25−曲柄滑块机构与曲柄摇杆机构连杆上点的运动分析2014.1.18 1曲柄滑块机构的运动分析
图1所示为曲柄滑块机构，设曲柄1的杆长a＝AB＝0.090 m，连杆2的杆长b＝BC＝0.300 m，连杆上BD的杆长c＝0.420 m，BD的方位角β＝40º，曲柄1的角速度ω1＝1 rad/s。求滑块3的速度V3与加速度a3，连杆2上D点的位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy。
机构的位移方程及其解分别为
asinϕ−bsinθ=0⎫
(1) ⎬
acosϕ−bcosθ =S3⎭
S3=acosϕ+b2−a2sin2ϕ (2)
W
θ=arctan2[asinϕ/(acosϕ−S3)] (3)
对位移方程求关于φ的一阶导数，得类速度方程及其解ωL2
＝dθ/dφ、VL3＝dS3/dφ分别为
图1 曲柄滑块机构
acosϕ−b(dθ/dϕ)cosθ=0⎫
(4) ⎬
−asinϕ+b(dθ/dϕ)sinθ=dS3/dϕ⎭
ωL2=acosϕ/(bcosθ ) (5)
VL3=−asinϕ+bωL2sinθ (6)
ω2=dθ/dt=(dθ/dϕ)(dϕ/dt)=ωL2⋅ω1，V3=dS3/dt=(dS3/dϕ)(dϕ/dt)=VL2⋅ω1。
对类速度方程求关于φ的一阶导数，得类加速度αL2＝d2θ/dφ2、aL3＝d2S3/dφ2分别为
2αL2=(−asinϕ+bωL)/(bcosθ) (7) 2sinθ
2aL3=−acosϕ+bαL2sinθ+bωL(8) 2cosθ
α2=d2θ/dt2=(d2θ/dϕ2)(dϕ/dt)2=αL2⋅ω12，a3=d2S3/dt2=(d2S3/dϕ2)(dϕ/dt)2=aL3⋅ω12。
连杆2上D点的位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy分别为 xD=acosϕ+ccos(θ−π+β ) (9)
yD=asinϕ+csin(θ−π+β ) (10) VDx=−aω1sinϕ−cω2sin(θ−π+β ) (11) VDy=aω1cosϕ+cω2cos(θ−π+β ) (12)
2aDx=−aω12cosϕ−cα2sin(θ−π+β ) −cω2cos(θ−π+β ) (13)
2aDy=−aω12sinϕ+cα2cos(θ−π+β ) −cω2sin(θ−π+β ) (14)
2曲柄摇杆机构的运动分析
图2为分析连杆上点轨迹的曲柄摇杆机构。设曲柄1为主动件，令a、b、c和d分别表示曲柄1、连杆2、摇杆3与机架4的长度，a＝0.150 m，b＝0.450 m，c＝0.350 m，d＝0.400 m，连杆2的角位移为λ，摇杆3的角位移为ψ，连杆2上AP点与AB之间的夹角θ2＝275°，AP＝r＝0.650 m。曲柄1的角速度ω1＝1 rad/s。
曲柄摇杆机构的位移方程为
acosϕ+bcosλ=d+ccosψ⎫
(15) ⎬
asinϕ+bsinλ=csinψ⎭引入系数kA、kB和kC分别为kA＝－sinφ，kB＝d/a－cosφ，kC＝(d2＋c2＋a2－b2)/(2ac)－(d/c) cosφ，得摇
杆3的角位移方程及其解ψ分别为
kAsinψ+kBcosψ+kC=0 (16)
222ψ=2arctan2[(kA+kA+kB−kC)/(kB−kC)] (17)
由式(15)得连杆2的角位移λ为
λ=arctan2[(csinψ−asinϕ)/(d+ccosψ−acosϕ)] (18)
图2 曲柄摇杆机构
对式(15)求关于φ的一阶导数，得类速度方程及其解ωL2＝dλ/dφ、ωL3＝dψ/dφ分别为
−asinϕ−ωL2bsinλ=−ωL3csinψ⎫
(19) ⎬
acosϕ+ωL2bcosλ=ωL3ccosψ⎭
(20) ωL3=asin(ϕ−λ)/[csin(ψ−λ)]
ωL2=asin(ϕ−ψ)/[bsin(ψ−λ)] (21)
ω2=(dλ/dϕ)(dϕ/dt)=ωL2⋅ω1，ω3=(dψ/dϕ)(dϕ/dt)=ωL3⋅ω1。
对式(15)求关于φ的二阶导数，得类加速度方程及其解αL2＝d2λ/dφ2、αL3＝d2ψ/dφ2分别为
22
⎫−acosϕ−bωL2cosλ−bαL2sinλ=−cωL3cosψ−cαL3sinψ(22) ⎬ 22
−asinϕ−bωL+=−+λbαλcωψcαψsincos sincos2L2L3L3⎭22αL3=[acos(ϕ−λ)+bωLψ−λ)]/[csin(ψ−λ)] (23) 2−cωL3cos(22αL2=[acos(ϕ−ψ)+bωLψ−λ)−cωL(24) 2cos(3]/[bsin(ψ−λ)]
α2=(d2λ/dϕ2)(dϕ/dt)2=αL2ω12，α3=(d2ψ/dϕ2)(dϕ/dt)2=αL3ω12。
连杆2上P点的位移xP、yP，速度VPx、VPy与加速度aPx、aPy分别为
xP=acosϕ+rcos(λ+θ2) (25)
(26) yP=asinϕ+rsin(λ+θ2) (27) VPx=−aω1sinϕ−rω2sin(λ+θ2) (28) VPy=aω1cosϕ+rω2cos(λ+θ2)
2aPx=−aω12cosϕ−rα2sin(λ+θ2) −rω2cos(λ+θ2) (29)
2aPy=−aω12sinϕ+rα2cos(λ+θ2) −rω2sin(λ+θ2) (30)
3 课程上机内容与要求
(1) 生成曲柄滑块机构的计算数值位移S3，速度V3与加速度a3关于φ的Excel数据文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
(2) 生成曲柄滑块机构的计算数值位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy关于φ的Excel数据
文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
(3) 生成曲柄摇杆机构的计算数值角位移ψ，角速度ω3与角加速度α3关于φ的Excel数据文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
(4) 生成曲柄摇杆机构的计算数值位移xP、yP，速度VPx、VPy与加速度aPx、aPy关于φ的Excel数据文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
25−曲柄滑块机构与曲柄摇杆机构连杆上点的运动分析2014.1.18 1曲柄滑块机构的运动分析
图1所示为曲柄滑块机构，设曲柄1的杆长a＝AB＝0.090 m，连杆2的杆长b＝BC＝0.300 m，连杆上BD的杆长c＝0.420 m，BD的方位角β＝40º，曲柄1的角速度ω1＝1 rad/s。求滑块3的速度V3与加速度a3，连杆2上D点的位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy。
机构的位移方程及其解分别为
asinϕ−bsinθ=0⎫
(1) ⎬
acosϕ−bcosθ =S3⎭
S3=acosϕ+b2−a2sin2ϕ (2)
W
θ=arctan2[asinϕ/(acosϕ−S3)] (3)
对位移方程求关于φ的一阶导数，得类速度方程及其解ωL2
＝dθ/dφ、VL3＝dS3/dφ分别为
图1 曲柄滑块机构
acosϕ−b(dθ/dϕ)cosθ=0⎫
(4) ⎬
−asinϕ+b(dθ/dϕ)sinθ=dS3/dϕ⎭
ωL2=acosϕ/(bcosθ ) (5)
VL3=−asinϕ+bωL2sinθ (6)
ω2=dθ/dt=(dθ/dϕ)(dϕ/dt)=ωL2⋅ω1，V3=dS3/dt=(dS3/dϕ)(dϕ/dt)=VL2⋅ω1。
对类速度方程求关于φ的一阶导数，得类加速度αL2＝d2θ/dφ2、aL3＝d2S3/dφ2分别为
2αL2=(−asinϕ+bωL)/(bcosθ) (7) 2sinθ
2aL3=−acosϕ+bαL2sinθ+bωL(8) 2cosθ
α2=d2θ/dt2=(d2θ/dϕ2)(dϕ/dt)2=αL2⋅ω12，a3=d2S3/dt2=(d2S3/dϕ2)(dϕ/dt)2=aL3⋅ω12。
连杆2上D点的位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy分别为 xD=acosϕ+ccos(θ−π+β ) (9)
yD=asinϕ+csin(θ−π+β ) (10) VDx=−aω1sinϕ−cω2sin(θ−π+β ) (11) VDy=aω1cosϕ+cω2cos(θ−π+β ) (12)
2aDx=−aω12cosϕ−cα2sin(θ−π+β ) −cω2cos(θ−π+β ) (13)
2aDy=−aω12sinϕ+cα2cos(θ−π+β ) −cω2sin(θ−π+β ) (14)
2曲柄摇杆机构的运动分析
图2为分析连杆上点轨迹的曲柄摇杆机构。设曲柄1为主动件，令a、b、c和d分别表示曲柄1、连杆2、摇杆3与机架4的长度，a＝0.150 m，b＝0.450 m，c＝0.350 m，d＝0.400 m，连杆2的角位移为λ，摇杆3的角位移为ψ，连杆2上AP点与AB之间的夹角θ2＝275°，AP＝r＝0.650 m。曲柄1的角速度ω1＝1 rad/s。
曲柄摇杆机构的位移方程为
acosϕ+bcosλ=d+ccosψ⎫
(15) ⎬
asinϕ+bsinλ=csinψ⎭引入系数kA、kB和kC分别为kA＝－sinφ，kB＝d/a－cosφ，kC＝(d2＋c2＋a2－b2)/(2ac)－(d/c) cosφ，得摇
杆3的角位移方程及其解ψ分别为
kAsinψ+kBcosψ+kC=0 (16)
222ψ=2arctan2[(kA+kA+kB−kC)/(kB−kC)] (17)
由式(15)得连杆2的角位移λ为
λ=arctan2[(csinψ−asinϕ)/(d+ccosψ−acosϕ)] (18)
图2 曲柄摇杆机构
对式(15)求关于φ的一阶导数，得类速度方程及其解ωL2＝dλ/dφ、ωL3＝dψ/dφ分别为
−asinϕ−ωL2bsinλ=−ωL3csinψ⎫
(19) ⎬
acosϕ+ωL2bcosλ=ωL3ccosψ⎭
(20) ωL3=asin(ϕ−λ)/[csin(ψ−λ)]
ωL2=asin(ϕ−ψ)/[bsin(ψ−λ)] (21)
ω2=(dλ/dϕ)(dϕ/dt)=ωL2⋅ω1，ω3=(dψ/dϕ)(dϕ/dt)=ωL3⋅ω1。
对式(15)求关于φ的二阶导数，得类加速度方程及其解αL2＝d2λ/dφ2、αL3＝d2ψ/dφ2分别为
22
⎫−acosϕ−bωL2cosλ−bαL2sinλ=−cωL3cosψ−cαL3sinψ(22) ⎬ 22
−asinϕ−bωL+=−+λbαλcωψcαψsincos sincos2L2L3L3⎭22αL3=[acos(ϕ−λ)+bωLψ−λ)]/[csin(ψ−λ)] (23) 2−cωL3cos(22αL2=[acos(ϕ−ψ)+bωLψ−λ)−cωL(24) 2cos(3]/[bsin(ψ−λ)]
α2=(d2λ/dϕ2)(dϕ/dt)2=αL2ω12，α3=(d2ψ/dϕ2)(dϕ/dt)2=αL3ω12。
连杆2上P点的位移xP、yP，速度VPx、VPy与加速度aPx、aPy分别为
xP=acosϕ+rcos(λ+θ2) (25)
(26) yP=asinϕ+rsin(λ+θ2) (27) VPx=−aω1sinϕ−rω2sin(λ+θ2) (28) VPy=aω1cosϕ+rω2cos(λ+θ2)
2aPx=−aω12cosϕ−rα2sin(λ+θ2) −rω2cos(λ+θ2) (29)
2aPy=−aω12sinϕ+rα2cos(λ+θ2) −rω2sin(λ+θ2) (30)
3 课程上机内容与要求
(1) 生成曲柄滑块机构的计算数值位移S3，速度V3与加速度a3关于φ的Excel数据文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
(2) 生成曲柄滑块机构的计算数值位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy关于φ的Excel数据
文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
(3) 生成曲柄摇杆机构的计算数值角位移ψ，角速度ω3与角加速度α3关于φ的Excel数据文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
(4) 生成曲柄摇杆机构的计算数值位移xP、yP，速度VPx、VPy与加速度aPx、aPy关于φ的Excel数据文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。