圆锥曲线中“点差法”的应用
丹江口市一中数学组 严高翔
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率, 设而不求，优化运算。本文列举数例，以供参考。 一．以定点为中点的弦所在直线的方程
x 2y 2
+=1内一点M (2, 1) 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线例1、过椭圆
164
的方程。
解：设直线与椭圆的交点为A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2)
M (2, 1) 为AB 的中点 ∴x 1+x 2=4 y 1+y 2=2又A 、B 两点在椭圆上，则
x 1+4y 1=16 ，x 2+4y 2=16 两式相减得 (x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0
于是(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0∴即k AB =-
22222222
y 1-y 2x +x 41
=-12=-=-x 1-x 24(y 1+y 2) 4⨯22
11
，故所求直线的方程为y -1=-(x -2) ，即x +2y -4=0。 22
2
y 2
=1，例2、已知双曲线x -经过点M (1, 1) 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，2
且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题
设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2)
则x 1+x 2=2，y 1+y 2=2
y y 2
x 1-1=1，x 2-2=1
22
2
22
两式相减，得
1y -y 2
(x 1+x 2)(x 1-x 2) -(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0 ∴k AB =1=2
2x 1-x 2
故直线AB :y -1=2(x -1)
⎧y -1=2(x -1)
⎪
由⎨2y 2 消去y ，得2x 2-4x +3=0
x -=1⎪2⎩
∆=(-4) 2-4⨯2⨯3=-8
弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二．求弦中点的轨迹方程
x 2
+y 2=1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 例1 . 已知椭圆2
解 设弦的两个端点分别为P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，PQ 的中点为M (x , y ).
x 12x 222
+y 1=1，+y 22=1，则（1）（2） 22
x 12-x 22x +x 2y 1-y 2
+(y 12-y 22)=0，∴1+(y 1+y 2)=0. (1)-(2)得：
22x 1-x 2
又x 1+x 2=2x , y 1+y 2=2y ,
y 1-y 2
=2，∴x +4y =0.
x 1-x 2
弦中点轨迹在已知椭圆内，. ∴所求弦中点的轨迹方程为x +4y =0（在已知椭圆内）例2. 直线l :ax -y -(a +5)=0（a 是参数）与抛物线f :y =(x +1)的相交弦是
2
AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是.
解 设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，AB 中点M (x , y )，则x 1+x 2=
2x .
l :a (x -1)-(y +5)=0，∴l 过定点N (1, -5)，∴k AB =k MN =
又 y 1=(x 1+1)，（1） y 2=(x 2+1)，（2）
2
2
y +5
. x -1
(1)-(2)得：y 1-y 2=(x 1+1)
∴k AB =
于是
2
-(x 2+1)=(x 1-x 2)(x 1+x 2+2)，
2
y 1-y 2
=x 1+x 2+2.
x 1-x 2
y +5
=2x +2，即y =2x 2-7. x -1
弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为y =2x 2-7（在已知抛物
线内）.
三．求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例1. 已知中心在原点，一焦点为F (0, 50) 的椭圆被直线l :y =3x -2截得的弦的中点的
y 2x 2122
横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为2+2=1，则a -b =50┅┅
2a b
①
设弦端点P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2) ，弦PQ 的中点M (x 0, y 0) ，则
x 0=
11
，y 0=3x 0-2=- x 1+x 2=2x 0=1，y 1+y 2=2y 0=-1 22
2
2
2
2
y x y x
又12+12=1，22+22=1 a b a b
两式相减得b (y 1+y 2)(y 1-y 2) +a (x 1+x 2)(x 1-x 2) =0 即-b (y 1-y 2) +a (x 1-x 2) =0
2
2
2
2
a 2y 1-y 2a 2 =2 2=3┅┅②
b x 1-x 2b
22
联立①②解得a =75，b =25
y 2x 2
+=1所求椭圆的方程是
7525
例2. 过点(1，0) 的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为于A 、B 两点，直线y =
的椭圆C 相交2
1
x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 2
对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.
分析：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强。 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.
技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式. 解法二，用韦达定理.
a 2-b 21c 222
=解法一：由e ==, 得, 从而a =2b , c =b . 2
2a a 2
设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 在椭圆上.
则 x 12+2y 12=2b 2, x 22+2y 22=2b 2, 两式相减得，
(x 12-x 22) +2(y 12-y 22) =0, 1
y -y 2x +x
=-12.
x 1-x 22(y 1+y 2)
设AB 中点为(x 0, y 0) , 则k AB =－
1x 01
, 又(x 0, y 0) 在直线y =x 上，y 0=x 0,
22y 02
于是－
x 0
=－1, k AB =－1, 设l 的方程为y =－x +1. 2y 0
右焦点(b ,0) 关于l 的对称点设为(x ′, y ′),
⎧y '
=1⎪⎧x '=1⎪x '-b
则⎨ 解得⎨
'''y =1-b ⎩⎪y =-x +b +1
⎪2⎩2
由点(1,1－b ) 在椭圆上，得1+2(1－b ) 2=2b 2, b 2=
929
, a =. 168
8x 2162
∴所求椭圆C 的方程为+y =1,l 的方程为y =－x +1.
99c 2a 2-b 21, 得=, 从而a 2=2b 2, c =b . 解法二：由e ==2
a 22a
设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2, l 的方程为y =k (x －1),
4k 2
将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k ) x －4k x +2k －2b =0,则x 1+x 2=,
1+2k 2
2
2
2
2
2
y 1+y 2=k (x 1-1) +k (x 2-1) =k (x 1+x 2) -2k =－
2k
. 2
1+2k
-k 12k 2x 1+x 2y 1+y 21
=⋅直线l ：y =x 过AB 的中点(), 则, ,
21+2k 221+2k 222
解得k =0，或k =－1.
若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0) 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1), 即y =－x +1,以下同解法一.
四. 求直线的斜率
x 2y 2⎛9⎫+=1上不同的三点A (x 1, y 1), B 4, ⎪, C (x 2, y 2)与焦点例1 已知椭圆
259⎝5⎭
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴F (4,0)的距离成等差数列. （1）求证：x 1+x 2=8；的交点为T ，求直线BT 的斜率k .
（1）证 （2）解
略.
x 1+x 2=8，∴设线段AC 的中点为D (4, y 0).
x 12y 12x 22y 22
+=1，+=1，又A 、C 在椭圆上，∴（1）（2） 259259x 12-x 22y 12-y 22
=-， (1)-(2)得：
259
9(x 1+x 2)y 1-y 29836
∴=-=-⋅=-. x 1-x 225y 1+y 2252y 025y 0
∴直线DT 的斜率k DT =
25y 025y 0
，∴直线DT 的方程为y -y 0=(x -4). 3636
9
-0
645⎛64⎫
令y =0，得x =，即T ,0⎪，∴直线BT 的斜率k ==
64425⎝25⎭4-25
五． 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
x 2y 2
+=1，试确定的m 取值范围，使得对于直线y =4x +m ，椭圆上总例1. 已知椭圆43
有不同的两点关于该直线对称。
解：设P 1P 21(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) 为椭圆上关于直线y =4x +m 的对称两点，P (x , y ) 为弦P
的中点，则3x 1+4y 1=12，3x 2+4y 2=12
2
2
2
2
两式相减得，3(x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0 即3(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0
2222
x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，
y 1-y 21
=-
x 1-x 24
∴y =3x 这就是弦P 1P 2中点P 轨迹方程。
它与直线y =4x +m 的交点必须在椭圆内
联立⎨
⎧y =3x ⎧x =-m 322
，得⎨ 则必须满足y
4⎩y =4x +m ⎩y =-3m
3222m ，解得-
2
即(3m )
例2. 若抛物线 C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m (x -3)对称，求实数
m 的取值范围.
解 当m =0时，显然满足.
当m ≠0时，设抛物线C 上关于直线l :y =m (x -3)对称的两点分别为（1）y 22=x 2，（2） P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，且PQ 的中点为M (x 0, y 0)，则y 12=x 1，
(1)-(2)得：y 12-y 22=x 1-x 2，∴k PQ =
又k PQ =-
y 1-y 211
， ==
x 1-x 2y 1+y 22y 0
1m ，∴y 0=-. m 2
5
. 2
中点M (x 0, y 0)在直线l :y =m (x -3)上，∴y 0=m (x 0-3)，于是x 0=中点在抛物线y =x 区域内
2
5⎛m ⎫M ∴y 02
综上可知，所求实数m
的取值范围是.
六. 证明定值问题
2
(
x 2y 2
例1. 已知AB 是椭圆2+2=1(a >b >0)不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB
a b
的中点，O 为椭圆的中心. 求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)且x 1≠x 2，
x 12y 12x 22y 22
则2+2=1，（1）2+2=1，（2）
a b a b x 12-x 22y 12-y 22
(1)-(2)得：2=-2，
a b
b 2(x 1+x 2)b 2(x 1+x 2)y 1-y 2y 1-y 2
，∴k AB =. ∴=-2=-2
x 1-x 2x 1-x 2a y 1+y 2a y 1+y 2又k OP
y 1+y 2b 2b 21
，∴k AB =-2⋅，∴k AB ⋅k OP =-2（定值）. =
a x 1+x 2a k OP
七．处理存在性问题
例1 已知双曲线x -
2
12
y =1，过B (1, 1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两2
点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 假设这样的直线存在，设P , Q 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，则x 1+x 2=2，
y 1+y 2=2，又x 12-
12122y 1=1，（1）x 2-y 2=1，（2） 22
1
(1)-(2)得：(x 1+x 2)(x 1-x 2)-(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0，
2
∴2(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0
∴PQ 的斜率 k =
y 1-y 2
=2
x 1-x 2
又直线l 过P , Q , B 三点，∴l 的方程为 y -1=2(x -1)，即y =2x -1. 但若将y =2x -1代入x -
2
12
y =1整理得方程2x 2-4x +3=0，而此方程无实数解，2
所以满足题设的直线不存在.
例2 （湖北卷2012年理科21题）设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点，l 是过点A 与
x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足
|DM |=m |DA |(m >0, 且m ≠1) . 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴
上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）如图1，设M (x , y ) ，A (x 0, y 0) ，则由|DM |=m |DA |(m >0, 且m ≠1) ， 可得x =x 0，|y |=m |y 0|，所以x 0=x ，|y 0|=
1
|y |. ①
m
因为A 点在单位圆上运动，所以x 02+y 02=1. ②
y 2将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x +2=1 (m >0, 且m ≠1) .
m
因为m ∈(0,1) (1,+∞) ，所以
2
当0
两焦点坐标分别为(
0) ，0) ； 当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0,
，(0,
）. （Ⅱ
解法1：如图2、3，∀k >0，设P (x 1, kx 1) ，H (x 2, y 2) ，则Q (-x 1, -kx 1) ，N (0,kx 1) ，
直线QN 的方程为y =2kx +kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2+4k 2) x 2+4k 2x 1x +k 2x 12-m 2=0.
依题意可知此方程的两根为-x 1，x 2，于是由韦达定理可得 4k 2x 1m 2x 1-x 1+x 2=-2，即x 2=2.
m +4k 2m +4k 2
2km 2x 1
因为点H 在直线QN 上，所以y 2-kx 1=2kx 2=2.
m +4k 2
4k 2x 12km 2x 1
, ) . 于是PQ =(-2x 1, -2kx 1) ，PH =(x 2-x 1, y 2-kx 1) =(-2
m +4k 2m 2+4k 24(2-m 2) k 2x 12
=0， 而PQ ⊥PH 等价于PQ ⋅PH =
m 2+4k 2
即2-m 2=0，又m >
0，得m （lby lfx）
y 2故存在m =使得在其对应的椭圆x +=1上，对任意的k >0，都有PQ ⊥PH .
2
2
图1 图2 (0
图3 (m >1)
解法2：如图2、3，∀x 1∈(0,1) ，设P (x 1, y 1) ，H (x 2, y 2) ，则Q (-x 1, -y 1) ，N (0,y 1) ，
2222
⎧⎪m x 1+y 1=m ,
因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎨22 两式相减可得 22
⎪⎩m x 2+y 2=m ,
m 2(x 12-x 22) +(y 12-y 22) =0. ③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故(x 1-x 2)(x 1+x 2) ≠0. 于是由③式可得
(y 1-y 2)(y 1+y 2)
=-m 2. ④
(x 1-x 2)(x 1+x 2)
又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN =k QH ，即于是由④式可得k PQ ⋅k PH
2y 1y 1+y 2
=. x 1x 1+x 2
y 1y 1-y 21(y 1-y 2)(y 1+y 2) m 2
=⋅=⋅=-. x 1x 1-x 22(x 1-x 2)(x 1+x 2) 2
而PQ ⊥PH 等价于k PQ ⋅k PH
2
m 2
即--1，又m >0，
得m =
故存在m ==-1，
2
y 2
使得在其对应的椭圆x +=1上，对任意的k >0，都有PQ ⊥PH
2
注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
圆锥曲线中“点差法”的应用
丹江口市一中数学组 严高翔
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率, 设而不求，优化运算。本文列举数例，以供参考。 一．以定点为中点的弦所在直线的方程
x 2y 2
+=1内一点M (2, 1) 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线例1、过椭圆
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的方程。
解：设直线与椭圆的交点为A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2)
M (2, 1) 为AB 的中点 ∴x 1+x 2=4 y 1+y 2=2又A 、B 两点在椭圆上，则
x 1+4y 1=16 ，x 2+4y 2=16 两式相减得 (x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0
于是(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0∴即k AB =-
22222222
y 1-y 2x +x 41
=-12=-=-x 1-x 24(y 1+y 2) 4⨯22
11
，故所求直线的方程为y -1=-(x -2) ，即x +2y -4=0。 22
2
y 2
=1，例2、已知双曲线x -经过点M (1, 1) 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，2
且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题
设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2)
则x 1+x 2=2，y 1+y 2=2
y y 2
x 1-1=1，x 2-2=1
22
2
22
两式相减，得
1y -y 2
(x 1+x 2)(x 1-x 2) -(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0 ∴k AB =1=2
2x 1-x 2
故直线AB :y -1=2(x -1)
⎧y -1=2(x -1)
⎪
由⎨2y 2 消去y ，得2x 2-4x +3=0
x -=1⎪2⎩
∆=(-4) 2-4⨯2⨯3=-8
弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二．求弦中点的轨迹方程
x 2
+y 2=1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 例1 . 已知椭圆2
解 设弦的两个端点分别为P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，PQ 的中点为M (x , y ).
x 12x 222
+y 1=1，+y 22=1，则（1）（2） 22
x 12-x 22x +x 2y 1-y 2
+(y 12-y 22)=0，∴1+(y 1+y 2)=0. (1)-(2)得：
22x 1-x 2
又x 1+x 2=2x , y 1+y 2=2y ,
y 1-y 2
=2，∴x +4y =0.
x 1-x 2
弦中点轨迹在已知椭圆内，. ∴所求弦中点的轨迹方程为x +4y =0（在已知椭圆内）例2. 直线l :ax -y -(a +5)=0（a 是参数）与抛物线f :y =(x +1)的相交弦是
2
AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是.
解 设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，AB 中点M (x , y )，则x 1+x 2=
2x .
l :a (x -1)-(y +5)=0，∴l 过定点N (1, -5)，∴k AB =k MN =
又 y 1=(x 1+1)，（1） y 2=(x 2+1)，（2）
2
2
y +5
. x -1
(1)-(2)得：y 1-y 2=(x 1+1)
∴k AB =
于是
2
-(x 2+1)=(x 1-x 2)(x 1+x 2+2)，
2
y 1-y 2
=x 1+x 2+2.
x 1-x 2
y +5
=2x +2，即y =2x 2-7. x -1
弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为y =2x 2-7（在已知抛物
线内）.
三．求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例1. 已知中心在原点，一焦点为F (0, 50) 的椭圆被直线l :y =3x -2截得的弦的中点的
y 2x 2122
横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为2+2=1，则a -b =50┅┅
2a b
①
设弦端点P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2) ，弦PQ 的中点M (x 0, y 0) ，则
x 0=
11
，y 0=3x 0-2=- x 1+x 2=2x 0=1，y 1+y 2=2y 0=-1 22
2
2
2
2
y x y x
又12+12=1，22+22=1 a b a b
两式相减得b (y 1+y 2)(y 1-y 2) +a (x 1+x 2)(x 1-x 2) =0 即-b (y 1-y 2) +a (x 1-x 2) =0
2
2
2
2
a 2y 1-y 2a 2 =2 2=3┅┅②
b x 1-x 2b
22
联立①②解得a =75，b =25
y 2x 2
+=1所求椭圆的方程是
7525
例2. 过点(1，0) 的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为于A 、B 两点，直线y =
的椭圆C 相交2
1
x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 2
对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.
分析：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强。 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.
技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式. 解法二，用韦达定理.
a 2-b 21c 222
=解法一：由e ==, 得, 从而a =2b , c =b . 2
2a a 2
设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 在椭圆上.
则 x 12+2y 12=2b 2, x 22+2y 22=2b 2, 两式相减得，
(x 12-x 22) +2(y 12-y 22) =0, 1
y -y 2x +x
=-12.
x 1-x 22(y 1+y 2)
设AB 中点为(x 0, y 0) , 则k AB =－
1x 01
, 又(x 0, y 0) 在直线y =x 上，y 0=x 0,
22y 02
于是－
x 0
=－1, k AB =－1, 设l 的方程为y =－x +1. 2y 0
右焦点(b ,0) 关于l 的对称点设为(x ′, y ′),
⎧y '
=1⎪⎧x '=1⎪x '-b
则⎨ 解得⎨
'''y =1-b ⎩⎪y =-x +b +1
⎪2⎩2
由点(1,1－b ) 在椭圆上，得1+2(1－b ) 2=2b 2, b 2=
929
, a =. 168
8x 2162
∴所求椭圆C 的方程为+y =1,l 的方程为y =－x +1.
99c 2a 2-b 21, 得=, 从而a 2=2b 2, c =b . 解法二：由e ==2
a 22a
设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2, l 的方程为y =k (x －1),
4k 2
将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k ) x －4k x +2k －2b =0,则x 1+x 2=,
1+2k 2
2
2
2
2
2
y 1+y 2=k (x 1-1) +k (x 2-1) =k (x 1+x 2) -2k =－
2k
. 2
1+2k
-k 12k 2x 1+x 2y 1+y 21
=⋅直线l ：y =x 过AB 的中点(), 则, ,
21+2k 221+2k 222
解得k =0，或k =－1.
若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0) 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1), 即y =－x +1,以下同解法一.
四. 求直线的斜率
x 2y 2⎛9⎫+=1上不同的三点A (x 1, y 1), B 4, ⎪, C (x 2, y 2)与焦点例1 已知椭圆
259⎝5⎭
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴F (4,0)的距离成等差数列. （1）求证：x 1+x 2=8；的交点为T ，求直线BT 的斜率k .
（1）证 （2）解
略.
x 1+x 2=8，∴设线段AC 的中点为D (4, y 0).
x 12y 12x 22y 22
+=1，+=1，又A 、C 在椭圆上，∴（1）（2） 259259x 12-x 22y 12-y 22
=-， (1)-(2)得：
259
9(x 1+x 2)y 1-y 29836
∴=-=-⋅=-. x 1-x 225y 1+y 2252y 025y 0
∴直线DT 的斜率k DT =
25y 025y 0
，∴直线DT 的方程为y -y 0=(x -4). 3636
9
-0
645⎛64⎫
令y =0，得x =，即T ,0⎪，∴直线BT 的斜率k ==
64425⎝25⎭4-25
五． 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
x 2y 2
+=1，试确定的m 取值范围，使得对于直线y =4x +m ，椭圆上总例1. 已知椭圆43
有不同的两点关于该直线对称。
解：设P 1P 21(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) 为椭圆上关于直线y =4x +m 的对称两点，P (x , y ) 为弦P
的中点，则3x 1+4y 1=12，3x 2+4y 2=12
2
2
2
2
两式相减得，3(x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0 即3(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0
2222
x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，
y 1-y 21
=-
x 1-x 24
∴y =3x 这就是弦P 1P 2中点P 轨迹方程。
它与直线y =4x +m 的交点必须在椭圆内
联立⎨
⎧y =3x ⎧x =-m 322
，得⎨ 则必须满足y
4⎩y =4x +m ⎩y =-3m
3222m ，解得-
2
即(3m )
例2. 若抛物线 C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m (x -3)对称，求实数
m 的取值范围.
解 当m =0时，显然满足.
当m ≠0时，设抛物线C 上关于直线l :y =m (x -3)对称的两点分别为（1）y 22=x 2，（2） P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，且PQ 的中点为M (x 0, y 0)，则y 12=x 1，
(1)-(2)得：y 12-y 22=x 1-x 2，∴k PQ =
又k PQ =-
y 1-y 211
， ==
x 1-x 2y 1+y 22y 0
1m ，∴y 0=-. m 2
5
. 2
中点M (x 0, y 0)在直线l :y =m (x -3)上，∴y 0=m (x 0-3)，于是x 0=中点在抛物线y =x 区域内
2
5⎛m ⎫M ∴y 02
综上可知，所求实数m
的取值范围是.
六. 证明定值问题
2
(
x 2y 2
例1. 已知AB 是椭圆2+2=1(a >b >0)不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB
a b
的中点，O 为椭圆的中心. 求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)且x 1≠x 2，
x 12y 12x 22y 22
则2+2=1，（1）2+2=1，（2）
a b a b x 12-x 22y 12-y 22
(1)-(2)得：2=-2，
a b
b 2(x 1+x 2)b 2(x 1+x 2)y 1-y 2y 1-y 2
，∴k AB =. ∴=-2=-2
x 1-x 2x 1-x 2a y 1+y 2a y 1+y 2又k OP
y 1+y 2b 2b 21
，∴k AB =-2⋅，∴k AB ⋅k OP =-2（定值）. =
a x 1+x 2a k OP
七．处理存在性问题
例1 已知双曲线x -
2
12
y =1，过B (1, 1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两2
点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 假设这样的直线存在，设P , Q 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，则x 1+x 2=2，
y 1+y 2=2，又x 12-
12122y 1=1，（1）x 2-y 2=1，（2） 22
1
(1)-(2)得：(x 1+x 2)(x 1-x 2)-(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0，
2
∴2(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0
∴PQ 的斜率 k =
y 1-y 2
=2
x 1-x 2
又直线l 过P , Q , B 三点，∴l 的方程为 y -1=2(x -1)，即y =2x -1. 但若将y =2x -1代入x -
2
12
y =1整理得方程2x 2-4x +3=0，而此方程无实数解，2
所以满足题设的直线不存在.
例2 （湖北卷2012年理科21题）设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点，l 是过点A 与
x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足
|DM |=m |DA |(m >0, 且m ≠1) . 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴
上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）如图1，设M (x , y ) ，A (x 0, y 0) ，则由|DM |=m |DA |(m >0, 且m ≠1) ， 可得x =x 0，|y |=m |y 0|，所以x 0=x ，|y 0|=
1
|y |. ①
m
因为A 点在单位圆上运动，所以x 02+y 02=1. ②
y 2将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x +2=1 (m >0, 且m ≠1) .
m
因为m ∈(0,1) (1,+∞) ，所以
2
当0
两焦点坐标分别为(
0) ，0) ； 当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0,
，(0,
）. （Ⅱ
解法1：如图2、3，∀k >0，设P (x 1, kx 1) ，H (x 2, y 2) ，则Q (-x 1, -kx 1) ，N (0,kx 1) ，
直线QN 的方程为y =2kx +kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2+4k 2) x 2+4k 2x 1x +k 2x 12-m 2=0.
依题意可知此方程的两根为-x 1，x 2，于是由韦达定理可得 4k 2x 1m 2x 1-x 1+x 2=-2，即x 2=2.
m +4k 2m +4k 2
2km 2x 1
因为点H 在直线QN 上，所以y 2-kx 1=2kx 2=2.
m +4k 2
4k 2x 12km 2x 1
, ) . 于是PQ =(-2x 1, -2kx 1) ，PH =(x 2-x 1, y 2-kx 1) =(-2
m +4k 2m 2+4k 24(2-m 2) k 2x 12
=0， 而PQ ⊥PH 等价于PQ ⋅PH =
m 2+4k 2
即2-m 2=0，又m >
0，得m （lby lfx）
y 2故存在m =使得在其对应的椭圆x +=1上，对任意的k >0，都有PQ ⊥PH .
2
2
图1 图2 (0
图3 (m >1)
解法2：如图2、3，∀x 1∈(0,1) ，设P (x 1, y 1) ，H (x 2, y 2) ，则Q (-x 1, -y 1) ，N (0,y 1) ，
2222
⎧⎪m x 1+y 1=m ,
因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎨22 两式相减可得 22
⎪⎩m x 2+y 2=m ,
m 2(x 12-x 22) +(y 12-y 22) =0. ③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故(x 1-x 2)(x 1+x 2) ≠0. 于是由③式可得
(y 1-y 2)(y 1+y 2)
=-m 2. ④
(x 1-x 2)(x 1+x 2)
又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN =k QH ，即于是由④式可得k PQ ⋅k PH
2y 1y 1+y 2
=. x 1x 1+x 2
y 1y 1-y 21(y 1-y 2)(y 1+y 2) m 2
=⋅=⋅=-. x 1x 1-x 22(x 1-x 2)(x 1+x 2) 2
而PQ ⊥PH 等价于k PQ ⋅k PH
2
m 2
即--1，又m >0，
得m =
故存在m ==-1，
2
y 2
使得在其对应的椭圆x +=1上，对任意的k >0，都有PQ ⊥PH
2
注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。