第１２卷第１期铁道运营技术
Ｖ０１．１２Ｎｏ．１
２００６年１月
ＲａｉｌｗａｙｏｐｅｒａｄｏｎＴｅｃｈｎ０１０９ｙ
Ｊａｎｕａｑ．２００６
计算圆曲线正矢公式的推导与应用
邓昌大
（湖南交通工程职业技术学院，高级讲师，湖南衡阳４２１００１）
摘要：推导了圆曲线半径（Ｒ）、弦长（Ｌ）、正矢（Ｆ）三者之问的几何关系式肚眇（８Ｒ）。举例说明该式
在解决铁路轨道工程中圆曲线正矢计算，校核曲尖轨弯曲度，道岔曲线尖轨增补支距计算，曲线限界加宽计算等方面的具体应用。
关键词：圆曲线；半径；弦长；正矢中图分类号：Ｕ２１６．４２＋６
文献标识码：Ｃ
文章编号：１００６—８６８６（２００６）Ｏ卜０００６—０２
圆曲线半径（尺）、弦长（Ｌ）、正矢（Ｆ）三者之间的
肚（∥２）２／（躲一Ｆ）。
（１）
几何关系式肚肼（８尺），在铁路轨道设计、施工及养
在铁路曲线中，尺一般为几百至几千ｍ，而Ｆ不护中应用很广泛。正确理解应用该式，可以很方便足零点几ｍ，由于Ｆ与２尺相比甚小，因此（１）式可地解决现场生产中许多具体问题。近似写成为：
肚∥８尺，
（２）
１
公式推导
上式即为圆曲线半径，弦长，正矢之间的几何关
系式。
Ｆ＝肼（８尺）公式的推导如图１所示，在圆曲线
上的两点（Ｂ、Ｃ）间连一直线得弦ＢＣ，ＢＣ上任一点２公式应用
到弦ＢＣ的垂直距离叫矢距，在中央点的矢距ＡＤ又称正矢。圆曲线半径为Ｒ，令ＡＤ＝Ｆ，ＢＣ＝Ｌ，根据几２．１
圆曲线正矢的计算
在铁路曲线的养护维修
何关系得：
中，常用绳正法拨正曲线的方向。根据《铁路线路维
ＣＤＬＡＤ×ＤＥ．
修规则》要求，测量曲线正矢的弦线长Ｌ常用２０ｍ（上／２）２＝Ｆ・（２Ｒ—Ｆ），
或１０
ｍ。
２．１．１
当Ｌ＝２０ｍ时，计算圆曲线的正矢
肚鲁＝等×，ｏｏｏ＝掣等…
式中：尺为圆曲线半径，单位为ｍ。２．１．２当Ｌ＝１０ｍ时，计算圆曲线的正矢
乃鲁＝罟×，ｏｏｏ＝半…
２．２现场铁路曲线半径的估算
对于个别曲线，特
别是道岔后方的连接曲线，曲线半径有可能无资料Ｅ
可查，可通过现场实测圆曲线的正矢平均值反算曲图１
圆曲线正式计算示意图
线半径，例如用１０ｍ弦量取某曲线３点正矢分别为
计算圆曲线正矢公式的推导与应用
３２ｍｍ、４０ｍｍ、３６
脚半＝３６
ｍ。
ｍｍ，则
ｍｍ；
２．３道岔转辙部分曲尖轨弯曲度的校核为了准
确掌握曲尖轨的弯曲度，可以通过比较曲尖轨的理论曲度正矢与实测正矢进行判断。以６０Ａ７ｒ＿１２单
ｍ。
尺：墨罂：马婴：３４７．２２１、一——ｊｉ－：＿一一——ｊ石一一Ｊ叶，．二二儿‘。
应为３５０
开道岔为例，曲线尖轨总长为１１
３００
ｍｍ，曲线尖轨
连接曲线的半径一般为５０ｍ的整倍数，于是Ｒ
前有２７２８ｍｍ的直线段，将后段圆曲线部分平均分为４段
＝２１４３
（每段长度为上－半
ｍｍ；
ｍｍ），设
置正矢测点如图２所示。
／Ｉ
《
骝鼎霍曲
，１
图示总正矢Ｂ鲁＝２６
嚣
图示各点正矢Ｂ嚣鹅告＝６．５ｍｍ。
同理，对于提速道岔，也可以根据其曲线尖轨的
平面形状进行计算。
２．４
道岔曲线尖轨增补支距的计算
以６０Ａ卜１２
单开道岔为例，如图３所示，为了检查曲线尖轨的方
图２
６０ＡＴ一１２单开遒岔曲线尖轨计算示意图（单位：ｍｍ）
向，在第一、二、三顶铁处设置增补支距点，三点支距分别为ｙＩ、ｙ２、匕。
图３
６０ＡＴ．一１２单开道岔曲线尖轨增补支距计算示意图（单位：ｍｍ）
４１４．５×２）２ｙ一（７…
８×３５０７１７．５
＋１１．９５＝９０ｍｍ：
毕Ｂ象。
式中：尺外为连接曲线外股的半径；
Ｘ为连接曲线上任一点到ＹＺ点的横距；Ｅ为线间距。
ｙ一（８５０４．５×２）２
…８×３５０７１７．５
＋１１．９５＝１１５ｍｍ：
ｙ一（９５８７．５×２）２
。８×３５０７１７．５
＋１１．９５＝１４３ｍｍ。
２．５道岔后方连接曲线支距的计算道岔连接曲线支距，是指连接曲线曲外股工作边到直内股工作边的垂直距离。如图４所示，则任一点支距Ｋ计算的通式为
２．６
曲线建筑接近限界加宽的计算曲线限界加
宽，一是因为外股超高，在此不作讨论；另一原因是
刚性结构车体的中心线与曲线轨道中心线不相吻合，从而需要内、外侧限界加宽，如图５所示。
（下转第１０页）
７
梁。００行２与于大可。宜骤、不案梁０度步土宽方凝＝板Ｍ混（算矩固维对弯纤算，量．计加计碳…计设但设求贴］于，体Ｓ大要Ｓ匀矩质的粘弯型［均的中具范力７后故节布受维４工（大的．纤规，Ｃ碳算板４贴第¨维粘）计》纤何ｍ计施程・碳设规度固宽条《ＥＮ的任加构据条厚ｋ搭压弯根２，．条受结时．压要接于的搭向过，土小向方显Ｃ３明维纵宜果纤．效度需强凝碳不宽补力，间宽度受后４固开于混施加厚直屋，材不第比片垂房］条相维置层纤。，设合碳压（过ｍ叠用长》ｍ土采，凝板工混梁２设分可板部程０将楼即、，０高１加宽施梁２规将ｍ性或ｍ一钢粘弹如ｍ《法，ｍ０高ｍ１【据和０）度５０根ｇ５强拉抗ｍ高有具材２片维纤好果效
线曲导岔道算计式一告＝Ｆ用利以可还，外。此ｍ位．单ｍｍ华＝鲁，脚：，量径ｍ舰６２删取，半度长体车线为Ｌ：中曲式为尺
删脓量：ｗ外＝等＝华…
Ｚ为两转向架竖轴中心距，取１８ｍ，１０
加固计算相同），计算粘贴碳纤维布后的弯矩Ｍ＝
ｋＮ・ｍ。１２．１ｌ
３．３施工工艺
图５车体中心与轨道中心示意图
加固施工工艺及步骤与梁相同。３．４施工要点粘贴５００
个非常有实用价值的公式。
ｍｍ碳纤维布后使预制
ｍｍ，
且横向搭接长度不小于５０
板的宽度取２００
度应不小于１００
４板的受剪加固
柱应进行受剪加固计算，而未对混凝土板进行要求
不宜小于受弯加固碳纤维布条带宽度的１／，取２００
布厚度的１／２。５结论５。１
位反映良好。
５＿２施工方便碳纤维片材厚度薄（仅０．１６７
ｍｍ）、重量轻（每平方米仅３００
备，对建筑使用净高也无任何影响。与其它的加固方
工方便，进度快，是目前较理想的一种病害结构的加固方法。参考文献：
［Ｓ］．（２］ＧＢ
（上接第７页）
图４道岔连接曲线支距示意图
第１２卷第１期铁道运营技术
Ｖ０１．１２Ｎｏ．１
２００６年１月
ＲａｉｌｗａｙｏｐｅｒａｄｏｎＴｅｃｈｎ０１０９ｙ
Ｊａｎｕａｑ．２００６
计算圆曲线正矢公式的推导与应用
邓昌大
（湖南交通工程职业技术学院，高级讲师，湖南衡阳４２１００１）
摘要：推导了圆曲线半径（Ｒ）、弦长（Ｌ）、正矢（Ｆ）三者之问的几何关系式肚眇（８Ｒ）。举例说明该式
在解决铁路轨道工程中圆曲线正矢计算，校核曲尖轨弯曲度，道岔曲线尖轨增补支距计算，曲线限界加宽计算等方面的具体应用。
关键词：圆曲线；半径；弦长；正矢中图分类号：Ｕ２１６．４２＋６
文献标识码：Ｃ
文章编号：１００６—８６８６（２００６）Ｏ卜０００６—０２
圆曲线半径（尺）、弦长（Ｌ）、正矢（Ｆ）三者之间的
肚（∥２）２／（躲一Ｆ）。
（１）
几何关系式肚肼（８尺），在铁路轨道设计、施工及养
在铁路曲线中，尺一般为几百至几千ｍ，而Ｆ不护中应用很广泛。正确理解应用该式，可以很方便足零点几ｍ，由于Ｆ与２尺相比甚小，因此（１）式可地解决现场生产中许多具体问题。近似写成为：
肚∥８尺，
（２）
１
公式推导
上式即为圆曲线半径，弦长，正矢之间的几何关
系式。
Ｆ＝肼（８尺）公式的推导如图１所示，在圆曲线
上的两点（Ｂ、Ｃ）间连一直线得弦ＢＣ，ＢＣ上任一点２公式应用
到弦ＢＣ的垂直距离叫矢距，在中央点的矢距ＡＤ又称正矢。圆曲线半径为Ｒ，令ＡＤ＝Ｆ，ＢＣ＝Ｌ，根据几２．１
圆曲线正矢的计算
在铁路曲线的养护维修
何关系得：
中，常用绳正法拨正曲线的方向。根据《铁路线路维
ＣＤＬＡＤ×ＤＥ．
修规则》要求，测量曲线正矢的弦线长Ｌ常用２０ｍ（上／２）２＝Ｆ・（２Ｒ—Ｆ），
或１０
ｍ。
２．１．１
当Ｌ＝２０ｍ时，计算圆曲线的正矢
肚鲁＝等×，ｏｏｏ＝掣等…
式中：尺为圆曲线半径，单位为ｍ。２．１．２当Ｌ＝１０ｍ时，计算圆曲线的正矢
乃鲁＝罟×，ｏｏｏ＝半…
２．２现场铁路曲线半径的估算
对于个别曲线，特
别是道岔后方的连接曲线，曲线半径有可能无资料Ｅ
可查，可通过现场实测圆曲线的正矢平均值反算曲图１
圆曲线正式计算示意图
线半径，例如用１０ｍ弦量取某曲线３点正矢分别为
计算圆曲线正矢公式的推导与应用
３２ｍｍ、４０ｍｍ、３６
脚半＝３６
ｍ。
ｍｍ，则
ｍｍ；
２．３道岔转辙部分曲尖轨弯曲度的校核为了准
确掌握曲尖轨的弯曲度，可以通过比较曲尖轨的理论曲度正矢与实测正矢进行判断。以６０Ａ７ｒ＿１２单
ｍ。
尺：墨罂：马婴：３４７．２２１、一——ｊｉ－：＿一一——ｊ石一一Ｊ叶，．二二儿‘。
应为３５０
开道岔为例，曲线尖轨总长为１１
３００
ｍｍ，曲线尖轨
连接曲线的半径一般为５０ｍ的整倍数，于是Ｒ
前有２７２８ｍｍ的直线段，将后段圆曲线部分平均分为４段
＝２１４３
（每段长度为上－半
ｍｍ；
ｍｍ），设
置正矢测点如图２所示。
／Ｉ
《
骝鼎霍曲
，１
图示总正矢Ｂ鲁＝２６
嚣
图示各点正矢Ｂ嚣鹅告＝６．５ｍｍ。
同理，对于提速道岔，也可以根据其曲线尖轨的
平面形状进行计算。
２．４
道岔曲线尖轨增补支距的计算
以６０Ａ卜１２
单开道岔为例，如图３所示，为了检查曲线尖轨的方
图２
６０ＡＴ一１２单开遒岔曲线尖轨计算示意图（单位：ｍｍ）
向，在第一、二、三顶铁处设置增补支距点，三点支距分别为ｙＩ、ｙ２、匕。
图３
６０ＡＴ．一１２单开道岔曲线尖轨增补支距计算示意图（单位：ｍｍ）
４１４．５×２）２ｙ一（７…
８×３５０７１７．５
＋１１．９５＝９０ｍｍ：
毕Ｂ象。
式中：尺外为连接曲线外股的半径；
Ｘ为连接曲线上任一点到ＹＺ点的横距；Ｅ为线间距。
ｙ一（８５０４．５×２）２
…８×３５０７１７．５
＋１１．９５＝１１５ｍｍ：
ｙ一（９５８７．５×２）２
。８×３５０７１７．５
＋１１．９５＝１４３ｍｍ。
２．５道岔后方连接曲线支距的计算道岔连接曲线支距，是指连接曲线曲外股工作边到直内股工作边的垂直距离。如图４所示，则任一点支距Ｋ计算的通式为
２．６
曲线建筑接近限界加宽的计算曲线限界加
宽，一是因为外股超高，在此不作讨论；另一原因是
刚性结构车体的中心线与曲线轨道中心线不相吻合，从而需要内、外侧限界加宽，如图５所示。
（下转第１０页）
７
梁。００行２与于大可。宜骤、不案梁０度步土宽方凝＝板Ｍ混（算矩固维对弯纤算，量．计加计碳…计设但设求贴］于，体Ｓ大要Ｓ匀矩质的粘弯型［均的中具范力７后故节布受维４工（大的．纤规，Ｃ碳算板４贴第¨维粘）计》纤何ｍ计施程・碳设规度固宽条《ＥＮ的任加构据条厚ｋ搭压弯根２，．条受结时．压要接于的搭向过，土小向方显Ｃ３明维纵宜果纤．效度需强凝碳不宽补力，间宽度受后４固开于混施加厚直屋，材不第比片垂房］条相维置层纤。，设合碳压（过ｍ叠用长》ｍ土采，凝板工混梁２设分可板部程０将楼即、，０高１加宽施梁２规将ｍ性或ｍ一钢粘弹如ｍ《法，ｍ０高ｍ１【据和０）度５０根ｇ５强拉抗ｍ高有具材２片维纤好果效
线曲导岔道算计式一告＝Ｆ用利以可还，外。此ｍ位．单ｍｍ华＝鲁，脚：，量径ｍ舰６２删取，半度长体车线为Ｌ：中曲式为尺
删脓量：ｗ外＝等＝华…
Ｚ为两转向架竖轴中心距，取１８ｍ，１０
加固计算相同），计算粘贴碳纤维布后的弯矩Ｍ＝
ｋＮ・ｍ。１２．１ｌ
３．３施工工艺
图５车体中心与轨道中心示意图
加固施工工艺及步骤与梁相同。３．４施工要点粘贴５００
个非常有实用价值的公式。
ｍｍ碳纤维布后使预制
ｍｍ，
且横向搭接长度不小于５０
板的宽度取２００
度应不小于１００
４板的受剪加固
柱应进行受剪加固计算，而未对混凝土板进行要求
不宜小于受弯加固碳纤维布条带宽度的１／，取２００
布厚度的１／２。５结论５。１
位反映良好。
５＿２施工方便碳纤维片材厚度薄（仅０．１６７
ｍｍ）、重量轻（每平方米仅３００
备，对建筑使用净高也无任何影响。与其它的加固方
工方便，进度快，是目前较理想的一种病害结构的加固方法。参考文献：
［Ｓ］．（２］ＧＢ
（上接第７页）
图４道岔连接曲线支距示意图