第3章波动率模型

金融市场数据有着和一般时间序列数据不一样的特征。在金融研究中，比较关注的是资产的回报率和风险。一般使用波动率来衡量风险。这里的波动率指资产回报的条件标准离差，它也是影响资产定价的一个重要因素。本章主要以金融时间序列为主要研究对象，介绍条件波动率模型，它为金融市场上的资产回报波动率建模，包括ARCH 模型，GARCH 模型，以及TARCH 模型等。

恩格尔（Engle ，R.,1982）最早提出了自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedasticity model，ARCH 模型），并由博勒斯莱文（Bollerslev ，T.1986）发展成为GARCH 模型（generalized ARCH model）——广义自回归条件异方差模型。这些模型广泛应用于经济学的各个领域，特别是在金融时间序列中有重要的应用。

3.1 引言

1、问题的提出

以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，

x t = x t -1 + u t (3.1) 其中u t 为白噪声过程。1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分

序列见图3.1和图3.2。

160

JPY (1995-2000)

6420

D(JPY) (1995-2000)

140

120

-2

100

-4-6

-8

图3.1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图3.2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)

Volatility of returns

DJPY^2

43020

图3.3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图3.4 D(JPY)的平方 (1995-2000)

可以看出，汇率既有平静的时刻，也有大涨或大跌的时候，序列的波动并不会一直持续。这类序列被称为条件异方差，即无条件（长期）方差是恒定的，但存在方差相对较高的时期。

这种序列的特征一般有：（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering ）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail ）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图3.5给出高峰厚尾分布示意图。图3.6给出一个高峰厚尾分布实例。

显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称

为自回归条件异方差（ARCH ）模型（Engle 1982年提出）。使用ARCH 模型的理由是：（1）通过预测x t 或u t 的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测（3）对条件异方差进行正确估计x t 的置信区间，它是随时间变化的；后可以使回归参数的估计量更具有有效性。

高峰厚尾分布曲线

正态分布曲线

图3.5 高峰厚尾分布特征示意图

200

150

100

图3.6 标准化的深圳综合股票收益分布直方图

正态分布密度峰值上限=（最大组频数 / 观测值总个数）/ 组距=0.3989。根据上式，最大组频数上限=观测值总个数×组距×0.3989=660×0.5×0.3989=131.6。因为实际最高组频数远远大于131.6，所以为高峰特征。因为K=7.19 > 3, 所以为高峰厚尾特征。

在实践中，经常需要预测一个序列的条件方差。一个资产持有者总是对持有这种资产的持有期内预测其收益率与方差。如果你计划在

t 期买一种资产，在t+1期卖出这种资产，那么无条件方差（方差的长期预测）就不是很重要了。

另外，条件预测要优于无条件预测。对一个平稳ARMA 模型

y t =a 0+a 1y t −1+εt , 预测y t +1的值。这时y t +1的条件均值是

E t y t +1=a 0+a 1y t

如果利用这个条件均值预测y t +1，预测误差方差是

E t (y t +1−a 0−a 1y t ) 2=E t εt 2+1=σ2。

如果使用无条件预测，无条件预测是y t 的长期均值a 0/(1−a 1) 。无条件预测误差方差是

E [y t +1−a 0/(1−a 1)]2=E [εt +1+a 1εt +a 12εt −1+a 13εt −2+" ]2 =σ2/(1−a 12)

因为1/(1−a 12) >1，无条件预测方差比条件预测方差更大。因而，条件预测更好些。 2、模型的结构

对于金融市场数据，我们一般用R t 表示其资产回报率

1）r t 表示在时间t 的对数资产回报 2）对数回报率 :

r t =ln (1+R t )=ln

P t

=p t −p t −1，(p t =ln P t , p t −1=ln P t −1) P t −1

3）{r t }一般是序列无关或者只有很小的低价序列相关，但是它们是相互依赖的序列（dependent series）。（有的数据不是序列相关，但是它们可能相互依赖）。波动率模型就是要捕捉这种依赖关系。

4）条件均值和条件方差

μt =E (r t F t −1)

σt 2=var (r t F t −1)=E ⎡(r t −μt )F t −1⎤ （其中，F t −1表示信息集）

⎣⎦

r t =μt +a t ， a t 一般称冲击或者新息。

μt =φ0+∑βi x it +∑φi r t −i −∑θi a t −i

i =1

R p q

（σt 2=var (r t F t −1)=var (a t F t −1)

5）对条件波动率的建模一般有两种思路：

第一，使用一个准确的函数来刻画σt 2的演变（如GARCH ）（如随机波动率模型）第二，用一个随机方程来描述σt 2。我们这里主要介绍第一种建模方式。 3、建模步骤

第一，通过检验数据中的序列相关来设定均值方程，以去除序列中的线性依赖；

第二，用均值方程中的残差来检验ARCH 效应（自回归条件异方差效应，接下来将要讲到的内容）；

第三，如果存在显著的ARCH 效应，则设定波动率方程并重新联合估计；

第四，检查拟合的模型并精炼。

3.2 ARCH模型

ARCH 模型的基本思想有两个，首先冲击u t 序列不相关，但是相互依赖的；其次u t 的相依可以用一个其滞后值的二次方程来描述。 3.2.1 ARCH模型的定义

若一个平稳随机变量x t 可以表示为AR(p ) 形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q 阶分布滞后模型描述，

x t = β0 + β1 x t -1 + β2 x t -2 + … + βp x t - p + u t (3.2) σt 2 = E(u t 2) = α0 + α1 u t -1 2 + α2 u t -22 + … + αq u t - q 2 (3.3) 则称u t 服从q 阶的ARCH 过程，记作u t ∼ ARCH (q ) 。其中(3.2) 式称作均值方程，(3.3) 式称作ARCH 方程。其中，u t =σt εt ，{εt }是方差为1的白噪声序列。

(3.2) 和 (3.3) 式还应满足如下条件。对于 (3.2) 式，为保证平稳性，特征方程

1 - β1 L - β2 L 2 - … - βp L p = 0 (3.4) 的根应在单位圆之外。x t 的条件期望是

E(x t | x t -1, …, x t - p ) = β0 + β1 x t -1 + β2 x t -2 + … + βp x t - p x t 的无条件期望（T →∞ 时）是 E(x t ) =

β0

1−β1−" −βp

对于 (3.3) 式，由于u t 2 的非负性，对αi 应有如下约束， α0 > 0, αi ≥ 0, i = 1, 2, … q (3.5) 当全部αi = 0, i = 1, 2, …, q 时，条件方差σt 2 = α0。因为方差是非负的，所以要求α0 > 0。为保证σt 2是一个平稳过程，(3.3) 式的特征方程 1 - α1 L - α2 L 2 - … - αq L q = 0 (3.6) 的根都应在单位圆之外。对αi , i = 1, 2, …, q 的另一个约束是

0 ≤ α1 + α2 + … + αq

σt 2 = α0 + α1 E(u t -1 2) + α2 E(u t -22) + … + αq E(u t - q 2)

= α0 + α1 σt -1 2 + α2 σt -22 + … + αq σt - q 2

当T →∞ 时，

σ2 = α0 + α1 σ 2 + α2 σ 2 + … + αq σ 2

则无条件方差

σ2 =

11−

∑i =1αi

α0 (3.8)

可见若保证σt 2是一个平稳过程，应该有约束0 ≤ (α1 + α2 + … + αq )

因为Var(x t ) = Var(u t ) = σt 2，所以上式可以用来预测x t 的方差。

从ARCH 模型的结构上看，大的过去的平方“扰动” {u t −i }i =1会

导致新息u t 大的条件方差σt 2。这意味着，在ARCH 框架下，大的“扰动”会倾向于紧接着出现另一个大的扰动。这与在金融数据时间序列中经常观察到的“波动率聚集”（V olatility Clustering）现象相似。 3.2.2 ARCH模型的极大似然估计

ARCH 模型经常应用在回归模型中。

y t = x t ' β + u t (3.9) 其中 β = (β0 β1, …, βk -1)', x t = (1 x 1, …, x k -1)' （x t 的分量也可以包括，u t ∼ ARCH (q ) 。为计算方便，假定已知y t , x t 的T + q y t 的滞后变量）

组观测值，从而保证估计参数所用的样本容量为T 。u t ∼ ARCH (q ) 可以表示为 u t =

h t

v t

其中v t ∼ IID(0, 1)，v t 与x t 相互独立，h t = α0 + α1 u t -1 2 + α2 u t -22 + … +

αq u t - q 2，所以有σt 2 = E(u t 2) = h t ，E(u t ) = 0。y t 服从正态分布，概率密

度函数为

f ( y t | xt , αi , β) = 其中

h t = α0 + α1 (y t -1 - x t -1' β ) 2 + α2 (y t -2 - x t - 2' β ) 2 + … + αq (y t - q - x t - q ' β ) 2 用参数 β 和 α = (α0 α1 α2 … αq )' 组成参数向量γ， γ =

⎛β⎞⎜⎟ ⎜α⎟⎝⎠

(y t −x t ' β) 2

exp (-2πh t 2h t

) (3.10)

(3.11)

模型 (3.9) 的对数似然函数是 log L(γ) = ∑log f (y t | xt , γ)

t =1T

= -T

2log (2π) -1

∑

log (h t ) -2t =1

∑

t =1

(y t −x t ' β) 2

h t

(3.12)

求 γ 的极大似然估计量就是求 γˆ 使 log L(γ) 在γ = γˆ 处获得极大值。

3.2.3 ARCH模型检验

Engle 在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验，即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多的金融时间序列中，残差的大小与最

近的残差值有关。ARCH 模型本身不能使标准的OLS 估计无效，但是，忽略ARCH 可能影响可能导致有效性降低。（1）自回归条件异方差的LM 检验。

① 建立原假设

H 0：α1 = α2 = … = αq = 0 （不存在ARCH ） H 1：α1, α2 , …, αq 不全为零

在原假设成立条件下，OLS 估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，OLS 估计量是一致的，但不是有效的。

先介绍使用LM 统计量检验H 0。因为计算LM 统计量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤是

ˆt ，计算u ˆt 。 ② 估计y t = x t ' β + u t ，求u

③ 估计辅助回归式

ˆt u

2 2 ˆt -2+ …+ α qu ˆt - q+ v t (3.19) = α0 + α1 u ˆt −12+ α2 u

④ 用第3步得到的可决系数R 2构成统计量LM = T R 2。其中T 表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有

LM = T R 2 ∼ χ2 (q ) (3.20) 若LM χ2α (q ) ，接受H 1。注意：辅助回归式中要有常数项α0。（2）自回归条件异方差的F 检验。

① 建立原假设

H 0：α1 = α2 = … = αq = 0 （不存在ARCH ）

H 1：α1, α2 , …, αq 不全为零

ˆt ，计算u ˆt 。 ② 估计y t = x t ' β + u t ，求u 2

ˆt 估计2个辅助回归式 ③ 用u

ˆt u ˆt u

= α0 + v t (3.21)

2 2

ˆt -2+ …+ α qu ˆt - q+ v t (3.22) = α0 + α1 u ˆt −12+ α2 u

④ 构造F 统计量，在原假设成立条件下有

F =

(SSE r −SSE u ) /q

SSE u /(T −q −1)

∼ F (q , T - q -1) (3.23)

其中，SSE r 、SSE u 分别表示由（3.21）和（3.22）得到的残差平方和。

若F F α (q , T- q -1)，接受H 1。

如果结论是应该建立ARCH 模型，则进一步应该对ARCH 模型的阶数q 进行检验。对此可以采用t 检验。（3）模型残差平方相关图

ˆt 2序列直到任意指定的滞后阶数残差平方相关图显示残差平方u

的自相关（AC ）系数和偏自相关（PAC ）系数，并且计算出相应滞后阶数的Ljung-Box Q统计量。残差平方相关图可用于检验残差序列中是否存在ARCH 效应。如果残差序列不存在ARCH 效应，自相关系数和偏自相关系数在所有的滞后阶数都应为0，而且Q 统计量应该不显著；否则，就说明残差序列中存在ARCH 效应。 3.2.4 ARCH模型的不足之处

1）假定正和负的冲击对波动率有相同的影响；

2）ARCH 模型对参数的限制比较强，如序列有有限四阶矩，

1⎤0, ARCH （1）的系数必须在⎡⎢⎥之间。对高阶ARCH 模型，参数约束

⎣3⎦

就更复杂。这就限制了高阶ARCH 模型更好地刻画超额峰度。；

3）可能有比较长的滞后期，需估计较多参数。可能会更高预测波动率。

3.3 GARCH模型

许多经济问题常常出现u t 的条件方差σt 2依赖于很多时刻之前的变化量（金融领域采用日数据或周数据的应用）的现象。这就意味着必须估计很多个参数，而这却很难精确地做到。ARCH 模型的实践难点是对于大多数的p ，无限制约束的估计常常会违背αi 都是非负的限定条件，而事实上恰恰需要这个限定来保证条件方差永远是正数。因此，在这个明显的许多早期应用中，研究者会对αi 强加一个相当任意的递减时滞结构，以保证模型满足这些限定条件。但是考虑到式（3.3）是σt 2的一个分布滞后模型，就可以用一个或两个σt 2的滞后值代替许多u t 2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型（GARCH 模型）的基本思想。在GARCH 模型中，要考虑两个不同的设定，一个是条件均值，另一个是条件方差。 3.3.1 GARCH模型定义

ARCH (q ) 模型 (3.3) 是关于σt 2的分布滞后模型。为避免u t 2的。对滞后项过多，可采用加入σt 2的滞后项的方法（回忆可逆性概念）于(3.3) 式，可给出如下形式，

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + λ1 σt -12 (3.24)

此模型称为广义自回归条件异方差模型，用GARCH (1, 1) 表示。其中u t –1称为ARCH 项，σt -1称为GARCH 项。(3.24) 式应满足的条件是

α0 > 0, α1 ≥ 0, λ1 ≥ 0

当0 ≤ λ1

σt 2 =

α01−λ1α01−λ1

α1

u t –1 2

1−λ1L

+ (α1 +α1 λ1 L +α1 λ12 L 2 + α1 λ13 L 3 + … ) u t –1 2

所以GARCH 模型可以看作是无限阶的ARCH 模型。

GARCH 模型的一般表达式是含有q 个ARCH 项和p 个GARCH 项，即GARCH(p , q ) ，

σt 2 = α0 + λ1 σt -12 + … + λp σt - p 2 + α1 u t –1 2 + … + αq u t –q 2 (3.25)

模型(3.25) 应满足的条件是

α0 > 0,

αi ≥ 0, i = 1, 2, …q , λi ≥ 0, i = 1, 2, …p

0 ≤ (∑i q =1αi +∑i p =1λi )

对于GARCH 模型，相应均值方程被解释变量的条件期望和条件方差分别是

E{y t | x t } = x t β Var{y t | x t } = σt 2

对(3.25)式两侧求期望，并令T →∞，则u t 的无条件方差表达式是

σ2 =

α0

1−

∑i =1αi −∑i =1λi

q p

(3.26)

为了更好地理解GARCH 模型的性质，我们采用如下表示。令

η=u t 2−σt 2，即有σt 2−i =u t 2−i −ηt −i ，代入（3.25）式，我们把GARCH

模型改写为

u =u 0+

max(m , s )

∑

i =1

(αi +λi ) u 2t −i

+ηt −∑λj ηt −j

j =1

因此GRACH 模型可以认为是ARMA 思想对平方序列u t 2的应用。3.3.2 GARCH模型中的非负约束

实际中，有时会碰到的问题是GARCH 模型中的参数估计值为负。因为σt 2 表示方差，应该非负。例如Engle-Ito-Lin （1990）在对日元兑美元汇率的研究中得到如下结果，

ˆt 2= 0.0006 + 0.1169u ˆt -2σˆt −12- 0.0627u ˆt −12 0.9581σ

2 2

ˆt -3- 0.0181u ˆt -4+ - 0.0047u

虽然参数的和是0.9895，小于1。但αi , i = 2, 3, 4是负的。Nelson-Cao （1992）认为参数非负的约束可以放宽要求。对于GARCH(1, q) 模型，

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + … + αq u t –q 2 + λ1 σt -12 (3.27)

σt 2非负的充分与必要条件是

0λ1 ≥ 0,

∑αi +1λ1k −i ≥ 0, k = 0, 1, …, q -1

i =0

GARCH 模型的参数通常也是用极大似然法估计。（略） 3.3.3 GARCH模型的检验

3.2.3 中介绍了ARCH 设定检验，即是否需要建立ARCH 模型。当原假设H 0是ARCH(0) 时，显然备择假设H 1有两个。一个是ARCH(r ) ，一个是GARCH(r , 0)。若原假设H 0是ARCH(1)，则备择假设H 1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r ,1) 。

同理若原假设H 0是ARCH(q ) ，则备择假设H 1可以有两个。ARCH(q + r ) ，和GARCH(r , q ) 。

LM 统计量无法区别这两个备择假设。但这并不是说，不该做LM 检验。而是说，在实际应用中，备择假设既可以是ARCH ，也可以是GARCH 。对于q 值很大的ARCH 模型，建议使用GARCH 模型。在实际应用中，GARCH(1,1) 和GARCH(2,1)一般足可以满足对自回归条件异方差的描述。

3.4 IGARCH(1,1)模型

对于ARCH(p ) 模型和GARCH(p , q ) 模型，在实际应用中，条件

1 （保证可以转换成无限阶的ARCH 过程） 0 ≤ ∑i q =1αi

0 ≤ (∑i q =1αi +∑i p =1λi )

有时不能得到满足。下面以GARCH(1,1)模型为例进行讨论。

t 01 t –1 1 t -1ˆ分别表示对α, λ的估计。有时会出现 ˆ1, λ用α111

ˆ≈ 1 ˆ1+λα1

ˆ> 1。例如Engle-Chowdury （1992）对IBM 收益率序列ˆ1+λ甚至，α1

估计时，得如下结果，

ˆt = 0.00056 + u ˆt y

ˆt 2=αˆ0+ 0.053u σˆt −12

ˆt −12 + 0.953σ

ˆ= 0.053 + 0.953 = 1.003 ≈ 1。Engle 证明如果αˆ≥ 1，冲击ˆ1+λˆ1+λ其中α11

ˆ= 1时，有 ˆ1+λ（shock ）对条件方差的影响是永远的。令k > 0。当α1

E(σt + k 2 |σt 2 ) = α0 + E(σt + k -12 |σt 2)

（推导略）。上式是带有漂移项的随机游走形式。含有单位根。所以称α1 + λ1 =1条件下的GARCH(1,1)为单整GARCH 模型，如果α0 > 0，

记作IGARCH(1,1)。Nelson （1991）指出，认为IGARCH 是随机游走是不准确的。因为在实际中，若α0 = 0，α1 + λ1 =1，σt + k 2的分布将以0为均值。当T →∞ 时，σt + k 2→0。

IGARCH 模型的主要特点是过去的平方扰动ηt −i =u t 2−i −σt 2−i 对u t 2

的影响是持久的。

3.5 TGARCH模型

在实际的资本市场中，好消息和坏消息对股价的影响程度是不一致的，例如，负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动，因为较低的股价减少了股东权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。为此，Engle 和Ng （1993）绘制了一种非对称的信息曲线，表示资本市场中的冲击常常表现出一种非对称效应。它

允许波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反应更加迅速，因此被称为“杠杆效应”。

εt

资产价格的一个有趣的特征是：“坏”新闻对波动性的影响比“好”新闻对波动的影响要大。新闻信息由

εt 度量。如果εt =0，预期波动(E t h t +1) 是0a ，任何新闻都引起波动性的增加。如果新闻是“好”的，波动性沿着ab 而增加。如果新闻是“坏的，波动性沿着（即εt >0）

ac 而增加。因为ac 要比ab 陡峭一些，正冲击εt 比负冲击εt 对波动的影响效应要小些。 3.5.1 TGARCH模型定义

TGARCH 模型，又称门限（Threshold ）ARCH 模型。它是由Zakaran （“Threshold Heteroskedastic Model”，INSEE ，Paris ，1990）以及Glosten, Jaganathan, and Runkle（“Relationship between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks”，Journal of Finance ，1994）分别独立提出的。方差的模型是

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + γ u t –1 2 d t –1 + λ1 σt -12 (3.29)

其中

d t =

⎧0, ⎨⎩1,

u t ≥0

u t

其中u t > 0表示利好消息，u t

γ>0，说明存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；

如果γ

σt = α0 +∑αi u t −i + γ u t –1 d t –1 +

i =1

∑λσ

j j =1

2t −j

(3.30)

用该模型预测时，假定残差的分布基本上是对称的，这样可以认为d 在一半时间内为1，但不知道具体何时为1。这样，在预测中，可以设定d = 0.5。

3.6 ABSGARCH /ARCH模型

为了保证方差为正，又提出了如下两种模型形式。一种是绝对值GARCH /ARCH模型，写作ABSGARCH /ARCH（absolute GARCH /ARCH）。在ABSGARCH /ARCH模型中使用的是新息的绝对值。ABSGARCH(p , q ) 表示如下，

σt 2 = α0 +∑i q =1αi |u t -i | +∑p λσ2t −j (3.31) j =1j

与ARCH(p , q ) 模型比较，|u t -i | 代替了u t -i 2。采用绝对值形式减小了

u t 2的幅度。Pesaran- Pesaran（1997）还把ABSGARCH 模型写成如下形式。

σt = α0 +∑i q =1αi u t −i +∑p λσ (3.32) j =1j t −j

3.7 EGARCH模型

对模型的进一步的假定是允许σt 2和u t 具有比前面假设的二次方程映射更加灵活的关系。由Nelson （1991）提出的EGARCH 模型就是在这种思想上发展起来的。EGARCH 模型考虑了正和负的资产回报的非对称性效应，它保证方差为正。其形式是

⎡u t −i ⎤q ⎡u t −i ⎤p

αi ⎢−μ⎥+∑λj Ln (σt −j 2) (3.33) Ln (σt ) = α0 + ⎥+∑γi ⎢

⎥⎣σt −i ⎦i =1⎢i =1⎦j =1⎣σt −i

∑

其中在

⎛u t

u t 服从正态分布的假定下，μ = E⎜

⎜σ⎝t ⎞⎛2⎟=⎜⎟⎜⎠⎝π

⎞⎟⎟⎠

0. 5

= 0.798。

⎛u t −i ⎞⎜−μ⎟是⎜σ⎟⎝t −i ⎠

ARCH 项。⎢

⎡u t −i ⎤

描述利好、利坏的差异。 σ⎣t −i ⎦

因为等式右侧是σt 2的对数，所以无论等式右侧是正是负，作为其反对数，σt 2总是正的。上式右侧第2项是用条件标准差σt 除新息（u t /σt ）表示标准新息。第3项是用均值μ 减标准新u t 及其滞后项，

息的绝对值。为了解释怎样把对称性引入模型，取q = 1, p = 0。上式变为

Ln (σt 2) = α0 + α1⎢

⎡u t −1⎤⎡u t −1⎤+ γ−μ⎥ 1⎢⎥σσ⎢⎥⎣t −1⎦⎣t −1⎦

(3.34)

与GARCH 和ABSGARCH 相比，这种模型的优点在于可以区别正新息和负新息的不同影响。正新息表示“利好”，负新息表示“利坏”。虽然正新息和负新息的绝对值相同，但EGARCH 模型可以区别

正、负新息对波动的不同影响。

下面举例说明正、负新息对条件方差σt 2的不同影响。已知μ = 0.798，令α0 = 0，α1 = 0.4，γ1 = 0.2。标准新息（u t /σt ）= ±1。

当（u t /σt ）= 1时，

Ln (σt 2) = α0 + 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = 0.4404 (3.35) 当（u t /σt ）= -1时，

Ln (σt 2) = α0 + 0.4 × (-1) + 0.2 × (| -1 | - 0.798) = -0.3596 (3.36) 现在令α1 = -0.4，γ1 = 0.2，μ = 0.798。标准新息（u t /σt ）= ±1。与前面相比只改变了α1的符号，其他值不变。

当（u t /σt ）= 1时，

Ln (σt 2) = α0 - 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = -0.3596 (3.37) 当（u t /σt ）= -1时，

Ln (σt 2) = α0 - 0.4 × (-1) + 0.2 × (| -1 | - 0.798) = 0.4404 (3.38) 这时负的新息有较大影响。可见α1是一个重要参数，它可以改变利好和利坏消息的作用大小。当α1 = 0时，利好和利坏消息的作用无差别。

可以证明，只要

∑α

j =1

∞

就是一个平稳过程。

3.8 ARCH-M模型

金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因是人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正

比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH 均值模型或ARCH-M （ARCH in the mean）模型。

ARCH-M ，GARCH-M ，ABSGARCH-M 和EGARCH-M 模型分别称为波动项进入均值方程的ARCH ，GARCH ，ABSGARCH 和EGARCH 模型。这些模型不仅仅用来描述自回归条件异方差过程，而且把波动项引入相对应的回归或均值方程。也许这才是建立自回归条件异方差模型的真正意义。这种模型可以描述金融资产的回报除了受其他一些因素影响外，也受对回报波动的大小影响。比如随机误差项的标准差也作为解释变量进入回归模型。

ARCH-M 模型：

y t =x t γ+ρ⋅σt 2+u t （3.39）

σt 2=α0+α1u t 2−1+α2u t 2−2+... +αp u t 2−p （3.40）

式中参数ρ是用条件方差σt 2衡量的，可观测到的预期风险波动对

y t 的影响程度，它代表了风险和收益之间的一种权衡，也称为风险溢

价参数。

则条件方差方程就可以写如果把σt 2看成是类似GARCH (q , p )过程，为

σt 2=α0+α1u t 2−1+α2u t 2−2+... +αp u t 2−p +β1σt 2−1+β1σt 2−1+... +βq σt 2−q （3.41）

式（3.39）和式（3.41）被称为GARCH-M 模型。 GARCH-M 模型有两种变形：

（1）用条件标准差σt 代替条件方差σt 2

y t =x t γ+ρ⋅σt +u t （3.42）

（2）将条件方差σt 2换成其对数形式ln (σt 2)

y t =x t γ+ρ⋅ln (σt 2)+u t （3.43）

GARCH-M 模型通常应用于资产的预期收益与预期风险密切相关的金融领域。如果回归的目的是要揭示股票或债券等金融资产的收益，就可以利用这个模型进行估计。例如，根据金融理论，股票的风险越大，相应的收益也就越高，所以可以认为股票指数的票面收益（return ）的变动依赖于一个常数项，以及条件标准差：

return t =γ−ρ⋅σt +u t

3.9 总结和结论

许多经济时间序列都显示出阶段性的波动。条件异方差模型（ARCH 和GARCH ）刻画了一个序列的条件方差依赖于误差过程的过去值。现期较大的扰动增加了下一段时期的条件方差。对于一个稳定过程，条件方差最终趋于长期（无条件）方差。因此，ARCH 和GARCH 模型可以描述大波动期和平缓期。

条件方差是风险的度量。在回归模型中引入ARCH 和GARCH 效应，可以检验投资者风险厌恶的假设。例如，如果一个生产者是风险厌恶的，条件价格的波动会影响产品供给。生产者在风险期可以退出市场以减少遭受风险的可能性。类似地，资产价格应与条件波动负相关。资产定价模型的一个本质含义是序列的均值中含有ARCH 效应(ARCH-M)。

基本的ARCH 和GARCH 模型已用各种方式进行了扩展。IGARCH

模型允许波动性冲击是持久的，而TARCH 和EGARCH 模型允许负冲击与正冲击的效果不同。在条件方差方程中也可包含解释变量（外生变量）。

非正态误差

对大多数金融资产收益率的分布函数是厚尾的。一个厚尾分布在分布尾部比正态分布尾部更大些。一种股票的收益率有大损失（回报）的概率比正态分布给出的概率要大一些。这时不能利用正态分布来进行最大似然估计。因此在实践中常常选择t 分布、GED分布等。

3.10 通货膨胀的ARCH 和GARCH 估计

Engle(1982)考虑了英国1958:2—1977:2的工资/价格的简单模型的残差，考察工资议价过程。令p t 表示英国消费价格指数的对数，w t 表示名义工资指数的对数。所以，通货膨胀率是πt =p t −p t −1，实际工资是r t =w t −p t ，Engle 选择了下面模型

πt =0.0257+0.334πt −1+0.408πt −4−0.404πt −5+0.0559r t −1+εt

（0.0057）（0.103） (0.110) (0.114) (0.0136)

h t =0.000089

这里h t 是εt 的方差。

模型说明：前一期实际工资的增加提高了现期通货膨胀率。在t-4, t-5处的滞后通货膨胀率是想捕捉季节因素。所有系数的t -统计量都大于3.0，诊断检验(Q检验) 并没有说明存在序列相关。估计的方差是常数8.9E-5。

在ARCH 误差检验中，对ARCH(1)误差的 Lagrange乘数检验并在1%不显著，但对ARCH(4)误差的检验是显著的（TR 2的值为15.2，的显著水平下，χ2(4)的临界值是13.28）。因此，Engle 得出有ARCH 误差的结论。

现在许多软件包都包含非线性最大似然估计，现在同时估计这两个方程：

πt =0.0328+0.162πt −1+0.264πt −4−0.325πt −5+0.0707r t −1+εt (0.0049) (0.108) (0.089) (0.099) (0.0115)

h t =1.4E −5+0.955(0.4εt 2−1+0.3εt 2−2+0.2εt 2−3+0.1εt 2−4)

(8.5)

(0.298)

h t 的估计值是一步向前预测误差方差，除了滞后1阶通胀率的系数以

外，其余系数都是显著的（通常水平）。这里Engle 给出了一个误差权重递减的ARCH(4)过程。选择一个只含有2个参数的方差函数的原因，是它可以保证非负性和平稳性约束，如果使用一个无约束的估计式，则不能保证上述两点。0.955的点估计意味着较长的持续性。对于给定的实际工资，通胀率方程的点估计说明通胀率是收敛的过程。方差方程中0.955的点估计说明条件方差具有“极强的持久性”。 Bollerslev 的美国通胀率的估计

Bollerlev(1986)利用1948:2—1983:2的季度数据，计算了美国GNP 平减指数的对数变化—通货膨胀率πt ，估计了自回归：

πt =0.240+0.552πt −1+0.177πt −2+0.232πt −3−0.209πt −4+εt

（0.080）（0.083） (0.089) (0.090) (0.080)

h t =0.282

所有系数都是显著的，自回归系数的值说明了平稳性。ACF 和PACF 在5%的显著水平下，均不显著。但残差平方εt 2的ACF 、PACF 显示了显著相关。对ARCH(1), ARCH(4), ARCH(8)误差的Lagrange 乘数检验高度显著。为了探讨用GARCH /ARCH模型描述y t 是否有

222222

ˆt 做自回归，发现u ˆt -1，u ˆt -3，u ˆt -7，u ˆt -9，u ˆt -10的系数有必要，用u

显著性。ARCH(1)、 ARCH(4)、ARCH(8) 有显著性。说明这是一个长记忆的ARCH 过程。

下面 Bollerslev估计了一个带有限制的 ARCH(8)模型

πt =0.138+0.423πt −1+0.222πt −2+0.377πt −3−0.175πt −4+εt

（0.059）（0.081）（0.108）（0.078）（0.104） h t =0.058+0.802∑

i =18

9−i 2

εt −i 36

（0.003）（0.265）

注意，两个均值方程的系数估计值很相近，但方差的模型是非常不同的。因此，这两个模型对通货膨胀率的预测应该是相同的，但预测的置信区间是不同的。一个置信区间是固定的，区间大小不变。一个置信区间在通胀波动期间变大，在通胀相对平缓期间变小。

因为滞后期很长，应该用GARCH 而不是ARCH 模型描述。Bollerslev(1986)利用更简单的Lagrange 乘数(LM)检验，TR 2有χ2(1)分布，求得TR 2=4.57，在5%的显著水平上，不能拒绝存在1阶ARCH 过程。然后，他估计了GARCH(1.1)模型：

πt =0.141+0.433πt −1+0.229πt −2+0.349πt −3−0.162πt −4+εt

（0.060）（0.081）（0.110）（0.077）（0.104）

h t =0.007+0.135εt 2−1+0.829h t −1

（0.070）（0.068）（0.006）

诊断检验说明：方差方程的残差平方的ACF 和PACF 的系数都没有超过2T −0.5。检验εt 2和h t −2的其它滞后项是否存在，可用LM 检验。结果显示：在5%的显著水平下不是显著的。应用：对上章的PPI 指数建立条件波动率模型

EViews 操作案例，日元兑美元汇率的建模研究

1995.1-2000.8日元兑美元汇率值（1427个）序列（JPY ）见图3.1。极小值为81.12日元，极大值为147.14日元。其均值为112.93日元，标准差是13.3日元。1995年4月曾一度达到81.12日元兑1美元。那是因为美日贸易摩擦愈演愈烈，为了逼迫日本打开国内市场，美国有意迫使日元升值。随着日本政府的有限妥协，以及泡沫经济的彻底显现，多个金融证券公司接连破产，从而使日元兑美元汇率值开始一路走低，1998年8月达到147.14日元兑1美元。JPY 显然是一个非平稳序列。

JPY 的差分序列D(JPY)表示收益，见图3.2。因为D(JPY)是平稳序列，用D(JPY)建立时间序列模型。

160

JPY (1995-2000)

420

D(JPY) (1995-2000)

140

120

-2

100

-4-6

-8

图3.1 日元兑美元汇率（JPY ）时间序列图3.2 DJPY时间序列

图3.3 JPY的相关图与偏相关图图3.4 D(JPY)的相关图与偏相关图

通过相关图与偏相关图分析，应该建立一个AR(3)或 MA(3)模型。建立AR(3) 模型（EViews 操作见例4）如下。

图3.5

ˆt (3.71) DJPY t =0.0541 DJPYt -2 -0.0859 DJPYt -3 +u

(2.0) (-3.3) R 2 = 0.01, DW = 1.91, Q(15) = 8.6

残差图3.6。残差图显示模型存在自回归条件异方差。

RE S ID

20-2-4-6-8

图3.6

进一步通过ARCH 检验考察AR(3) 模型中是否存在自回归条件异方差。

图3.7

图

3. 8

图3.9

输出结果的下半部分是自回归条件异方差LM 检验式，

ˆt −2 (3.72) ˆt = 0.6033 + 0.2231u ˆt −1+ 0.1199u u

(8.1) (8.5) (4.5) R2 = 0.07772, DW=2.0

上半部分给出检验结果。其中

LM = T R2 =1421×0.07772 = 110.4 > χ20.05 (2) = 5.99, F = 53.7 > F 0.05 (2, 1421- 2 -1) = 3.0，

两种检验结果都认为模型存在自回归条件异方差。应该在AR(3)均值方程基础上建立ARCH 模型。

打开工作文件，点击Quick 键，选Estimate equation功能，弹出OLS 估计设定对话框。在估计方法中选“ARCH ”（见图3.10），点击OK ，于是弹出如图3.11对话框。

图3.10

图3.11

尝试的结果应该建立ARCH(7)模型。输出结果如下。

图3.12

均值方程是：

ˆt (3.73) DJPY t = -0.0671 DJPYt -3 +u

(-2.3) R 2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 8.1 ARCH (7)方程是：

ˆt −22+0.09u ˆt −32+0.10u ˆt −52+0.05u ˆt −62+0.07u ˆt −72 ˆt −12+0.09u ˆt −42+0.07u σt 2 = 0.37 + 0.13u

(14.5) (6.1) (4.4) (3.3) (3.9) (2.8) (2.6) (2.4)

(3.74) 均值方程中之所以剔除了DJPY t -2项，是因为DJPY t -2项的系数不再有显著性。注意，均值方程伴有ARCH 方程后，均值方程中的某些项常常会失去显著性。 ARCH (7) 模型的滞后项太多，应该尝试建立GARCH(1,1)模型。均值方程：

ˆt (3.75) DJPY t = -0.0676 DJPYt -3 +u

(-2.5) R 2 = 0.007, DW = 1.91, Q(15) = 10.2

GARCH(1,1)方程：

ˆt −12+0.9499σt -12 (3.76) σt 2 = 0.0066 + 0.0431u

(4.1) (8.8) (165.8)

图

3. 13

图3.14

用均值方程残差画的相对于正态分布的分位数对比图（图3.15）显示有几个大的离群值脱离了正态分布。

Normal Quantile

-2-4RESID

-10-5

图3.15

图3.16

均值方程：

DJPY t = -0.0663 DJPYt -3 + 0.01122

t +u ˆt

(-2.4) (0.5)

R 2 =0.006, DW=1.91, Q(15) = 3.5

GARCH(1,1)方程：

σt 2 = 0.0067 + 0.0440u ˆ22

t −1+0.9489σt -1

(4.0) (8.6) (161.6)

因为均值方程中的2

t 项没有显著性，看来没有必要建立GARCH-M(1,1)模型。

下面通过建立TARCH 模型考察信息冲击曲线的对称性。

(3.77)(3.78)

图

3.17

图3.18

均值方程：

ˆt (3.79) DJPY t = -0.0688 DJPYt -3 +u

(-2.5) R 2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 10.3

TARCH 方程形式是

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + γ u t –1 2 d t –1 + β1 σt -12

TARCH 方程估计结果是

σt 2 = 0.0063 + 0.0471 u t –1 2 - 0.0071 u t –1 2 d t –1 + 0.9501 σt -12 (3.80)

(3.9) (7.4) (-1.40) (163.2)

因为u t –1 2 d t –1项的系数没有显著性，所以GARCH 模型中不存在新息冲击曲线的非对称性。

也可以通过EARCH 模型考察信息冲击曲线的对称性。

图

3.19

图3.20 ARCH估计输出结果

ˆt (3.81) 均值方程：DJPY t = -0.0721 DJPYt -3 +u

(-3.9) R 2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 11.5

对应的EARCH 方程是

⎡u ⎤u ˆt −12) (3.82) Ln (σt 2) = α0 + α1⎢t −1⎥+ γ1t −1+ λ1 Ln (σ⎣σt −1⎦σt −1

输出结果是

Ln (σˆ2⎛u ˆ

⎜t −1⎞u

t ) = −0.0955− 0.0009⎜⎟+ 0.1255t −1+ 0.9860 Ln (σˆ2) (3.83) ⎝σˆt −1⎟⎠σt −1

t −1

(-3.9) (-0.1) (10.1) (303.9)

写成Nelson 形式是

Ln (σˆ2⎛u ˆt −1⎞⎛

t )= −0.6424 −0.0009⎜⎜⎜u ˆt −1−0. 798⎞⎟+0.9860 Ln (σ2

⎝σˆ⎟

t −1⎟+0.1255⎠⎜ˆ

⎝σˆt −1) (3.85)

t −1⎟⎠

(-3.9) (-0.1) (10.1) (303.9)

当（u t /σt ）= 1时，

Ln (σt 2) = −0.8057 − 0.0534× 1 + 0.2046 × 1 = -0.6545

当（u t /σt ）= -1时，

Ln (σt 2) = −0.8057 − 0.0534 × (-1) + 0.2046 × | -1 | = -0.5477

图3.21

输出格式中“Perm” 是permanent 的缩写，与其对应的是长期方程参数的估计值。“Tran” 是transitory 的缩写，与其对应的是短期方程参数的估计值。输出表达式如下。

ˆt (3.86) 均值方程：DJPY t = -0.0637 DJPYt -3 +u

(-2.3) R2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 8.4

组合GARCH 模型形式是，

σt 2 - ωt = α1 (u t –12 -ωt -1) + λ1 (σt -12 -ωt -1) (3.87) ωt = ω + ρ1 (ωt -ω) + φ1 (u t –12 -σt -12)

估计结果是

σt 2 - ωt = 0.0805 (u t –12 -ωt -1) + 0.5544 (σt -12 -ωt -1) (3.88) (4.2) (3.7)

ωt = 0.8351 +0.9939 (ωt -ω) + 0.0292 (u t –12 -σt -12) (3.89) (6.0) (512.0) (4.8)

(ωt -ω) 项的系数是0.9939，说明长期参数将缓慢地收敛于稳定状态。

图3.22

ˆt 均值方程：DJPY t = -0.0580 DJPYt -3 +u

(-2.1) R2 =0.006, DW=1.91, Q(15) = 11.5

非对称组合GARCH 模型形式是，

σt 2 - ωt = α1 (u t –12 -ωt -1) + γ (u t –12 -ωt -1) d t –1 + λ1 (σt -12 -ωt -1) (3.16) ωt = ω + ρ1 (ωt -ω) + φ1 (u t –12 -σt -12) (3.16) 估计结果是

σt 2 - ωt = 0.0081 (u t –12 -ωt -1) + 0.0990 (u t –12 -ωt -1) d t –1 + 0.5352 (σt -12 -ωt -1) (3.16) (0.3) (2.4) (3.6)

ωt = 0.7657 +0.9934 (ωt -ω) + 0.0288 (u t –12 -σt -12) (3.16) (6.5) (485.0) (4.9)

(ωt -ω) 项的系数是0.9934，说明长期参数将缓慢地收敛于稳定状态。因为(u t –12 -ωt -1) d t –1的系数0.0990有显著性，说明在短期分量方程中存在非对称性。

作业：

对中国上证指数，自选3只股票或其他金融市场的数据（汇率、或物价指数等）。对其建立条件波动率模型，比较各种模型，说明哪个模型最好，为什么？

第3章波动率模型

3.1 引言

1、问题的提出

x t = x t -1 + u t (3.1) 其中u t 为白噪声过程。1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分

序列见图3.1和图3.2。

160

JPY (1995-2000)

6420

D(JPY) (1995-2000)

140

120

-2

100

-4-6

-8

图3.1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图3.2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)

Volatility of returns

DJPY^2

43020

图3.3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图3.4 D(JPY)的平方 (1995-2000)

显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称

高峰厚尾分布曲线

正态分布曲线

图3.5 高峰厚尾分布特征示意图

200

150

100

图3.6 标准化的深圳综合股票收益分布直方图

在实践中，经常需要预测一个序列的条件方差。一个资产持有者总是对持有这种资产的持有期内预测其收益率与方差。如果你计划在

t 期买一种资产，在t+1期卖出这种资产，那么无条件方差（方差的长期预测）就不是很重要了。

另外，条件预测要优于无条件预测。对一个平稳ARMA 模型

y t =a 0+a 1y t −1+εt , 预测y t +1的值。这时y t +1的条件均值是

E t y t +1=a 0+a 1y t

如果利用这个条件均值预测y t +1，预测误差方差是

E t (y t +1−a 0−a 1y t ) 2=E t εt 2+1=σ2。

如果使用无条件预测，无条件预测是y t 的长期均值a 0/(1−a 1) 。无条件预测误差方差是

E [y t +1−a 0/(1−a 1)]2=E [εt +1+a 1εt +a 12εt −1+a 13εt −2+" ]2 =σ2/(1−a 12)

因为1/(1−a 12) >1，无条件预测方差比条件预测方差更大。因而，条件预测更好些。 2、模型的结构

对于金融市场数据，我们一般用R t 表示其资产回报率

1）r t 表示在时间t 的对数资产回报 2）对数回报率 :

r t =ln (1+R t )=ln

P t

=p t −p t −1，(p t =ln P t , p t −1=ln P t −1) P t −1

4）条件均值和条件方差

μt =E (r t F t −1)

σt 2=var (r t F t −1)=E ⎡(r t −μt )F t −1⎤ （其中，F t −1表示信息集）

⎣⎦

r t =μt +a t ， a t 一般称冲击或者新息。

μt =φ0+∑βi x it +∑φi r t −i −∑θi a t −i

i =1

R p q

（σt 2=var (r t F t −1)=var (a t F t −1)

5）对条件波动率的建模一般有两种思路：

第一，通过检验数据中的序列相关来设定均值方程，以去除序列中的线性依赖；

第二，用均值方程中的残差来检验ARCH 效应（自回归条件异方差效应，接下来将要讲到的内容）；

第三，如果存在显著的ARCH 效应，则设定波动率方程并重新联合估计；

第四，检查拟合的模型并精炼。

3.2 ARCH模型

ARCH 模型的基本思想有两个，首先冲击u t 序列不相关，但是相互依赖的；其次u t 的相依可以用一个其滞后值的二次方程来描述。 3.2.1 ARCH模型的定义

若一个平稳随机变量x t 可以表示为AR(p ) 形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q 阶分布滞后模型描述，

(3.2) 和 (3.3) 式还应满足如下条件。对于 (3.2) 式，为保证平稳性，特征方程

1 - β1 L - β2 L 2 - … - βp L p = 0 (3.4) 的根应在单位圆之外。x t 的条件期望是

E(x t | x t -1, …, x t - p ) = β0 + β1 x t -1 + β2 x t -2 + … + βp x t - p x t 的无条件期望（T →∞ 时）是 E(x t ) =

β0

1−β1−" −βp

0 ≤ α1 + α2 + … + αq

σt 2 = α0 + α1 E(u t -1 2) + α2 E(u t -22) + … + αq E(u t - q 2)

= α0 + α1 σt -1 2 + α2 σt -22 + … + αq σt - q 2

当T →∞ 时，

σ2 = α0 + α1 σ 2 + α2 σ 2 + … + αq σ 2

则无条件方差

σ2 =

11−

∑i =1αi

α0 (3.8)

可见若保证σt 2是一个平稳过程，应该有约束0 ≤ (α1 + α2 + … + αq )

因为Var(x t ) = Var(u t ) = σt 2，所以上式可以用来预测x t 的方差。

从ARCH 模型的结构上看，大的过去的平方“扰动” {u t −i }i =1会

ARCH 模型经常应用在回归模型中。

组观测值，从而保证估计参数所用的样本容量为T 。u t ∼ ARCH (q ) 可以表示为 u t =

h t

v t

其中v t ∼ IID(0, 1)，v t 与x t 相互独立，h t = α0 + α1 u t -1 2 + α2 u t -22 + … +

αq u t - q 2，所以有σt 2 = E(u t 2) = h t ，E(u t ) = 0。y t 服从正态分布，概率密

度函数为

f ( y t | xt , αi , β) = 其中

h t = α0 + α1 (y t -1 - x t -1' β ) 2 + α2 (y t -2 - x t - 2' β ) 2 + … + αq (y t - q - x t - q ' β ) 2 用参数 β 和 α = (α0 α1 α2 … αq )' 组成参数向量γ， γ =

⎛β⎞⎜⎟ ⎜α⎟⎝⎠

(y t −x t ' β) 2

exp (-2πh t 2h t

) (3.10)

(3.11)

模型 (3.9) 的对数似然函数是 log L(γ) = ∑log f (y t | xt , γ)

t =1T

= -T

2log (2π) -1

∑

log (h t ) -2t =1

∑

t =1

(y t −x t ' β) 2

h t

(3.12)

求 γ 的极大似然估计量就是求 γˆ 使 log L(γ) 在γ = γˆ 处获得极大值。

3.2.3 ARCH模型检验

近的残差值有关。ARCH 模型本身不能使标准的OLS 估计无效，但是，忽略ARCH 可能影响可能导致有效性降低。（1）自回归条件异方差的LM 检验。

① 建立原假设

H 0：α1 = α2 = … = αq = 0 （不存在ARCH ） H 1：α1, α2 , …, αq 不全为零

在原假设成立条件下，OLS 估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，OLS 估计量是一致的，但不是有效的。

先介绍使用LM 统计量检验H 0。因为计算LM 统计量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤是

ˆt ，计算u ˆt 。 ② 估计y t = x t ' β + u t ，求u

③ 估计辅助回归式

ˆt u

2 2 ˆt -2+ …+ α qu ˆt - q+ v t (3.19) = α0 + α1 u ˆt −12+ α2 u

④ 用第3步得到的可决系数R 2构成统计量LM = T R 2。其中T 表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有

LM = T R 2 ∼ χ2 (q ) (3.20) 若LM χ2α (q ) ，接受H 1。注意：辅助回归式中要有常数项α0。（2）自回归条件异方差的F 检验。

① 建立原假设

H 0：α1 = α2 = … = αq = 0 （不存在ARCH ）

H 1：α1, α2 , …, αq 不全为零

ˆt ，计算u ˆt 。 ② 估计y t = x t ' β + u t ，求u 2

ˆt 估计2个辅助回归式 ③ 用u

ˆt u ˆt u

= α0 + v t (3.21)

2 2

ˆt -2+ …+ α qu ˆt - q+ v t (3.22) = α0 + α1 u ˆt −12+ α2 u

④ 构造F 统计量，在原假设成立条件下有

F =

(SSE r −SSE u ) /q

SSE u /(T −q −1)

∼ F (q , T - q -1) (3.23)

其中，SSE r 、SSE u 分别表示由（3.21）和（3.22）得到的残差平方和。

若F F α (q , T- q -1)，接受H 1。

如果结论是应该建立ARCH 模型，则进一步应该对ARCH 模型的阶数q 进行检验。对此可以采用t 检验。（3）模型残差平方相关图

ˆt 2序列直到任意指定的滞后阶数残差平方相关图显示残差平方u

1）假定正和负的冲击对波动率有相同的影响；

2）ARCH 模型对参数的限制比较强，如序列有有限四阶矩，

1⎤0, ARCH （1）的系数必须在⎡⎢⎥之间。对高阶ARCH 模型，参数约束

⎣3⎦

就更复杂。这就限制了高阶ARCH 模型更好地刻画超额峰度。；

3）可能有比较长的滞后期，需估计较多参数。可能会更高预测波动率。

3.3 GARCH模型

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + λ1 σt -12 (3.24)

此模型称为广义自回归条件异方差模型，用GARCH (1, 1) 表示。其中u t –1称为ARCH 项，σt -1称为GARCH 项。(3.24) 式应满足的条件是

α0 > 0, α1 ≥ 0, λ1 ≥ 0

当0 ≤ λ1

σt 2 =

α01−λ1α01−λ1

α1

u t –1 2

1−λ1L

+ (α1 +α1 λ1 L +α1 λ12 L 2 + α1 λ13 L 3 + … ) u t –1 2

所以GARCH 模型可以看作是无限阶的ARCH 模型。

GARCH 模型的一般表达式是含有q 个ARCH 项和p 个GARCH 项，即GARCH(p , q ) ，

σt 2 = α0 + λ1 σt -12 + … + λp σt - p 2 + α1 u t –1 2 + … + αq u t –q 2 (3.25)

模型(3.25) 应满足的条件是

α0 > 0,

αi ≥ 0, i = 1, 2, …q , λi ≥ 0, i = 1, 2, …p

0 ≤ (∑i q =1αi +∑i p =1λi )

对于GARCH 模型，相应均值方程被解释变量的条件期望和条件方差分别是

E{y t | x t } = x t β Var{y t | x t } = σt 2

对(3.25)式两侧求期望，并令T →∞，则u t 的无条件方差表达式是

σ2 =

α0

1−

∑i =1αi −∑i =1λi

q p

(3.26)

为了更好地理解GARCH 模型的性质，我们采用如下表示。令

η=u t 2−σt 2，即有σt 2−i =u t 2−i −ηt −i ，代入（3.25）式，我们把GARCH

模型改写为

u =u 0+

max(m , s )

∑

i =1

(αi +λi ) u 2t −i

+ηt −∑λj ηt −j

j =1

因此GRACH 模型可以认为是ARMA 思想对平方序列u t 2的应用。3.3.2 GARCH模型中的非负约束

ˆt 2= 0.0006 + 0.1169u ˆt -2σˆt −12- 0.0627u ˆt −12 0.9581σ

2 2

ˆt -3- 0.0181u ˆt -4+ - 0.0047u

虽然参数的和是0.9895，小于1。但αi , i = 2, 3, 4是负的。Nelson-Cao （1992）认为参数非负的约束可以放宽要求。对于GARCH(1, q) 模型，

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + … + αq u t –q 2 + λ1 σt -12 (3.27)

σt 2非负的充分与必要条件是

0λ1 ≥ 0,

∑αi +1λ1k −i ≥ 0, k = 0, 1, …, q -1

i =0

GARCH 模型的参数通常也是用极大似然法估计。（略） 3.3.3 GARCH模型的检验

同理若原假设H 0是ARCH(q ) ，则备择假设H 1可以有两个。ARCH(q + r ) ，和GARCH(r , q ) 。

3.4 IGARCH(1,1)模型

对于ARCH(p ) 模型和GARCH(p , q ) 模型，在实际应用中，条件

1 （保证可以转换成无限阶的ARCH 过程） 0 ≤ ∑i q =1αi

0 ≤ (∑i q =1αi +∑i p =1λi )

有时不能得到满足。下面以GARCH(1,1)模型为例进行讨论。

t 01 t –1 1 t -1ˆ分别表示对α, λ的估计。有时会出现 ˆ1, λ用α111

ˆ≈ 1 ˆ1+λα1

ˆ> 1。例如Engle-Chowdury （1992）对IBM 收益率序列ˆ1+λ甚至，α1

估计时，得如下结果，

ˆt = 0.00056 + u ˆt y

ˆt 2=αˆ0+ 0.053u σˆt −12

ˆt −12 + 0.953σ

ˆ= 0.053 + 0.953 = 1.003 ≈ 1。Engle 证明如果αˆ≥ 1，冲击ˆ1+λˆ1+λ其中α11

ˆ= 1时，有 ˆ1+λ（shock ）对条件方差的影响是永远的。令k > 0。当α1

E(σt + k 2 |σt 2 ) = α0 + E(σt + k -12 |σt 2)

（推导略）。上式是带有漂移项的随机游走形式。含有单位根。所以称α1 + λ1 =1条件下的GARCH(1,1)为单整GARCH 模型，如果α0 > 0，

IGARCH 模型的主要特点是过去的平方扰动ηt −i =u t 2−i −σt 2−i 对u t 2

的影响是持久的。

3.5 TGARCH模型

允许波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反应更加迅速，因此被称为“杠杆效应”。

εt

资产价格的一个有趣的特征是：“坏”新闻对波动性的影响比“好”新闻对波动的影响要大。新闻信息由

ac 而增加。因为ac 要比ab 陡峭一些，正冲击εt 比负冲击εt 对波动的影响效应要小些。 3.5.1 TGARCH模型定义

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + γ u t –1 2 d t –1 + λ1 σt -12 (3.29)

其中

d t =

⎧0, ⎨⎩1,

u t ≥0

u t

其中u t > 0表示利好消息，u t

γ>0，说明存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；

如果γ

σt = α0 +∑αi u t −i + γ u t –1 d t –1 +

i =1

∑λσ

j j =1

2t −j

(3.30)

用该模型预测时，假定残差的分布基本上是对称的，这样可以认为d 在一半时间内为1，但不知道具体何时为1。这样，在预测中，可以设定d = 0.5。

3.6 ABSGARCH /ARCH模型

σt 2 = α0 +∑i q =1αi |u t -i | +∑p λσ2t −j (3.31) j =1j

与ARCH(p , q ) 模型比较，|u t -i | 代替了u t -i 2。采用绝对值形式减小了

u t 2的幅度。Pesaran- Pesaran（1997）还把ABSGARCH 模型写成如下形式。

σt = α0 +∑i q =1αi u t −i +∑p λσ (3.32) j =1j t −j

3.7 EGARCH模型

⎡u t −i ⎤q ⎡u t −i ⎤p

αi ⎢−μ⎥+∑λj Ln (σt −j 2) (3.33) Ln (σt ) = α0 + ⎥+∑γi ⎢

⎥⎣σt −i ⎦i =1⎢i =1⎦j =1⎣σt −i

∑

其中在

⎛u t

u t 服从正态分布的假定下，μ = E⎜

⎜σ⎝t ⎞⎛2⎟=⎜⎟⎜⎠⎝π

⎞⎟⎟⎠

0. 5

= 0.798。

⎛u t −i ⎞⎜−μ⎟是⎜σ⎟⎝t −i ⎠

ARCH 项。⎢

⎡u t −i ⎤

描述利好、利坏的差异。 σ⎣t −i ⎦

息的绝对值。为了解释怎样把对称性引入模型，取q = 1, p = 0。上式变为

Ln (σt 2) = α0 + α1⎢

⎡u t −1⎤⎡u t −1⎤+ γ−μ⎥ 1⎢⎥σσ⎢⎥⎣t −1⎦⎣t −1⎦

(3.34)

正、负新息对波动的不同影响。

下面举例说明正、负新息对条件方差σt 2的不同影响。已知μ = 0.798，令α0 = 0，α1 = 0.4，γ1 = 0.2。标准新息（u t /σt ）= ±1。

当（u t /σt ）= 1时，

Ln (σt 2) = α0 + 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = 0.4404 (3.35) 当（u t /σt ）= -1时，

当（u t /σt ）= 1时，

Ln (σt 2) = α0 - 0.4 × 1 + 0.2 × (1-0.798) = -0.3596 (3.37) 当（u t /σt ）= -1时，

可以证明，只要

∑α

j =1

∞

就是一个平稳过程。

3.8 ARCH-M模型

金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因是人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正

比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH 均值模型或ARCH-M （ARCH in the mean）模型。

ARCH-M 模型：

y t =x t γ+ρ⋅σt 2+u t （3.39）

σt 2=α0+α1u t 2−1+α2u t 2−2+... +αp u t 2−p （3.40）

式中参数ρ是用条件方差σt 2衡量的，可观测到的预期风险波动对

y t 的影响程度，它代表了风险和收益之间的一种权衡，也称为风险溢

价参数。

则条件方差方程就可以写如果把σt 2看成是类似GARCH (q , p )过程，为

σt 2=α0+α1u t 2−1+α2u t 2−2+... +αp u t 2−p +β1σt 2−1+β1σt 2−1+... +βq σt 2−q （3.41）

式（3.39）和式（3.41）被称为GARCH-M 模型。 GARCH-M 模型有两种变形：

（1）用条件标准差σt 代替条件方差σt 2

y t =x t γ+ρ⋅σt +u t （3.42）

（2）将条件方差σt 2换成其对数形式ln (σt 2)

y t =x t γ+ρ⋅ln (σt 2)+u t （3.43）

return t =γ−ρ⋅σt +u t

3.9 总结和结论

基本的ARCH 和GARCH 模型已用各种方式进行了扩展。IGARCH

模型允许波动性冲击是持久的，而TARCH 和EGARCH 模型允许负冲击与正冲击的效果不同。在条件方差方程中也可包含解释变量（外生变量）。

非正态误差

3.10 通货膨胀的ARCH 和GARCH 估计

πt =0.0257+0.334πt −1+0.408πt −4−0.404πt −5+0.0559r t −1+εt

（0.0057）（0.103） (0.110) (0.114) (0.0136)

h t =0.000089

这里h t 是εt 的方差。

现在许多软件包都包含非线性最大似然估计，现在同时估计这两个方程：

πt =0.0328+0.162πt −1+0.264πt −4−0.325πt −5+0.0707r t −1+εt (0.0049) (0.108) (0.089) (0.099) (0.0115)

h t =1.4E −5+0.955(0.4εt 2−1+0.3εt 2−2+0.2εt 2−3+0.1εt 2−4)

(8.5)

(0.298)

h t 的估计值是一步向前预测误差方差，除了滞后1阶通胀率的系数以

Bollerlev(1986)利用1948:2—1983:2的季度数据，计算了美国GNP 平减指数的对数变化—通货膨胀率πt ，估计了自回归：

πt =0.240+0.552πt −1+0.177πt −2+0.232πt −3−0.209πt −4+εt

（0.080）（0.083） (0.089) (0.090) (0.080)

h t =0.282

222222

ˆt 做自回归，发现u ˆt -1，u ˆt -3，u ˆt -7，u ˆt -9，u ˆt -10的系数有必要，用u

显著性。ARCH(1)、 ARCH(4)、ARCH(8) 有显著性。说明这是一个长记忆的ARCH 过程。

下面 Bollerslev估计了一个带有限制的 ARCH(8)模型

πt =0.138+0.423πt −1+0.222πt −2+0.377πt −3−0.175πt −4+εt

（0.059）（0.081）（0.108）（0.078）（0.104） h t =0.058+0.802∑

i =18

9−i 2

εt −i 36

（0.003）（0.265）

πt =0.141+0.433πt −1+0.229πt −2+0.349πt −3−0.162πt −4+εt

（0.060）（0.081）（0.110）（0.077）（0.104）

h t =0.007+0.135εt 2−1+0.829h t −1

（0.070）（0.068）（0.006）

EViews 操作案例，日元兑美元汇率的建模研究

JPY 的差分序列D(JPY)表示收益，见图3.2。因为D(JPY)是平稳序列，用D(JPY)建立时间序列模型。

160

JPY (1995-2000)

420

D(JPY) (1995-2000)

140

120

-2

100

-4-6

-8

图3.1 日元兑美元汇率（JPY ）时间序列图3.2 DJPY时间序列

图3.3 JPY的相关图与偏相关图图3.4 D(JPY)的相关图与偏相关图

通过相关图与偏相关图分析，应该建立一个AR(3)或 MA(3)模型。建立AR(3) 模型（EViews 操作见例4）如下。

图3.5

ˆt (3.71) DJPY t =0.0541 DJPYt -2 -0.0859 DJPYt -3 +u

(2.0) (-3.3) R 2 = 0.01, DW = 1.91, Q(15) = 8.6

残差图3.6。残差图显示模型存在自回归条件异方差。

RE S ID

20-2-4-6-8

图3.6

进一步通过ARCH 检验考察AR(3) 模型中是否存在自回归条件异方差。

图3.7

图

3. 8

图3.9

输出结果的下半部分是自回归条件异方差LM 检验式，

ˆt −2 (3.72) ˆt = 0.6033 + 0.2231u ˆt −1+ 0.1199u u

(8.1) (8.5) (4.5) R2 = 0.07772, DW=2.0

上半部分给出检验结果。其中

LM = T R2 =1421×0.07772 = 110.4 > χ20.05 (2) = 5.99, F = 53.7 > F 0.05 (2, 1421- 2 -1) = 3.0，

两种检验结果都认为模型存在自回归条件异方差。应该在AR(3)均值方程基础上建立ARCH 模型。

打开工作文件，点击Quick 键，选Estimate equation功能，弹出OLS 估计设定对话框。在估计方法中选“ARCH ”（见图3.10），点击OK ，于是弹出如图3.11对话框。

图3.10

图3.11

尝试的结果应该建立ARCH(7)模型。输出结果如下。

图3.12

均值方程是：

ˆt (3.73) DJPY t = -0.0671 DJPYt -3 +u

(-2.3) R 2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 8.1 ARCH (7)方程是：

ˆt −22+0.09u ˆt −32+0.10u ˆt −52+0.05u ˆt −62+0.07u ˆt −72 ˆt −12+0.09u ˆt −42+0.07u σt 2 = 0.37 + 0.13u

(14.5) (6.1) (4.4) (3.3) (3.9) (2.8) (2.6) (2.4)

ˆt (3.75) DJPY t = -0.0676 DJPYt -3 +u

(-2.5) R 2 = 0.007, DW = 1.91, Q(15) = 10.2

GARCH(1,1)方程：

ˆt −12+0.9499σt -12 (3.76) σt 2 = 0.0066 + 0.0431u

(4.1) (8.8) (165.8)

图

3. 13

图3.14

用均值方程残差画的相对于正态分布的分位数对比图（图3.15）显示有几个大的离群值脱离了正态分布。

Normal Quantile

-2-4RESID

-10-5

图3.15

图3.16

均值方程：

DJPY t = -0.0663 DJPYt -3 + 0.01122

t +u ˆt

(-2.4) (0.5)

R 2 =0.006, DW=1.91, Q(15) = 3.5

GARCH(1,1)方程：

σt 2 = 0.0067 + 0.0440u ˆ22

t −1+0.9489σt -1

(4.0) (8.6) (161.6)

因为均值方程中的2

t 项没有显著性，看来没有必要建立GARCH-M(1,1)模型。

下面通过建立TARCH 模型考察信息冲击曲线的对称性。

(3.77)(3.78)

图

3.17

图3.18

均值方程：

ˆt (3.79) DJPY t = -0.0688 DJPYt -3 +u

(-2.5) R 2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 10.3

TARCH 方程形式是

σt 2 = α0 + α1 u t –1 2 + γ u t –1 2 d t –1 + β1 σt -12

TARCH 方程估计结果是

σt 2 = 0.0063 + 0.0471 u t –1 2 - 0.0071 u t –1 2 d t –1 + 0.9501 σt -12 (3.80)

(3.9) (7.4) (-1.40) (163.2)

因为u t –1 2 d t –1项的系数没有显著性，所以GARCH 模型中不存在新息冲击曲线的非对称性。

也可以通过EARCH 模型考察信息冲击曲线的对称性。

图

3.19

图3.20 ARCH估计输出结果

ˆt (3.81) 均值方程：DJPY t = -0.0721 DJPYt -3 +u

(-3.9) R 2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 11.5

对应的EARCH 方程是

⎡u ⎤u ˆt −12) (3.82) Ln (σt 2) = α0 + α1⎢t −1⎥+ γ1t −1+ λ1 Ln (σ⎣σt −1⎦σt −1

输出结果是

Ln (σˆ2⎛u ˆ

⎜t −1⎞u

t ) = −0.0955− 0.0009⎜⎟+ 0.1255t −1+ 0.9860 Ln (σˆ2) (3.83) ⎝σˆt −1⎟⎠σt −1

t −1

(-3.9) (-0.1) (10.1) (303.9)

写成Nelson 形式是

Ln (σˆ2⎛u ˆt −1⎞⎛

t )= −0.6424 −0.0009⎜⎜⎜u ˆt −1−0. 798⎞⎟+0.9860 Ln (σ2

⎝σˆ⎟

t −1⎟+0.1255⎠⎜ˆ

⎝σˆt −1) (3.85)

t −1⎟⎠

(-3.9) (-0.1) (10.1) (303.9)

当（u t /σt ）= 1时，

Ln (σt 2) = −0.8057 − 0.0534× 1 + 0.2046 × 1 = -0.6545

当（u t /σt ）= -1时，

Ln (σt 2) = −0.8057 − 0.0534 × (-1) + 0.2046 × | -1 | = -0.5477

图3.21

ˆt (3.86) 均值方程：DJPY t = -0.0637 DJPYt -3 +u

(-2.3) R2 =0.007, DW=1.91, Q(15) = 8.4

组合GARCH 模型形式是，

σt 2 - ωt = α1 (u t –12 -ωt -1) + λ1 (σt -12 -ωt -1) (3.87) ωt = ω + ρ1 (ωt -ω) + φ1 (u t –12 -σt -12)

估计结果是

σt 2 - ωt = 0.0805 (u t –12 -ωt -1) + 0.5544 (σt -12 -ωt -1) (3.88) (4.2) (3.7)

ωt = 0.8351 +0.9939 (ωt -ω) + 0.0292 (u t –12 -σt -12) (3.89) (6.0) (512.0) (4.8)

(ωt -ω) 项的系数是0.9939，说明长期参数将缓慢地收敛于稳定状态。

图3.22

ˆt 均值方程：DJPY t = -0.0580 DJPYt -3 +u

(-2.1) R2 =0.006, DW=1.91, Q(15) = 11.5

非对称组合GARCH 模型形式是，

σt 2 - ωt = α1 (u t –12 -ωt -1) + γ (u t –12 -ωt -1) d t –1 + λ1 (σt -12 -ωt -1) (3.16) ωt = ω + ρ1 (ωt -ω) + φ1 (u t –12 -σt -12) (3.16) 估计结果是

σt 2 - ωt = 0.0081 (u t –12 -ωt -1) + 0.0990 (u t –12 -ωt -1) d t –1 + 0.5352 (σt -12 -ωt -1) (3.16) (0.3) (2.4) (3.6)

ωt = 0.7657 +0.9934 (ωt -ω) + 0.0288 (u t –12 -σt -12) (3.16) (6.5) (485.0) (4.9)

作业：

第3章 波动率模型

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