正数和负数 数轴 绝对值
一、知识概述
（一）正数和负数
1、负数的意义
负数是由实际的需要而产生的，如：某地气温是8℃，由于强冷空气南下，气温下降了12℃，则该地区这时的实际气温是(8－12) ℃，但在算术中这个差是不存在的，实际上这个气温是客观存在的，为了解决这个“不够减”的矛盾，引入一个新数——负数，即(8－12) ℃=－4℃，表示零下4℃．
2、相反意义的量与正数
为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负，正的量记为“＋”，如＋6，＋2.5，„叫正数；负的量记做“－”，像－4，－6这类带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数，是正数与负数的界限，规定零是最小的自然数.
自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．
3、有理数的分类
（1）有理数
（2）有理数
4、字母a 的意义
用字母a 表示有理数时：
（1）a>0时，a 表示正数，－a 表示负数；
（2）a
（3）a ≥0时，a 表示非负数.
（二）相反数
1、相反数的意义
（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0.
（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
（3）相反数的性质：若a 、b 两数互为相反数，则a ＋b ＝0，反之也成立.
（4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a 的相反数是－a.
2、多重符号的化简
化简带有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数，按由内到
外的顺序去括号，如：－[－(－3)]=－(＋3)=－3.
（三）数轴
1、数轴的意义
数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可．
2、数轴的画法
画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示0，规定这条直线上从原点向右的方向（以箭头表示）为正方向，相反的方向（即从原点向左的方向）为负方向，选取某一长度作为单位长度，就得到了如图所示的数轴（number axis）.
（四）绝对值
1、绝对值的意义：一个数a 的绝对值，就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.
（1）绝对值的代数意义是一个正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示的是这个数离开原点的距离，记做|a|，离原点越远，数的绝对值越大.
（3）绝对值是非负数，即|a|≥0. 互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|－a|.
2、绝对值的求法：在处理绝对值符号时，应首先确定绝对值里面的数的正、负性，若是非负数，则直接去掉绝对值符号；若是负数，则去掉绝对值符号后，前面加负号，即
（1）
或 （2）
有理数的大小比较 有理数的加法
一、知识概述
在学习数轴、相反数、绝对值的基础上进一步巩固这些重要概念；利用数轴进行两个或两个以上的有理数的大小比较．
从实际问题探究两个有理数的加法得到有理数的加法法则并会熟练运用．
二、重点知识归纳及讲解
1、利用数轴比较有理数的大小
数轴是我们进初中以后学到的一个重要概念，我们知道有理数均可以用数轴上的点来表示，结合数轴，还可以更深刻地理解相反数的意义：从数轴上看，在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数，其中包含着0的相反数是0的道理．一个数的绝对值的意义，更离不开“数轴”这个工具，我们知道在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，因为距离是正数或0，所以有理数的绝对值是非负数，即|a|≥0，利用数轴可以表示相
反数和绝对值的几何意义．
我们知道，在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大，因此，有理数大小比较的法则是：
①正数都大于零, 负数都小于零, 正数大于一切负数;
②两个正数, 绝对值大的数大;
③两个负数, 绝对值大的数反而小.
2、有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
（3）一个数与0相加，仍得这个数．
3、有理数加法步骤分两步：
第一步，确定和的符号；
第二步，求和的绝对值.
4、利用加法交换律和结合律可以简化计算，通常有以下几种结合的方法：
（1）同号的数放在一起相加；
（2）互为相反数的两个数放在一起；
（3）同分母的分数放在一起；
（4）和为整数的数在一起相加．
5、加法的交换律：a ＋b=b＋a
加法的结合律：(a＋b) ＋c=a＋(b＋c)
有理数的减法及加减混合运算
一、知识概述
1、有理数的减法
（1）有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数. 这个法则用式子可以表示为a －b=a＋(－b).
（2）有理数的减法运算
有理数的减法，不像算术里那样直接相减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算. 因此，掌握有理数减法的关键是正确地将减法转变为加法. 再按有理数的加法法则计算. 注意两个“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数），牢记一个“不变”，被减数与减数的位置不能交换，也就是说，减法没有交换律．
2、有理数的加减混合运算
（1）代数和：几个正数或负数的和称代数和，是在代数和里把加号及加号前的括号省去不写的简写形式，简写后的代数和的符号都
是性质符号，而运算符号“＋”均已省略. 如－5－2＋3－5实际表示－5，－2，＋3，－5的和.
（2）有理数加减混合运算的步骤：首先变减为加，再写成省略加号的形式，然后利用加法交换律和结合律简化计算.
（3）使用加法交换律交换数的位置时，要连同数前面的符号一起交换．
（4）利用交换律的结合律进行简化计算时应遵循几条法则： ①正数和负数分别结合相加；
②分母相同或易于通分的分数结合相加；
③和为整数的结合相加；
④互为相反数的结合相加.
二、重难点知识
1、重点：
（1）能用有理数的减法法则进行减法运算；
（2）能正确将加减混合运算统一成加法运算.
做加减混合运算时要注意：
①先统一成加法； ②省略括号；③分类相加．
2、难点：在加减混合运算中能正确地运用运算律进行简便运算.
有理数的乘法和除法
一、知识概述
（一）有理数乘法的法则及运算律
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零.
几个有理数相乘的符号确定：
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有一因数为零，积就为零.
2、乘法运算律
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即ab=ba.
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 即(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与两个数相乘，再把积相加. 即a(b＋c)=ab＋ac.
（二）有理数的除法法则
1、有理数的除法法则
法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0；
法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，0不能作除数．
2、倒数的意义
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数，0没有倒数.
倒数的求法：
（1）求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a 的倒数为.
（2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为.
（3）求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数.
（4）求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，再求倒数.
二、重点知识归纳及讲解
1、有理数乘法法则是重点，要准确而熟练地运用.
乘法运算时，先确定积的符号，特别是确定几个因式乘积的符号，然后再把各因式的绝对值相乘. 带分数参与乘法运算时，要把带分数化成假分数. 乘法的交换律、结合律、分配律在有理数的运算中应用非常广泛，对简便运算起很大作用要灵活运用.
2、有理数的除法，给出了两种形式的法则，用不同的法则计算，所得的商是相同的，但一般情况下，如果不能整除的，则选用“转化”的法则，即把除法转化为乘法来计算，能整除的就直接用除法法则计算较简便，熟练运用除法法则计算也是重点.
3、正确理解倒数的意义.
（1）乘积为1的两个数互为倒数；
（2）如果两个数互为倒数，那么它们符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
（3）倒数等于本身的数是±1.
有理数的乘方 有理数的混合运算
一、知识概述
1、有理数的乘方
一般地，n 个相同的因数a 相乘，
即． ， 这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方（power ）．乘方的结果叫做幂（power ）．在中，a 叫做底数(base number)，n 叫做指数(exponent)，an 读作a 的n 次幂(或a 的n 次方) ．
指数为1时可以省略不写．
2、乘方的性质
（1）正数的任何次幂都是正数．即当a>0时，>0（n 为正整数）；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
即当a
（3）0的任何非零次幂都是0；
即当a=0时，=0（n 为正整数）；
（4）1的任何次幂为1，－1的偶次幂为1，－1的奇次幂为－1.
（5）任何数a 的偶次幂为非负数. 即≥0，（n 为正整数，a 为有理数）.
（6）=（n 为正整数）；=（n 为正整数）.
3、有理数混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减．
如果有括号，先算括号里面的．
二、重点、难点和疑点
1．重点：有理数的乘方运算
2．难点：有理数乘方运算的符号法则
3．疑点：
①乘方和幂的区别． ②与的区别．
表示a 的n 次方的相反数． 表示－a 的n 次方，
有理数小结
一、 本章知识结构
11
12
正数和负数 数轴 绝对值
一、知识概述
（一）正数和负数
1、负数的意义
负数是由实际的需要而产生的，如：某地气温是8℃，由于强冷空气南下，气温下降了12℃，则该地区这时的实际气温是(8－12) ℃，但在算术中这个差是不存在的，实际上这个气温是客观存在的，为了解决这个“不够减”的矛盾，引入一个新数——负数，即(8－12) ℃=－4℃，表示零下4℃．
2、相反意义的量与正数
为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负，正的量记为“＋”，如＋6，＋2.5，„叫正数；负的量记做“－”，像－4，－6这类带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数，是正数与负数的界限，规定零是最小的自然数.
自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．
3、有理数的分类
（1）有理数
（2）有理数
4、字母a 的意义
用字母a 表示有理数时：
（1）a>0时，a 表示正数，－a 表示负数；
（2）a
（3）a ≥0时，a 表示非负数.
（二）相反数
1、相反数的意义
（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0.
（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
（3）相反数的性质：若a 、b 两数互为相反数，则a ＋b ＝0，反之也成立.
（4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a 的相反数是－a.
2、多重符号的化简
化简带有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数，按由内到
外的顺序去括号，如：－[－(－3)]=－(＋3)=－3.
（三）数轴
1、数轴的意义
数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可．
2、数轴的画法
画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示0，规定这条直线上从原点向右的方向（以箭头表示）为正方向，相反的方向（即从原点向左的方向）为负方向，选取某一长度作为单位长度，就得到了如图所示的数轴（number axis）.
（四）绝对值
1、绝对值的意义：一个数a 的绝对值，就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.
（1）绝对值的代数意义是一个正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示的是这个数离开原点的距离，记做|a|，离原点越远，数的绝对值越大.
（3）绝对值是非负数，即|a|≥0. 互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|－a|.
2、绝对值的求法：在处理绝对值符号时，应首先确定绝对值里面的数的正、负性，若是非负数，则直接去掉绝对值符号；若是负数，则去掉绝对值符号后，前面加负号，即
（1）
或 （2）
有理数的大小比较 有理数的加法
一、知识概述
在学习数轴、相反数、绝对值的基础上进一步巩固这些重要概念；利用数轴进行两个或两个以上的有理数的大小比较．
从实际问题探究两个有理数的加法得到有理数的加法法则并会熟练运用．
二、重点知识归纳及讲解
1、利用数轴比较有理数的大小
数轴是我们进初中以后学到的一个重要概念，我们知道有理数均可以用数轴上的点来表示，结合数轴，还可以更深刻地理解相反数的意义：从数轴上看，在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数，其中包含着0的相反数是0的道理．一个数的绝对值的意义，更离不开“数轴”这个工具，我们知道在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，因为距离是正数或0，所以有理数的绝对值是非负数，即|a|≥0，利用数轴可以表示相
反数和绝对值的几何意义．
我们知道，在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大，因此，有理数大小比较的法则是：
①正数都大于零, 负数都小于零, 正数大于一切负数;
②两个正数, 绝对值大的数大;
③两个负数, 绝对值大的数反而小.
2、有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
（3）一个数与0相加，仍得这个数．
3、有理数加法步骤分两步：
第一步，确定和的符号；
第二步，求和的绝对值.
4、利用加法交换律和结合律可以简化计算，通常有以下几种结合的方法：
（1）同号的数放在一起相加；
（2）互为相反数的两个数放在一起；
（3）同分母的分数放在一起；
（4）和为整数的数在一起相加．
5、加法的交换律：a ＋b=b＋a
加法的结合律：(a＋b) ＋c=a＋(b＋c)
有理数的减法及加减混合运算
一、知识概述
1、有理数的减法
（1）有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数. 这个法则用式子可以表示为a －b=a＋(－b).
（2）有理数的减法运算
有理数的减法，不像算术里那样直接相减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算. 因此，掌握有理数减法的关键是正确地将减法转变为加法. 再按有理数的加法法则计算. 注意两个“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数），牢记一个“不变”，被减数与减数的位置不能交换，也就是说，减法没有交换律．
2、有理数的加减混合运算
（1）代数和：几个正数或负数的和称代数和，是在代数和里把加号及加号前的括号省去不写的简写形式，简写后的代数和的符号都
是性质符号，而运算符号“＋”均已省略. 如－5－2＋3－5实际表示－5，－2，＋3，－5的和.
（2）有理数加减混合运算的步骤：首先变减为加，再写成省略加号的形式，然后利用加法交换律和结合律简化计算.
（3）使用加法交换律交换数的位置时，要连同数前面的符号一起交换．
（4）利用交换律的结合律进行简化计算时应遵循几条法则： ①正数和负数分别结合相加；
②分母相同或易于通分的分数结合相加；
③和为整数的结合相加；
④互为相反数的结合相加.
二、重难点知识
1、重点：
（1）能用有理数的减法法则进行减法运算；
（2）能正确将加减混合运算统一成加法运算.
做加减混合运算时要注意：
①先统一成加法； ②省略括号；③分类相加．
2、难点：在加减混合运算中能正确地运用运算律进行简便运算.
有理数的乘法和除法
一、知识概述
（一）有理数乘法的法则及运算律
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零.
几个有理数相乘的符号确定：
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有一因数为零，积就为零.
2、乘法运算律
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即ab=ba.
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 即(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与两个数相乘，再把积相加. 即a(b＋c)=ab＋ac.
（二）有理数的除法法则
1、有理数的除法法则
法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0；
法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，0不能作除数．
2、倒数的意义
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数，0没有倒数.
倒数的求法：
（1）求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a 的倒数为.
（2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为.
（3）求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数.
（4）求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，再求倒数.
二、重点知识归纳及讲解
1、有理数乘法法则是重点，要准确而熟练地运用.
乘法运算时，先确定积的符号，特别是确定几个因式乘积的符号，然后再把各因式的绝对值相乘. 带分数参与乘法运算时，要把带分数化成假分数. 乘法的交换律、结合律、分配律在有理数的运算中应用非常广泛，对简便运算起很大作用要灵活运用.
2、有理数的除法，给出了两种形式的法则，用不同的法则计算，所得的商是相同的，但一般情况下，如果不能整除的，则选用“转化”的法则，即把除法转化为乘法来计算，能整除的就直接用除法法则计算较简便，熟练运用除法法则计算也是重点.
3、正确理解倒数的意义.
（1）乘积为1的两个数互为倒数；
（2）如果两个数互为倒数，那么它们符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
（3）倒数等于本身的数是±1.
有理数的乘方 有理数的混合运算
一、知识概述
1、有理数的乘方
一般地，n 个相同的因数a 相乘，
即． ， 这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方（power ）．乘方的结果叫做幂（power ）．在中，a 叫做底数(base number)，n 叫做指数(exponent)，an 读作a 的n 次幂(或a 的n 次方) ．
指数为1时可以省略不写．
2、乘方的性质
（1）正数的任何次幂都是正数．即当a>0时，>0（n 为正整数）；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
即当a
（3）0的任何非零次幂都是0；
即当a=0时，=0（n 为正整数）；
（4）1的任何次幂为1，－1的偶次幂为1，－1的奇次幂为－1.
（5）任何数a 的偶次幂为非负数. 即≥0，（n 为正整数，a 为有理数）.
（6）=（n 为正整数）；=（n 为正整数）.
3、有理数混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减．
如果有括号，先算括号里面的．
二、重点、难点和疑点
1．重点：有理数的乘方运算
2．难点：有理数乘方运算的符号法则
3．疑点：
①乘方和幂的区别． ②与的区别．
表示a 的n 次方的相反数． 表示－a 的n 次方，
有理数小结
一、 本章知识结构
11
12