2014年湖北理科数学高考试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. i为虚数单位，则(

1i2

)（） 1i

A.1 B. 1 C. i D. i 2. 若二项式(2x)的展开式中

的系数是84，则实数a（） x3

A.2 B. 4 C. 1 D.

2 4

3. 设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得AC,BCUC是“AB”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 4. 根据如下样本数据

D. 既不充分也不必要条件

ˆbxa，则（）得到的回归方程为y

A.a0,b0 B.a0,b0 C.a0,b0 D.a0.b0

5. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，

1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②

6. 若函数f(x),g(x)满足

出三组函数： ①f(x)sin



11

f(x)g(x)dx0,则称f(x),g(x)为区间1,1上的一组正交函数，给

x,g(x)cosx；②f(x)x1,g(x)x1；③f(x)x,g(x)x2 22

其中为区间[1,1]的正交函数的组数是（） A.0 B.1 C.2 D.3

x0

xy1

7. 由不等式y0确定的平面区域记为1，不等式，确定的平面区域记为2，

xy2yx20



在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（） A.

1137 B. C. D. 8448

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式v式中的圆周率近似取为3.那么近似公式v

Lh.它实际上是将圆锥体积公36

Lh相当于将圆锥体积公式中的近似取为 75

2215735525 B. C. D. 7501138

9. 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且F1PF2

曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）



,则椭圆和双

B. C.3 D.2 3

(xa2x2a23a2).若2

10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)

xR,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为

A．[

11116,] B．[] C．[,] D．[] ,,66336633

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（一）必考题（11—14题）



11. 设向量a(3,3)，b(1,1)，若abab，则实数________.



12. 直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C:x2y21分成长度相等的四

段弧，则ab________.

13. 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个

数字按从小到大排成的三位数记为Ia，按从大到小排成的三位数记为

Da（例如a815，则Ia158，Da851）.阅读如图所示的

程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b________. 14. 设fx是定义在0,上的函数，且fx0，对任意a0,b0，

若经过点a,fa,b,fb的直线与x轴的交点为c,0，则称c为a,b关

于函数fx的平均数，记为Mf(a,b)，例如，当fx1(x0)时，可得Mf(a,b)c即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.

（1）当fx_____(x0)时，Mf(a,b)为a,b的几何平均数；（2）当当fx_____(x0)时，Mf(a,b)为a,b的调和平均数（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，P为⊙O的两条切线，切点分别为A,B，过PA的中点

ab

，2

2ab

； ab

Q作割线交⊙O于C,D两点，若QC1,CD3,则PB_____

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

xt

已知曲线C1的参数方程是tt为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

y

3

立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为________

17.（本小题满分11分）

某实验室一天的温度（单位：

）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；

f(t)10

tsin



t,t[0,24)

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于

，则在哪段时间实验室需要降温？

18.（本小题满分12分）

已知等差数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）记

满足：=2，且，的通项公式.

成等比数列.

为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求

n的最小值；若不存在，说明理由.

19.(本小题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DPBQ02.

（Ⅰ）当1时，证明：直线BC1平面EFPQ;

（Ⅱ）是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？若

存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。（Ⅰ）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并

有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F1,0的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C. （Ⅰ）求轨迹为C的方程

（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点p2,1，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三

个公共点时k的相应取值范围。

22.（满分14分）（1）求函数f(x)

lnx

的单调区间； x

（2）求e3,3e,e,e,3,3这六个数中的最大数与最小数；

（3）将e3,3e,e,e,3,3这六个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论

参考答案

一、选择题

1.A 二、填空题

11. ±3

12. 2

13. 495

2.C

3.C

4.B

5.D

6.C

7.D

8.B

9.A

10.B

14.

（Ⅱ）x

（或填（Ⅰ）k（Ⅱ）k2x，其中k1,k2为正常数均可） 15. 4 三、解答题 17.解：

（Ⅰ）因为f(t)10又0t24，所以当t2时，sin(

16.

1）

1

tsint)102sin(t)， 12212123







t





7

,1sin(t)1 3123



t



)1； )1

当t14时，sin(

t



于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃。（Ⅱ）依题意，当f(t)11时实验室需要降温

由（Ⅰ）得f(t)102sin(即sin(

t)，故有102sin(t)11，

123123



1

t) 1232

711t又0t24，因此，即10t18 61236

在10时至18时实验室需要降温 18.解：

（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，故有(2d)2(24d)，

化简得d4d0，解得d0或d4



当d0时，an2；

当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列{an}的通项公式为an2或an4n2 （Ⅱ）当an2时，Sn2n，显然2n60n800，

此时不存在正整数n，使得S60n800成立当an4n2时，Sn

n[2(4n2)]

2n2

令2n60n800，即n30n4000，解得n40或n10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41 综上，当an2时，不存在满足题意的n；

当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41. 19.几何方法：

（Ⅰ）证明：如图1，连接AD1，由ABCDA1BC11D1是正方体，知BC1//AD1

当1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP//AD1，所以BC1//FP 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1//平面EFPQ。

（Ⅱ）如图2，连接BD,因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF//BD，且EF

BD，

又DPBQ,DP//BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ//BD，且PQBD，从而EF//PQ，且EF

PQ 2

在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP,BEDF

1，于是DQFP,

所以四边形EFPQ是等腰梯形。

同理可证四边形PQMN是等腰梯形。

分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G，连接OH,OG，则GOPQ,HOPQ，而GOHOO，故GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角

若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90 连接EM，FN，则由EF//MN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形连接GH，因为H，G是EF,MN的中点，所以GHME2 在

GOH中，GH4,OH12



212

OG21(2)221

(2)2， 2

222

由OGOHGH，得(2)

112

4，解得1，

222

故存在1向量方法：

EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。 2

以D为原点，射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系

Dxyz，由已知得



B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0,)，BC(2,0,2)，FP(1,0,)，

FE(1,1,0)



（Ⅰ）证明：当1时，FP(1,0,1)，



因为BC1(2,0,2)，所以BC12FP，即BC1//FP

而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1//平面EFPQ （Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n(x,y,z)，则

xy0,FEn0,由可得于是可取n(,,1) 

xz0FPn0

同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2,2,1) 若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，

则mn(2,2,1)(,,1)0，即(2)(2)10，

解得1

EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。故存在120.解：

（Ⅰ）依题意，p1P(40X80)

10350.2，p2P(80X120)0.7，5050

p3P(X120)

0.1 50

由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

99101

pC4(1p3)4C4(1p3)3p3()44()3()0.9477

101010

（Ⅱ）记水电站年总利润为Y（单位：万元）

（1）安装1台发电机的情形

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润

Y5000,E(Y)500015000

（2）安装2台发电机的情形

依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y50008004200，因此

P(Y4200)P(40X80)p10.2；

当X80时，两台发电机运行，此时Y5000210000，因此

P(Y10000)P(X80)p2p30.8；

由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)42000.2100000.88840 （3）安装3台发电机的情形

依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y500016003400，因此

P(Y3400)P(40X80)p10.2；

当80X120时，两台发电机运行，此时Y500028009200，因此

P(Y9200)P(80X

1202)p； 0.7

当X120时，三台发电机运行，此时Y5000315000，因此

P(Y15000P)X(

Y的分布列如下：

1)，由此得0.132p0

所以，E(Y)34000.292000.7150000.18620 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。 21.解：

（Ⅰ）设点M(x,y)，依题意得|MF||x|1|x|1，

化简整理得y2(|x|x) 故点M的轨迹C的方程为y2

4x,x0,

0,x0

（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1:y24x,C2:y0(x0)

依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)

y1k(x2),

由方程组2可得ky24y4(2k1)0 ①

y4x,

（1）当k0时，此时y1，把y1代入轨迹C的方程，得x

故此时直线l:y1与轨迹C恰好有一个公共点(,1)

（2）当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1) ②

设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0

1 4

2k1

③ k

0,1

（ⅰ）若由②③解得k1，或k

2x00,

即当k(,1)(,)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。

0,0,11

（ⅱ）若或由②③解得k{1,，或k0

22x00,x00,

即当k{1,时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点，

,0)时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点， 211

故当k[,0){1,时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点。

当k[

0,11

（ⅲ）若由②③解得1k，或0k

22x00,

即当k(1,)(0,)时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点。

综合（1）（2）可知，当k(,1)(,){0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k[

212

1111

,0){1,时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k(1,)(0,)时，直线2222

l与轨迹C恰好有三个公共点。

22.解：

（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)，因为f(x)

lnx1lnx

，所以f(x) 2xx

当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减。

故函数f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)

（Ⅱ）因为e3，所以eln33ln,lneln3，即ln3elne,lneln3

于是根据函数ylnx,yex,yx在定义域上单调递增，可得

3ee3,e3e3

故这6个数的最大数在与3之中，最小数在3与e之中。由e3及（Ⅰ）的结论，得f()f(3)f(e)，即

e3

ln





ln3lne

 3e

ln333

，得lnln3，所以3；

3ln3lnee3e3

由，得ln3lne，所以3e 3e

由

ln



综上，6个数中最大数是3，最小数是3

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，33,3e，又由（Ⅱ）知，

故只需比较e与和e与的大小由（Ⅰ）知，当0xe时，f(x)f(e)

e

ee3e3

ln





lnee

，得e， e

3

1lnx1

 ，即

exe

在上式中，令x即得ln2



，又



e，则ln







，从而2ln



，



①

由①得，elne(2



)2.7(2

2.72

)2.7(20.88)3.0243， 3.1

e33e

即eln3，亦即lnlne，所以e

又由①得，3ln6



6e，即3ln，所以e3



综上可得，3ee3，即6个数从小到大的顺序为3e,e3,e,e,3,3

e