二次函数求最大利润问题的教学设计
范亚书
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y ＝x 2开始，然后是y ＝ax 2，y ＝ax 2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y ＝ax 2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。
二、教学任务分析
“怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是：
(一) 知识与技能
1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小) 值，发展解决问题的能力。
(二) 过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
(三) 情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。
第一环节 复习回顾
活动内容：
1．复习二次函数y ＝ax 2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。 2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额
活动目的：为后面新课作准备
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：（有关利润的问题）
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如果调整价格，每涨价1元，每星期少卖10件，每降价1元。每星期多卖18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能获得最大利润？ 讨论涨价与降价都有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？ 1涨价情况下最大利润是多少？
想一想：若每件涨价x 元则此商品
(1)每件利润为元。
(2)每星期销售额可以表示为
(3)所获利润可以表示为；
(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是． 这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来。
设每星期所获利润为y 元，则y=（60-40+x ）
(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。当x=5时y 的最大值是6250
即当在涨价情况下，涨价5元，定价65元时，每星期所获利润最大，最大利润是6250元。
2、在降价情况下，最大利润又是多少？
我们用类似的方法进行分析：
设每件降价x 元，所获利润为y 元，则有y=（60-40-x ）
(300+18x)=-18(x-2)2+6050所以，当x=2时，y 的最大值为6050.
即在降价情况下，降价2元，定价58元时，利润最大，最大利润是6050元。
活动目的：
通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容。
第三环节 巩固练习
活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1. 验证猜测；2. 进一步分析）
1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵) 与橙子总产量y(个) 的函数关系是：二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000。
当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。
实际教学效果：
大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。
y ＝-5x 2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2+60500。 当x=10时，y 最大=60500。
2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 实际教学效果：
学生可以顺利解决这个问题，答案如下
(1)当x10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小。
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上。
第四环节 实践应用
活动内容：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价, 才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价为；元，销售利润为y 元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x 2+1400x-20000
＝-20(x-35)2+4500。
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
第五环节 课堂小结
本节课经历了探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小) 值，提高解决问题的能力。 本节所学思想方法：建立函数关系，用函数的观点、思想分析实际问题。 第六环节 课后作业
习题2．7第1，2题
二次函数求最大利润问题的教学设计
范亚书
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y ＝x 2开始，然后是y ＝ax 2，y ＝ax 2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y ＝ax 2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。
二、教学任务分析
“怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是：
(一) 知识与技能
1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小) 值，发展解决问题的能力。
(二) 过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
(三) 情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。
第一环节 复习回顾
活动内容：
1．复习二次函数y ＝ax 2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。 2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额
活动目的：为后面新课作准备
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：（有关利润的问题）
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如果调整价格，每涨价1元，每星期少卖10件，每降价1元。每星期多卖18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能获得最大利润？ 讨论涨价与降价都有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？ 1涨价情况下最大利润是多少？
想一想：若每件涨价x 元则此商品
(1)每件利润为元。
(2)每星期销售额可以表示为
(3)所获利润可以表示为；
(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是． 这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来。
设每星期所获利润为y 元，则y=（60-40+x ）
(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。当x=5时y 的最大值是6250
即当在涨价情况下，涨价5元，定价65元时，每星期所获利润最大，最大利润是6250元。
2、在降价情况下，最大利润又是多少？
我们用类似的方法进行分析：
设每件降价x 元，所获利润为y 元，则有y=（60-40-x ）
(300+18x)=-18(x-2)2+6050所以，当x=2时，y 的最大值为6050.
即在降价情况下，降价2元，定价58元时，利润最大，最大利润是6050元。
活动目的：
通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容。
第三环节 巩固练习
活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1. 验证猜测；2. 进一步分析）
1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵) 与橙子总产量y(个) 的函数关系是：二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000。
当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。
实际教学效果：
大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。
y ＝-5x 2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2+60500。 当x=10时，y 最大=60500。
2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 实际教学效果：
学生可以顺利解决这个问题，答案如下
(1)当x10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小。
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上。
第四环节 实践应用
活动内容：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价, 才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价为；元，销售利润为y 元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x 2+1400x-20000
＝-20(x-35)2+4500。
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
第五环节 课堂小结
本节课经历了探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小) 值，提高解决问题的能力。 本节所学思想方法：建立函数关系，用函数的观点、思想分析实际问题。 第六环节 课后作业
习题2．7第1，2题