平面向量唯一分解途径

　　【内容摘要】平面中任一向量可用任意两个不共线向量来线性表示，但中间过程有时仅通过平行四边形法则和三角形法则很难达到目标。应用平面向量非坐标系下定比分点公式、坐标法、向量内积法等方法来处理平面向量唯一分解可事半功辈。

　　【关键词】平面向量基本定理定比分点公式法坐标法内积法

　　作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多在体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究，这样的一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程。向量的基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，它是前面向量运算的延伸，又是后面平面向量坐标表示的基础，它是搭建向量几何运算和代数运算的桥梁，在向量知识体系中处于核心地位。

　　平面向量基本定理告诉我们：平面上的任一向量可以由这个平面内的任意两个不共线的向量表示。也就是说，平面上的任意两个不共线的向量都可以表示这个平面上的任意向量。平面向量坐标的实质是将平面向量分解到分别与x轴、y轴正向同向两单位向量，但其中过程是学生学习难点，有时仅通过平行四边行法则和三角形法则无法轻易达到目标，这里介绍定比分点公式法、坐标法和向量内积法三种方法，来处理平面向量的唯一分解。

　　一、非坐标系下定比分点公式法

　　向量的定比分点公式在我们印象中仅是坐标形式，其实在一般非坐标系下一样可利用它来处理向量唯一分解问题：设P分有向线段所成的比为λ，即，若O为平面内的任一点（O点未必是原点），则：

　　称为定比分点公式的向量形式。应用定比分点公式向量形式可以简化直接得出向量的唯一分解形式。

　　【例1】如图，在△ABC中∠B ＝，∠C＝，∠A的平分线交BC 于点D，设，则

　　______。

　　分析：常规解法是根据角平分线性质先计算出，再由三角形法则可以计算出λ、μ，过程这里省略，只介绍非坐标系下定比分点公式法。

　　解：由内角平分线性质得

　　即

　　大家可以应用此法来证明内角平分线定理。

　　二、坐标法

　　平面向量唯一分解问题若从几何角度很难找到线性关系，可以先建立直角坐标系，将一般分解转化为直角坐标系下的正交分解。引入坐标系后，结合三角函数知识，找到点的坐标，再通过向量坐标运算可轻易找到向量之间的线性关系。这种方法可以说是向量分解的通法，是万能法。方法关键是在坐标系中找点的坐标。

　　【例2】如下图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，求

　　的值。

　　解法一：根据向量的加减法法则有：

　　此时

　　解法二：坐标法

　　以AC所在直线为了x轴，A为原点建立直角坐标系，如图：

　　则A（0，0），B（2cos120°，2sin120°）即，，

　　。

　　三、内积法

　　有时平面向量唯一分解从几何上有困难时，可考虑从代数角度入手，设，运算

　　的内积，结合方程思想，通过方程组解出λ、μ的值，从而达到向量唯一分解目标。

　　【例3】在钝角△ABC中，AC=2，AB=1，其面积为，O是△ABC的外心，设

　　，求s，t的值。

　　内积法：由三角形面积：

　　得

　　∴A=60°或A=120°

　　但当A=60°时，BC= ，△ABC为直角三角形（舍去）

　　当A=120°时，BC=

　　此时△ABC外接圆的半径

　　由余弦定理知，

　　又，两边同时分别点乘有：

　　为所求。

　　学生若能突破平面向量的唯一分解，向量这个工具才能发挥其最大功效。还记得一个调研试题：

　　在△ABC中，，

　　BC=2，O为△ABC的外心，

　　若

　　求m，n值。当时学生普遍得分率极低，明明一个很简单问题而失分就是因为用常规解法分解向量难度很大，根本联系不到用坐标法或内积法来处理向量的唯一分解，了解了以上这三种方法之后相信此题不再是难题，大家可以不妨一试。

　　（作者单位：江西省南昌市第二中学）