指数与指数幂的运算
一:教学目标 (一)知识目标
(1)理解根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算。 (2)理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 (二)能力目标
(1)学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力. (2)让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. (3)训练学生思维的灵活性 (三)德育目标
(1)激发学生自主学习的兴趣 (2)养成良好的学习习惯
二:教学的重,难点及教学设计 (一)教学重点
重点是 次方根的概念及其取值规律。 (二)教学难点
分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 (三)教学设计要点 1. 情景设计
引入国民生产总值的计算问题和生物体内C 的变化规律问题,设置出问题情景,通过将实际问题转化为数学模型,激发学生的学习动机,让学生更积极地去接受新知识,由此引入新课。
2. 教学内容的处理
(1)复习引入整数指数的基本知识。
(2)补充一组理解指数幂运算练习(用幻灯片展示)
(3)在分数指数部分多一些练习,强化学生对分数指数的理解。 3. 教学方法
独立探索,合作交流与教师引导相结合
三:教具准备
幻灯片,粉笔,投影仪等 四:教学过程
(一)创设问题情景引入新课(预计5分钟) 1:问题情景
据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年,我国GDP (国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%,那么,在2001~2020年,各年的GDP 可望为2000年的多少倍
2:学生根据已有的经验和知识独立探究,教师巡视,进行个别指导
3:老师在黑板上列出第一年到第四年,引导学生观察,比较,概括,并找同学说明自己的想法。
4:引入新课。
揭示课题:指数与指数幂的运算 (二)复习整数指数幂
指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义。
.然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定
义,分别写出
及
,同时追问这里
的由
来。最后用幻灯片打出整数指数幂的意义和性质
1. 整数指数幂:a n =a·a·a···a (n∈N +)
a 0=1(a≠0); a -n =1/an (a≠0, n∈N+)
2. 整数指数幂有下面运算性质:
(1) a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Z ) (2) a m ÷a n =a m -n (m , n ∈Z ) m n mn
(3)(a ) =a (m , n ∈Z ) (4)(a ⋅b ) n =a n ⋅b n (n ∈Z )
n
a a n
(5)() =n (n ∈Z )
b b
(三)层层递进,探索新知(预计25分钟)
1:由简单的根式入手,讲解并探索N 次方根的形式 2:让学生留意正负号的区别。 的 次方根的取值规律:
先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的,所以应对 分奇偶情况讨论
当 为奇数时,再问学生 的 次方根是个什么样的数,与谁有关,再提出对 的正负的讨论,从而明确分类讨论的标准,按 的正负分为三种情况. Ⅰ当 为奇数时
a>0时 , 的
次方根为一个正数; a
的 次方根为零.
当奇数情况讨论完之后,再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论,再由学生总结归纳 Ⅱ当 为偶数时
a>0 a
时 ,
的 次方根为两个互为相反数的数; 时 ,
的 次方根不存在;
a =0时 ,
的 次方根为零.
对于这个规律的总结,还可以先看 的正负,再分 的奇偶,换个角度加深理解.
注意点:0的任何次方根都是0
3:基本练习,加深对概念的理解(幻灯片展示) 求下列各式的值 (1)(2) (3)(4)a >b )
评讲练习,强化对根式运算的应用与理解 4:分数指数幂
让学生思考:当根式有意义时, 根式能否写成指数幂的形式?如:
=a 2=a
4
=a
105
=c
54
即得到正数的正分数指数幂的形式。 正数的负分数指数幂的意义是:
m -1* a n =a >0, m , n ∈N , 且n >1m
a n
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
a n =a a >0, m , n ∈N , 且n >1
(a>0,b>0,c>0)
让学生探索并得到更广泛的情况: m
*m
=a
12
3
()
()
r s r+s(1)aa =a(a>0,r,s∈Q) r s rs
(2)(a) =a(a>0,r,s∈Q) r r r
(3)(ab)=ab (a>0,b>0, r,∈Q)
课堂练习:判断题(幻灯片展示)
(
1)=-2
(
3)=2
5
(); (
2)(); (4)
(); (6)
=-2
(); ();
4
=-5
(5)n
=b
2
=b
();
( )
(7)
(); (8)找八名同学上前面作答,其他同学在下面做
讲评练习,强调学生易错的地方 (四)小结(预计15分钟) 引导学生按下面的思路进行小结 1:这堂课的主要内容是什么?
2:做指数运算时有什么需要注意的地方?
这节课我们学习了指数幂的定义,性质以及一些运算。在学习中,我们应当逐步深入,领悟从整数到根式再到分数的导出过程,理解由特殊到一般的研究方 法,在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。 (五)布置作业
指数与指数幂的运算
一:教学目标 (一)知识目标
(1)理解根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算。 (2)理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 (二)能力目标
(1)学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力. (2)让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. (3)训练学生思维的灵活性 (三)德育目标
(1)激发学生自主学习的兴趣 (2)养成良好的学习习惯
二:教学的重,难点及教学设计 (一)教学重点
重点是 次方根的概念及其取值规律。 (二)教学难点
分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 (三)教学设计要点 1. 情景设计
引入国民生产总值的计算问题和生物体内C 的变化规律问题,设置出问题情景,通过将实际问题转化为数学模型,激发学生的学习动机,让学生更积极地去接受新知识,由此引入新课。
2. 教学内容的处理
(1)复习引入整数指数的基本知识。
(2)补充一组理解指数幂运算练习(用幻灯片展示)
(3)在分数指数部分多一些练习,强化学生对分数指数的理解。 3. 教学方法
独立探索,合作交流与教师引导相结合
三:教具准备
幻灯片,粉笔,投影仪等 四:教学过程
(一)创设问题情景引入新课(预计5分钟) 1:问题情景
据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年,我国GDP (国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%,那么,在2001~2020年,各年的GDP 可望为2000年的多少倍
2:学生根据已有的经验和知识独立探究,教师巡视,进行个别指导
3:老师在黑板上列出第一年到第四年,引导学生观察,比较,概括,并找同学说明自己的想法。
4:引入新课。
揭示课题:指数与指数幂的运算 (二)复习整数指数幂
指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义。
.然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定
义,分别写出
及
,同时追问这里
的由
来。最后用幻灯片打出整数指数幂的意义和性质
1. 整数指数幂:a n =a·a·a···a (n∈N +)
a 0=1(a≠0); a -n =1/an (a≠0, n∈N+)
2. 整数指数幂有下面运算性质:
(1) a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Z ) (2) a m ÷a n =a m -n (m , n ∈Z ) m n mn
(3)(a ) =a (m , n ∈Z ) (4)(a ⋅b ) n =a n ⋅b n (n ∈Z )
n
a a n
(5)() =n (n ∈Z )
b b
(三)层层递进,探索新知(预计25分钟)
1:由简单的根式入手,讲解并探索N 次方根的形式 2:让学生留意正负号的区别。 的 次方根的取值规律:
先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的,所以应对 分奇偶情况讨论
当 为奇数时,再问学生 的 次方根是个什么样的数,与谁有关,再提出对 的正负的讨论,从而明确分类讨论的标准,按 的正负分为三种情况. Ⅰ当 为奇数时
a>0时 , 的
次方根为一个正数; a
的 次方根为零.
当奇数情况讨论完之后,再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论,再由学生总结归纳 Ⅱ当 为偶数时
a>0 a
时 ,
的 次方根为两个互为相反数的数; 时 ,
的 次方根不存在;
a =0时 ,
的 次方根为零.
对于这个规律的总结,还可以先看 的正负,再分 的奇偶,换个角度加深理解.
注意点:0的任何次方根都是0
3:基本练习,加深对概念的理解(幻灯片展示) 求下列各式的值 (1)(2) (3)(4)a >b )
评讲练习,强化对根式运算的应用与理解 4:分数指数幂
让学生思考:当根式有意义时, 根式能否写成指数幂的形式?如:
=a 2=a
4
=a
105
=c
54
即得到正数的正分数指数幂的形式。 正数的负分数指数幂的意义是:
m -1* a n =a >0, m , n ∈N , 且n >1m
a n
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
a n =a a >0, m , n ∈N , 且n >1
(a>0,b>0,c>0)
让学生探索并得到更广泛的情况: m
*m
=a
12
3
()
()
r s r+s(1)aa =a(a>0,r,s∈Q) r s rs
(2)(a) =a(a>0,r,s∈Q) r r r
(3)(ab)=ab (a>0,b>0, r,∈Q)
课堂练习:判断题(幻灯片展示)
(
1)=-2
(
3)=2
5
(); (
2)(); (4)
(); (6)
=-2
(); ();
4
=-5
(5)n
=b
2
=b
();
( )
(7)
(); (8)找八名同学上前面作答,其他同学在下面做
讲评练习,强调学生易错的地方 (四)小结(预计15分钟) 引导学生按下面的思路进行小结 1:这堂课的主要内容是什么?
2:做指数运算时有什么需要注意的地方?
这节课我们学习了指数幂的定义,性质以及一些运算。在学习中,我们应当逐步深入,领悟从整数到根式再到分数的导出过程,理解由特殊到一般的研究方 法,在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。 (五)布置作业