简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结：
1、 由球的定义确定球心
（1） 长方体或正方体的外接球的球心是其对角线的中点。
（2） 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心连接的中点
（3） 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点
（4） 正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算
得到。
2、 构造长方体或正方体确定球心
（1） 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角的三棱锥
（2） 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥
（3） 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。
3、 由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1,的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
4、 与正方体相关的三类球.
设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径. 解：（1）截面图为正方形EFGH的内切球，得R=a；，图1 2
（2）正方体的外接球；正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得,圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得R=A1O=3a.图2 2
(3)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R=2a.图3 2
图1 图2 图3
二、典型例题
1、已知点P、A、B、C、D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，若PA=26，则球的体积_______________；
2、已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则P到面ABC的距离是________________：
3、球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=则球O的体积等于__________________。
4、若底面边长为2的正四棱锥P-ABCD的斜高为5，求此正四棱锥外接球的体积
. ,
**5、正四面体ABCD外接球的体积为4π，求该四面体的体积_____________.
6、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_______________。
7、三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=2,∆ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________________ .
8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该刘棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为______________； 8
9、在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60，E为AB的中点，将∆ADE
与∆BEC分别沿ED,EC向上折起，使A,B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为多少？
10、已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的外接球的表面积是_______________。
4 a 8
4
8 8 a
正视图 侧视图 俯视图
检测题：
1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为_______________
2.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视
图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，
则该球的表面积是____________。
3．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1=___________________ S2
4．四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E,F分别是棱AB,CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为（ ）
a
P a
a a 正视图 a 侧视图 a 俯视图
5．A2013年6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放
在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 (
)
P
5．广东省四校（文）：12. 某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体外接球的表面积为( )
A. 32π B. 64π C. 128π D.136π
6、广东省六校（理）：11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A
．B．3 427 C． 3 4D． 3
7．A2013年8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
8．2011（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC
=则棱锥O-ABCD的体积为_____________
．
答案：1、322、93987216π23、π4、R=,V=π)5、，6、πa，7、 2233233
8、4π，9、π，10、164π 38
1363 2、12π 3、 4、12π 5、A 6、C 7、C 2π检测题：1、
8、A 9
、
简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结：
1、 由球的定义确定球心
（1） 长方体或正方体的外接球的球心是其对角线的中点。
（2） 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心连接的中点
（3） 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点
（4） 正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算
得到。
2、 构造长方体或正方体确定球心
（1） 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角的三棱锥
（2） 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥
（3） 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。
3、 由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1,的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
4、 与正方体相关的三类球.
设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径. 解：（1）截面图为正方形EFGH的内切球，得R=a；，图1 2
（2）正方体的外接球；正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得,圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得R=A1O=3a.图2 2
(3)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R=2a.图3 2
图1 图2 图3
二、典型例题
1、已知点P、A、B、C、D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，若PA=26，则球的体积_______________；
2、已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则P到面ABC的距离是________________：
3、球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=则球O的体积等于__________________。
4、若底面边长为2的正四棱锥P-ABCD的斜高为5，求此正四棱锥外接球的体积
. ,
**5、正四面体ABCD外接球的体积为4π，求该四面体的体积_____________.
6、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_______________。
7、三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=2,∆ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________________ .
8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该刘棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为______________； 8
9、在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60，E为AB的中点，将∆ADE
与∆BEC分别沿ED,EC向上折起，使A,B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为多少？
10、已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的外接球的表面积是_______________。
4 a 8
4
8 8 a
正视图 侧视图 俯视图
检测题：
1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为_______________
2.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视
图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，
则该球的表面积是____________。
3．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1=___________________ S2
4．四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E,F分别是棱AB,CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为（ ）
a
P a
a a 正视图 a 侧视图 a 俯视图
5．A2013年6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放
在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 (
)
P
5．广东省四校（文）：12. 某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体外接球的表面积为( )
A. 32π B. 64π C. 128π D.136π
6、广东省六校（理）：11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A
．B．3 427 C． 3 4D． 3
7．A2013年8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
8．2011（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC
=则棱锥O-ABCD的体积为_____________
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答案：1、322、93987216π23、π4、R=,V=π)5、，6、πa，7、 2233233
8、4π，9、π，10、164π 38
1363 2、12π 3、 4、12π 5、A 6、C 7、C 2π检测题：1、
8、A 9
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