4，-1，-4）； （3）7。

第八章

习题8—1

1．4x4y10z630。

2. x2y2z2a2

3．以点（1，-2，-1）为球心，6为半径的球面。 4. x2y2z28x0。

习题8—2

A1B1C1D1

。 A2B2C2D22．（1）yOz平面；

1．

（2）平行于xOz的平面；

（3）平行于z轴的平面； （4）通过z轴的平面； （5）平行于x轴的平面； （6）通过原点的平原。 3．3x7y5z40。 4. 2x9y6z1210。 5．x3y2z0。 6. 3xy0或x3y0。 7．xy2z40。 8．（1）y50； （2）x3y0； （3）9yz20。

习题8—3

x4y1z3

。 3.（1）平行； （2）垂直； （3）在平面内。 

215

x325

x3yz2x1yz2

;yt4．. . 5.

213421z23t

1．1． 2.

6．0 7. x3yz40。 8. cos0。 9. 在平面内。

y2z4x

10．。 11. 8x9y22z590. 12. xyz0. 

231

12x15y33z117032522

13．,,。 14. 。 15. 

24xyz10333

第九章

习题9—1

1．（1）直线，平面；（2）直线，平面；（3）圆，圆柱面；（4）双曲线，双曲线柱面。 2．（1）一点，一直线；（2）一点，一直线。 3. y2zh25x. 4. x2y2z20。 5．绕x轴：4x29(y2z2)36；绕y轴：4(x2z2)9y236。

习题9—2

x2y2

1绕x轴旋转而成； 2（1）xOy平面上椭圆49

y22

1绕y轴旋转而成； （2）xOy平面上的双曲线x4

（3）xOy平面上的双曲线x2y21绕x轴旋转而成； （4）yOz平面上的直线zya绕z轴旋转而成。

习题9—3

2．母线平行于x轴的柱面方程：3y2z216；母线平行于y轴的柱面方程：

3x22x216。

222y2z21x2y2z21xyz1

3．；； 。

22x0x0yz1

3xcost

2x13cos

3

(02)。 4．（1）y（2）y3sincost(0t2)；

2z0

z3sint



zzx2y2a2x24z22x2z20yasinxacos

5．； b；b。 6.

z0y0x0y0



7．（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线。

习题参考解答

第十章

习题10—1

1．t2f(x,y)。

2. (xy)xy(xy)2x。

3．（1）(x,y,z)|x0,y0,z0； 4．(x,y)|y22x。

（2）(x,y,z)|r2x2y2z2R2。





习题10—2

1．（1）xz(2xy)x(x)2； yz(1x)y； z(2xy)x(1x)yxy(x)2； （2）xz0.21;yz0.1;z0.32。 2．1；1+2ln2. 7．（1）

z

x

22xysin

y

2. 1,

13. 5. 1,0; 6. . 225

z2x

； 

2xy

y2sin

y

. 4.

1

yzzx

； ,2

x2x(1xy)2y1xy

yy1yzxx2sinsincoscos； （3）

xxyxyxy

（2）

y1yzxxx

2cocosisi； yyxxyxy

y

y

yzz1x

（4）23xln3,3ln3；

xyxxz（5）yesinxy(1xycosxy)，

xznxy

xesi(1xycosxy)； yz1z1,（6）； xxlnyyy(xlny)

yyyyz1z1

sincos,cos； （7）

x2xxxxxyxxuuuet1,et,tete； （8）tu

e[cos()sin()]， （9）u e[cos()sin()]。



8．

。 6



dy； y

xyxy11

yedxxe9．（1）dzxyxdydx（2）dz； 1x21y2

（3）dz(xdydx)cos(xy)；

4xy(xdyydx)

（4）dz；

(x2y2)2

（5）dz(2ey（6）duex(x

2

2

2x

)dx2xeydy；

yz2)

[(3x2y2z2)dx2xydy2xzdz]；

（7）duxxy[y(1lnx)dxxlnxdy]；

3dx2dydz

（8）du d；

3x2yz2(xy)(dxdy)

（9）du。 4

1(xy)

10．（1）dz4(dxdy)； （2）dz2dxdy。 11．dz0.2,z0.20404。

习题10—3

z

3x2sinycos(cossiny)， xz

x3(si3nyco3sy)2x3sinycosy(siyncosy)。 y1．

z2x3x2

ln(3x2y)2．， xy2(3x2y)y2

z2x22x2

3ln3(x2y) 。 2yy(2x2y)y

z2(u2v)(u3v)z(2vu)(9u2v),4．。 uv(u2u)2(v2u)2

z

2(2xy)2xy[ln(2xy)1]， xz

(2xy)2xy[ln2(x)1]。 y

zFFzFF

cossin,rcosrsin。 7．

rxyyxdz8．etet。

dt

4dz

9．esint2t(cost6t2)。

dtdz312t2

10．。 

32dt(3t4t)5．

dzex(1x)

11．。 dt1x2e2x

dz41223sec3tt。 32dttt2du13．eaxsinx。 14. 1。 15. 2。

dx

yzdz12,16．。 xxy2dx1x2

12．

17．

yzdz

yxy1,xy(x)lnx。 xdxx

习题10—4

dyb2x

2。 1．dxay

dyy[cos(xy)exy2x]

2. dxx[xexycos(xy)]

3．5．

dyxy

。 dxxy

4.

zyzxyz,xxyzxyzxz2xyz

。 

yxyzxy

yzz

z,xexyzazyx,6．

xzaxyxyz

z。 yexyzaxzy。 yzaxy

zzzz2

,7．。 xxzyy(xz)

8．dz

dxdy。

2x2z2x2yzx2xyz2xy2zydyx(6z1)dzx

,9．。 dx2y(3z1)dx3z1

xuyvxvyuxuyvuuxvyvvu2,,,10．。 2222222xyxyxyxyxyxy

2xz22xyz2z2xyz2z

习题10—5

1．（1）

2zx22zy2

asin(axby),b2sin(axby)；

2

2zx2y

absin(axby)，

x3y2z12z（2）2； ,,2223223223xyxy(1xy)(1xy)(1xy)

2z（3）（4）

2xx

2

xy3

2y(2y1)x

2y2

2z2z(2y1)

,2x(12ylnx),4x2yln2x； 2

xyy2zlnxlny1lnx2zlnx(lnx1)lnx,y,y； xyxyy2y2

2xx22z

lny(lny1)

x22xy3z

y

lnx

2x3yz2zz(z42xyz2x2y2)2z

,,2（5）22； 32323xyx(zxy)(zxy)y(zxy)2z2z

0。 （6）2

xyy2x

3．2，2，0．

2u

xyf222xyzf23zf3xzf31xyz2f33， f2xf214．

yx

2u

x2yzf33， xf3x2yf32

zy

2u

xy2f23xy2zf33。 xf3xyf13

xz

2z

5．

2ux

2

4x2f(x2y2z2)2f(x2y2z2)。

习题10—6

1．

93

2

2.

2. 5

3.

2. 2

4.

68. 13

第十一章

习题11—1

x(



21

1)



1．切线方程：

y1z22

。 

12

法平面方程：xy2z

x



2

4。

1

2y2z1， 2．切线方程：012

法平面方程：2zy0。

3．切线方程：

xa

a2ya4zb

， a4b

法平面方程：22a(xy)b(4zb)0。 111

4．P1(1,1,1)或P2(,,)。

3927

5．切平面方程：x2y40，

x2y1z

法线方程：。

120

6．切平面方程：9xyz270，

x3y1z1

法线方程：。 

911

7．切平面方程：x2yz50，

x2y3z1

法线方程：。 

111

8．切平面方程：2ax0x2by0yzz00，

xx0yy0zz0

 法线方程：。 2ax02by013

9．arccos。

22

习题11—2

1．极大值：(2,1)8。 2. 极大值：。

1e

3．极小值：f(,1)。

22

111

4．（1）极大值：z(,)；

224ab2a2ba2b2

,)2 （2）极小值：z(2；

ab2a2b2ab2

（3）极小值：u(3,3,3)9。

l

5．当两直角边都等于时，三角形周长最大。

2

2aa

6．当长、宽为，高为时，内接长方体体积最大。

3

第十二章

习题12—2

1

1．。

e5．（1） （2） （3）

4

2. ln.

3

1

3. (e,1)2.

4. 



16

.

10



dx



1xx1

f(x,y)dy



1

01

dy



y

y10

f(x,y)dx



dy

3



1y0

f(x,y)dx；



3

11

dx



3xx2xx/2

f(x,y)dyf(x,y)dy



3

dy



1

f(x,y)dx



93

dy



y/3

f(x,y)dx；

dx

010



2

1

dx

2



2/xx/2

f(x,y)dy f(x,y)dx；

 （4） （5）6．（1） （3）（5）



dy

5

2yy/2

f(x,y)dx



1

dy



2/yy/2





38

dx





(3x4)/2(3x1)/2

f(x,y)dy



13/25

dy



(2y1)/33

f(x,y)dx f(x,y)dx； f(x,y)dx。

13/240

dy



(2y1)/3(2y4)/3

f(x,y)dx



19/28

dy



5(2y4)/3

dx

34(x2)234(x2)2

f(x,y)dy



51

dy



24(y3)224(y3)2

dx

010

1xx2

f(x,y)dy；

y2

（2）（4）

10

dy

1eey

f(x,y)dx；

dy



1y2

f(x,y)dx；



1

dy

32yy

f(x,y)dx；



01

dy



y2y2

f(x,y)dx



dy



yy

f(x,y)dx；

（6）



a0

dy



aa2y2y2/2a

f(x,y)dx



a0

dy



2aaa2y2

f(x,y)dx



2aa

dy



2ay2/2a

f(x,y)dx。

7．（1）76/3； 8．（1） （3）

（2）9； （3）

27

； 64

（4）14a4。





/2

0R0

d



2Rsin0

f(rcos,rsin)rdr； （2）f(tan)d。



20

d



R0

f(r2)rdr；

rdr



arctanR0

R32()； 9．（1）(2ln1)； （2）

3234



2

32

（3）； （4）62

64

习题12—3

1．（1）



11

dx



x2x2

dy



1x2y2

f(x,y,z)dz；（2）



11

dx



x2x2

dy



2x2x22y2

f(x,y,z)dz。

1152．（1）(ln52ln2)； （2）ln2。

22168

3．（1）a2； （2）(ln22)；

92

441

4．（1）(A5a5)； （2）x。 5. （1）； （2）0。

5158

习题12—4

1．2。

2

4885．. 6. .

515

2

9．(,,)(0,0,).

312．2r(R2r2).

2.



a2.

122

4. 162. abb2c2c2a2.

2417. . 8. (,,)(0,0,). 154hR4hR22h2

(R). 10. . 11.

243

5

13. (,,,)(0,0,R).

43.

习题12—5

1．5ln2. 2. 24. 3. 2a2n1. 122

)p3]. 6．[(p2y0

3p

3

3

4. 22a3(122).

3

5. 12.

12

2)222]. 7. [(t0

3

8.

8

23a. 3

1．（1）

13

； 3

2．461。

149111

； （3）。 30103(1)ln2。 3. 4. a3。 2（2）

第十三章

习题13—1

111

1．(1,1,1)与(,,)。

3927

x1y0z1

2．切线方程：；法平面方程：xyz20。 

111

3．X(t)(QcostPsint)Rc1tc2，其中，c1，c2为任意常矢量。 5．sa2k。

习题13—2

（1）场所在空间区域是除去平面AxByCzD0以外的全部空间，场的等值面

1

C1是平面AxByCzD0平行的一族平面，AxByCzD10；

AxByCzDC1

（2）场所在区域是坐标满足z2x2y2及x2y20的点组成的空间部分，场的等值面为z2(x2y2)sin2c，是顶点的坐标原点的一族圆锥面（但不含原点）。

2．过M的等值面是族转抛物面zx2y2。 3．等值面为：(xa)2(yb)2(zc)2e2。

习题13—3

1171

3. （1）； （2）； （3）

12303

11

4．0． 5. a2。 6. . 7. 13.

35

P(x,y)2xQ(x,y)P2xQ3yR

dl。 8．9. dl。 222LL

4x4x9y

1．

56

。 15

2. 8。

（4）

1

。 20



1．



D

ydxdy。

2

2. 2ab. 3. I

a2m

8

. 4.

32a. 8

3。 8. I62. 211

11．（1）x22xyy2； （2）x2y； （3）cos2xsin3y；

22

（4）x3y4x2y212ey12yey； （5）y2sinxx2cosy。 7．I

习题13—5

2

1．a3bc。

54．（1）

2.

27

R. 105

3. 1.



S

3223(PQR)dS； （2）555



S

2xP2yQR4x4y

2

2

dS。

习题13—6

212

1．（1）2a(ab)； （2）9。 2. （1）a3a4a5； （2）4R3； （3）a3。

35

习题13—7

1．

ul



M

22。

21326

2．在M1与M2处的梯度依次为7与3；方向斜弦依次为,，，,与

7770。梯度为0的点是(2,1,1)。

习题13—8

1．（1）0； （2）0。 2. （1）6。 （2）8； （3）36。

习题13—9

1．（1）2R2， （2）2R2。 2. rotA(1,3,2)i3j4k. QP3.rotA(x,y,0)xyk.



第四十章

习题14—1

1．发散。

2. 收敛。

3. 发散。

4. 收敛。

习题14—2

1．（1）收敛； （2）发散； （3）发散； （4）收敛； （5）发散； （6）收敛。

习题14—2

1．（1）发散； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛。 （5）a1时，收敛0a1，发散； （6）发散。 2．（1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）收敛； （6）收敛。 3．（1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）ba时，收敛；ba时发散。 4．（1）发散； （2）发散； （3）发散； （4）收敛； （5）收敛。

习题14—4

1．条件收敛。 2. 条件收敛. 3. 绝对收敛。

4. 发散。

5. 绝对收敛。

第十五章

习题15—2

1（1）（1，1）； （2）{0}； （5）[4，6)； （6）(0，2]；

（3）[1，1]； 1

（7）,e；

e

（4）[3，3)； （8）R。

11x1

2．（1）lnarctanxx(1x1)；

41x211

(1x1);(1x1)。 （2） （3）

(x1)2(1x)311x

3．ln(1x1)，

21x



12

ln1(2)。 n

2(2n1)2n1



习题15—3

1．（1）e

x2

(1)n2n

x

n!n0





(xR)

11(4)n2n

（2）cosxx

22n0(2n)!

2



(xR)；

(1)n4n

（3）cosxx

(2n)!n0

2





(xR)；



x10

（4）xx10

1xn0



(1x1)；



x1

（5）[1(2)n]xn

2

3n01x2x





(

11

x)； 22

x3n2nn

（6）2x

x5x6n06n





(2x2)；

(1)n

（7）dt(1x1)； 22n10t(2n1)xn0

xdt15139

xxx （8）

4052924t

13513135717

xx(1x1)；

13246172468



xarctant





1x

（9）12(1)nxn

1xn0





(1x1)。

(1)nx2n(1)n3x2n12． f(x)

2(2n)!2(2n1)!n0





(xR)。

1(1)n(x4)n

3．f(x)

3n03n





(1x7)。 (4x0)。

(x2)2n

4．f(x)(1)

4n1n0





n

习题15—4

1．3.9563

2. 0.1564。 3. 0.4940。 4. 0.2603

第十六章

习题16—1

12

1．（1）f(x)

2



sin(2n1)x2n1n0



(x0,0x)，在x0,时，f(x)的

Fourier级数收敛

（2）

1

； 2

。 4

2cos(2n1)x(1)n1

2．f(x)sinnx(x)，x时，f(x)的

4n0(2n1)nn0



Fourier级数收敛于。

2

23．。



6

习题16—2

1．f(x)敛于0。

2．f(x)



2

4

sin(2n1)x

(x0,0x),x0,时，f(x)的Fourier级数收

2n1n0

cos(2n1)xn0(2n1)24







(x)。

习题16—3

e2x14n2n2

[(1)e1]cosnx(0x)。 1．e214n2



4(1)n1x2n

2．sin1[(1)1)sinnx(0x)。

2n04n21n

2x



习题16—4

111

1．（1）1x2

12

2



(1)n1

cos2nx2

nn0



(x)；

1

（2）f(x)

4

n

2sin1(1) 22

nn0n







n

12cosinxconsx 

n



1

(x2k,sk,k0,1,2,)；

2

11

在x2k时，f(x)的Fourier级数收敛于,x2k时，f(x)的Fourier级数收敛

22

于O(k0,1,2,)。

1nx6nx6n

（3）f(x)(1)n1sin22[1(1)]cos

2n0n3n3





(x3(2k1),k0,1,2,)；

在x3(2k1)时f(x)的Fourier级数收敛于2(k0,1,2,)。

第十七章

习题17—1

1．（1）1； （2）1； （3）； （4）2。

2．（1）是解，但不是通解； （2）是解，但不是通解； （3）不是解； （4）是解，当12时是通解；12时，不是通解。

习题17—2

1．（1）xln(x1)sinyC； （2）10x10yC0；

yxy

（3）sinCx； （4）lnCx。

xx

2．（1）y22x2(lnx2)； （2）y2yx20；

yy

（3）arcsinln|x|及yx； （4）y1ln。

x2x3．（1）y2Ce

2arctan

y2

x1

；

（2）(x3)2(y1)2Ce

y1x3

；

（3）(yx1)2(yx1)5C； （4）xyCey。

习题17—4

1．（1）ytanx1Cetanx； （2）yx(lnlnxC)；

（3）ye

x

11



xCex

；

2．（1）yxsecx；

（3）yx36x213x10； 3．yx(Cln|x|)。 4．（1）y

1

1

(cosxC)。 x

21

（2）yx31e1/x1；

21

（4）I(cos2t3sin2t)。

2（4）y



sinxCe；

2

x

（2）(13y

1

32x2)e

C；

y2

2

1

（3）y3Ce3x1；

2

（4）x(2y2Ce

1。

习题17—5

1．（1）3yxyC； （3）xeyy2C；

2

2

2

（2）x(x2y)2C；

3

2

3

（4）2xy2cos2xC；

xm1yn1

x2y2ln|xy|= C （6）

m1n1

1

（5）ylny4C；

4 （7）x2y22arctan2．（1）积分因子 （2）积分因子

x

C； y

（8）xsinyycosxC。

1

，通解xyln|xy|C； xy

1

，通解xln(x2y2)C； xy1

（3）积分因子，通解(x2y)aCey；

xy

（4）积分因子

1

，通解x2yexCy。 2y

习题17—6

1

1．（1）yC1x2C2；

2y

C1xC2； （3）ln

C1y2．（1）y3．S

经济学院学生会学习小组

31

（2）yC1ex

12

xxC2； 2

（4）C1y21(C1xC2)2。

1



ln(ax1)； （2）ylnchx； （3）yx33x1。

mkgt。 lnch

mk2

习题17—8

1．（1）yC1e4xC2e5x； （2）yC1e

x

1

x

e2C1cos





3xC3sinx； 22

（3）yC1e3xC2e4x （4）y

1

x2C1eC2

5

； 12

exex；

ex

（5）yC1cosaxC2sinax； 2

1a

13327xxx； 35253

（7）yC1exC2e2xx23xex；

2

1

（8）yex(C1cos2xC2sin2x)xexcos2x；

4exx

（9）yC1cosxC2sinxsinx；

22

（6）yC1C2

5xe2

（10）yC1cosxC2sinx2x272xcosx。

151

2．（1）yx2ex； （2）yex2e2xe3x；

222

111

（3）ycosxsinxsin2x； （4）y11xx2ex。

233

习题17—9

1．yC1x

C。 x

1

x。 2

3．yx(C1coslnxC2sinlnx)xlnx。

1

4．yC1xx(C1coslnxC2sinlnx)x2(lnx2)3xlnx。

2

2．yC1x2C2x3

第十八章

习题18—1

5．（1）等价； （2）等价； （3）等价； （4）等价； （5）等价； （6）等价。

32 经济学院学生会学习小组

第十九章

习题19—1

1．（1）supEb,infEa； （3）supE,infE； （2）supE1,infE0； （4）supE,infE0。

经济学院学生会学习小组

33

习题参考解答

习题1—2

1．（1）(,3)(3,)； （2）(0,1]； （3）{x|xk,k0,1,2,}；

3

（4）(,2)(2,)； （5）[1,2)。

2

2．定义域(,)；值域[1,1]。 3．（1）不同，值域不同； （2）相同； （3）不同，定义域不同； （4）相同。 5．a4,b1。 6．（1）偶函数； （2）既非奇函数，又非偶函数； （3）偶函数； （4）奇函数； （5）既非奇函数，又非偶函数； （6）偶函数。 10．（1）2；

（6）2。

11．（1）ysin2t，定义域(,)； （2）yax，定义域为(,)； （3）yloga(3x22)定义域为R； （4）不能； （5）y

3

x2

2

（2）

； 2

（3）2； （4）非周期函数； （5）；

，定义域[0,]；

（2）y3u,u(x1)2；

（6）yloga(x22)，定义域为(,)(2,)。 12．（1）y,u(1x2)1；

（3）yu2,usin(3x1) （4）y,ulogav,vcos2x

xx

13．（1）yarcsin； （2）yax12； （3）ylog2(0x1)。

21x

习题1—4

1．（2）f(10)1,f(10)2； 3．（1）否； （2）否；

（3）否。

2.（1）1； （2）1； （3）-1。

（5）否；

（6）0。

（3）否；

（4）否；

习题1—5

1．1； 2.

1

； 2. 9； 2

4. 0； 5. 2x； 6.

2。 3

习题1—6

1．（1）

a1

； （2）； b21

（7）； （8）e；

e

（3）

1； 2

（4）1； （5）1；

（6）e2； （12）1。

（9）e；

（10）ea； （11）e；

习题1—7

1．（1）是； （2）是；

（4）是。

11

2．（1）x0时，xsinx,ln(1x)是无穷小量；2,是无穷大量；

xx

11

（2）x时，2,,ex是无穷小量；ln(1x),ex是无穷大量；

xx

（3）否，须指明x的变化趋势。

1b1

3．否；否。 4.（1）0； （2）1； （3）； （4）； （5）； （6）4。

1a3

5．（1）； （2）0； （3）0； （4）0； （5）不存在； （6）0。 6．均不正确。

2

8．（1）； （2）2； （3）0(mn)，1(mn),(mn)； （4）2。

3

9．二阶。 10. 三阶。 11. 二阶。

（3）否；

习题1—8

1．（1）f(x)在(,0)(0,)上连续，x0为可去间断点； （2）f(x)在[0,2]上连续；

（3）f(x) (,1)(1,)上连续x1为第一类间断点； （4）f(x)在(,0)(0,)上连续，x0为第一类间断点。 2．（1）x1为可去间断点；x2为第二类间断点；

xk为第二类间断点；为可去间断点；这里k1,2,；

2

（3）x0为第二类间断点。 3．ae1。 4. x1为第一类间断点。

x0及xk（2）



习题1—9

3．（1）； （7）1；

（2）1； （8）1；

（4）cos； （5）ablna （6）3；

11

（9）； （10）； （11）1； （12）。

2a（3）2；

第二章

习题2—1

1．（1）a； （2）sinx；

x22．（1）Af(x0)； （2）Af(0)；

3

19

（3）

1

。

（3）A2f(x0)。

5

7

343153．（1）x2； （2）x15； （3）x2； （4）x6。

15262

211

4．f(1)1； f(2)。 5. f(2)； f(4)。

444

6．（1）53.90米/秒，49.49米/秒，49.254米/秒，49.0049米/秒；（2）49米/秒；（3）gt。

1

7．不一定。 8. a2,b1。 9. 1,。

2

10．12xy160,x12y980。 11. （2，4）。 13. 不存在。 14．（1）在x0处连续且可导；（2）在x1处不连续当然不可导；（3）在x2处连续但不可导。

习题2—2

1．（1）y2axb；

5

（2）y4xx2；

2

3

（3）f(v)3v22v1；

1

1

（4）y2xcosxx2sinx； （6）y3axlna（8）s

2cost(1sint)

2

2x2

；

1

（5）()2sin2cos；

2

12x

（7）y；

(1xx2)2

；

n

（9）ysec2t2cost。 ； （2）y(2)4。

2．（1）f(0)a1； 3．（1）

f(1)

ka

k1

k

x(ax)

2

23

； （2）

x32a2x(xa)

2

23

； （3）

lnxxlnx

2

；

1xx

cotsec2； （4）422

（5）

ex

x

； （6）

xsinx2

2

2ecosx1x12x1xx

（7）； （8）sinxcotsin2csc2；

3322322x(1x2)3

（9）2sin(4x2)；

（10）

xcosx2

x

2

； （11）

2xcsc2(x2)3(x)

2

；

（12）(2x1)ex

2

x2

cos(ex

2

x2

（13）sin(2cos2)xsin2x；（14）2xsin)；

11

cos；

xx

1

x(x21)sec2(x)

ln2(lnx1)xln（15）； （16）2x； （17）3t23tln3； 2

lnx1

2x2tan(x)

x

6ln2(x2)12sin3x

（18） （19）3sinxcosxe； （20）；

2x2xx113

（21）； （22）； （23）；

22tlntln(lnt)23x9x|x|x1

（24）

arctanx2x

x



x1x

2

； （25）arccosx； （26）

x2xarcsinx

(1x)

23

；

1111

arccos； （28）（27）earccos；

2x|x|x21x2|x1|xx

1x

（29）；（30）； （31）；

322222

2x(2x)xarctanx2x(arccosx)

（32）

earcsinxx21



ex1e2x

2

；

abxaab

（33）()x()a()b)](x0)；

bxabxx（35）chxsh(shx)； （36）

1xch2(lnx)

2sin

（34）2sine

xx

chx

1

()

x；

；

1sh2x

（37）e(chxshx)； （38）； （39）thx； 422chx12shx

311

4．2xy40；6xy40。 5. xy20。6. (1,1);(,)。

416e

2

7．x2y20；d。

2

1

8．（1）2xf(x2)；

（2）ef(x)[f(ex)f(x)exf(ex)]；

（3）f[f(f(x))]f(f(x))f(x)； （4）sin2x[f(sin2x)f(cos2x)]。

习题2—3

1．（1）2sinxxcosx； （2）

a2(a2

3

22x)

；

3

（3）4x28x3；

4

5

（4）2secxtanx； （7）csc2x；

2

（5）2arctanx

2x1x2

； （6）

(x1)e4xx

x

； x

（8）sin2x4sin4x9sin6x；（9）

(xa)

223

。

4．（1）y(20)220e2x(x220x95)；

1225

sin2x)； 2

5．（1）2f(x2)4x2f(x2)； （2）f(sin2x)sin22x2f(sin2x)cos2x； （2）y(50)250(x2sin2x50xcos2x （3）

f(x)f(x)[f(x)]2

[f(x)]2

。

习题2—4

x1．（1）；

y

2xy

（2）；

x2y

（3）

exyyxexy

；

xylnyy2

（4）；

xylnxx

（5）

cosycos(xy)xy

； （6）。

xsinycos(xy)xy

x

2．（1）x

x

1

2

21

ln(lnx)；（3）(1lnx)xx； (2lnx)； （2）(lnx)lnx

1

（4）[cotxcosxsinxln(sinx)](sinx)cosx； （5） （6）

13x2213；

2(52x)(x1)3x252xx1

x46x21x(x21)3x(1x)

4

(x21)24. y

。 sin(xy)

3．x4y60。

[cos(xy)1]

3

。 5. St

e2s(3s)(2s)

3

。

d2yd2y11dy2dy

6．； 7. ； 。 ； tant

dxtdxdx2t3dx23aco4stsint

d2y1dy

8．。 cot； 2

a(1cos)dx2dx

2b22a2b(xa)；法线方程：yb(xa)。 2a22b212461236

（2）切线方程：ya(xa)；法线方程：ya(xa)。

535545

10．（1）（1，0）；（2）水平速度为-2，铅直速度为16；（3）水平方向加速度为-2；铅直方向加速度为8。

2001612．米/秒。 13. 米/分。

2526

5

14．（1）米； （2）0.875米/秒； （3）下端离墙4米时。

9．（1）切线方程：y

习题2—5

1．（1）(10x3)dx；

2xdx|x|x

2

2dxx

2dxx

2

（2）3x24x8dx； (1x0)

（3）



；

(0x1)

2

2sin2xcosxcos2x

（6）dx。 21sinx(1sinx)

211

dx； 2．（1）当x时，dydx；当x时，dy

222||2

（2）当x0时，dydx；当x1时，dy0。



0.0059。 3．（1）1.9； （2）

270150y0.0201； ydy0.0001。 4．（1）dy0.02；

1

5．（1）x2C； （2）lnxC； （3）C

x

1

（4）exC （5）cos2xC； （6）xC；

24

（4）lnx1dx； （5）sectdt；

x

（7）exC;2xex；

22

（8）sinxC;cosxsinx。

第三章

习题3—1



。 3. 否。 4. 2

（3，4）上。

1．

4



1 5. 否；否。 6. 三个实根，分别在（1，2）、（2，3）、

习题3—2

1．（1）1； （2）

； （3）1；

3a1

（7）0； （8）； （9）1；

2

2

（4）2； （10）1；

（5）； （11）0；

（6）1； （12）2。

习题3—3

1．5621(x4)37(x4)211(x4)3(x4)4。

2．f(x)x69x530x445330x29x1。 111

3．x2(x4)(x4)2(x4)3

464512

15(x4)44!16[4(x

7

4)]2

(01)。

(x1)n112nn1

4．[1(x1)(x1)(x1)](1)(01)。 n2

x[1(x1)]

习题3—4

1．单调增加。 3. 单调减少。 5．（1）在(,1),[3,)上单调增加，在[1,3]上单调减少；

111111

（2）在(,),,上单调增加，在,上单调减少；

218218

11

（3）在(,0),(0,],[1,)上单调减少，在[,1]上单调增加；

2222

（4）在(,a],[a,]上单调减少，在[a,a]上单调减少；

3311

（5）在(0,]上单调减少，在[,)上单调增加；

22

（6）在(,)上单调增加； （7）在(,)上单调增加。

8．有三个实根，分别于(,1)(1,3)、(3,)上。

9．单调函数的导函数可能不是单调函数，例如函数f(x)xsinx的导函数就不是单调的。

习题3—5

1．（1）极大值y(0)0，极小值y(1)1

121

（2）极大值y()205；

510 （3）无极值；

（4）极大值y(e)

1

ee

；

1

（5）极小值y(ln2)22；

2

（6）无极值。 2．（1）最大值y(1)2，最小值y(1)10；

13

（2）最大值y(0)y(1)1，最小值y()；

25

a2

（3）y无最大值，最小值y(ab)；

ab

3

（4）最大值y=1.25，最小值y(5)56；

4



（5）最大值y，最小值y；

2222

（6）最大值y(0)

，最小值y(1)0；

4

（7）最大值f(10)132，最小值f(1)f(2)0。 3．4，4． 4.

2R。



5.

xy

1。 36

7. 杆长为1.4（米）。 8. 

26

。 3

习题3—6

555250

1．（1）在(,]上是凸的，在[,)上是凹的，拐点(,）；

33327

（2）在(,3a),(0,3a)上是同凹的，在(3a,0),(3a,)上是凸的，拐点99

(3a,a)，(0,0)，(3a,a)；

44

（3）在(,0)上是凸的，在(0,)上是凹的，拐点（0，0）； （4）处处是凹的，没有拐点；

1211

) （5）在(,]上是凹的，在[,)上是凸的，拐点(,e

222

（6）在(,1),[1,)上是凸的，在[1,1]上是凹的，拐点(1,ln2),(1,ln2)； （7）在(0,1]上是凸的，在[1,)上是凹的，拐点（1，-7）；

2

（8）在(,2]上是凸的，在[2,)上是凹的，拐点(2,2)。

e

239

2．a,b。 3. 拐点（1，-4），（1，4）。 4. k。

822

1

习题3—7

1．y0。

2. y0,x1,x1。

3. yx3,x1. 5. y2x

4．x1,x1,yx,yx。



2

,y2x



2

。

习题3—8

1．k2,R

21

。 2. k1。 3. k。

3asin2t02

4. k

2

。 |a|

习题3—10

1．0.20x00.19。

2. 2.50x02.51。

第四章

习题4—1

1．否。 2. lim

0

F()x

i

i1

n

i

. 4.（1）lim

0

2

3

1

i1

n

1

2i

（2）limxi；

0

sinx

i

i1

n

i

。

x

5．（1）较大。



10

（2）xdx较大；

2



1

（3）xdx较大；



21

（4）lnxdx较大；



1123

dx

4221dysinx

（1；（2；（3）（4） 2xexex。eycos(x2)。 7.y4；

dxx2x

1

8．（1）30；（2）45；（3）；（4）；（5）1e1；（6）1（7）4；（8）8。

6364

x3

(0x1)23

9．（1）-1；（2）。 10. (x)2，(x)在（0，2）上连续。

2x1(1x2)

26

211．。

3

6．

习题4—2

2

1．（1）x2C；

5

2

1

5

22xC； （2）3

3

m

x（3）

nm

nmm

C；

152h（4）u56u23lnuC；（5）C；

2g

5

3

(x2)3

C； （6）

3

x523x32222

xxC （8）xxxC；（7）（9）10ln|x|x3C； 53353

24

3arctanx2arcsinxC；x3arctanxC;0（（10x2x22x2C；（11） 12）

53etat52

C； （15）2x（14）C；

1lnaln2ln33

1

（16）tanxsecxC；（17）tanxxC （18）tanxC；

2

1

（19）(xsinx)C；（20）sinxcosxC；（21）(cotxtanx)C。

2

531

1

（13）eC；

x

x

x

2．是。 3. yx2C；y2x21

4.（1）27米；

（2）3607.11秒。

习题4—3

e5t

C； 1．（1）5

3

（2）

1

(12x)6C； 12

（3）

1

ln|32x|C； 2

x1

（4）(82x)2C；（5）2costC； （6）eeC；

3

x1

（7）aarcsina2x2C；（8）ln|lnlnx|C；（9）tan11xC；

a11

1

（10）ln|tanx|C； （11）arctanexC； （12）sin(x2)C；

2

1x321

C； （14）(1x3)2C； （15）（13）arctanarcsin(2x)C；

629ln2

x291x212x2x

C；（16）（20ln(x9)C；（21arctan arcsineeC；

2242

3

12x1

C； （23）（22）ln

42x221x2

C； C； （24）ln

3x12x1

2x1

sin3xt11

C；（25）sinx（26）（27）sec3xsecxC； sin2(t)C；32431111

（28）（29）(sin2xsin8x)C；（30） 102arccosxC；C；

2ln1044arcsinx2axxx1arcsina2x2C； （32）arccosC；C； （31）（33）

22a2xx

（34）x293arccos（36）arcsinx2．（1）

x

3

12x)C； C； （35）2xln(

x

2

C。

1x

51

； 5121

arctan2； （4） （7）2(2)； （10）2（13）1e（16）





； 2（5）；

（2）

6

8

2

（3）22ln；

3（6）

4； 15

（8）



2

； 3

12

162

（11）；

3

a4；

（9）1



4

；

（12）(1)a； （15）

；

（14）2(31)； （17）22；

2； 3

2 1e

（4）0。

4； 3

（18）1ln（3）

3．（1）0；

3

（2）；

2

3

324

；

习题4—4

11

xsinmx2cosmxC； mme2t1

(t)C； （2）22

1．（1）

（3）tarcsintt2C； 1111

（4）x2ln(x1)x2xln(x1)C；

242211

（5）x2lnxx3C；

39111

（6）x3arctanxx2ln(x21)C；

3661

（7）x2xtanxln|cosx|C；

2

（8）x2sinx2xcosx2sinxC； （9）x(lnx)22xlnx2xC； （10）

lnx1x

lnC； 1xx

123x

(x)cos2xsin2xC； 22211

（12）xcos2xsin2xC；

481

（13）(22lnxln2x)C；

x2xx

（14）e2x(cos4sin)C；

17221ax

（15）2e(asinnxncosnx)C； 2

an（11）

（16）(2x11)e2x1C；

1x1

（17）x2sin2xcos2xC；

448

（18）x(arcsinx)22x2arcsinx2xC； （19）2x[ln(1x)2]C；

a22x2a422

xaxln(xa2x2)C； （20）

88

（21）(x1)arctanxxC。

1

2．（1）(e21)；

4

1

（4）ln2；

3

11ln3； （2）

49222

（5）ln(2)；

3

3

； （3）64

1

（6）(e2)；

5

1

（7）(esin1ecos11)； （8）2(e21)；

2

1

（9）21。

e

习题4—5

1．（1）ln|x2|ln|x5|C；

11

（2）x3xx8ln|x|4ln|x1|3ln|x1|C；

32

|x1|2x1

3arctanC； （3）ln

23xx1(x2)41

C； （4）ln

2|(x1)(x3)3|

（5）

11

ln|x21|C； x12

|x|

C； （6）ln

2

x1x41

arctanxC； （7）ln

4(1x)2(1x2)2

2x22x122ln2arctan(2x1)x1)C； （8）844x2x11x11

arctanxC； （9）ln

4x121

（10）(xln|sinxcosx|)C；

2

x

（11）ln|1tan|C；

2

3

（12）(1x)23x13lnxC；

2123

（13）x2xxC

23

（14）x4x14x1)C；

（15）2x4x4x1)C； （16）2arctan（17）ln(x（18）2．（1）

12

1

1x

x2C； 1x

1

x(x1))C； 2

[ln|x|ln(2x44x2x2)]C。

2(1x)2



1

C； 1x

（2）

1

6(6x6)2(6x6)2

（3）ln|xsinx|C； （4）lnx[ln(lnx)1]C；



1

C；

13xx3

 （5）4

223a(a2x2)3ax

C； 

（6）

(1x2)3

3x3

（7）(42x)cosx4xsinxC； （8）xln(1x2)2x2arctanxC；

11

（9）xcsc2xcotxC；

22

xx

（10）2lncsccotC；

22（11）

x48(1x8)



1

arctanx4C； 8

x2C；

x

4

14x1

（12）xln4C

4x211x1

arctanxC； （13）ln

31x21x1x

（14）cotxcsc2C；

4282|x|

C； （15）ln

(x1)6

（16）esin

2

x

C；

（17）xln2(xx2)2x2ln(xx2)2xC；

xlnx

ln(xx2)C； （18）

x21xx222

xarcsinC； （19）(arcsinx)

42411

（20）x2(x22)arccosxx(x26)C；

391

（21）(tanxln|tanx|)C；

2

(tan2x1)(tan4xtan2x1)

C； （22）3

3tanx

41xarctan(tan)C； （23）ln(2cosx)

23

（24）

12

sin(x



4

)

122

ln[sec(x



2

)tan(x



4

)]C。

第五章

习题5—2

1．（1）

3

； 2

（2）e

1

2； e

（3）ba； （3）18a2。

（4）

7。 6

3

（2）a2；

8

135

3．（1）2； （2）。

624

2．（1）a2；

习题5—3

1．



2

(83)。 2.

2

。 35

3. 741103kg。

6.

43

R。 3

3

1602。4. （1； （2）

10

1

5．h[2(abAB)aBAb]。

6

习题5—4

1．(ln)(165)3ln22a2

4．6a。 5. 。 6.

2

1

ln3。 2

2. 23

4。 3

3. 4。

a2a35

(e1). 7. ln. 8. 8a. 9. ln(21)。 a212

习题5—6

27

KC3a3（其中K为比例常数）1．800ln2（焦耳）。 2. 。 7

3．17.3（千牛）。 4. 14373（千牛）。 5. 1103248（焦耳）。 6. 1.65（牛）。

1

7．pgab(2hbsina)。

2

11;FGml （其中G为引力8．取y轴通过细棒，FyGmxa22alaa2l2

常数）。

2Gm

9．引力的大小Fsin，方向由点M指向圆弧形细棒的中心（其中G为引力

R2

常数）。

2

7

习题5—7

1．12（米/秒）。

2.



a。 4

第六章

习题6—1

1

1．。

3

2. 发散。

习题6—2

1．

2ln2

。 3

2.

. 2

3.

1

。 a

4. 发散。

习题7—1

2．（1）(a,b,c)关于xOy面的对犯法点的坐标为(a,b,c)；

(a,b,c)关于yOz面的对犯法点的坐标为(a,b,c)； (a,b,c)关于xOz面的对犯法点的坐标为(a,b,c)； （2）(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,b,c)；

(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(a,b,c)； (a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(a,b,c)；

（3）(a,b,c)关于坐标原点的对称点的坐标为(a,b,c)。

3．xOy面上的垂足为(x0,y0,0)；yOz面上的垂足为(0,y0,z0)；zOx面上的垂足

为(x0,0,z0)；x轴上的垂足为(x0,0,0)；y轴上的垂足为(0,y0,0)；z轴上的垂足为(0,0,z0)。

4．(

(0,

222222a,0,0),(a,0,0),(0,a,0),(0,a,0),(a,0,a),(a,0,a)，22222222

a,a),(0,a,a)。 22

5．x轴：；y轴：41；z轴：5。

6. （0，1，-2）。

习题7—2

1．coscos

2

,cos0或coscos0,cos1。 2

2．（1）垂直于x轴，平行于yOz平面；（2）指向与y轴正向一致，垂直于xOz平面；（3）平行于z轴，垂直于xOy平面。

111

3．|a|3； |b|； |c|3； a0,,；



2123520

c,,。 b0； ,,3333838

习题7—3

1．（1）a与b垂直；（2）a与b平行且同向。 2. 5a11b7c。

111

3．ca,ab,bc。 5. (1,2,2),(2,4,4).

222

447

6．A点坐标为（-2，3，0），|a|9；cos,cos,cos。

999214,cos,cos7．F大小为：21，方向余弦：cos。 212121

667667

8．,,,,,。

111111111111

习题7—4

1．（1）否；（2）否；（3）否。 2.（1）3；（5，1，7）；（2）3434

6．0,,,0,,。

5555

3221

； 3. –61； 4. 9. 

3

。 2

7. 5880焦耳。 8. 30.

3. 511.

91. 2

10．（1）（-3，-13，-33）；

（2）（4，-1，-4）； （3）7。

第八章

习题8—1

1．4x4y10z630。

2. x2y2z2a2

3．以点（1，-2，-1）为球心，6为半径的球面。 4. x2y2z28x0。

习题8—2

A1B1C1D1

。 A2B2C2D22．（1）yOz平面；

1．

（2）平行于xOz的平面；

（3）平行于z轴的平面； （4）通过z轴的平面； （5）平行于x轴的平面； （6）通过原点的平原。 3．3x7y5z40。 4. 2x9y6z1210。 5．x3y2z0。 6. 3xy0或x3y0。 7．xy2z40。 8．（1）y50； （2）x3y0； （3）9yz20。

习题8—3

x4y1z3

。 3.（1）平行； （2）垂直； （3）在平面内。 

215

x325

x3yz2x1yz2

;yt4．. . 5.

213421z23t

1．1． 2.

6．0 7. x3yz40。 8. cos0。 9. 在平面内。

y2z4x

10．。 11. 8x9y22z590. 12. xyz0. 

231

12x15y33z117032522

13．,,。 14. 。 15. 

24xyz10333

第九章

习题9—1

1．（1）直线，平面；（2）直线，平面；（3）圆，圆柱面；（4）双曲线，双曲线柱面。 2．（1）一点，一直线；（2）一点，一直线。 3. y2zh25x. 4. x2y2z20。 5．绕x轴：4x29(y2z2)36；绕y轴：4(x2z2)9y236。

习题9—2

x2y2

1绕x轴旋转而成； 2（1）xOy平面上椭圆49

y22

1绕y轴旋转而成； （2）xOy平面上的双曲线x4

（3）xOy平面上的双曲线x2y21绕x轴旋转而成； （4）yOz平面上的直线zya绕z轴旋转而成。

习题9—3

2．母线平行于x轴的柱面方程：3y2z216；母线平行于y轴的柱面方程：

3x22x216。

222y2z21x2y2z21xyz1

3．；； 。

22x0x0yz1

3xcost

2x13cos

3

(02)。 4．（1）y（2）y3sincost(0t2)；

2z0

z3sint



zzx2y2a2x24z22x2z20yasinxacos

5．； b；b。 6.

z0y0x0y0



7．（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线。

习题参考解答

第十章

习题10—1

1．t2f(x,y)。

2. (xy)xy(xy)2x。

3．（1）(x,y,z)|x0,y0,z0； 4．(x,y)|y22x。

（2）(x,y,z)|r2x2y2z2R2。





习题10—2

1．（1）xz(2xy)x(x)2； yz(1x)y； z(2xy)x(1x)yxy(x)2； （2）xz0.21;yz0.1;z0.32。 2．1；1+2ln2. 7．（1）

z

x

22xysin

y

2. 1,

13. 5. 1,0; 6. . 225

z2x

； 

2xy

y2sin

y

. 4.

1

yzzx

； ,2

x2x(1xy)2y1xy

yy1yzxx2sinsincoscos； （3）

xxyxyxy

（2）

y1yzxxx

2cocosisi； yyxxyxy

y

y

yzz1x

（4）23xln3,3ln3；

xyxxz（5）yesinxy(1xycosxy)，

xznxy

xesi(1xycosxy)； yz1z1,（6）； xxlnyyy(xlny)

yyyyz1z1

sincos,cos； （7）

x2xxxxxyxxuuuet1,et,tete； （8）tu

e[cos()sin()]， （9）u e[cos()sin()]。



8．

。 6



dy； y

xyxy11

yedxxe9．（1）dzxyxdydx（2）dz； 1x21y2

（3）dz(xdydx)cos(xy)；

4xy(xdyydx)

（4）dz；

(x2y2)2

（5）dz(2ey（6）duex(x

2

2

2x

)dx2xeydy；

yz2)

[(3x2y2z2)dx2xydy2xzdz]；

（7）duxxy[y(1lnx)dxxlnxdy]；

3dx2dydz

（8）du d；

3x2yz2(xy)(dxdy)

（9）du。 4

1(xy)

10．（1）dz4(dxdy)； （2）dz2dxdy。 11．dz0.2,z0.20404。

习题10—3

z

3x2sinycos(cossiny)， xz

x3(si3nyco3sy)2x3sinycosy(siyncosy)。 y1．

z2x3x2

ln(3x2y)2．， xy2(3x2y)y2

z2x22x2

3ln3(x2y) 。 2yy(2x2y)y

z2(u2v)(u3v)z(2vu)(9u2v),4．。 uv(u2u)2(v2u)2

z

2(2xy)2xy[ln(2xy)1]， xz

(2xy)2xy[ln2(x)1]。 y

zFFzFF

cossin,rcosrsin。 7．

rxyyxdz8．etet。

dt

4dz

9．esint2t(cost6t2)。

dtdz312t2

10．。 

32dt(3t4t)5．

dzex(1x)

11．。 dt1x2e2x

dz41223sec3tt。 32dttt2du13．eaxsinx。 14. 1。 15. 2。

dx

yzdz12,16．。 xxy2dx1x2

12．

17．

yzdz

yxy1,xy(x)lnx。 xdxx

习题10—4

dyb2x

2。 1．dxay

dyy[cos(xy)exy2x]

2. dxx[xexycos(xy)]

3．5．

dyxy

。 dxxy

4.

zyzxyz,xxyzxyzxz2xyz

。 

yxyzxy

yzz

z,xexyzazyx,6．

xzaxyxyz

z。 yexyzaxzy。 yzaxy

zzzz2

,7．。 xxzyy(xz)

8．dz

dxdy。

2x2z2x2yzx2xyz2xy2zydyx(6z1)dzx

,9．。 dx2y(3z1)dx3z1

xuyvxvyuxuyvuuxvyvvu2,,,10．。 2222222xyxyxyxyxyxy

2xz22xyz2z2xyz2z

习题10—5

1．（1）

2zx22zy2

asin(axby),b2sin(axby)；

2

2zx2y

absin(axby)，

x3y2z12z（2）2； ,,2223223223xyxy(1xy)(1xy)(1xy)

2z（3）（4）

2xx

2

xy3

2y(2y1)x

2y2

2z2z(2y1)

,2x(12ylnx),4x2yln2x； 2

xyy2zlnxlny1lnx2zlnx(lnx1)lnx,y,y； xyxyy2y2

2xx22z

lny(lny1)

x22xy3z

y

lnx

2x3yz2zz(z42xyz2x2y2)2z

,,2（5）22； 32323xyx(zxy)(zxy)y(zxy)2z2z

0。 （6）2

xyy2x

3．2，2，0．

2u

xyf222xyzf23zf3xzf31xyz2f33， f2xf214．

yx

2u

x2yzf33， xf3x2yf32

zy

2u

xy2f23xy2zf33。 xf3xyf13

xz

2z

5．

2ux

2

4x2f(x2y2z2)2f(x2y2z2)。

习题10—6

1．

93

2

2.

2. 5

3.

2. 2

4.

68. 13

第十一章

习题11—1

x(



21

1)



1．切线方程：

y1z22

。 

12

法平面方程：xy2z

x



2

4。

1

2y2z1， 2．切线方程：012

法平面方程：2zy0。

3．切线方程：

xa

a2ya4zb

， a4b

法平面方程：22a(xy)b(4zb)0。 111

4．P1(1,1,1)或P2(,,)。

3927

5．切平面方程：x2y40，

x2y1z

法线方程：。

120

6．切平面方程：9xyz270，

x3y1z1

法线方程：。 

911

7．切平面方程：x2yz50，

x2y3z1

法线方程：。 

111

8．切平面方程：2ax0x2by0yzz00，

xx0yy0zz0

 法线方程：。 2ax02by013

9．arccos。

22

习题11—2

1．极大值：(2,1)8。 2. 极大值：。

1e

3．极小值：f(,1)。

22

111

4．（1）极大值：z(,)；

224ab2a2ba2b2

,)2 （2）极小值：z(2；

ab2a2b2ab2

（3）极小值：u(3,3,3)9。

l

5．当两直角边都等于时，三角形周长最大。

2

2aa

6．当长、宽为，高为时，内接长方体体积最大。

3

第十二章

习题12—2

1

1．。

e5．（1） （2） （3）

4

2. ln.

3

1

3. (e,1)2.

4. 



16

.

10



dx



1xx1

f(x,y)dy



1

01

dy



y

y10

f(x,y)dx



dy

3



1y0

f(x,y)dx；



3

11

dx



3xx2xx/2

f(x,y)dyf(x,y)dy



3

dy



1

f(x,y)dx



93

dy



y/3

f(x,y)dx；

dx

010



2

1

dx

2



2/xx/2

f(x,y)dy f(x,y)dx；

 （4） （5）6．（1） （3）（5）



dy

5

2yy/2

f(x,y)dx



1

dy



2/yy/2





38

dx





(3x4)/2(3x1)/2

f(x,y)dy



13/25

dy



(2y1)/33

f(x,y)dx f(x,y)dx； f(x,y)dx。

13/240

dy



(2y1)/3(2y4)/3

f(x,y)dx



19/28

dy



5(2y4)/3

dx

34(x2)234(x2)2

f(x,y)dy



51

dy



24(y3)224(y3)2

dx

010

1xx2

f(x,y)dy；

y2

（2）（4）

10

dy

1eey

f(x,y)dx；

dy



1y2

f(x,y)dx；



1

dy

32yy

f(x,y)dx；



01

dy



y2y2

f(x,y)dx



dy



yy

f(x,y)dx；

（6）



a0

dy



aa2y2y2/2a

f(x,y)dx



a0

dy



2aaa2y2

f(x,y)dx



2aa

dy



2ay2/2a

f(x,y)dx。

7．（1）76/3； 8．（1） （3）

（2）9； （3）

27

； 64

（4）14a4。





/2

0R0

d



2Rsin0

f(rcos,rsin)rdr； （2）f(tan)d。



20

d



R0

f(r2)rdr；

rdr



arctanR0

R32()； 9．（1）(2ln1)； （2）

3234



2

32

（3）； （4）62

64

习题12—3

1．（1）



11

dx



x2x2

dy



1x2y2

f(x,y,z)dz；（2）



11

dx



x2x2

dy



2x2x22y2

f(x,y,z)dz。

1152．（1）(ln52ln2)； （2）ln2。

22168

3．（1）a2； （2）(ln22)；

92

441

4．（1）(A5a5)； （2）x。 5. （1）； （2）0。

5158

习题12—4

1．2。

2

4885．. 6. .

515

2

9．(,,)(0,0,).

312．2r(R2r2).

2.



a2.

122

4. 162. abb2c2c2a2.

2417. . 8. (,,)(0,0,). 154hR4hR22h2

(R). 10. . 11.

243

5

13. (,,,)(0,0,R).

43.

习题12—5

1．5ln2. 2. 24. 3. 2a2n1. 122

)p3]. 6．[(p2y0

3p

3

3

4. 22a3(122).

3

5. 12.

12

2)222]. 7. [(t0

3

8.

8

23a. 3

1．（1）

13

； 3

2．461。

149111

； （3）。 30103(1)ln2。 3. 4. a3。 2（2）

第十三章

习题13—1

111

1．(1,1,1)与(,,)。

3927

x1y0z1

2．切线方程：；法平面方程：xyz20。 

111

3．X(t)(QcostPsint)Rc1tc2，其中，c1，c2为任意常矢量。 5．sa2k。

习题13—2

（1）场所在空间区域是除去平面AxByCzD0以外的全部空间，场的等值面

1

C1是平面AxByCzD0平行的一族平面，AxByCzD10；

AxByCzDC1

（2）场所在区域是坐标满足z2x2y2及x2y20的点组成的空间部分，场的等值面为z2(x2y2)sin2c，是顶点的坐标原点的一族圆锥面（但不含原点）。

2．过M的等值面是族转抛物面zx2y2。 3．等值面为：(xa)2(yb)2(zc)2e2。

习题13—3

1171

3. （1）； （2）； （3）

12303

11

4．0． 5. a2。 6. . 7. 13.

35

P(x,y)2xQ(x,y)P2xQ3yR

dl。 8．9. dl。 222LL

4x4x9y

1．

56

。 15

2. 8。

（4）

1

。 20



1．



D

ydxdy。

2

2. 2ab. 3. I

a2m

8

. 4.

32a. 8

3。 8. I62. 211

11．（1）x22xyy2； （2）x2y； （3）cos2xsin3y；

22

（4）x3y4x2y212ey12yey； （5）y2sinxx2cosy。 7．I

习题13—5

2

1．a3bc。

54．（1）

2.

27

R. 105

3. 1.



S

3223(PQR)dS； （2）555



S

2xP2yQR4x4y

2

2

dS。

习题13—6

212

1．（1）2a(ab)； （2）9。 2. （1）a3a4a5； （2）4R3； （3）a3。

35

习题13—7

1．

ul



M

22。

21326

2．在M1与M2处的梯度依次为7与3；方向斜弦依次为,，，,与

7770。梯度为0的点是(2,1,1)。

习题13—8

1．（1）0； （2）0。 2. （1）6。 （2）8； （3）36。

习题13—9

1．（1）2R2， （2）2R2。 2. rotA(1,3,2)i3j4k. QP3.rotA(x,y,0)xyk.



第四十章

习题14—1

1．发散。

2. 收敛。

3. 发散。

4. 收敛。

习题14—2

1．（1）收敛； （2）发散； （3）发散； （4）收敛； （5）发散； （6）收敛。

习题14—2

1．（1）发散； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛。 （5）a1时，收敛0a1，发散； （6）发散。 2．（1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）收敛； （6）收敛。 3．（1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）ba时，收敛；ba时发散。 4．（1）发散； （2）发散； （3）发散； （4）收敛； （5）收敛。

习题14—4

1．条件收敛。 2. 条件收敛. 3. 绝对收敛。

4. 发散。

5. 绝对收敛。

第十五章

习题15—2

1（1）（1，1）； （2）{0}； （5）[4，6)； （6）(0，2]；

（3）[1，1]； 1

（7）,e；

e

（4）[3，3)； （8）R。

11x1

2．（1）lnarctanxx(1x1)；

41x211

(1x1);(1x1)。 （2） （3）

(x1)2(1x)311x

3．ln(1x1)，

21x



12

ln1(2)。 n

2(2n1)2n1



习题15—3

1．（1）e

x2

(1)n2n

x

n!n0





(xR)

11(4)n2n

（2）cosxx

22n0(2n)!

2



(xR)；

(1)n4n

（3）cosxx

(2n)!n0

2





(xR)；



x10

（4）xx10

1xn0



(1x1)；



x1

（5）[1(2)n]xn

2

3n01x2x





(

11

x)； 22

x3n2nn

（6）2x

x5x6n06n





(2x2)；

(1)n

（7）dt(1x1)； 22n10t(2n1)xn0

xdt15139

xxx （8）

4052924t

13513135717

xx(1x1)；

13246172468



xarctant





1x

（9）12(1)nxn

1xn0





(1x1)。

(1)nx2n(1)n3x2n12． f(x)

2(2n)!2(2n1)!n0





(xR)。

1(1)n(x4)n

3．f(x)

3n03n





(1x7)。 (4x0)。

(x2)2n

4．f(x)(1)

4n1n0





n

习题15—4

1．3.9563

2. 0.1564。 3. 0.4940。 4. 0.2603

第十六章

习题16—1

12

1．（1）f(x)

2



sin(2n1)x2n1n0



(x0,0x)，在x0,时，f(x)的

Fourier级数收敛

（2）

1

； 2

。 4

2cos(2n1)x(1)n1

2．f(x)sinnx(x)，x时，f(x)的

4n0(2n1)nn0



Fourier级数收敛于。

2

23．。



6

习题16—2

1．f(x)敛于0。

2．f(x)



2

4

sin(2n1)x

(x0,0x),x0,时，f(x)的Fourier级数收

2n1n0

cos(2n1)xn0(2n1)24







(x)。

习题16—3

e2x14n2n2

[(1)e1]cosnx(0x)。 1．e214n2



4(1)n1x2n

2．sin1[(1)1)sinnx(0x)。

2n04n21n

2x



习题16—4

111

1．（1）1x2

12

2



(1)n1

cos2nx2

nn0



(x)；

1

（2）f(x)

4

n

2sin1(1) 22

nn0n







n

12cosinxconsx 

n



1

(x2k,sk,k0,1,2,)；

2

11

在x2k时，f(x)的Fourier级数收敛于,x2k时，f(x)的Fourier级数收敛

22

于O(k0,1,2,)。

1nx6nx6n

（3）f(x)(1)n1sin22[1(1)]cos

2n0n3n3





(x3(2k1),k0,1,2,)；

在x3(2k1)时f(x)的Fourier级数收敛于2(k0,1,2,)。

第十七章

习题17—1

1．（1）1； （2）1； （3）； （4）2。

2．（1）是解，但不是通解； （2）是解，但不是通解； （3）不是解； （4）是解，当12时是通解；12时，不是通解。

习题17—2

1．（1）xln(x1)sinyC； （2）10x10yC0；

yxy

（3）sinCx； （4）lnCx。

xx

2．（1）y22x2(lnx2)； （2）y2yx20；

yy

（3）arcsinln|x|及yx； （4）y1ln。

x2x3．（1）y2Ce

2arctan

y2

x1

；

（2）(x3)2(y1)2Ce

y1x3

；

（3）(yx1)2(yx1)5C； （4）xyCey。

习题17—4

1．（1）ytanx1Cetanx； （2）yx(lnlnxC)；

（3）ye

x

11



xCex

；

2．（1）yxsecx；

（3）yx36x213x10； 3．yx(Cln|x|)。 4．（1）y

1

1

(cosxC)。 x

21

（2）yx31e1/x1；

21

（4）I(cos2t3sin2t)。

2（4）y



sinxCe；

2

x

（2）(13y

1

32x2)e

C；

y2

2

1

（3）y3Ce3x1；

2

（4）x(2y2Ce

1。

习题17—5

1．（1）3yxyC； （3）xeyy2C；

2

2

2

（2）x(x2y)2C；

3

2

3

（4）2xy2cos2xC；

xm1yn1

x2y2ln|xy|= C （6）

m1n1

1

（5）ylny4C；

4 （7）x2y22arctan2．（1）积分因子 （2）积分因子

x

C； y

（8）xsinyycosxC。

1

，通解xyln|xy|C； xy

1

，通解xln(x2y2)C； xy1

（3）积分因子，通解(x2y)aCey；

xy

（4）积分因子

1

，通解x2yexCy。 2y

习题17—6

1

1．（1）yC1x2C2；

2y

C1xC2； （3）ln

C1y2．（1）y3．S

经济学院学生会学习小组

31

（2）yC1ex

12

xxC2； 2

（4）C1y21(C1xC2)2。

1



ln(ax1)； （2）ylnchx； （3）yx33x1。

mkgt。 lnch

mk2

习题17—8

1．（1）yC1e4xC2e5x； （2）yC1e

x

1

x

e2C1cos





3xC3sinx； 22

（3）yC1e3xC2e4x （4）y

1

x2C1eC2

5

； 12

exex；

ex

（5）yC1cosaxC2sinax； 2

1a

13327xxx； 35253

（7）yC1exC2e2xx23xex；

2

1

（8）yex(C1cos2xC2sin2x)xexcos2x；

4exx

（9）yC1cosxC2sinxsinx；

22

（6）yC1C2

5xe2

（10）yC1cosxC2sinx2x272xcosx。

151

2．（1）yx2ex； （2）yex2e2xe3x；

222

111

（3）ycosxsinxsin2x； （4）y11xx2ex。

233

习题17—9

1．yC1x

C。 x

1

x。 2

3．yx(C1coslnxC2sinlnx)xlnx。

1

4．yC1xx(C1coslnxC2sinlnx)x2(lnx2)3xlnx。

2

2．yC1x2C2x3

第十八章

习题18—1

5．（1）等价； （2）等价； （3）等价； （4）等价； （5）等价； （6）等价。

32 经济学院学生会学习小组

第十九章

习题19—1

1．（1）supEb,infEa； （3）supE,infE； （2）supE1,infE0； （4）supE,infE0。

经济学院学生会学习小组

33