第32卷第3期 长春工业大学学报(自然科学版) Vo l 32N o. 3基于M AT LA B 的平面五连杆机构
的运动学分析
王锡霖, 严日明, 李 举, 许文艺
(中国地质大学(武汉) 机械与电子信息学院, 湖北武汉 430074)
摘 要:建立了平面五连杆机构的数学模型, 通过牛顿-辛普森方法求解三角函数非线性超越方程, 并利用MA TLAB 进行编程, 得到了连杆连续运动的位置、角速度、角加速度等参数。关键词:五连杆; 数学模型; MAT LAB; 超越方程
中图分类号:TP311. 1 文献标志码:A 文章编号:1674-1374(2011) 03-0273-05
Kinematic analysis of planar five -bar
mechanism based on MATLAB
WANG X-i lin, YAN R-i ming, LI Ju, XU Wen -yi
(M ech anical and E lectron ic In formation Academe, China University of Geosciences, Wu han 430074, China)
Abstract:T he mathematical m odel of the planar five -bar mechanism is established fir st and then the
tr ig onometric nonlinear transcendental equation is solv ed w ith New to n -Sim pson method. Based on MAT LAB, the positio n, velocity and acceler ation o f the bar are o btained. Key words:five -bar; mathematical m odel; MA TLAB; transcendental equation.
0 引 言
连杆机构的应用十分广泛, 在生产机械中应用连杆机构可以转变原动机的运动形式, 如插齿机中的曲柄滑块机构, 在蜘蛛仿生机械中的蜘蛛脚也是连杆机构, 还有诸如工业应用中的机械手的传动机构, 人造卫星的展开机构、人体假肢等都有广泛应用。对平面连杆机构的运动分析方法有矢量方程图解法和解析法等, 其中解析法又分为复数矢量法和矩阵法。矩阵法可以方便地运用标准计算程序或方程求解器等软件包来求解, 这里
只介绍矩阵法[1]。
1 五连杆机构运动的的数学模型
五连杆机构的结构简图如图1所示。 其中A B 长为l 1, 与固定机架AE 的夹角为 1; B C 长为l 2, 与水平方向的夹角为 2; CD 长为
3; D E 长为l 4; EF 长为l 4, l 3, 与水平方向夹角为
4; FA 长为l 1; 机架AE 长为与水平方向夹角为
l 5。杆件BF 为原动件, 角速度为 1, 做等角速度
运动。
收稿日期:2011-02-23
作者简介:王锡霖(1988-) , 男, 汉族, 福建泉州人, 主要从事机械设计方向研究, E -m ail:x ilinw an g@163. com.
274
长春工业大学学报(自然科学版) 第32卷
1. 1 位置分析
由于有五个杆, 因而需要有两个封闭式方程来表示该机构的数学模型[1]。由封闭形AB CD EA 与A EFA 得到的封闭矢量方程式为:
l 1+l 2=l 5+l 3+l 4
l 1=l 5+l 4
即
l 2-l 3-l 4=-l 1+l 5
-l 4+l 1=l 5
(1) (2)
图1 五连杆机构的结构简图
写成两个坐标方向上的投影式, 得到该机构
的位置方程:
l 2cos 2-l 3cos 3-l 4cos ( 4+180 ) =-l 1cos ( 1+180 ) +l 5l 2sin 2-l 3sin 3-l 4sin ( 4+180 ) =-l 1sin ( 1+180 )
-l 4cos 4+l 1cos 1=l 5
-l 4sin 4+l 1sin 1=0
1. 2 角速度分析[2]
用1. 1中得到的位置方程对时间求一次导数, 可得:
-l 2sin 2l 2cos 2
00
1. 3 加速度分析
用1. 2中得到的角速度方程式再求一次导数, 得:-l 2sin 2l 2cos 2
00
l 3sin 3-l 3cos 3
00
-l 4sin 4l 4cos 4
4l 4sin
l 3sin 3
00
l 4cos ( 4+180 )
l 4sin 4-l 4cos 4
00co s 1sin 1
2 3 4l 1
=
l 1sin ( 1+180 ) -l 1co s ( 1+180 )
l 1sin 1-l 1cos 1
-l 3cos 3-l 4co s ( 4+180 )
00
1cos
2 3
4
- 2l 2cos 2
=-00
3l 3cos 3
00
- 4l 4cos 4
4l 4cos 4
00
1sin 1-
2 3
4
- 2l 2sin 2- 3l 3sin 3- 4l 4sin 4
4l 4sin 4
+
-l 4sin 4
sin 1
l 1- 1cos 1l 1
1l 1co s 1
1
1 1l 1sin
1l 1cos 1+v sin 1
1+v co s 1 1l 1sin
式中:v 2 三角函数非线性超越方程的解法
前面得到的三组方程都是关于三角函数的非
线性超越方程, 求解的方法有多种, 这里用牛顿-
辛普森方法来求解。牛顿-辛普森方法是一种迭
代法, 它从某一个给定的初始向量开始不断地给以增量直到足够接近精确解。迭代增量是通过非线性方程的级数展开式计算求得, 接近精确解的程度就由数值精度要求来确定。求解过程中要用
第3期 王锡霖, 等:基于M A T L A B 的平面五连杆机构的运动学分析
275
到非线性方程的雅克比矩阵J 。
在MAT LAB 函数编写中用到了w hile 条件循环语句, 编写了名为rrr posi 的M 函数, 可以求解1. 1中的位置函数, 再利用fo r 循环语句得到随原动件BF 运动其它构件的位置图像 rrrposi 函数程序
functio n y =rr rposi(x) theta2=x(2) ; theta3=x(3) ; theta4=x(4) ; lA =x(10) %
epsilon=1. 0E-6; %
f=[x (6) *cos(theta2) -x(7) *cos(theta3) -x (8) *cos (pi+theta4) +x(5) *cos(x (1) +pi) -x(9) ;
x(6) *sin(theta2) -x (7) *sin(theta3) -x (8) *sin (theta4+pi) +x(5) *sin(x (1) +pi) ;
-x(11) *cos(theta4) +lA *cos(x (1) ) -x(9) ; -x(11) *sin(t heta4) +lA *sin(x(1) ) ]; %
while no rm(f) >epsilo n
J=[0-x (6) *sin(theta2) x (7) *sin(thet a3) -x (8) *sin(theta4) ;
0x (6) *cos(theta2) -x (7) *co s(theta3) x (8) *co s(theta4) ;
co s(x (1) ) 00x(11) *sin(theta4) ; sin(x(1) ) 00-x (11) *cos(theta4) ]; dth=inv(J) *(-1. 0*f) ; lA =lA+dth(1) ; theta2=theta2+dth(2) ; theta3=theta3+dth(3) ; theta4=theta4+dth(4) ;
f=[x (6) *cos(theta2) -x (7) *cos (theta3) -x (8) *co s(pi+theta4) +x(5) *cos(x (1) +pi) -x(9) ;
x(6) *sin(theta2) -x (7) *sin(thet a3) -x (8) *sin (theta4+pi) +x(5) *sin(x (1) +pi) ;
-x(11) *cos(theta4) +lA *cos(x (1) ) -x(9) ; -x(11) *sin(t heta4) +lA *sin(x(1) ) ]; no rm(f) ; end; y(1) =lA ; y(2) =t heta2; y(3) =t heta3; y(4) =t heta4;
[5]
[5-8]
[3-4]
x1=linspace(40*pi/180, 55*pi/180, 15) ; x=zero s(leng th(x1) , 11) ; for n=1:15
x(n, :) =[x 1(:, n) pi/68*pi/92*pi/[**************]]; end
p=zero s(leng th(x1) , 4) ; for k=1:15y=r rr po si(x (k, :) ) ; p(k, :) =y; end
。
如下:
这里限定B F 杆在40 ~55 范围内运动, 以
利于分析和建立图像。得到的P 矩阵见表1。
表1 P 矩阵
l 1/mm 93. 314991. 307189. 238787. 107684. 911382. 646380. 308677. 893175. 393072. 799870. 101967. 283364. 321761. 183557. 8153
2/(r ad/s) 0. 71630. 70450. 69290. 68150. 67030. 65920. 64820. 63720. 62630. 61540. 60430. 59300. 58120. 56870. 5551
3/(rad/s) 2. 54552. 56172. 57862. 59632. 61472. 63392. 65392. 67472. 69652. 71922. 74312. 76832. 79502. 82372. 8549
4/(rad/s) 1. 54611. 59021. 63471. 67961. 72501. 77091. 81741. 86461. 91261. 96162. 01182. 06352. 11692. 17282. 2319
同样利用这个步骤中求得的各个未知数的解, 再利用牛顿-辛普森方法对角速度方程组进行求解, 之后再对加速度方程组进行求解。
3 输出图像
输出各个杆的角位置图像, 程序如下:
plot(x1, p(:, 2) , ' --' , x1, p(:, 3) , ' :' , x 1, p(:, 4) , ' *' ) title(' 角位置' ) ; xlabel(' \theta1/r ad' ) ;
ylabel(' \theta2、\theta3、\theta4/rad' ) ;
接下来在M ATLAB 命令窗口中运行如下程
序F 输出图像如图2所示。
276
长春工业大学学报(自然科学版) 第32卷
图3所示。
输出各个杆的角速度图像如图4
所示。
图5
滑块速度图像
图2 角位置
图像
图6
角加速度图像
图3 A F
长度的变化图像
图7 滑块运动加速度
图4 各杆角速度图像
4 结 语
对平面正弦连杆机构进行动力分析, 并且依据其数学模型运用M ATLAB 编程, 绘制出了曲柄在连续360 的运动过程中各个运动副变化规, 滑块速度图像如图5所示。
各个杆的角加速度图像如图6所示。 滑块的加速度图像如图7
所示。
第3期 王锡霖, 等:基于M A T L A B 的平面五连杆机构的运动学分析
277
中力与位置的关系直观易懂, 对实际设计有一定指导意义。参考文献:
[1] 孙恒, 陈作模, 葛文杰. 机械原理[M ]. 北京:高等教
育出版社, 2006
[2] 同济大学数学系. 线性代数[M ].北京:高等教育出
版社, 2009
[3] 曲秀全. 基于M A T L A B/Simulink 平面连杆机构的
动态仿真[M ]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2007
[4] 李团结, 贾建援, 胡雪梅. 机械工程中两类非线性方
程组的完全解[J]. 西安电子科技大学学报:自然科学版, 2005, 32(1) :71-74
[5] 郭仁生. 机械工程设计分析和M AT L AB 应用[M ].
北京:机械工业出版社, 2008
[6] 高会生, 李新叶, 胡志奇. M A T L AB 原理与工程应
用[M ].2版. 北京:电子工业出版社, 2006
[7] 周品, 何正风. M A T L A B 数值分析[M ].北京:机械
工业出版社, 2009
[8] 雷培, 刘云霞. 基于M AT LA B 的四连杆机构运动分
析[J]. 机械工程与自动化, 2009(4) :74-76
第32卷第3期 长春工业大学学报(自然科学版) Vo l 32N o. 3基于M AT LA B 的平面五连杆机构
的运动学分析
王锡霖, 严日明, 李 举, 许文艺
(中国地质大学(武汉) 机械与电子信息学院, 湖北武汉 430074)
摘 要:建立了平面五连杆机构的数学模型, 通过牛顿-辛普森方法求解三角函数非线性超越方程, 并利用MA TLAB 进行编程, 得到了连杆连续运动的位置、角速度、角加速度等参数。关键词:五连杆; 数学模型; MAT LAB; 超越方程
中图分类号:TP311. 1 文献标志码:A 文章编号:1674-1374(2011) 03-0273-05
Kinematic analysis of planar five -bar
mechanism based on MATLAB
WANG X-i lin, YAN R-i ming, LI Ju, XU Wen -yi
(M ech anical and E lectron ic In formation Academe, China University of Geosciences, Wu han 430074, China)
Abstract:T he mathematical m odel of the planar five -bar mechanism is established fir st and then the
tr ig onometric nonlinear transcendental equation is solv ed w ith New to n -Sim pson method. Based on MAT LAB, the positio n, velocity and acceler ation o f the bar are o btained. Key words:five -bar; mathematical m odel; MA TLAB; transcendental equation.
0 引 言
连杆机构的应用十分广泛, 在生产机械中应用连杆机构可以转变原动机的运动形式, 如插齿机中的曲柄滑块机构, 在蜘蛛仿生机械中的蜘蛛脚也是连杆机构, 还有诸如工业应用中的机械手的传动机构, 人造卫星的展开机构、人体假肢等都有广泛应用。对平面连杆机构的运动分析方法有矢量方程图解法和解析法等, 其中解析法又分为复数矢量法和矩阵法。矩阵法可以方便地运用标准计算程序或方程求解器等软件包来求解, 这里
只介绍矩阵法[1]。
1 五连杆机构运动的的数学模型
五连杆机构的结构简图如图1所示。 其中A B 长为l 1, 与固定机架AE 的夹角为 1; B C 长为l 2, 与水平方向的夹角为 2; CD 长为
3; D E 长为l 4; EF 长为l 4, l 3, 与水平方向夹角为
4; FA 长为l 1; 机架AE 长为与水平方向夹角为
l 5。杆件BF 为原动件, 角速度为 1, 做等角速度
运动。
收稿日期:2011-02-23
作者简介:王锡霖(1988-) , 男, 汉族, 福建泉州人, 主要从事机械设计方向研究, E -m ail:x ilinw an g@163. com.
274
长春工业大学学报(自然科学版) 第32卷
1. 1 位置分析
由于有五个杆, 因而需要有两个封闭式方程来表示该机构的数学模型[1]。由封闭形AB CD EA 与A EFA 得到的封闭矢量方程式为:
l 1+l 2=l 5+l 3+l 4
l 1=l 5+l 4
即
l 2-l 3-l 4=-l 1+l 5
-l 4+l 1=l 5
(1) (2)
图1 五连杆机构的结构简图
写成两个坐标方向上的投影式, 得到该机构
的位置方程:
l 2cos 2-l 3cos 3-l 4cos ( 4+180 ) =-l 1cos ( 1+180 ) +l 5l 2sin 2-l 3sin 3-l 4sin ( 4+180 ) =-l 1sin ( 1+180 )
-l 4cos 4+l 1cos 1=l 5
-l 4sin 4+l 1sin 1=0
1. 2 角速度分析[2]
用1. 1中得到的位置方程对时间求一次导数, 可得:
-l 2sin 2l 2cos 2
00
1. 3 加速度分析
用1. 2中得到的角速度方程式再求一次导数, 得:-l 2sin 2l 2cos 2
00
l 3sin 3-l 3cos 3
00
-l 4sin 4l 4cos 4
4l 4sin
l 3sin 3
00
l 4cos ( 4+180 )
l 4sin 4-l 4cos 4
00co s 1sin 1
2 3 4l 1
=
l 1sin ( 1+180 ) -l 1co s ( 1+180 )
l 1sin 1-l 1cos 1
-l 3cos 3-l 4co s ( 4+180 )
00
1cos
2 3
4
- 2l 2cos 2
=-00
3l 3cos 3
00
- 4l 4cos 4
4l 4cos 4
00
1sin 1-
2 3
4
- 2l 2sin 2- 3l 3sin 3- 4l 4sin 4
4l 4sin 4
+
-l 4sin 4
sin 1
l 1- 1cos 1l 1
1l 1co s 1
1
1 1l 1sin
1l 1cos 1+v sin 1
1+v co s 1 1l 1sin
式中:v 2 三角函数非线性超越方程的解法
前面得到的三组方程都是关于三角函数的非
线性超越方程, 求解的方法有多种, 这里用牛顿-
辛普森方法来求解。牛顿-辛普森方法是一种迭
代法, 它从某一个给定的初始向量开始不断地给以增量直到足够接近精确解。迭代增量是通过非线性方程的级数展开式计算求得, 接近精确解的程度就由数值精度要求来确定。求解过程中要用
第3期 王锡霖, 等:基于M A T L A B 的平面五连杆机构的运动学分析
275
到非线性方程的雅克比矩阵J 。
在MAT LAB 函数编写中用到了w hile 条件循环语句, 编写了名为rrr posi 的M 函数, 可以求解1. 1中的位置函数, 再利用fo r 循环语句得到随原动件BF 运动其它构件的位置图像 rrrposi 函数程序
functio n y =rr rposi(x) theta2=x(2) ; theta3=x(3) ; theta4=x(4) ; lA =x(10) %
epsilon=1. 0E-6; %
f=[x (6) *cos(theta2) -x(7) *cos(theta3) -x (8) *cos (pi+theta4) +x(5) *cos(x (1) +pi) -x(9) ;
x(6) *sin(theta2) -x (7) *sin(theta3) -x (8) *sin (theta4+pi) +x(5) *sin(x (1) +pi) ;
-x(11) *cos(theta4) +lA *cos(x (1) ) -x(9) ; -x(11) *sin(t heta4) +lA *sin(x(1) ) ]; %
while no rm(f) >epsilo n
J=[0-x (6) *sin(theta2) x (7) *sin(thet a3) -x (8) *sin(theta4) ;
0x (6) *cos(theta2) -x (7) *co s(theta3) x (8) *co s(theta4) ;
co s(x (1) ) 00x(11) *sin(theta4) ; sin(x(1) ) 00-x (11) *cos(theta4) ]; dth=inv(J) *(-1. 0*f) ; lA =lA+dth(1) ; theta2=theta2+dth(2) ; theta3=theta3+dth(3) ; theta4=theta4+dth(4) ;
f=[x (6) *cos(theta2) -x (7) *cos (theta3) -x (8) *co s(pi+theta4) +x(5) *cos(x (1) +pi) -x(9) ;
x(6) *sin(theta2) -x (7) *sin(thet a3) -x (8) *sin (theta4+pi) +x(5) *sin(x (1) +pi) ;
-x(11) *cos(theta4) +lA *cos(x (1) ) -x(9) ; -x(11) *sin(t heta4) +lA *sin(x(1) ) ]; no rm(f) ; end; y(1) =lA ; y(2) =t heta2; y(3) =t heta3; y(4) =t heta4;
[5]
[5-8]
[3-4]
x1=linspace(40*pi/180, 55*pi/180, 15) ; x=zero s(leng th(x1) , 11) ; for n=1:15
x(n, :) =[x 1(:, n) pi/68*pi/92*pi/[**************]]; end
p=zero s(leng th(x1) , 4) ; for k=1:15y=r rr po si(x (k, :) ) ; p(k, :) =y; end
。
如下:
这里限定B F 杆在40 ~55 范围内运动, 以
利于分析和建立图像。得到的P 矩阵见表1。
表1 P 矩阵
l 1/mm 93. 314991. 307189. 238787. 107684. 911382. 646380. 308677. 893175. 393072. 799870. 101967. 283364. 321761. 183557. 8153
2/(r ad/s) 0. 71630. 70450. 69290. 68150. 67030. 65920. 64820. 63720. 62630. 61540. 60430. 59300. 58120. 56870. 5551
3/(rad/s) 2. 54552. 56172. 57862. 59632. 61472. 63392. 65392. 67472. 69652. 71922. 74312. 76832. 79502. 82372. 8549
4/(rad/s) 1. 54611. 59021. 63471. 67961. 72501. 77091. 81741. 86461. 91261. 96162. 01182. 06352. 11692. 17282. 2319
同样利用这个步骤中求得的各个未知数的解, 再利用牛顿-辛普森方法对角速度方程组进行求解, 之后再对加速度方程组进行求解。
3 输出图像
输出各个杆的角位置图像, 程序如下:
plot(x1, p(:, 2) , ' --' , x1, p(:, 3) , ' :' , x 1, p(:, 4) , ' *' ) title(' 角位置' ) ; xlabel(' \theta1/r ad' ) ;
ylabel(' \theta2、\theta3、\theta4/rad' ) ;
接下来在M ATLAB 命令窗口中运行如下程
序F 输出图像如图2所示。
276
长春工业大学学报(自然科学版) 第32卷
图3所示。
输出各个杆的角速度图像如图4
所示。
图5
滑块速度图像
图2 角位置
图像
图6
角加速度图像
图3 A F
长度的变化图像
图7 滑块运动加速度
图4 各杆角速度图像
4 结 语
对平面正弦连杆机构进行动力分析, 并且依据其数学模型运用M ATLAB 编程, 绘制出了曲柄在连续360 的运动过程中各个运动副变化规, 滑块速度图像如图5所示。
各个杆的角加速度图像如图6所示。 滑块的加速度图像如图7
所示。
第3期 王锡霖, 等:基于M A T L A B 的平面五连杆机构的运动学分析
277
中力与位置的关系直观易懂, 对实际设计有一定指导意义。参考文献:
[1] 孙恒, 陈作模, 葛文杰. 机械原理[M ]. 北京:高等教
育出版社, 2006
[2] 同济大学数学系. 线性代数[M ].北京:高等教育出
版社, 2009
[3] 曲秀全. 基于M A T L A B/Simulink 平面连杆机构的
动态仿真[M ]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2007
[4] 李团结, 贾建援, 胡雪梅. 机械工程中两类非线性方
程组的完全解[J]. 西安电子科技大学学报:自然科学版, 2005, 32(1) :71-74
[5] 郭仁生. 机械工程设计分析和M AT L AB 应用[M ].
北京:机械工业出版社, 2008
[6] 高会生, 李新叶, 胡志奇. M A T L AB 原理与工程应
用[M ].2版. 北京:电子工业出版社, 2006
[7] 周品, 何正风. M A T L A B 数值分析[M ].北京:机械
工业出版社, 2009
[8] 雷培, 刘云霞. 基于M AT LA B 的四连杆机构运动分
析[J]. 机械工程与自动化, 2009(4) :74-76