第四章 线性系统的根轨迹法
一、教学目的与要求：
本章讲述用闭环系统的特征根随系统参数变化的轨迹，来分析控制系统的特性，因此要求学生要掌握根轨迹作图方法的规则，并熟练运用这些规则绘制控制系统的根轨迹图。要让学生会利用根轨迹图分析系统的稳定性、动态特性、稳态特性。掌握怎样改善系统性能的方法。着重讨论根轨迹图的绘制，明确闭环传递函数极点与瞬态响应的关系，了解改变开环增益，增加开环传递函数零、极点对系统质量的影响。
二、授课主要内容：
1． 根轨迹法的基本概念
1）闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
2）根轨迹方程
2． 根轨迹绘制的基本法则
3． 广义根轨迹
1） 参数根轨迹
2） 零度根轨迹
4． 系统性能的分析
（详细内容见讲稿）
三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）
（1）重点掌握的内容
1）熟练运用常规根轨迹的绘制法则。
2）熟练运用零度根轨迹的绘制法则。
3）正确理解单输入-单输出系统闭环零、极点和开环零极点与常规根轨迹的关系。
（2）一般掌握的内容
1）根轨迹上估计控制系统的性能。
2）广义根轨迹的概念。
3）偶极子、可略零极点的概念，主导极点的概念。
（3）一般了解的内容： 根轨迹法则的证明推导过程。
四、主要外语词汇
根轨迹 root-locus
特征方程 characteristic equation
分离点 breakaway point
闭环极点 closed-loop poles
幅角条件 angle condition
模值条件 magnitude condition
实轴 real axis
虚轴 imaginary axis
五、辅助教学情况（见课件）
六、复习思考题
1. 什么是根轨迹? 它有什么主要性质？如何把握根轨迹作图？
2. 利用图解法绘制根轨迹的8个规则是什么?
3. 在根轨迹作图中，确定渐近线和分离点附近的根轨迹很关键，如何理解有关它们的计算公式？
4. 如何绘制零度根轨迹？
5. 如何绘制参数根轨迹？
6. 控制系统的质量指标在根平面上该怎样表示?
7. 什么是闭环主导极点？为什么可以用主导极点来估算闭环系统的质量？
8. 闭环极点为实根时响应曲线的形状如何？有共轭复根时响应曲线的形状如何？
9. 开环零、极点的变化对控制系统的质量有什么影响？
10. 增加系统的开环零点（开环极点）对系统的性能有何影响？
七、参考教材（资料）
1．《现代控制工程》 绪方胜彦著（卢伯英 佟明安 罗维铭 译） 科学出版社
参考该书第四章有关内容。
2．《自动控制原理》 天津大学 李光泉 主编 机械工业出版社
参考该书第四章有关内容。
八、讲稿
第四章 线性系统的根轨迹法
根轨迹法的基本概念
根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便，特别在进行多回路系统的分析时，应用根轨迹法比用其它方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件和模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系统的根轨迹。
1，根轨迹概念
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系
统特征方程式在s 平面上变化的轨迹。
当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为闭环极点。因此，从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求取闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。当特征方程的阶数高于四阶时，求根过程是比较复杂的。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程式根的影响，就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。1948年，W ．R ．伊文思在“控制系统的图解分析”一文中提出了根轨迹法。当开环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定。因为系统的稳定性由系统闭环极点惟一确定，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在5平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。除此而外，用根轨迹法求解高阶代数方程的根，比用其它近似求根法简便。
为了具体说明根轨迹的概念，设控制系统如图4-1所示，其闭环传递函数为： φ(s ) =C (s ) 2K 于是特征方程式可写为=2R (s ) s +2s +2K s2+2s +2k =0，显然，特征方程式的根是：s 1=-1+-2k s2=-1--2k
如果令开环增益K 从零变到无穷，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹箭头表示随着K 值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K 的数值。的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着K 值的增加，根轨逝的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应开环增益K 的数值.
2．根轨迹与系统性能
有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。下面以图4—2为例进行
说明：
(1)稳定性
当开环增益从零变到无穷时，图4—2上的根轨迹不会越过虚轴进入右半‘平面，因此图4—1系统对所有的K 值都是稳定的，这与我们在第3—4节所得出的结论完全相同。如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹有可能越过虚轴进入右半辈子s 平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。
（2）稳态性能。
由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I 型系统，因而根轨迹上的K 值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。下面将要指出，开环增益和根轨迹增益之间，仅相差一个比例常数，很容易进行换算。对于其它参数变化的根轨迹图，情况是类似的。
(3)动态性能
由图4—2可见，当0
为快；当K>o．5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随X 值的增大而加大，但调节时间的变化不会显著。上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统的根轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法，可以根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。
3．闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
由于开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。并由此导出根轨迹方程。设控制系统如图4-3所示，其闭环传递函数为φ(s)=G (s ) ，在一般情况下，前向通1+G (s ) H (s )
路传递函数G （s ）和反馈通路传递函数H （s ）可分别表示为。 22K G (τ1s +1)(τ2s +2ζ1τ2s +1)... G (s ) =ν22s (T 1s +1)(T 2s +2ζ2T 2s +1)...
f
=K *i =1
G q
i =1∏(s -z i ) ∏(s -p i )
*式中，K G 为前向通路增益；K G 为前向通路根轨迹增益，它们之间满足如下关系：
K =K G
l *G τ1τ22... T T ...
j 212
*以及 H (s ) =K H ∏(s -z j =1h ) ∏(s -p
j =1j )
*式中K H 为反馈通路根轨迹增益。于是，图4-3系统的开环传递函数可表示为
f l
G (s ) H (s ) =K *∏(s -z ) ∏(s -z i i =1
q j =1h
i
i =1j =1j ) j ∏(s -p ) ∏(s -p )
**式中，K *=K G ，称为开环系统根轨迹增益，它与开环增益K 之间的关系K H
类似于式（4-3），仅相差一个比例常数。对于有m 个开环零点和n 个开环极点的系统，必有f+l=m和q+h=n。将式（4-2）和（4-5）代入（4-1），得
K
Φ(s ) =n *G ∏(s -z ) ∏(s -p i i =1j =1*m
i
j =1f h j ) j ∏(s -p ) +K ∏(s -z i =1)
比较式(4—5) 和(4—6) ，可得以下结论：
1) 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭
环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。
2) 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数—的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
3) 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K *均有关. 根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式(4—6) 直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出。
4．根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。为了用图解法确定所有闭环极点，令闭环传递函数表达式(4—1) 的分母为零，得闭环系统特征方程
1+G (s ) H (s ) =0
由式（4-6）可见，当系统有m 个开环零点和n 个开环极点时，式(4-7)等价为
K *∏(s -z j =1
n
i =1m j ) =-1 ∏(s -p ) i
式中，z j 为已知的开环零点；p i 为已知的开环极点；K *从零变到无穷。我们把式(4—8) 称为根轨迹方程。根据式(4—8) ，可以画出K *当从零变到无穷时，系统的连续根轨迹。应当指出，只要闭环特征方程可以化成式(4—8) 形式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动地位的实参数，不限定是根轨迹增益K *，也可以是系统其它变化参数。但是，用式(4—8) 形式表达的开环零点
和开环极点，在s 平面上的位置必须是确定的，否则无法绘制根轨迹。此外，如果需要绘制一个以上参数变化时的根轨迹图，那么画出的不再是简单的根轨迹，而是根轨迹簇
根轨迹方程实质上是一个向量方程，直接使用很不方便。考虑到-1=1e j (2k +1) π; k =0, ±1, ±2,...
因此，根轨迹方程(4—8) 可用如下两个方程描述：
∑∠(s -z
j =1
n m j ) -∑∠(s -p i ) =(2k +1) π i =1n k =0, ±1, ±2,...
K =*∏s -p
∏s -z
j =1i =1m i j
方程(4—9) 和(4—lO) 是根轨迹上的点应该同时满足的两个条件，前者称
为相角条件；后者叫做模值条件。根据这两个条件，可以完全确定；平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K *值。应当指出，相角条件是确定s 平面上根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的K *值时，才使用模值条件。
4—2 根轨迹绘制的基本法则
本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。重点放在
基本法则的叙述和证明上。这些基本法则非常简单，熟练地掌握它们，对于分析和设计控制系统是非常有益的。
在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根轨迹增益K *，当可变参数
为系统的其它参数时，这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循180 +2kπ条件，因此称为180 根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做180 根轨迹的绘制法则。
1．绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零
点数m 和
有极限点数n 中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。
法则4 根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则5 根轨迹的分离点与分离角。两条或西条以上根轨迹分支在s 平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的解：
n 11 ∑ =∑d -z d -p j =1i =1j i m
式中，z j 为各开环零点的数值；扒为各开环极点的数值；分离角为(2k +1) πl 。
在证明本法则之前，需要介绍一下关于分离点的特性。因为根轨迹是对称的，所以根
轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间也至少有一个分离点。
法则6 根轨迹的起始角与终止角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以θp i ，标志；根轨迹进入开环复数零点处
的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以ϕz i 表示。
法则7 根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K *值和ω值可用劳思判据确定，也可令闭环特征方程中的s=jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。
法则8 根之和。系统的闭环特征方程在n>m的一般情况下，可以有不同形式的表示。
n n -1∏(s -p i ) +K ∏(s -z j ) =s +a 1s +... +a n -1s +a n
j =1n *m i =1
式中，s i 为闭环特征根当n-m ≥2时，特征方程第二项系数与K *无关，无论K *取
何值，开环n 个极点之总是等于闭环特征方程n 个根之和 ∑s i =∑p i
i =1i =1n n
在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益K 增大时，若闭环某些根在s 平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。
此法则对判断根轨迹的走向是很有用的。
4-3 广义根轨迹
在控制系统中，除根轨迹增益K *以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹系统的参数根轨迹，开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹，以及零度根轨迹等均可列入广义根轨迹这个范畴。通常，将负反馈系统中K *变化时的根轨迹叫做常规根轨迹
1. 参数根轨迹
以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别于以开环增益k 为可变参数的常规根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只要在绘制参数根之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，用于参数根轨迹的绘制。为此，需要对闭环特征方程1+G（s ）H(s)=0进行等效变换，将其写为如下形式： AP (s ) =-1
Q (s )
其中，A 为除K *外，系统任意的变化参数，而p(s)和Q(s)为两个与A 无关的首一多项式。显然，式(4—27) 应与式(4—26) 相等，即Q(s)+AP(s)＝1+G(s)H(s)＝0 根据式(4-28)，可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为G 1(s)H1(s)=AP (s ) Q (s )
利用式(4—29) 画出的根轨迹，就是参数A 变化时的参数根轨迹。需要强调指出，等效开环传递函数是根据式(4—28) 得来的，因此“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立, 而闭环零点一般是不同的。由于闭环零点对系统动态性能有影响，所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。这一处理方法和结论，对于绘制开环零极点变化时的根轨迹，同样适用。
2. 附加开环零点的作用设系统开环传递函数为 K *(s -z 1) G(s)H(s)=(4—35) 2s (s +2s +2)
式中，z 1为附加的开环实数零点，其值可在s 左半平面内任意选择。当z 1→∞时，表示有限零点z 1不存在的情况。
令z 1为不同数值，对应于式(4—35) 的闭环系统根轨迹如图4—22所示。由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点时，可使系统根轨迹向。左半平面方向弯曲，或者说，附加开环负实数零点，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点的作用完全相同。此外，根据图4—22，利用劳思判据的方法不难证明，当z 1
附加开环零点的目的，除了要求改善系统稳定性而外，还要求对系统的动态性能有明显改善。然而，稳定性和动态性能对附加开环零点位置的要求，有时并不一致。
3，零度根轨迹
如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹，因为其相角遵循0 +2kπ条件，而不是
180+2kπ条件，故一般称之为零度根轨迹。这里所谓的非最小相位系统，系指在；右半平面具有开环零点的控制系统，其定义和特性将在下一章详细介绍。此外，如果有必要绘制正反馈系统的根轨迹，那么也必然会产生0 +2kπ的相角条件。因此，一般说来，零度根轨迹的来源有两个方面：其一是非最小相位系统中包含s 最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈内回路。前者是由于被控对象，如飞机、导弹的本身特性所产生的，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂的控制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。
零度根轨迹的绘制方法，与常规根轨迹的绘制方法略有不同。以正反馈系统为例，设某个复杂控制系统如图4—24所示，其中内回路采用正反馈，这种
系统通常由外回路加以稳定。为了分析整个控制系统的性能，首先要确定内回路的零、极点。当用根轨迹法确定内回路的零、极点时，就相当于绘制正反馈系统的根轨迹。在图4—24中，正反馈内回路的闭环传递函数为C (s ) G (s ) =R (s ) 1-G (s ) H (s )
于是，得到正反馈系统的根轨迹方程G(s)H(s)=1
上式可等效为下列两个方程
∑∠(s -z j ) -∑∠(s -p i ) =0 +2k π k =0, ±1, ±2,...
j =1i =1m n
K =*∏s -p
∏s -z
j =1i =1m n i j
前者称为零度根轨迹的相角条件，后者叫做零度根轨迹的模值条件。式中各符号的意义与以前指出的相同。
将式（4-37）和（4-38）与常规根轨迹的相应公式（4-9）和（4-10）相比可知，它们的模值条件完全相同，仅相角条件有所改变。因此，常规根轨迹的绘制法则，原则上可以应用于零度根轨迹的绘制，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。从这种意义上说，零度根轨迹也是常规根轨迹的一种推广。
绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则有：
法则3 渐近线的交角应改为 ϕa =2k π； k =0, 1,..., n -m -1 n -m
法则4 根轨迹在实轴上的分布应改为：实轴上的某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。
法则5 根轨迹的起始角和终止角应改为：起始角为其它零、极点到所求起始角复数极点的诸向量相角之差，即
θp i ⎛m n =2k π+ ∑ϕz j p i -∑θp j p i j =1 j =1(j ≠i ) ⎝⎫⎪⎪ ⎪⎭
终止角等于其它零、极点到所求终止角复数零点的诸向量相角之差的负值，即
⎛m ⎫n ⎪ϕz i =2k π- ∑ϕz j z i -∑θp j z i ⎪ 1j =1 (j =⎪⎝j ≠i ) ⎭
第四章 线性系统的根轨迹法
一、教学目的与要求：
本章讲述用闭环系统的特征根随系统参数变化的轨迹，来分析控制系统的特性，因此要求学生要掌握根轨迹作图方法的规则，并熟练运用这些规则绘制控制系统的根轨迹图。要让学生会利用根轨迹图分析系统的稳定性、动态特性、稳态特性。掌握怎样改善系统性能的方法。着重讨论根轨迹图的绘制，明确闭环传递函数极点与瞬态响应的关系，了解改变开环增益，增加开环传递函数零、极点对系统质量的影响。
二、授课主要内容：
1． 根轨迹法的基本概念
1）闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
2）根轨迹方程
2． 根轨迹绘制的基本法则
3． 广义根轨迹
1） 参数根轨迹
2） 零度根轨迹
4． 系统性能的分析
（详细内容见讲稿）
三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）
（1）重点掌握的内容
1）熟练运用常规根轨迹的绘制法则。
2）熟练运用零度根轨迹的绘制法则。
3）正确理解单输入-单输出系统闭环零、极点和开环零极点与常规根轨迹的关系。
（2）一般掌握的内容
1）根轨迹上估计控制系统的性能。
2）广义根轨迹的概念。
3）偶极子、可略零极点的概念，主导极点的概念。
（3）一般了解的内容： 根轨迹法则的证明推导过程。
四、主要外语词汇
根轨迹 root-locus
特征方程 characteristic equation
分离点 breakaway point
闭环极点 closed-loop poles
幅角条件 angle condition
模值条件 magnitude condition
实轴 real axis
虚轴 imaginary axis
五、辅助教学情况（见课件）
六、复习思考题
1. 什么是根轨迹? 它有什么主要性质？如何把握根轨迹作图？
2. 利用图解法绘制根轨迹的8个规则是什么?
3. 在根轨迹作图中，确定渐近线和分离点附近的根轨迹很关键，如何理解有关它们的计算公式？
4. 如何绘制零度根轨迹？
5. 如何绘制参数根轨迹？
6. 控制系统的质量指标在根平面上该怎样表示?
7. 什么是闭环主导极点？为什么可以用主导极点来估算闭环系统的质量？
8. 闭环极点为实根时响应曲线的形状如何？有共轭复根时响应曲线的形状如何？
9. 开环零、极点的变化对控制系统的质量有什么影响？
10. 增加系统的开环零点（开环极点）对系统的性能有何影响？
七、参考教材（资料）
1．《现代控制工程》 绪方胜彦著（卢伯英 佟明安 罗维铭 译） 科学出版社
参考该书第四章有关内容。
2．《自动控制原理》 天津大学 李光泉 主编 机械工业出版社
参考该书第四章有关内容。
八、讲稿
第四章 线性系统的根轨迹法
根轨迹法的基本概念
根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便，特别在进行多回路系统的分析时，应用根轨迹法比用其它方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件和模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系统的根轨迹。
1，根轨迹概念
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系
统特征方程式在s 平面上变化的轨迹。
当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为闭环极点。因此，从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求取闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。当特征方程的阶数高于四阶时，求根过程是比较复杂的。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程式根的影响，就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。1948年，W ．R ．伊文思在“控制系统的图解分析”一文中提出了根轨迹法。当开环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定。因为系统的稳定性由系统闭环极点惟一确定，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在5平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。除此而外，用根轨迹法求解高阶代数方程的根，比用其它近似求根法简便。
为了具体说明根轨迹的概念，设控制系统如图4-1所示，其闭环传递函数为： φ(s ) =C (s ) 2K 于是特征方程式可写为=2R (s ) s +2s +2K s2+2s +2k =0，显然，特征方程式的根是：s 1=-1+-2k s2=-1--2k
如果令开环增益K 从零变到无穷，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹箭头表示随着K 值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K 的数值。的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着K 值的增加，根轨逝的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应开环增益K 的数值.
2．根轨迹与系统性能
有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。下面以图4—2为例进行
说明：
(1)稳定性
当开环增益从零变到无穷时，图4—2上的根轨迹不会越过虚轴进入右半‘平面，因此图4—1系统对所有的K 值都是稳定的，这与我们在第3—4节所得出的结论完全相同。如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹有可能越过虚轴进入右半辈子s 平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。
（2）稳态性能。
由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I 型系统，因而根轨迹上的K 值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。下面将要指出，开环增益和根轨迹增益之间，仅相差一个比例常数，很容易进行换算。对于其它参数变化的根轨迹图，情况是类似的。
(3)动态性能
由图4—2可见，当0
为快；当K>o．5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随X 值的增大而加大，但调节时间的变化不会显著。上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统的根轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法，可以根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。
3．闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
由于开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。并由此导出根轨迹方程。设控制系统如图4-3所示，其闭环传递函数为φ(s)=G (s ) ，在一般情况下，前向通1+G (s ) H (s )
路传递函数G （s ）和反馈通路传递函数H （s ）可分别表示为。 22K G (τ1s +1)(τ2s +2ζ1τ2s +1)... G (s ) =ν22s (T 1s +1)(T 2s +2ζ2T 2s +1)...
f
=K *i =1
G q
i =1∏(s -z i ) ∏(s -p i )
*式中，K G 为前向通路增益；K G 为前向通路根轨迹增益，它们之间满足如下关系：
K =K G
l *G τ1τ22... T T ...
j 212
*以及 H (s ) =K H ∏(s -z j =1h ) ∏(s -p
j =1j )
*式中K H 为反馈通路根轨迹增益。于是，图4-3系统的开环传递函数可表示为
f l
G (s ) H (s ) =K *∏(s -z ) ∏(s -z i i =1
q j =1h
i
i =1j =1j ) j ∏(s -p ) ∏(s -p )
**式中，K *=K G ，称为开环系统根轨迹增益，它与开环增益K 之间的关系K H
类似于式（4-3），仅相差一个比例常数。对于有m 个开环零点和n 个开环极点的系统，必有f+l=m和q+h=n。将式（4-2）和（4-5）代入（4-1），得
K
Φ(s ) =n *G ∏(s -z ) ∏(s -p i i =1j =1*m
i
j =1f h j ) j ∏(s -p ) +K ∏(s -z i =1)
比较式(4—5) 和(4—6) ，可得以下结论：
1) 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭
环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。
2) 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数—的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
3) 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K *均有关. 根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式(4—6) 直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出。
4．根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。为了用图解法确定所有闭环极点，令闭环传递函数表达式(4—1) 的分母为零，得闭环系统特征方程
1+G (s ) H (s ) =0
由式（4-6）可见，当系统有m 个开环零点和n 个开环极点时，式(4-7)等价为
K *∏(s -z j =1
n
i =1m j ) =-1 ∏(s -p ) i
式中，z j 为已知的开环零点；p i 为已知的开环极点；K *从零变到无穷。我们把式(4—8) 称为根轨迹方程。根据式(4—8) ，可以画出K *当从零变到无穷时，系统的连续根轨迹。应当指出，只要闭环特征方程可以化成式(4—8) 形式，都可以绘制根轨迹，其中处于变动地位的实参数，不限定是根轨迹增益K *，也可以是系统其它变化参数。但是，用式(4—8) 形式表达的开环零点
和开环极点，在s 平面上的位置必须是确定的，否则无法绘制根轨迹。此外，如果需要绘制一个以上参数变化时的根轨迹图，那么画出的不再是简单的根轨迹，而是根轨迹簇
根轨迹方程实质上是一个向量方程，直接使用很不方便。考虑到-1=1e j (2k +1) π; k =0, ±1, ±2,...
因此，根轨迹方程(4—8) 可用如下两个方程描述：
∑∠(s -z
j =1
n m j ) -∑∠(s -p i ) =(2k +1) π i =1n k =0, ±1, ±2,...
K =*∏s -p
∏s -z
j =1i =1m i j
方程(4—9) 和(4—lO) 是根轨迹上的点应该同时满足的两个条件，前者称
为相角条件；后者叫做模值条件。根据这两个条件，可以完全确定；平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K *值。应当指出，相角条件是确定s 平面上根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的K *值时，才使用模值条件。
4—2 根轨迹绘制的基本法则
本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。重点放在
基本法则的叙述和证明上。这些基本法则非常简单，熟练地掌握它们，对于分析和设计控制系统是非常有益的。
在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根轨迹增益K *，当可变参数
为系统的其它参数时，这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循180 +2kπ条件，因此称为180 根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做180 根轨迹的绘制法则。
1．绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零
点数m 和
有极限点数n 中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。
法则4 根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则5 根轨迹的分离点与分离角。两条或西条以上根轨迹分支在s 平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的解：
n 11 ∑ =∑d -z d -p j =1i =1j i m
式中，z j 为各开环零点的数值；扒为各开环极点的数值；分离角为(2k +1) πl 。
在证明本法则之前，需要介绍一下关于分离点的特性。因为根轨迹是对称的，所以根
轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间也至少有一个分离点。
法则6 根轨迹的起始角与终止角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以θp i ，标志；根轨迹进入开环复数零点处
的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以ϕz i 表示。
法则7 根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K *值和ω值可用劳思判据确定，也可令闭环特征方程中的s=jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。
法则8 根之和。系统的闭环特征方程在n>m的一般情况下，可以有不同形式的表示。
n n -1∏(s -p i ) +K ∏(s -z j ) =s +a 1s +... +a n -1s +a n
j =1n *m i =1
式中，s i 为闭环特征根当n-m ≥2时，特征方程第二项系数与K *无关，无论K *取
何值，开环n 个极点之总是等于闭环特征方程n 个根之和 ∑s i =∑p i
i =1i =1n n
在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益K 增大时，若闭环某些根在s 平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。
此法则对判断根轨迹的走向是很有用的。
4-3 广义根轨迹
在控制系统中，除根轨迹增益K *以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹系统的参数根轨迹，开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹，以及零度根轨迹等均可列入广义根轨迹这个范畴。通常，将负反馈系统中K *变化时的根轨迹叫做常规根轨迹
1. 参数根轨迹
以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，以区别于以开环增益k 为可变参数的常规根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只要在绘制参数根之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，用于参数根轨迹的绘制。为此，需要对闭环特征方程1+G（s ）H(s)=0进行等效变换，将其写为如下形式： AP (s ) =-1
Q (s )
其中，A 为除K *外，系统任意的变化参数，而p(s)和Q(s)为两个与A 无关的首一多项式。显然，式(4—27) 应与式(4—26) 相等，即Q(s)+AP(s)＝1+G(s)H(s)＝0 根据式(4-28)，可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为G 1(s)H1(s)=AP (s ) Q (s )
利用式(4—29) 画出的根轨迹，就是参数A 变化时的参数根轨迹。需要强调指出，等效开环传递函数是根据式(4—28) 得来的，因此“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立, 而闭环零点一般是不同的。由于闭环零点对系统动态性能有影响，所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。这一处理方法和结论，对于绘制开环零极点变化时的根轨迹，同样适用。
2. 附加开环零点的作用设系统开环传递函数为 K *(s -z 1) G(s)H(s)=(4—35) 2s (s +2s +2)
式中，z 1为附加的开环实数零点，其值可在s 左半平面内任意选择。当z 1→∞时，表示有限零点z 1不存在的情况。
令z 1为不同数值，对应于式(4—35) 的闭环系统根轨迹如图4—22所示。由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点时，可使系统根轨迹向。左半平面方向弯曲，或者说，附加开环负实数零点，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点的作用完全相同。此外，根据图4—22，利用劳思判据的方法不难证明，当z 1
附加开环零点的目的，除了要求改善系统稳定性而外，还要求对系统的动态性能有明显改善。然而，稳定性和动态性能对附加开环零点位置的要求，有时并不一致。
3，零度根轨迹
如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹，因为其相角遵循0 +2kπ条件，而不是
180+2kπ条件，故一般称之为零度根轨迹。这里所谓的非最小相位系统，系指在；右半平面具有开环零点的控制系统，其定义和特性将在下一章详细介绍。此外，如果有必要绘制正反馈系统的根轨迹，那么也必然会产生0 +2kπ的相角条件。因此，一般说来，零度根轨迹的来源有两个方面：其一是非最小相位系统中包含s 最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈内回路。前者是由于被控对象，如飞机、导弹的本身特性所产生的，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂的控制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。
零度根轨迹的绘制方法，与常规根轨迹的绘制方法略有不同。以正反馈系统为例，设某个复杂控制系统如图4—24所示，其中内回路采用正反馈，这种
系统通常由外回路加以稳定。为了分析整个控制系统的性能，首先要确定内回路的零、极点。当用根轨迹法确定内回路的零、极点时，就相当于绘制正反馈系统的根轨迹。在图4—24中，正反馈内回路的闭环传递函数为C (s ) G (s ) =R (s ) 1-G (s ) H (s )
于是，得到正反馈系统的根轨迹方程G(s)H(s)=1
上式可等效为下列两个方程
∑∠(s -z j ) -∑∠(s -p i ) =0 +2k π k =0, ±1, ±2,...
j =1i =1m n
K =*∏s -p
∏s -z
j =1i =1m n i j
前者称为零度根轨迹的相角条件，后者叫做零度根轨迹的模值条件。式中各符号的意义与以前指出的相同。
将式（4-37）和（4-38）与常规根轨迹的相应公式（4-9）和（4-10）相比可知，它们的模值条件完全相同，仅相角条件有所改变。因此，常规根轨迹的绘制法则，原则上可以应用于零度根轨迹的绘制，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。从这种意义上说，零度根轨迹也是常规根轨迹的一种推广。
绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则有：
法则3 渐近线的交角应改为 ϕa =2k π； k =0, 1,..., n -m -1 n -m
法则4 根轨迹在实轴上的分布应改为：实轴上的某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。
法则5 根轨迹的起始角和终止角应改为：起始角为其它零、极点到所求起始角复数极点的诸向量相角之差，即
θp i ⎛m n =2k π+ ∑ϕz j p i -∑θp j p i j =1 j =1(j ≠i ) ⎝⎫⎪⎪ ⎪⎭
终止角等于其它零、极点到所求终止角复数零点的诸向量相角之差的负值，即
⎛m ⎫n ⎪ϕz i =2k π- ∑ϕz j z i -∑θp j z i ⎪ 1j =1 (j =⎪⎝j ≠i ) ⎭