分类号 编 号
毕业论文
题 目 矩阵初等变换的应用 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 雷高龙 班 级 09数应2班 学 号 298010112 研究类型 研究综述 指导教师 贾凤玲 讲师 提交日期 2013年5月19日
原创性声明
本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师
的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
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论文作者签名： 年 月 日
论文指导教师签名：
矩阵初等变换的应用
雷高龙
（天水师范学院，数学与统计学院，甘肃 天水，741000）
摘 要 矩阵的初等变换是线性代数中的重要工具，本文通过具体的例子，总结了矩阵
的初等变换在数字矩阵，分块矩阵等的应用.
关键词 初等变换；分块矩阵；最大公因式；矩阵方程；二次型
Applications of matrix elementary transformation
Lei Gaolong
(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,Gansu)
Abstract The elementary transformations of matrix is very important tool, this paper
discusses the applications of the elementary transformation in mathematical matrix and block matrix etc.
Keywords elementary transformation, block matrix, the greatest common factor, matrix
equation, quadratic form
目录
0引言 ............................................................................................................................................................. 1 1预备知识 ..................................................................................................................................................... 1 2初等变换在数字矩阵中的应用. . ................................................................................................................ 1
2.1计算矩阵的单位阵 . .......................................................................................................................... 1 2.2利用矩阵的初等变换判断矩阵的可逆性 . ...................................................................................... 2 2.3利用矩阵的初等变换求逆矩阵 . ...................................................................................................... 2 2.4利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 . .................................................................................................. 3 2.5判断向量组的线性相关性 . .............................................................................................................. 3 2.6求向量组的一个极大无关组与向量组的秩 . .................................................................................. 4 2.7初等变换求线性方程组. . ................................................................................................................. 5 2.8初等变换化二次型为标准形. . ......................................................................................................... 6 3初等变换在分块矩阵中的应用 . ................................................................................................................. 6
3.1分块矩阵的初等变换及其性质 . ...................................................................................................... 6 3.2 分块矩阵初等变换的应用 . ............................................................................................................. 8 4 矩阵初等变变换的其他应用 . ................................................................................................................ 10
4.1 利用矩阵的初等变换求多个多项式的最大公因式 . ................................................................... 10 4.2 利用矩阵的初等变换解多元一次不等式 . ..................................................................................11 参考文献 ...................................................................................................................................................... 14
矩阵的初等变换的应用
0引言
矩阵的初等变换在线性代数中发挥着非常重要的作用，也是线性代数的教学重点. 本文讨论了初等变换在数字矩阵、分块矩阵等方面的应用.
1预备知识
矩阵的初等变换是指对矩阵实施以下三种变换. [1] （1）互换矩阵中任意两行（列）的位置；
（2）用数域中的一个非零数乘矩阵中的每一行（列）；
（3）把矩阵中的某一行（列）的c 倍加到另一行（列），其中c 是数域中的任一个数. 注：
（1）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,
（2）矩阵的初等变换不改变行（列）向量组的线性相关性.
2初等变换在数字矩阵中的应用.
2.1计算矩阵的单位阵
⎛214⎫
⎪
例2.1.1把矩阵 410⎪化为单位阵.
12-1⎪⎝⎭
解
⎛214⎫⎛214⎫
⎪ ⎪410→0-1-8 ⎪ ⎪ 12-1⎪ 12-1⎪⎝⎭⎝⎭⎛100⎫ ⎪010 ⎪. 001⎪⎝⎭
⎛⎫⎛
214⎪ 2 ⎪ → 0-1-8⎪→ 0 ⎪ 3
-3⎪ 0 0
⎝2⎭⎝
013
2
⎫-4⎪⎛10-2⎫⎪ ⎪8⎪→ 018⎪→
00-15⎪⎪
⎝⎭-3⎪
⎭
2.2利用矩阵的初等变换判断矩阵的可逆性
利用初等变换将矩阵为阶梯形，若对应的行列式不为零则矩阵可逆，且行列式的值是主对角线上各元素之积.
⎛214⎫ ⎪410 ⎪. 12-1⎪⎝⎭
解
⎛-25-13⎫⎛1-9137⎫
⎪ ⎪1-9137-25-13⎪→ ⎪→ A =
3-15-5⎪ 3-15-5⎪ ⎪ ⎪⎝28-7-10⎭⎝28-7-10⎭
⎛1-9137⎫
⎛1-9137⎫ ⎪ ⎪ 0-132517⎪ 0-132517⎪→ 00168⎪. 00168⎪ ⎪ ⎪ 3⎪
12⎭ 000⎪⎝00
⎝2⎭
显然A ≠0，故A 可逆，又由于上述初等变换过程中曾进行过一次两行互换，故A =-（-13）×16×
3
=312. 2
2.3利用矩阵的初等变换求逆矩阵
设A 为n 介可逆矩阵，将A 与E 组成一个n 行2n 列矩阵(A , E ) 做一系列行初等变换即可求出A -1, 用这种方法求可逆矩阵，应注意的是只能进行行初等变换.
32⎫⎛1 ⎪
例2.3.1求A -1，已知A = -1-21⎪.
241⎪⎝⎭
解 由于 (A , E )
=
⎛132100⎫ ⎪-1-21010 ⎪ 241001⎪⎝⎭
→
⎛132100⎫
⎪013110 ⎪ 0-2-3-201⎪⎝⎭
→
57⎫⎛
100-2
⎛10-7-2-30⎫ 33⎪
⎪ ⎪
110⎪→ 0101-1-1⎪. 013
003 ⎪021⎪⎝⎭ 001021⎪
33⎭⎝57⎫⎛
-2 33⎪ ⎪
所以A -1= 1-1-1⎪.
21⎪ 0⎪
33⎭⎝
2.4利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
利用初等变换求矩阵的秩，是利用初等变换不改变矩阵的秩，将矩阵化为阶梯形矩阵，从而求原矩阵的秩.
例2.4.1求r (A ). 已知
⎛1-3
-15A =
20
⎝-5-2
2-2⎫
⎪14⎪
.
3-4⎪
⎪1-3⎭
解 由于
⎛1-3
5 -1 A =
20
⎝-5-2
2⎛1-3
2-2⎫
023⎪
14⎪
→
⎪ 00-103-4⎪ 171-300-⎭
⎝2-2⎫-2⎫⎛1-32
⎪⎪
32⎪2⎪ 02
-6⎪. -6⎪→ 00-10
⎪⎪
209⎪0--26⎪⎪ 00⎪20⎭⎭⎝
因此r (A )=4. 2.5判断向量组的线性相关性
n 维向量组α1, α2, „, αs 线性相关的充要条件是以α1, α2, „, αs 为列向量的矩阵的秩小于向量的个数s ，反之，n 维向量组α1, α2, „, αs 线性无关的充要条件是：以α1, α2, „, αs 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数. 因此判断一个向量α1, α2, „,
αs 的相性相关性可通过矩阵的初等变换讨论矩阵的秩.
例2.5.1判断下列向量的线性相关性.
(1) α1=(1,-2,1,-5), α2=(2,-1,3,1), α3=(4,-3,-1,6)
(2) β1=（2，-1,3,1），β2=（4,-2,5,4），β3=(2,-1,4,-1) 解（1）因为
2⎛1
-2-1
13
⎝-51
⎛14⎫ 0⎪ -3⎪→ 0⎪ -1⎪ 6⎭
0⎝4⎫⎪
35⎪
20⎪0-⎪.
3⎪23⎪0⎪
3⎭
2
⎛124⎫ ⎪-2-1-3⎪=3（向量的个数）. r
13-1⎪ ⎪-516⎝⎭
所以向量组α1，α2，α3线性无关.
⎛242⎫⎛0-44⎫⎛000⎫ ⎪ ⎪ ⎪-1-2-102-2000⎪→ ⎪→ ⎪, (2)
354⎪ 0-77⎪ 0-77⎪ ⎪ ⎪ ⎪14-114-114-1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛242⎫ ⎪-1-2-1⎪=2
354⎪ ⎪14-1⎝⎭
所以，向量组β1，β2，β3线性相关. 2.6求向量组的一个极大无关组与向量组的秩
例2.6.1设向量组
α1=（1，-1,-1,3），α2=（-1,1，-3，-1），α3=（-1，-3,1，-1），α4=（-3，-1，-1,1），求向量组α1，α2，α3，α4 的秩与此向量组的一个极大无关组，并把其于向量用极大无关组线性表示.
解 因为
⎛1-1-1-3⎫⎛1-1-1 ⎪ -11-3-1 ⎪→ 00-4 -1-31-1⎪ 0-40 ⎪ -3-1-11⎝⎭⎝0-4-4-3⎫⎛1
⎪ -4⎪ 0
→-4⎪ 0⎪ -8⎭⎝00-1-2⎫⎛1
⎪
011⎪ 0
→
101⎪ 0
⎪
011⎭⎝000-1⎫
⎪
011⎪
.
101⎪
⎪
000⎭
所以，秩（α1，α2，α3，α4）=3，且向量组的一个极大无关组为α1，α2，α3，有初等变换知α4=-α1+α2+α3. 2.7初等变换求线性方程组.
求线性方程组AX =B 的解可以采用对增广矩阵[A B ]作初等变换的方法，把矩阵
[A B ]化为阶梯矩阵，由A 与B 的秩是否相等来判断它是否有解，以及有解时是有唯一
解还是无穷多解. 在此过程中只需对增广矩阵做初等行变换.
⎧x 1-x 2-x 3+x 4=0⎪
例2.7.1. 求非齐次性方程组⎨x 1-x 2+x 3-3x 4=-2.
⎪x -x -2x +3x =1
34⎩12
0⎫⎛1-1-110⎫⎛1-1-11
⎪ ⎪
解[A b ]= 1-11-3-2⎪→ 002-4-2⎪→
1-1-231⎪ 00-121⎪⎝⎭⎝⎭⎛1-1-1
00-1
000⎝
1⎫0
⎪2⎪1. 0⎪⎭0
r [A ]=r [A b ]=2
所以线性方程组有无穷多解，且线性方程组含有两个自由未知量，则基础解系中含有两个线性无关的向量.
⎧x 1=x 2+x 3-x 4
⎪x 2=x 2⎧x 1-x 2-x 3+x 4=0⎪
方程组等价于⎨⇒⎨x =-1+2x .
-x 3+2x 4=14⎪3⎩
⎪x 4=x 4⎩
⎡-1⎤
⎢0⎥
⎡x 2⎤⎡0⎤
令⎢⎥=⎢⎥，得到ζ0=⎢⎥.
⎢-1⎥⎣x 4⎦⎣0⎦
⎢⎥⎣0⎦
⎧x 1=x 2+x 3-x 4⎪x 2=x 2⎪
方程组所对的齐次线性方程组为⎨.
x =-1+2x 4⎪3⎪x 4=x 4⎩
⎡1⎤⎡1⎤
⎢1⎥⎢0⎥1⎡⎤x ⎡x 2⎤⎡0⎤⎡⎤2
令⎢⎥=⎢⎥，得到ζ1=⎢⎥，⎢⎥=⎢⎥，得到ζ2=⎢⎥.
⎢0⎥⎢2⎥⎣x 4⎦⎣0⎦⎣x 4⎦⎣1⎦
⎢⎥⎢⎥
⎣0⎦⎣1⎦
所以方程组的通解为ζ=ζ0+ζ1+ζ2. 2.8初等变换化二次型为标准形.
形如f (x 1 x n )=X T AX , 其中(x 1 x n ), A 为实对称矩阵，称为实二次型. 而实二次型恒可经满秩的线性变换化为标准形.
例2.8.1将二次型化为标准形f (x , y , z ) =x2+4xy-4xz+4y2-2yz 化为标准形.
⎛12-2⎫
⎪24-1 ⎪ -2-10⎪⎡A ⎤c 3+c 2→解 ⎢⎥= ⎪−−−
⎣E ⎦ 100⎪
010⎪ 001⎪⎪⎝⎭
⎛10
0-9 2 00
1-2 1 0-
2 3 0-⎝2
0⎫
⎪0⎪⎪2⎪⎪0⎪. ⎪1⎪⎪⎪1⎪⎭
T
⎛1 2 0 1 0 0⎝20⎫
⎪43⎪32⎪r 3+r 2→
⎪−−−00⎪11⎪
⎪01⎪⎭⎛120⎫
⎪243 ⎪ -2-1-1⎪ ⎪→„ 100 ⎪ 011⎪ 001⎪⎪⎝⎭
所以，二次型的标准形为f (x 1, y 1, z 1)=x 12-
92
y 1+2z 12 2
3初等变换在分块矩阵中的应用
3.1分块矩阵的初等变换及其性质
为方便起见，我们以常用的2×2分块矩阵做定义.
定义1[1] 对分块矩阵实行下列三种初等变换： (1)互换分块矩阵的某两行(列) ；
(2)用一个非奇异矩阵左(右) 乘分块矩阵的某一行(列) ；
(3)用一个非零矩阵左(右) 乘分块矩阵的某一行(列) 加至到另一行(列) 上， 分别称上述三种初等行(列) 变换为分块矩阵的初等行(列) 变换.
定义2 对m +n 阶单位矩阵作2×2分块，即I m +n
初等行（列）变换所得到的新矩阵为分块单位矩阵.
由定义1和定义2 可得分块矩阵具有以下形式：
⎛0
(1)分块初等对换阵
⎝I m
I n ⎫⎪ 0⎭
[1]
⎛I m = ⎝00⎫
⎪ 然后对其做相应的I n ⎭
⎛P
(2)分块初等倍乘阵
⎝0⎛I m
(3)分块初等倍加阵
⎝0
0⎫⎛I m ⎪， I n ⎭⎝0R 1⎫⎛I m ⎪， S I n ⎭⎝
0⎫
⎪ Q ⎭
0⎫⎪ I n ⎭
其中P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R 1∈R m ⨯n , S ∈R m ⨯n 为非零阵.
性质[2] 分块初等矩阵都是可逆的，且
⎛0(1)
⎝I m
I n ⎫ ⎛0
=⎪ 0⎭⎝I n
-1-1
I m ⎫
⎪; 0⎭
⎛P -1⎛P 0⎫
(2) ⎪=
0I n ⎭⎝⎝0
I m
(3) ⎛
⎝0
R 1⎫⎛I m
=⎪ I n ⎭⎝0
-1
⎛I m 0⎫
， ⎪ I n ⎭⎝00⎫⎛I m
=⎪ Q ⎭⎝0
-1
0⎫
⎪; Q -1⎭
⎛I m -R 1⎫
⎪， S I n ⎭⎝0⎫⎛I m
=⎪ I n ⎭⎝-S
-1
0⎫
⎪; I n ⎭
证明 因为
⎛0
(1)
⎝I m
I n ⎫⎛0⎪ 0⎭⎝I m
-1
-1
I n ⎫⎛0
⎪= 0⎭⎝I n 0⎫⎛P -1⎪= I n ⎭⎝0
I m ⎫⎪0⎭
⎛0 ⎝I m I n ⎫⎛I m
⎪= 0⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= I n ⎭⎝0
0⎫⎪; I n ⎭0⎫⎪, I n ⎭
⎛P 0⎫⎛P 2 () ⎪
00I n ⎭⎝⎝0⎫⎛P
⎪ I n ⎭⎝0
⎛I m ⎝0⎛I m
(3)
⎝0⎛I m
⎝S
0⎫⎛I m ⎪ Q ⎭⎝0R 1⎫⎛I m
⎪ I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪ I n ⎭⎝S
-1-1
-1
0⎫⎛I m ⎪= Q ⎭⎝00⎫⎛I m
⎪ Q -1⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= 0Q ⎭⎝0⎫⎪; I n ⎭0⎫⎪; I n ⎭0⎫⎪. I n ⎭
R 1⎫⎛I m
⎪= I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= I n ⎭⎝-S
-R 1⎫⎛I m
⎪ I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪ I n ⎭⎝S
R 1⎫⎛I m
⎪= I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= I n ⎭⎝0
所以分块矩阵都是可逆的. 定理3.1.1
[5]
⎛A B ⎫
对2×2分块矩阵H = ⎪作分块初等行（列）变换，相当于用相
⎝C D ⎭
应的分块初等矩阵左（右）乘H 矩阵（要可乘，可加）.
⎛A B ⎫
证明 记H = ⎪的分块形式与分块单位矩阵有同样的分块形式，则用分块矩阵
C D ⎝⎭
的乘法可得 (1)
⎝I m
⎛0
I n ⎫⎛A ⎪ 0⎭⎝C
B ⎫⎛C D ⎫
⎪= ⎪; D ⎭⎝A B ⎭
⎛P (2)
⎝00⎫⎪I n ⎭
⎛A B ⎫⎛PA PB ⎫⎛I m 0⎫⎛A B ⎫⎛A B ⎫ ⎪= ⎪, ⎪ C D ⎪= ⎪; C D C D 0Q QC QD ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B +R 1D ⎫
⎪, D ⎭
⎛I m
(3)
⎝S ⎛I m
⎝S
0⎫⎛A B ⎫⎛A +R 1C
= ⎪ ⎪I n ⎭⎝C D ⎭⎝C
B ⎫0⎫⎛A B ⎫⎛A
⎪⎪= C +SA D +SB ⎪. I n ⎭ C D ⎭⎝⎭⎝
右乘情况可类似证明得到相应结果，这里不再证明. 3.2 分块矩阵初等变换的应用
定理3.2.1
[3]
⎛A B ⎫ 设n 阶方阵M = ⎪（其中
C D ⎝⎭
A ∈R r ⨯r , B ∈R r ⨯(n -r ) , C ∈R (n -r ) ⨯r , D ∈R (n -r ) ⨯(n -r ) ），M 是非奇异阵的充要条件是：n ⨯2n 矩⎛I r ⨯r
阵（M , I r +(n -r ) ）=
⎝0
⎫⎪ I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
经过有限次初等变换化为（I r +(n -r ) , M 1）, 则有M 1=M -1.
p i （i =1,2, , s ）为分块初证明 因为M 非奇异，所以M =PP 12 P S =PP 12 PI n ，
⎛A i 0A B ⎫⎛A 1B 1⎫⎛A 2B 2⎫⎛A S B S ⎫⎛I r ⨯r ⎫p 等矩阵，则⎛=，其中=i ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝C i ⎝C D ⎭⎝C 1D 1⎭⎝C 2D 2⎭⎝C S D S ⎭⎝0I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
B i ⎫
⎪D i ⎭
（i =1,2, , s ）与M 有同样的分块，于是
⎛A s B s ⎫⎛A 1B 1⎫⎛A B ⎫⎛I r ⨯r ⎪ ⎪ ⎪= 0C D C D C D ⎭⎝s ⎭⎝11⎭⎝⎝s
-1
-1
⎫
⎪. （1） I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
同时
⎛A s
⎝C s
B s ⎫⎛A 1
⎪ D s ⎭⎝C 1
-1
B 1⎫⎛I r ⨯r
⎪ D 1⎭⎝0
-1
⎫⎛A B ⎫⎪=⎪. (2) I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭ ⎝C D ⎭
-1
因为分块初等矩阵的逆还是分块初等矩阵，比较（1）和（2）可知，在通过分块初
⎛I r ⨯r
等行变换把分块可逆矩阵M 化为分块单位矩阵
⎝0⎛I r ⨯r ⎝0
⎫
⎪时，对分块单位矩阵
I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
⎫-1
⎪施行同样的分块初等行变换，就得到M 的逆矩阵M . 对分块可逆矩阵M
I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
⎫
⎪施行分块初等列变换可得到类似结果. 于是M 是非奇异
I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
⎛I r ⨯r
和分块单位矩阵
⎝0
矩阵的充要条件是：n ⨯2n 矩阵（M , I r +(n -r ) ）经过有限次初等变换化为(I r +(n -r ) , M -1).
例3.2.1
[6]
设A , B 分别为n ⨯m 和m ⨯n 阵，且I n +AB 是n 阶非奇异矩阵，证明
I n +BA 是非奇异的，并求其逆.
⎛I
证明 考虑n +m 阶矩阵M = n
⎝0
⎛I n ⎝0
I m +BA B -A
I n
0⎫⎛I n ⎪→ I m ⎭⎝B
-A I n
I m B
⎫
⎪, 由定理3.2.1得 I m +BA ⎭
0⎫⎛I n +AB ⎪→ I m ⎭⎝0
-A
0I n +AB
I m B
A ⎫
⎪, I m ⎭
由于I n +AB是n 阶非奇异矩阵，所以
⎛I n +AB ⎝0
0I n +AB I m B
A ⎫⎛I n +AB
→ ⎪I m ⎭⎝0
0I n +AB
I m 0
⎫
⎪
I m -B (I n +AB ) -1A ⎭
A
I n
→⎛ ⎝0
0I n I m 0
⎫⎪, -1
I m -B (I n +AB ) A ⎭
(I n +AB ) -1A
⎛I
所以M = n
⎝0
0I n I m 0
⎫⎪
I m -B (I n +AB ) -1A ⎭
(I n +AB ) -1A
由此可知I n +BA 是非奇异的，且(I m +BA ) -1=I m -B (I n +AB ) -1A .
推论3.2.1[4] 当A , B 为n 阶矩阵且I +AB 非奇异，则I +AB 也非奇异，且
(I m +BA ) -1=I m -B (I n +AB ) -1A
4 矩阵初等变变换的其他应用
4.1 利用矩阵的初等变换求多个多项式的最大公因式[3]
我们在求多项式的最大公因式时一般采用的是辗转相除法. 而辗转相除法的实质就是反复利用带余除法. 设有两个多项式f (x ), g (x ) ,
f (x ) = q (x ) g (x ) +r (x ) , (∂(r (x ))
⎛f (x ) 0⎫⎛f (x ) 0⎫
如果引入多项式矩阵 , 则对多项式矩阵⎪ ⎪进行初等行变换可化
g (x ) 1g (x ) 1⎝⎭⎝⎭⎛r (x ) -q (x ) ⎫
为 ⎪. 根据最大公因式的性质, 矩阵的初等行变换不会改变两个多项式的
g (x ) 1⎝⎭
最大公因式. 由此结论, 我们可以利用矩阵的初等变换来求多个多项式的最大公因式.
⎛f (x ) 10⎫⎛d (x ) u (x ) v (x ) ⎫定理1[8] 设多项式矩阵 经过初等变换化为则⎪ ⎪，
g (x ) 010s (x ) t (x ) ⎝⎭⎝⎭
d (x ) =f (xu ) (x ) g +(x ) v (x ) ，且d (x ) 为f (x ) 与g (x ) 的最大公因式.
证明 由于对多项式矩阵进行上述三种初等行变换不会使多项式f (x ) 与g (x ) 的最
⎛f (x ) 10⎫
大公因式发生改变, 因此多项式矩阵 ⎪经过初等行变换可以化为
g (x ) 01⎝⎭
⎛d (x ) u (x ) v (x ) ⎫ ⎪，d (x ) =（d (x ) ，0）=（f (x ) ，g (x ) ）. 即存在一系列初等矩阵0s (x ) t (x ) ⎝⎭
p 1(x ), p 2(x ), , p l (x ) ，使得：p 1(x ), p 2(x ), p l (x )
⎛f (x ) 10⎫⎛d (x ) u (x ) v (x ) ⎫
⎪= ⎪.
s (x ) t (x ) ⎭⎝g (x ) 01⎭⎝0
⎛
于是p 1(x ), p 2(x ), , p l (x )
f (x ) ⎫⎛d (x ) ⎫
⎪， ⎪= 0g (x ) ⎭⎝⎭⎝
10⎫⎛u (x ) v (x ) ⎫
p 1(x ), p 2(x ), , p l (x ) ⎛ ⎪= ⎪=.p 1(x ), p 2(x ), , p l (x )
⎝01⎭⎝s (x ) t (x ) ⎭
⎛u (x ) v (x ) ⎫⎛f (x ) ⎫⎛d (x ) ⎫即 ⎪, d (x ) =f (x ) u (x ) +g (x ) v (x ) . 其中d (x ) 为f (x ) 与⎪ ⎪=
0s (x ) t (x ) g (x ) ⎭⎝⎭⎝⎭⎝
g (x ) 的最大公因式.
由两个多项式的情形, 可以对多个多项式的情形应用类似的结论.
定理2 设多项式矩阵
⎛ ⎝
0⎫⎪
f 2(x ) 01 0⎪
. ⎪ ⎪
f s (x ) 0001⎭
f 1(x )
1
经过初等变换化为：
u 11(x ) u 12(x ) u 1s (x ) ⎫⎛0
⎪ ⎪ , d (x ) u i 1(x ) u i 2(x ) u is (x ) ⎪ ⎪
⎪
0u s 1(x ) u s 2(x ) u ss (x ) ⎪⎝⎭
d (x ) =u i 1(x ) f 1(x ) +u i 2(x ) f 2(x ) + +u is (x ) f s (x ) .
且d (x ) 为f 1(x ), f 2(x ), , f s (x ) 的最大公因式. 4.2 利用矩阵的初等变换解多元一次不等式
多元一次不定方程是指形如a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b 的方程, 其中a 1, a 2, , a n , b 都是整数, 初等数论中给出了这类不定方程有解的充要条件及(a 1, a 2, a n )︱b , 但要给出其通解却比较困难. 下面我们利用矩阵的初等变换给此次类方程的一般解法.
定理3 [7] 设有n 元一次不定方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b ，其中a 1, a 2, , a n , b 都是整数，
⎛a 1 a 2 根据系数构造n 行n+1列矩阵A = ⎝a n 初等行变换，一定可以得到矩阵B ，
10 0⎫
⎪
01 0⎪
对A 矩阵在整数范围内进行若干次⎪
⎪
00 1⎭
⎛0b 11b 12 b 1n ⎫ ⎪ ⎪B = d b i 1b i 2 b in ⎪
⎪ ⎪ 0b b b nn ⎪n 1n 2⎝⎭
⎛0b 11b 12 b 1n ⎫⎛0α1⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
当d b 时，令C = b c i 1c i 2 c in ⎪= b αi ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0b b b nn ⎪n 1n 2⎝⎭⎝0αn ⎭
其中，αj =(b j 1, b j 2, , b jn )(j ≠i ), αi =(c i 1, c i 2, , c in ) . c ij =(d b ) b ij (j =1, 2, , n ) . 该不定方程的通解为：x =(x 1, x 2, , x n ) =αi +k 1α1+ +k i -1αi -1+k i +1αi +1+ +k n αn ，
k 1, k 2, +k i -1, k i +1, k n 为任意整数.
证明 矩阵C 是由矩阵A 在整数范围内进行了若干次初等行行变换得到的，因此A 的列向量与C 的列向量有相同的线性关系. 由于：
⎛a 1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪a 012 ⎪=a ⎪+a ⎪+ +a 0⎪及A 的第1列可由其它列线性表示，因此C 的第1列
n
⎪1 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪a 00⎝⎭⎝⎭⎝1⎭⎝n ⎭
也可以由其他列线性表示，且有
⎛b 11⎫⎛b 12⎫⎛b 1n ⎫⎛0⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
b i -1,1⎪ b i -1,2⎪ b i -1, n ⎪ 0⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=a c +a c + +a c b n in ⎪，由此可见a i =(c i 1, c i 2, , c in ) 为非齐次 ⎪1 i 1⎪2 i 2⎪
b i +1,1⎪ b i +1,2⎪ b i +1, n ⎪ 0⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
0⎪ b ⎪ b ⎪ b ⎪⎝⎭⎝n 1⎭⎝n 2⎭⎝nn ⎭方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b 的一个整数特解，而
, 2, b α1=(b 11, b 1 ) , n 1
α2=(b 21, b 22, , b 2n ),
, , 2, b i -n 1) , αi -1=(b i -1, , 1b i -2
αi +1=(b i +1,1, b i +1,2, , b i +1, n ), αn =(b n 1, b n 2, , b nn ).
为其次方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =0的n -1个整数解. 又由于矩阵A 与C 等价，所以
α1, α2, , αi -1, αi +1, , αn 线性无关，从而成为a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =0的一个基础解
系. 所以方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b 的通解为：
x =(x 1, x 2, , x n ) =αi +k 1α1+ +k i -1αi -1+k i +1αi +1+ +k n αn .
其中k 1, k 2, +k i -1, k i +1, k n ，为任意整数.
参考文献
[1]北京大学数学系. 高等代数（第三版）. 北京:高等教育出版社.2003.
[2]高百俊. 分块矩阵初等变换及其应用[J] .伊犁师范学院学报（自然科学版）2007. [3]和斌涛. 矩阵初等变换的若干应用[J] .重庆文理学院学报（自然科学版）2010. [4]戴天时, 陈殿友. 大学数学·线性代数[M]﹒北京：高等教育出版社，2004. [5]钱吉林. 线性代数概论[M].武汉：华中师范大学出版社，2000. [6]屠伯嵩﹒线性代数—方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986. [7]蓝以中﹒高等代数简明教程[M]﹒北京：北京大学出版社，2002.
[8]杨纯富﹒矩阵初等变换在多项式理论中应用[J].重庆文理学院学报：自然科学版，2008.
致 谢
作为一名本科毕业生来说, 能够在短短几个月的时间里完成一篇本科论文是比较困难的, 这不仅要求我们要学习好扎实的基础知识，而且还要有耐心细致的写作态度, 对不同学科之间的联系也应当有一定的了解.
在此，首先我要感谢天水师范学院这所师范类院校为我提供了一个良好的学习、生活环境，感谢师院的老师们在四年中对我辛勤的栽培，“学高为师，身正为范”你们渊博的知识使我使我深深折服，你们对教育事业认真、细致地工作态度让我钦佩，这些对于即将走上教师这个圣神而崇高的岗位的我们来说，都会成为我们一生用之不尽的宝贵财富.
就这篇论文来说，从确定选题到修改，完成的整个过程中，我的论文指导老师贾凤玲老师给予了我许多宝贵的意见和细心指导. 她对工作负责，一丝不苟的作风将会成为我今后我学习工作的榜样.
最后感谢我的同学们对我热心的帮助.
分类号 编 号
毕业论文
题 目 矩阵初等变换的应用 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 雷高龙 班 级 09数应2班 学 号 298010112 研究类型 研究综述 指导教师 贾凤玲 讲师 提交日期 2013年5月19日
原创性声明
本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师
的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名： 年 月 日
论文指导教师签名：
矩阵初等变换的应用
雷高龙
（天水师范学院，数学与统计学院，甘肃 天水，741000）
摘 要 矩阵的初等变换是线性代数中的重要工具，本文通过具体的例子，总结了矩阵
的初等变换在数字矩阵，分块矩阵等的应用.
关键词 初等变换；分块矩阵；最大公因式；矩阵方程；二次型
Applications of matrix elementary transformation
Lei Gaolong
(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,Gansu)
Abstract The elementary transformations of matrix is very important tool, this paper
discusses the applications of the elementary transformation in mathematical matrix and block matrix etc.
Keywords elementary transformation, block matrix, the greatest common factor, matrix
equation, quadratic form
目录
0引言 ............................................................................................................................................................. 1 1预备知识 ..................................................................................................................................................... 1 2初等变换在数字矩阵中的应用. . ................................................................................................................ 1
2.1计算矩阵的单位阵 . .......................................................................................................................... 1 2.2利用矩阵的初等变换判断矩阵的可逆性 . ...................................................................................... 2 2.3利用矩阵的初等变换求逆矩阵 . ...................................................................................................... 2 2.4利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 . .................................................................................................. 3 2.5判断向量组的线性相关性 . .............................................................................................................. 3 2.6求向量组的一个极大无关组与向量组的秩 . .................................................................................. 4 2.7初等变换求线性方程组. . ................................................................................................................. 5 2.8初等变换化二次型为标准形. . ......................................................................................................... 6 3初等变换在分块矩阵中的应用 . ................................................................................................................. 6
3.1分块矩阵的初等变换及其性质 . ...................................................................................................... 6 3.2 分块矩阵初等变换的应用 . ............................................................................................................. 8 4 矩阵初等变变换的其他应用 . ................................................................................................................ 10
4.1 利用矩阵的初等变换求多个多项式的最大公因式 . ................................................................... 10 4.2 利用矩阵的初等变换解多元一次不等式 . ..................................................................................11 参考文献 ...................................................................................................................................................... 14
矩阵的初等变换的应用
0引言
矩阵的初等变换在线性代数中发挥着非常重要的作用，也是线性代数的教学重点. 本文讨论了初等变换在数字矩阵、分块矩阵等方面的应用.
1预备知识
矩阵的初等变换是指对矩阵实施以下三种变换. [1] （1）互换矩阵中任意两行（列）的位置；
（2）用数域中的一个非零数乘矩阵中的每一行（列）；
（3）把矩阵中的某一行（列）的c 倍加到另一行（列），其中c 是数域中的任一个数. 注：
（1）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,
（2）矩阵的初等变换不改变行（列）向量组的线性相关性.
2初等变换在数字矩阵中的应用.
2.1计算矩阵的单位阵
⎛214⎫
⎪
例2.1.1把矩阵 410⎪化为单位阵.
12-1⎪⎝⎭
解
⎛214⎫⎛214⎫
⎪ ⎪410→0-1-8 ⎪ ⎪ 12-1⎪ 12-1⎪⎝⎭⎝⎭⎛100⎫ ⎪010 ⎪. 001⎪⎝⎭
⎛⎫⎛
214⎪ 2 ⎪ → 0-1-8⎪→ 0 ⎪ 3
-3⎪ 0 0
⎝2⎭⎝
013
2
⎫-4⎪⎛10-2⎫⎪ ⎪8⎪→ 018⎪→
00-15⎪⎪
⎝⎭-3⎪
⎭
2.2利用矩阵的初等变换判断矩阵的可逆性
利用初等变换将矩阵为阶梯形，若对应的行列式不为零则矩阵可逆，且行列式的值是主对角线上各元素之积.
⎛214⎫ ⎪410 ⎪. 12-1⎪⎝⎭
解
⎛-25-13⎫⎛1-9137⎫
⎪ ⎪1-9137-25-13⎪→ ⎪→ A =
3-15-5⎪ 3-15-5⎪ ⎪ ⎪⎝28-7-10⎭⎝28-7-10⎭
⎛1-9137⎫
⎛1-9137⎫ ⎪ ⎪ 0-132517⎪ 0-132517⎪→ 00168⎪. 00168⎪ ⎪ ⎪ 3⎪
12⎭ 000⎪⎝00
⎝2⎭
显然A ≠0，故A 可逆，又由于上述初等变换过程中曾进行过一次两行互换，故A =-（-13）×16×
3
=312. 2
2.3利用矩阵的初等变换求逆矩阵
设A 为n 介可逆矩阵，将A 与E 组成一个n 行2n 列矩阵(A , E ) 做一系列行初等变换即可求出A -1, 用这种方法求可逆矩阵，应注意的是只能进行行初等变换.
32⎫⎛1 ⎪
例2.3.1求A -1，已知A = -1-21⎪.
241⎪⎝⎭
解 由于 (A , E )
=
⎛132100⎫ ⎪-1-21010 ⎪ 241001⎪⎝⎭
→
⎛132100⎫
⎪013110 ⎪ 0-2-3-201⎪⎝⎭
→
57⎫⎛
100-2
⎛10-7-2-30⎫ 33⎪
⎪ ⎪
110⎪→ 0101-1-1⎪. 013
003 ⎪021⎪⎝⎭ 001021⎪
33⎭⎝57⎫⎛
-2 33⎪ ⎪
所以A -1= 1-1-1⎪.
21⎪ 0⎪
33⎭⎝
2.4利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
利用初等变换求矩阵的秩，是利用初等变换不改变矩阵的秩，将矩阵化为阶梯形矩阵，从而求原矩阵的秩.
例2.4.1求r (A ). 已知
⎛1-3
-15A =
20
⎝-5-2
2-2⎫
⎪14⎪
.
3-4⎪
⎪1-3⎭
解 由于
⎛1-3
5 -1 A =
20
⎝-5-2
2⎛1-3
2-2⎫
023⎪
14⎪
→
⎪ 00-103-4⎪ 171-300-⎭
⎝2-2⎫-2⎫⎛1-32
⎪⎪
32⎪2⎪ 02
-6⎪. -6⎪→ 00-10
⎪⎪
209⎪0--26⎪⎪ 00⎪20⎭⎭⎝
因此r (A )=4. 2.5判断向量组的线性相关性
n 维向量组α1, α2, „, αs 线性相关的充要条件是以α1, α2, „, αs 为列向量的矩阵的秩小于向量的个数s ，反之，n 维向量组α1, α2, „, αs 线性无关的充要条件是：以α1, α2, „, αs 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数. 因此判断一个向量α1, α2, „,
αs 的相性相关性可通过矩阵的初等变换讨论矩阵的秩.
例2.5.1判断下列向量的线性相关性.
(1) α1=(1,-2,1,-5), α2=(2,-1,3,1), α3=(4,-3,-1,6)
(2) β1=（2，-1,3,1），β2=（4,-2,5,4），β3=(2,-1,4,-1) 解（1）因为
2⎛1
-2-1
13
⎝-51
⎛14⎫ 0⎪ -3⎪→ 0⎪ -1⎪ 6⎭
0⎝4⎫⎪
35⎪
20⎪0-⎪.
3⎪23⎪0⎪
3⎭
2
⎛124⎫ ⎪-2-1-3⎪=3（向量的个数）. r
13-1⎪ ⎪-516⎝⎭
所以向量组α1，α2，α3线性无关.
⎛242⎫⎛0-44⎫⎛000⎫ ⎪ ⎪ ⎪-1-2-102-2000⎪→ ⎪→ ⎪, (2)
354⎪ 0-77⎪ 0-77⎪ ⎪ ⎪ ⎪14-114-114-1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛242⎫ ⎪-1-2-1⎪=2
354⎪ ⎪14-1⎝⎭
所以，向量组β1，β2，β3线性相关. 2.6求向量组的一个极大无关组与向量组的秩
例2.6.1设向量组
α1=（1，-1,-1,3），α2=（-1,1，-3，-1），α3=（-1，-3,1，-1），α4=（-3，-1，-1,1），求向量组α1，α2，α3，α4 的秩与此向量组的一个极大无关组，并把其于向量用极大无关组线性表示.
解 因为
⎛1-1-1-3⎫⎛1-1-1 ⎪ -11-3-1 ⎪→ 00-4 -1-31-1⎪ 0-40 ⎪ -3-1-11⎝⎭⎝0-4-4-3⎫⎛1
⎪ -4⎪ 0
→-4⎪ 0⎪ -8⎭⎝00-1-2⎫⎛1
⎪
011⎪ 0
→
101⎪ 0
⎪
011⎭⎝000-1⎫
⎪
011⎪
.
101⎪
⎪
000⎭
所以，秩（α1，α2，α3，α4）=3，且向量组的一个极大无关组为α1，α2，α3，有初等变换知α4=-α1+α2+α3. 2.7初等变换求线性方程组.
求线性方程组AX =B 的解可以采用对增广矩阵[A B ]作初等变换的方法，把矩阵
[A B ]化为阶梯矩阵，由A 与B 的秩是否相等来判断它是否有解，以及有解时是有唯一
解还是无穷多解. 在此过程中只需对增广矩阵做初等行变换.
⎧x 1-x 2-x 3+x 4=0⎪
例2.7.1. 求非齐次性方程组⎨x 1-x 2+x 3-3x 4=-2.
⎪x -x -2x +3x =1
34⎩12
0⎫⎛1-1-110⎫⎛1-1-11
⎪ ⎪
解[A b ]= 1-11-3-2⎪→ 002-4-2⎪→
1-1-231⎪ 00-121⎪⎝⎭⎝⎭⎛1-1-1
00-1
000⎝
1⎫0
⎪2⎪1. 0⎪⎭0
r [A ]=r [A b ]=2
所以线性方程组有无穷多解，且线性方程组含有两个自由未知量，则基础解系中含有两个线性无关的向量.
⎧x 1=x 2+x 3-x 4
⎪x 2=x 2⎧x 1-x 2-x 3+x 4=0⎪
方程组等价于⎨⇒⎨x =-1+2x .
-x 3+2x 4=14⎪3⎩
⎪x 4=x 4⎩
⎡-1⎤
⎢0⎥
⎡x 2⎤⎡0⎤
令⎢⎥=⎢⎥，得到ζ0=⎢⎥.
⎢-1⎥⎣x 4⎦⎣0⎦
⎢⎥⎣0⎦
⎧x 1=x 2+x 3-x 4⎪x 2=x 2⎪
方程组所对的齐次线性方程组为⎨.
x =-1+2x 4⎪3⎪x 4=x 4⎩
⎡1⎤⎡1⎤
⎢1⎥⎢0⎥1⎡⎤x ⎡x 2⎤⎡0⎤⎡⎤2
令⎢⎥=⎢⎥，得到ζ1=⎢⎥，⎢⎥=⎢⎥，得到ζ2=⎢⎥.
⎢0⎥⎢2⎥⎣x 4⎦⎣0⎦⎣x 4⎦⎣1⎦
⎢⎥⎢⎥
⎣0⎦⎣1⎦
所以方程组的通解为ζ=ζ0+ζ1+ζ2. 2.8初等变换化二次型为标准形.
形如f (x 1 x n )=X T AX , 其中(x 1 x n ), A 为实对称矩阵，称为实二次型. 而实二次型恒可经满秩的线性变换化为标准形.
例2.8.1将二次型化为标准形f (x , y , z ) =x2+4xy-4xz+4y2-2yz 化为标准形.
⎛12-2⎫
⎪24-1 ⎪ -2-10⎪⎡A ⎤c 3+c 2→解 ⎢⎥= ⎪−−−
⎣E ⎦ 100⎪
010⎪ 001⎪⎪⎝⎭
⎛10
0-9 2 00
1-2 1 0-
2 3 0-⎝2
0⎫
⎪0⎪⎪2⎪⎪0⎪. ⎪1⎪⎪⎪1⎪⎭
T
⎛1 2 0 1 0 0⎝20⎫
⎪43⎪32⎪r 3+r 2→
⎪−−−00⎪11⎪
⎪01⎪⎭⎛120⎫
⎪243 ⎪ -2-1-1⎪ ⎪→„ 100 ⎪ 011⎪ 001⎪⎪⎝⎭
所以，二次型的标准形为f (x 1, y 1, z 1)=x 12-
92
y 1+2z 12 2
3初等变换在分块矩阵中的应用
3.1分块矩阵的初等变换及其性质
为方便起见，我们以常用的2×2分块矩阵做定义.
定义1[1] 对分块矩阵实行下列三种初等变换： (1)互换分块矩阵的某两行(列) ；
(2)用一个非奇异矩阵左(右) 乘分块矩阵的某一行(列) ；
(3)用一个非零矩阵左(右) 乘分块矩阵的某一行(列) 加至到另一行(列) 上， 分别称上述三种初等行(列) 变换为分块矩阵的初等行(列) 变换.
定义2 对m +n 阶单位矩阵作2×2分块，即I m +n
初等行（列）变换所得到的新矩阵为分块单位矩阵.
由定义1和定义2 可得分块矩阵具有以下形式：
⎛0
(1)分块初等对换阵
⎝I m
I n ⎫⎪ 0⎭
[1]
⎛I m = ⎝00⎫
⎪ 然后对其做相应的I n ⎭
⎛P
(2)分块初等倍乘阵
⎝0⎛I m
(3)分块初等倍加阵
⎝0
0⎫⎛I m ⎪， I n ⎭⎝0R 1⎫⎛I m ⎪， S I n ⎭⎝
0⎫
⎪ Q ⎭
0⎫⎪ I n ⎭
其中P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R 1∈R m ⨯n , S ∈R m ⨯n 为非零阵.
性质[2] 分块初等矩阵都是可逆的，且
⎛0(1)
⎝I m
I n ⎫ ⎛0
=⎪ 0⎭⎝I n
-1-1
I m ⎫
⎪; 0⎭
⎛P -1⎛P 0⎫
(2) ⎪=
0I n ⎭⎝⎝0
I m
(3) ⎛
⎝0
R 1⎫⎛I m
=⎪ I n ⎭⎝0
-1
⎛I m 0⎫
， ⎪ I n ⎭⎝00⎫⎛I m
=⎪ Q ⎭⎝0
-1
0⎫
⎪; Q -1⎭
⎛I m -R 1⎫
⎪， S I n ⎭⎝0⎫⎛I m
=⎪ I n ⎭⎝-S
-1
0⎫
⎪; I n ⎭
证明 因为
⎛0
(1)
⎝I m
I n ⎫⎛0⎪ 0⎭⎝I m
-1
-1
I n ⎫⎛0
⎪= 0⎭⎝I n 0⎫⎛P -1⎪= I n ⎭⎝0
I m ⎫⎪0⎭
⎛0 ⎝I m I n ⎫⎛I m
⎪= 0⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= I n ⎭⎝0
0⎫⎪; I n ⎭0⎫⎪, I n ⎭
⎛P 0⎫⎛P 2 () ⎪
00I n ⎭⎝⎝0⎫⎛P
⎪ I n ⎭⎝0
⎛I m ⎝0⎛I m
(3)
⎝0⎛I m
⎝S
0⎫⎛I m ⎪ Q ⎭⎝0R 1⎫⎛I m
⎪ I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪ I n ⎭⎝S
-1-1
-1
0⎫⎛I m ⎪= Q ⎭⎝00⎫⎛I m
⎪ Q -1⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= 0Q ⎭⎝0⎫⎪; I n ⎭0⎫⎪; I n ⎭0⎫⎪. I n ⎭
R 1⎫⎛I m
⎪= I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= I n ⎭⎝-S
-R 1⎫⎛I m
⎪ I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪ I n ⎭⎝S
R 1⎫⎛I m
⎪= I n ⎭⎝00⎫⎛I m ⎪= I n ⎭⎝0
所以分块矩阵都是可逆的. 定理3.1.1
[5]
⎛A B ⎫
对2×2分块矩阵H = ⎪作分块初等行（列）变换，相当于用相
⎝C D ⎭
应的分块初等矩阵左（右）乘H 矩阵（要可乘，可加）.
⎛A B ⎫
证明 记H = ⎪的分块形式与分块单位矩阵有同样的分块形式，则用分块矩阵
C D ⎝⎭
的乘法可得 (1)
⎝I m
⎛0
I n ⎫⎛A ⎪ 0⎭⎝C
B ⎫⎛C D ⎫
⎪= ⎪; D ⎭⎝A B ⎭
⎛P (2)
⎝00⎫⎪I n ⎭
⎛A B ⎫⎛PA PB ⎫⎛I m 0⎫⎛A B ⎫⎛A B ⎫ ⎪= ⎪, ⎪ C D ⎪= ⎪; C D C D 0Q QC QD ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B +R 1D ⎫
⎪, D ⎭
⎛I m
(3)
⎝S ⎛I m
⎝S
0⎫⎛A B ⎫⎛A +R 1C
= ⎪ ⎪I n ⎭⎝C D ⎭⎝C
B ⎫0⎫⎛A B ⎫⎛A
⎪⎪= C +SA D +SB ⎪. I n ⎭ C D ⎭⎝⎭⎝
右乘情况可类似证明得到相应结果，这里不再证明. 3.2 分块矩阵初等变换的应用
定理3.2.1
[3]
⎛A B ⎫ 设n 阶方阵M = ⎪（其中
C D ⎝⎭
A ∈R r ⨯r , B ∈R r ⨯(n -r ) , C ∈R (n -r ) ⨯r , D ∈R (n -r ) ⨯(n -r ) ），M 是非奇异阵的充要条件是：n ⨯2n 矩⎛I r ⨯r
阵（M , I r +(n -r ) ）=
⎝0
⎫⎪ I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
经过有限次初等变换化为（I r +(n -r ) , M 1）, 则有M 1=M -1.
p i （i =1,2, , s ）为分块初证明 因为M 非奇异，所以M =PP 12 P S =PP 12 PI n ，
⎛A i 0A B ⎫⎛A 1B 1⎫⎛A 2B 2⎫⎛A S B S ⎫⎛I r ⨯r ⎫p 等矩阵，则⎛=，其中=i ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝C i ⎝C D ⎭⎝C 1D 1⎭⎝C 2D 2⎭⎝C S D S ⎭⎝0I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
B i ⎫
⎪D i ⎭
（i =1,2, , s ）与M 有同样的分块，于是
⎛A s B s ⎫⎛A 1B 1⎫⎛A B ⎫⎛I r ⨯r ⎪ ⎪ ⎪= 0C D C D C D ⎭⎝s ⎭⎝11⎭⎝⎝s
-1
-1
⎫
⎪. （1） I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
同时
⎛A s
⎝C s
B s ⎫⎛A 1
⎪ D s ⎭⎝C 1
-1
B 1⎫⎛I r ⨯r
⎪ D 1⎭⎝0
-1
⎫⎛A B ⎫⎪=⎪. (2) I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭ ⎝C D ⎭
-1
因为分块初等矩阵的逆还是分块初等矩阵，比较（1）和（2）可知，在通过分块初
⎛I r ⨯r
等行变换把分块可逆矩阵M 化为分块单位矩阵
⎝0⎛I r ⨯r ⎝0
⎫
⎪时，对分块单位矩阵
I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
⎫-1
⎪施行同样的分块初等行变换，就得到M 的逆矩阵M . 对分块可逆矩阵M
I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
⎫
⎪施行分块初等列变换可得到类似结果. 于是M 是非奇异
I (n -r ) ⨯(n -r ) ⎭
⎛I r ⨯r
和分块单位矩阵
⎝0
矩阵的充要条件是：n ⨯2n 矩阵（M , I r +(n -r ) ）经过有限次初等变换化为(I r +(n -r ) , M -1).
例3.2.1
[6]
设A , B 分别为n ⨯m 和m ⨯n 阵，且I n +AB 是n 阶非奇异矩阵，证明
I n +BA 是非奇异的，并求其逆.
⎛I
证明 考虑n +m 阶矩阵M = n
⎝0
⎛I n ⎝0
I m +BA B -A
I n
0⎫⎛I n ⎪→ I m ⎭⎝B
-A I n
I m B
⎫
⎪, 由定理3.2.1得 I m +BA ⎭
0⎫⎛I n +AB ⎪→ I m ⎭⎝0
-A
0I n +AB
I m B
A ⎫
⎪, I m ⎭
由于I n +AB是n 阶非奇异矩阵，所以
⎛I n +AB ⎝0
0I n +AB I m B
A ⎫⎛I n +AB
→ ⎪I m ⎭⎝0
0I n +AB
I m 0
⎫
⎪
I m -B (I n +AB ) -1A ⎭
A
I n
→⎛ ⎝0
0I n I m 0
⎫⎪, -1
I m -B (I n +AB ) A ⎭
(I n +AB ) -1A
⎛I
所以M = n
⎝0
0I n I m 0
⎫⎪
I m -B (I n +AB ) -1A ⎭
(I n +AB ) -1A
由此可知I n +BA 是非奇异的，且(I m +BA ) -1=I m -B (I n +AB ) -1A .
推论3.2.1[4] 当A , B 为n 阶矩阵且I +AB 非奇异，则I +AB 也非奇异，且
(I m +BA ) -1=I m -B (I n +AB ) -1A
4 矩阵初等变变换的其他应用
4.1 利用矩阵的初等变换求多个多项式的最大公因式[3]
我们在求多项式的最大公因式时一般采用的是辗转相除法. 而辗转相除法的实质就是反复利用带余除法. 设有两个多项式f (x ), g (x ) ,
f (x ) = q (x ) g (x ) +r (x ) , (∂(r (x ))
⎛f (x ) 0⎫⎛f (x ) 0⎫
如果引入多项式矩阵 , 则对多项式矩阵⎪ ⎪进行初等行变换可化
g (x ) 1g (x ) 1⎝⎭⎝⎭⎛r (x ) -q (x ) ⎫
为 ⎪. 根据最大公因式的性质, 矩阵的初等行变换不会改变两个多项式的
g (x ) 1⎝⎭
最大公因式. 由此结论, 我们可以利用矩阵的初等变换来求多个多项式的最大公因式.
⎛f (x ) 10⎫⎛d (x ) u (x ) v (x ) ⎫定理1[8] 设多项式矩阵 经过初等变换化为则⎪ ⎪，
g (x ) 010s (x ) t (x ) ⎝⎭⎝⎭
d (x ) =f (xu ) (x ) g +(x ) v (x ) ，且d (x ) 为f (x ) 与g (x ) 的最大公因式.
证明 由于对多项式矩阵进行上述三种初等行变换不会使多项式f (x ) 与g (x ) 的最
⎛f (x ) 10⎫
大公因式发生改变, 因此多项式矩阵 ⎪经过初等行变换可以化为
g (x ) 01⎝⎭
⎛d (x ) u (x ) v (x ) ⎫ ⎪，d (x ) =（d (x ) ，0）=（f (x ) ，g (x ) ）. 即存在一系列初等矩阵0s (x ) t (x ) ⎝⎭
p 1(x ), p 2(x ), , p l (x ) ，使得：p 1(x ), p 2(x ), p l (x )
⎛f (x ) 10⎫⎛d (x ) u (x ) v (x ) ⎫
⎪= ⎪.
s (x ) t (x ) ⎭⎝g (x ) 01⎭⎝0
⎛
于是p 1(x ), p 2(x ), , p l (x )
f (x ) ⎫⎛d (x ) ⎫
⎪， ⎪= 0g (x ) ⎭⎝⎭⎝
10⎫⎛u (x ) v (x ) ⎫
p 1(x ), p 2(x ), , p l (x ) ⎛ ⎪= ⎪=.p 1(x ), p 2(x ), , p l (x )
⎝01⎭⎝s (x ) t (x ) ⎭
⎛u (x ) v (x ) ⎫⎛f (x ) ⎫⎛d (x ) ⎫即 ⎪, d (x ) =f (x ) u (x ) +g (x ) v (x ) . 其中d (x ) 为f (x ) 与⎪ ⎪=
0s (x ) t (x ) g (x ) ⎭⎝⎭⎝⎭⎝
g (x ) 的最大公因式.
由两个多项式的情形, 可以对多个多项式的情形应用类似的结论.
定理2 设多项式矩阵
⎛ ⎝
0⎫⎪
f 2(x ) 01 0⎪
. ⎪ ⎪
f s (x ) 0001⎭
f 1(x )
1
经过初等变换化为：
u 11(x ) u 12(x ) u 1s (x ) ⎫⎛0
⎪ ⎪ , d (x ) u i 1(x ) u i 2(x ) u is (x ) ⎪ ⎪
⎪
0u s 1(x ) u s 2(x ) u ss (x ) ⎪⎝⎭
d (x ) =u i 1(x ) f 1(x ) +u i 2(x ) f 2(x ) + +u is (x ) f s (x ) .
且d (x ) 为f 1(x ), f 2(x ), , f s (x ) 的最大公因式. 4.2 利用矩阵的初等变换解多元一次不等式
多元一次不定方程是指形如a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b 的方程, 其中a 1, a 2, , a n , b 都是整数, 初等数论中给出了这类不定方程有解的充要条件及(a 1, a 2, a n )︱b , 但要给出其通解却比较困难. 下面我们利用矩阵的初等变换给此次类方程的一般解法.
定理3 [7] 设有n 元一次不定方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b ，其中a 1, a 2, , a n , b 都是整数，
⎛a 1 a 2 根据系数构造n 行n+1列矩阵A = ⎝a n 初等行变换，一定可以得到矩阵B ，
10 0⎫
⎪
01 0⎪
对A 矩阵在整数范围内进行若干次⎪
⎪
00 1⎭
⎛0b 11b 12 b 1n ⎫ ⎪ ⎪B = d b i 1b i 2 b in ⎪
⎪ ⎪ 0b b b nn ⎪n 1n 2⎝⎭
⎛0b 11b 12 b 1n ⎫⎛0α1⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
当d b 时，令C = b c i 1c i 2 c in ⎪= b αi ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0b b b nn ⎪n 1n 2⎝⎭⎝0αn ⎭
其中，αj =(b j 1, b j 2, , b jn )(j ≠i ), αi =(c i 1, c i 2, , c in ) . c ij =(d b ) b ij (j =1, 2, , n ) . 该不定方程的通解为：x =(x 1, x 2, , x n ) =αi +k 1α1+ +k i -1αi -1+k i +1αi +1+ +k n αn ，
k 1, k 2, +k i -1, k i +1, k n 为任意整数.
证明 矩阵C 是由矩阵A 在整数范围内进行了若干次初等行行变换得到的，因此A 的列向量与C 的列向量有相同的线性关系. 由于：
⎛a 1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪a 012 ⎪=a ⎪+a ⎪+ +a 0⎪及A 的第1列可由其它列线性表示，因此C 的第1列
n
⎪1 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪a 00⎝⎭⎝⎭⎝1⎭⎝n ⎭
也可以由其他列线性表示，且有
⎛b 11⎫⎛b 12⎫⎛b 1n ⎫⎛0⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
b i -1,1⎪ b i -1,2⎪ b i -1, n ⎪ 0⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=a c +a c + +a c b n in ⎪，由此可见a i =(c i 1, c i 2, , c in ) 为非齐次 ⎪1 i 1⎪2 i 2⎪
b i +1,1⎪ b i +1,2⎪ b i +1, n ⎪ 0⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
0⎪ b ⎪ b ⎪ b ⎪⎝⎭⎝n 1⎭⎝n 2⎭⎝nn ⎭方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b 的一个整数特解，而
, 2, b α1=(b 11, b 1 ) , n 1
α2=(b 21, b 22, , b 2n ),
, , 2, b i -n 1) , αi -1=(b i -1, , 1b i -2
αi +1=(b i +1,1, b i +1,2, , b i +1, n ), αn =(b n 1, b n 2, , b nn ).
为其次方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =0的n -1个整数解. 又由于矩阵A 与C 等价，所以
α1, α2, , αi -1, αi +1, , αn 线性无关，从而成为a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =0的一个基础解
系. 所以方程a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b 的通解为：
x =(x 1, x 2, , x n ) =αi +k 1α1+ +k i -1αi -1+k i +1αi +1+ +k n αn .
其中k 1, k 2, +k i -1, k i +1, k n ，为任意整数.
参考文献
[1]北京大学数学系. 高等代数（第三版）. 北京:高等教育出版社.2003.
[2]高百俊. 分块矩阵初等变换及其应用[J] .伊犁师范学院学报（自然科学版）2007. [3]和斌涛. 矩阵初等变换的若干应用[J] .重庆文理学院学报（自然科学版）2010. [4]戴天时, 陈殿友. 大学数学·线性代数[M]﹒北京：高等教育出版社，2004. [5]钱吉林. 线性代数概论[M].武汉：华中师范大学出版社，2000. [6]屠伯嵩﹒线性代数—方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986. [7]蓝以中﹒高等代数简明教程[M]﹒北京：北京大学出版社，2002.
[8]杨纯富﹒矩阵初等变换在多项式理论中应用[J].重庆文理学院学报：自然科学版，2008.
致 谢
作为一名本科毕业生来说, 能够在短短几个月的时间里完成一篇本科论文是比较困难的, 这不仅要求我们要学习好扎实的基础知识，而且还要有耐心细致的写作态度, 对不同学科之间的联系也应当有一定的了解.
在此，首先我要感谢天水师范学院这所师范类院校为我提供了一个良好的学习、生活环境，感谢师院的老师们在四年中对我辛勤的栽培，“学高为师，身正为范”你们渊博的知识使我使我深深折服，你们对教育事业认真、细致地工作态度让我钦佩，这些对于即将走上教师这个圣神而崇高的岗位的我们来说，都会成为我们一生用之不尽的宝贵财富.
就这篇论文来说，从确定选题到修改，完成的整个过程中，我的论文指导老师贾凤玲老师给予了我许多宝贵的意见和细心指导. 她对工作负责，一丝不苟的作风将会成为我今后我学习工作的榜样.
最后感谢我的同学们对我热心的帮助.