初等变换的一个应用矩阵的满秩分解

第25卷第5期2009年10月

大　学　数　学

COLL EGE MA T H EMA TICS

Vol. 25, №. 5

Oct. 2009

初等变换的一个应用:矩阵的满秩分解

靳全勤

(同济大学数学系, 上海200092)

　　[摘　要]给出利用初等变换求矩阵满秩分解的一个简洁方法.

[关键词]矩阵; 初等变换; 满秩分解

[中图分类号]O151. 2　　[文献标识码]C 　　[文章编号]167221454(2009) 0520195203

矩阵是线性代数中最为重要的核心内容, 很多问题(如线性方程组求解、换的最简矩阵表示等等) . 的最有效工具之一. 熟知, 通过矩阵的初等变换, , 化二次型为标准型, 判别方阵是否可逆以及求解逆矩阵法. 内容虽然浅显简单, . , 敬请同仁批评指正.

设A 是一个, B 和r ×n 矩阵C 满足A =BC, 则称A =BC 为矩阵A 矩阵r m 和列数n. 如果n 阶方阵A 的秩r 远比其阶数n 小, 则满秩分. 设n 阶方阵A 有满秩分解A =BC, 根据文献[1], 我们有

n -r

设A 为m ×n 矩阵, 通过行的初等变换, 可以将矩阵A 化为如下形式的简化行阶梯形矩阵

0000000

(1)

如果n 阶方阵A 的秩r 远远小于其阶数n , 无疑通过上式右边的行列式来求方阵A 的特征值要比直接

…0…0…0…0…0…0…0

1000000

c 1i 1+1…c 1i 2-1………………

000000

0100000

c 1i 2+1c 2i 2+1

…c 1i r -1…c 2i r -1……………

00000

0000100

c 1i r +1c 2i r +1c 3i r +1c r -1i r +1c r i r +1

………

c 1n c 2n c 3n

000000

00000

…c r -1n ………

c r n

其中1≤i 1≤i 2≤…≤i r ≤max (m , n ) .

根据列向量组的性质, 行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系. 从矩阵A 的简化行阶梯形矩阵可以读出下面结论:

(i ) 矩阵A 的秩为r ;

　[收稿日期]2007204209

　[基金项目]国家自然科学基金(10671142) ; 教育部高校博士点基金([1**********])

196大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第25卷

(ii ) 矩阵A 的第i 1, i 2, …, i r 个列向量组成的向量组{A i 1, A i 2, …, A i r }为其列向量组的极大线性无

关组;

(iii ) 矩阵A 的每一个列向量均可由(ii ) 中的极大线性无关组线性表示, 并且第j 个列向量的线性表达式为

A j =c 1j A i 1+c 2j A i 2+…+c rj A i r .

从而, 矩阵A 可以表示为

c 11

A =(A 1　A 2　…　A n ) =(A i 1　A i 2　…　A i r )

c 21c r 1

c 12c 22c r 2

…c

1n …c 2n …c rn

若记B =(A i 1　A i 2　…　A i r ) , 则矩阵B 为m ×r 列满秩矩阵; 若记

c 11c 12…c 1n

C =

c 21c r 1

c 22c r 2

…c 2n …c rn

则C 为r ×n 矩阵. 因为矩阵C 的第i 1列, 第i 2列, …, 第i r 列构成r 阶单位矩阵, C 为行满秩

矩阵. 这样, A =BC 就是矩阵A 的一个满秩分解.

注　上面讨论说明, 任意矩阵都存在满秩分解. 例1　经过行的初等变换, 我们有

231121310-11-1

3842131

732500

1-1110

1-11-11

-1-1111

-2-22-12

000

100

200

于是矩阵A 的秩为2. 令B =, C =, 则A =BC 为矩阵A 的一个满秩分解.

该例中矩阵A 的列向量极大线性无关组不唯一, 导致其满秩分解也不唯一. 取不同的列向量极大

线性无关组, 则得不同的满秩分解. 例如, 取第1列和第3列为极大列无关组, 则

[**************]

A =

131112253

12210

38411

3701

000

-1-111-1-11

-1-11

-2-22

000

100

20.

此时, 令B 1=

131

, C 1=

, 则A =B 1C 1为矩阵A 的又一个满秩分解. 再如, 取第1列

和第4列为极大列无关组, 则23151213A =

35281324

43712-1-11

1-1-11

3-1-11

3-2-22

1-1100

-2100

0100

-3200

000

第5期　　　　　　　　　　靳全勤:初等变换的一个应用:矩阵的满秩分解

5381

111

, C 2=

197

此时, 令B 2=

131

-11

-21

0111

-32

, 则A =B 2C 2为矩阵A 的另一个满秩分解.

例2　求n 阶矩阵A =

…

…ω…

……11的特征值.

解　

容易看到, 矩阵A 的秩为1, 其满秩分解为A =

(1　1　…　1) , 由等式(1) 得|λE n -A |

n -1

(λ-n ) , 所以矩阵A 的特征值为λλ=λ1=λ2=…=λn -1=0, n =n.

本文只讨论了行初等变换的情形. 对于列初等变换, 有类似结果.

[参　考　文　献]

[1]　同济大学应用数学系. 高等代数与解析几何[M ].北京:of Two Full R ank Matrices :

of Elementary Matrix Operations

J I N Quan 2qi n

(Department of Mathematics , Tongji University , Shanghai 200092, China )

Abstract :We provide a simple method for decomposing a matrix into a product of two f ull rank matrices using elementary matrix operations.

K ey w ords :matrix ; elementary operation ; f ull rank decomposition

第25卷第5期2009年10月

大　学　数　学

COLL EGE MA T H EMA TICS

Vol. 25, №. 5

Oct. 2009

初等变换的一个应用:矩阵的满秩分解

靳全勤

(同济大学数学系, 上海200092)

　　[摘　要]给出利用初等变换求矩阵满秩分解的一个简洁方法.

[关键词]矩阵; 初等变换; 满秩分解

[中图分类号]O151. 2　　[文献标识码]C 　　[文章编号]167221454(2009) 0520195203

n -r

设A 为m ×n 矩阵, 通过行的初等变换, 可以将矩阵A 化为如下形式的简化行阶梯形矩阵

0000000

(1)

如果n 阶方阵A 的秩r 远远小于其阶数n , 无疑通过上式右边的行列式来求方阵A 的特征值要比直接

…0…0…0…0…0…0…0

1000000

c 1i 1+1…c 1i 2-1………………

000000

0100000

c 1i 2+1c 2i 2+1

…c 1i r -1…c 2i r -1……………

00000

0000100

c 1i r +1c 2i r +1c 3i r +1c r -1i r +1c r i r +1

………

c 1n c 2n c 3n

000000

00000

…c r -1n ………

c r n

其中1≤i 1≤i 2≤…≤i r ≤max (m , n ) .

根据列向量组的性质, 行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系. 从矩阵A 的简化行阶梯形矩阵可以读出下面结论:

(i ) 矩阵A 的秩为r ;

　[收稿日期]2007204209

　[基金项目]国家自然科学基金(10671142) ; 教育部高校博士点基金([1**********])

196大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第25卷

(ii ) 矩阵A 的第i 1, i 2, …, i r 个列向量组成的向量组{A i 1, A i 2, …, A i r }为其列向量组的极大线性无

关组;

(iii ) 矩阵A 的每一个列向量均可由(ii ) 中的极大线性无关组线性表示, 并且第j 个列向量的线性表达式为

A j =c 1j A i 1+c 2j A i 2+…+c rj A i r .

从而, 矩阵A 可以表示为

c 11

A =(A 1　A 2　…　A n ) =(A i 1　A i 2　…　A i r )

c 21c r 1

c 12c 22c r 2

…c

1n …c 2n …c rn

若记B =(A i 1　A i 2　…　A i r ) , 则矩阵B 为m ×r 列满秩矩阵; 若记

c 11c 12…c 1n

C =

c 21c r 1

c 22c r 2

…c 2n …c rn

则C 为r ×n 矩阵. 因为矩阵C 的第i 1列, 第i 2列, …, 第i r 列构成r 阶单位矩阵, C 为行满秩

矩阵. 这样, A =BC 就是矩阵A 的一个满秩分解.

注　上面讨论说明, 任意矩阵都存在满秩分解. 例1　经过行的初等变换, 我们有

231121310-11-1

3842131

732500

1-1110

1-11-11

-1-1111

-2-22-12

000

100

200

于是矩阵A 的秩为2. 令B =, C =, 则A =BC 为矩阵A 的一个满秩分解.

该例中矩阵A 的列向量极大线性无关组不唯一, 导致其满秩分解也不唯一. 取不同的列向量极大

线性无关组, 则得不同的满秩分解. 例如, 取第1列和第3列为极大列无关组, 则

[**************]

A =

131112253

12210

38411

3701

000

-1-111-1-11

-1-11

-2-22

000

100

20.

此时, 令B 1=

131

, C 1=

, 则A =B 1C 1为矩阵A 的又一个满秩分解. 再如, 取第1列

和第4列为极大列无关组, 则23151213A =

35281324

43712-1-11

1-1-11

3-1-11

3-2-22

1-1100

-2100

0100

-3200

000

第5期　　　　　　　　　　靳全勤:初等变换的一个应用:矩阵的满秩分解

5381

111

, C 2=

197

此时, 令B 2=

131

-11

-21

0111

-32

, 则A =B 2C 2为矩阵A 的另一个满秩分解.

例2　求n 阶矩阵A =

…

…ω…

……11的特征值.

解　

容易看到, 矩阵A 的秩为1, 其满秩分解为A =

(1　1　…　1) , 由等式(1) 得|λE n -A |

n -1

(λ-n ) , 所以矩阵A 的特征值为λλ=λ1=λ2=…=λn -1=0, n =n.

本文只讨论了行初等变换的情形. 对于列初等变换, 有类似结果.

[参　考　文　献]

[1]　同济大学应用数学系. 高等代数与解析几何[M ].北京:of Two Full R ank Matrices :

of Elementary Matrix Operations

J I N Quan 2qi n

(Department of Mathematics , Tongji University , Shanghai 200092, China )

Abstract :We provide a simple method for decomposing a matrix into a product of two f ull rank matrices using elementary matrix operations.

K ey w ords :matrix ; elementary operation ; f ull rank decomposition

初等变换的一个应用矩阵的满秩分解

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