基于训练的最小二乘（LS ）算法的信道估计
一、概述与背景
随着近年来无线通信系统的高速发展，基于阵列的接收机和空时分集方法逐渐成为研究热点。现在无论是在理论分析还是在富散射环境的实地测试中，MIMO （multiple-inputmultiple-output）系统都能够大幅度提高无线通信系统的容量。
设一个t 发射天线、r接收天线的MIMO 系统，其接收信号可表示为：
s i =Hp i +v i
（1）
H 表示随机信道复矩阵，p i 表示t×1发送信号复向量，v i 表示零均值白噪声复
向量。
为了估计信道矩阵H ，假设发送的训练信号为的r×N接收信号矩阵
S =HP +V
p 1, …，p N
，其中N ≥t . 其对应
S =[s 1, …，s N ]
可表示为：
（2）
其中
P =[p 1, …，p N ]
表示t×N训练矩阵，
V =[v 1, …，v N ]
表示r×N噪声矩阵。
。而MIMO 技术的要点在于得到一个精确的信道状态信息（CSI）。而信道估计算法的任务是基于S 和P 的信息来恢复信道矩阵H 的信息.
信道估计有非盲信道估计方法、盲信道估计方法和半盲信道方法。目前使用最为广泛的MIMO 信道估计方法是非盲信道估计方法，也即使用导频信号（又称为训练序列）然后基于接收数据和训练序列的信息来实现信道估计。盲信道估计实质上是利用信道潜在的结构特征或者是输入信号的特征达到信道估计的目的。而半盲信道方法估计是上述两种信道估计方法的综合与平衡。
本文主要讲的是最小二乘算法的信道估计，并用matlab 对LS 算法进行仿真，仿真内容是ZF 下理想信道与LS 估计信道的性能比较和LS 估计信道的不同天线数MIMO 系统的性能比较。
二、最小二乘（LS）信道估计算法
由上述可知，已知P 和接收信号的信息，则信道矩阵的恢复可以使用最小二乘（LS ）算法来进行估计，表示为：
ˆ=SP ∗H LS
∗H H −1H
P =P (PP ) (⋅) P 其中是表示的伪逆矩阵，表示H 变换。
（3）
定义发射功率的约束条件为
P
2
F
=ρ
F
（4）
表示Frobenius 矩阵范数。
其中ρ是常数，
在发射功率约束下，找出信道估计误差的最小值可用最优化问题表示为：
ˆmin E {H −H }LS
P
F 2
subject to
P
2
F
=ρ
（5）
ˆ=VP ∗H −H LS 由（2）和（3）可得。因此，目标函数（5）式可以写成：
J LS
ˆ=E {H −H }LS
F
2
=E {∗}
F
2
=σn rtr {P ∗H P ∗}2=σn rtr {(PP H ) −1}
2
（6）
H 22
E {V V }=σrI σn n 在此，我们运用了，其中表示接收机的噪声功率，I 是单位矩
阵，tr (⋅) 表示矩阵的迹。
由（6）式可知，最优化问题（5）可以写成：
min tr {(PP H ) −1}subject to tr {PP H }=ρ
P
（7）
这直接地说明，如果一个训练序列为：
PP H =
ρ
I t
（8）
那么它是（7）式的最优解，也即最优训练序列。
ρ
因此任一个行正交的、具有相同范数t 的训练序列矩阵都是最优的。由（8）
可知最优训练矩阵有无穷多个选择，而且每一个这样的选择都是接收独立的。因此，符合（8）式的任一最优训练矩阵都适用于所有的接收机。
而P 的附加约束条件往往由实际问题提出，如在天线发射功率的最大限制下，最优训练矩阵里的所有元素都应该有相同的量级，为了满足这一约束，一个DFT 矩阵的归一化矩阵表示为：
1⎡11…⎤
⎢W N N −1⎥⎢1W N …⎥
⎥⋮⋮⋮Nt ⎢⋮
⎢t −1(t −1)(N −1) ⎥1W …W N N ⎣⎦
P =
j 2π/N
W =e N 其中
（9）
由于最优训练序列由（8）式得到，LS 信道估计可表示为：
ˆ=t SP H =H +t VP H H LS
ρρ
（10）
t
VP H
则信道估计误差为ρ。
由（8）和（6）式可知，最优训练序列的信道估计误差为：
22
σn t r
min J Ls =P ρ
（11）
2
由此可知信道估计误差与发射天线数的平方t 成正比，因此导致了发射天线数的限制也导致了接收天线数的限制。
三、Matlab仿真与分析
首先给出的仿真是4X4天线的MIMO 系统，在迫零检测下，基于训练序列的LS 信道估计与理想信道的性能比较。
其中LS 信道估计由式子（3）：
ˆ=SP ∗H LS
给出，在matlab 语句中表示为：
H_ls
=(inv (transmit_array_estimated) ) *recSig_estimated;
仿真结果如图二所示：
图二4×4天线，ZF 检测，理想信道和估计信道的性能比较
由仿真结果可知，LS 算法可以大致估计出信道的特性，其误码率曲线的趋势与理想信道估计的一致，说明LS 算法估计信道是可行的。同时，可以看出LS 估计信道的误码率大于理想信道的误码率，说明估计的信道有一定的误差，这个误差可以表示为：
ˆ=VP ∗H −H LS
下面给出了基于训练的LS 算法，在ZF 检测下，1×1、2×2、4×4的性能比较。如图三所示：
图三LS 估计信道，ZF 检测，MIMO 系统1×1、2×2、4×4天线性能比较
由该图可知，随着天线数目的增多，MIMO 系统的误码率越来越大，经分析有以下两个方面的原因：
其一是在LS 信道估计中，由（11）式可知最优训练序列的信道估计误差为
22σn t r
min J Ls =P ρ
由此可知信道估计误差与发射天线数的平方t 成正比，因此导致了发射天线数的限制也导致了接收天线数的限制。
其二是迫零检测算法是给接收信号乘以信道矩阵的逆，其他用户对它的的干扰可以消除，但同时噪声也乘以信道矩阵的逆，一般来说，信道矩阵的系数都小于1，那么它的逆就是大于1的，也就是说给噪声乘了一个大于1的因子，必然是放大了噪声。
综合以上两个方面的因素，MIMO 天线系统的误码率会随着天线数的增多而增大。
2
基于训练的最小二乘（LS ）算法的信道估计
一、概述与背景
随着近年来无线通信系统的高速发展，基于阵列的接收机和空时分集方法逐渐成为研究热点。现在无论是在理论分析还是在富散射环境的实地测试中，MIMO （multiple-inputmultiple-output）系统都能够大幅度提高无线通信系统的容量。
设一个t 发射天线、r接收天线的MIMO 系统，其接收信号可表示为：
s i =Hp i +v i
（1）
H 表示随机信道复矩阵，p i 表示t×1发送信号复向量，v i 表示零均值白噪声复
向量。
为了估计信道矩阵H ，假设发送的训练信号为的r×N接收信号矩阵
S =HP +V
p 1, …，p N
，其中N ≥t . 其对应
S =[s 1, …，s N ]
可表示为：
（2）
其中
P =[p 1, …，p N ]
表示t×N训练矩阵，
V =[v 1, …，v N ]
表示r×N噪声矩阵。
。而MIMO 技术的要点在于得到一个精确的信道状态信息（CSI）。而信道估计算法的任务是基于S 和P 的信息来恢复信道矩阵H 的信息.
信道估计有非盲信道估计方法、盲信道估计方法和半盲信道方法。目前使用最为广泛的MIMO 信道估计方法是非盲信道估计方法，也即使用导频信号（又称为训练序列）然后基于接收数据和训练序列的信息来实现信道估计。盲信道估计实质上是利用信道潜在的结构特征或者是输入信号的特征达到信道估计的目的。而半盲信道方法估计是上述两种信道估计方法的综合与平衡。
本文主要讲的是最小二乘算法的信道估计，并用matlab 对LS 算法进行仿真，仿真内容是ZF 下理想信道与LS 估计信道的性能比较和LS 估计信道的不同天线数MIMO 系统的性能比较。
二、最小二乘（LS）信道估计算法
由上述可知，已知P 和接收信号的信息，则信道矩阵的恢复可以使用最小二乘（LS ）算法来进行估计，表示为：
ˆ=SP ∗H LS
∗H H −1H
P =P (PP ) (⋅) P 其中是表示的伪逆矩阵，表示H 变换。
（3）
定义发射功率的约束条件为
P
2
F
=ρ
F
（4）
表示Frobenius 矩阵范数。
其中ρ是常数，
在发射功率约束下，找出信道估计误差的最小值可用最优化问题表示为：
ˆmin E {H −H }LS
P
F 2
subject to
P
2
F
=ρ
（5）
ˆ=VP ∗H −H LS 由（2）和（3）可得。因此，目标函数（5）式可以写成：
J LS
ˆ=E {H −H }LS
F
2
=E {∗}
F
2
=σn rtr {P ∗H P ∗}2=σn rtr {(PP H ) −1}
2
（6）
H 22
E {V V }=σrI σn n 在此，我们运用了，其中表示接收机的噪声功率，I 是单位矩
阵，tr (⋅) 表示矩阵的迹。
由（6）式可知，最优化问题（5）可以写成：
min tr {(PP H ) −1}subject to tr {PP H }=ρ
P
（7）
这直接地说明，如果一个训练序列为：
PP H =
ρ
I t
（8）
那么它是（7）式的最优解，也即最优训练序列。
ρ
因此任一个行正交的、具有相同范数t 的训练序列矩阵都是最优的。由（8）
可知最优训练矩阵有无穷多个选择，而且每一个这样的选择都是接收独立的。因此，符合（8）式的任一最优训练矩阵都适用于所有的接收机。
而P 的附加约束条件往往由实际问题提出，如在天线发射功率的最大限制下，最优训练矩阵里的所有元素都应该有相同的量级，为了满足这一约束，一个DFT 矩阵的归一化矩阵表示为：
1⎡11…⎤
⎢W N N −1⎥⎢1W N …⎥
⎥⋮⋮⋮Nt ⎢⋮
⎢t −1(t −1)(N −1) ⎥1W …W N N ⎣⎦
P =
j 2π/N
W =e N 其中
（9）
由于最优训练序列由（8）式得到，LS 信道估计可表示为：
ˆ=t SP H =H +t VP H H LS
ρρ
（10）
t
VP H
则信道估计误差为ρ。
由（8）和（6）式可知，最优训练序列的信道估计误差为：
22
σn t r
min J Ls =P ρ
（11）
2
由此可知信道估计误差与发射天线数的平方t 成正比，因此导致了发射天线数的限制也导致了接收天线数的限制。
三、Matlab仿真与分析
首先给出的仿真是4X4天线的MIMO 系统，在迫零检测下，基于训练序列的LS 信道估计与理想信道的性能比较。
其中LS 信道估计由式子（3）：
ˆ=SP ∗H LS
给出，在matlab 语句中表示为：
H_ls
=(inv (transmit_array_estimated) ) *recSig_estimated;
仿真结果如图二所示：
图二4×4天线，ZF 检测，理想信道和估计信道的性能比较
由仿真结果可知，LS 算法可以大致估计出信道的特性，其误码率曲线的趋势与理想信道估计的一致，说明LS 算法估计信道是可行的。同时，可以看出LS 估计信道的误码率大于理想信道的误码率，说明估计的信道有一定的误差，这个误差可以表示为：
ˆ=VP ∗H −H LS
下面给出了基于训练的LS 算法，在ZF 检测下，1×1、2×2、4×4的性能比较。如图三所示：
图三LS 估计信道，ZF 检测，MIMO 系统1×1、2×2、4×4天线性能比较
由该图可知，随着天线数目的增多，MIMO 系统的误码率越来越大，经分析有以下两个方面的原因：
其一是在LS 信道估计中，由（11）式可知最优训练序列的信道估计误差为
22σn t r
min J Ls =P ρ
由此可知信道估计误差与发射天线数的平方t 成正比，因此导致了发射天线数的限制也导致了接收天线数的限制。
其二是迫零检测算法是给接收信号乘以信道矩阵的逆，其他用户对它的的干扰可以消除，但同时噪声也乘以信道矩阵的逆，一般来说，信道矩阵的系数都小于1，那么它的逆就是大于1的，也就是说给噪声乘了一个大于1的因子，必然是放大了噪声。
综合以上两个方面的因素，MIMO 天线系统的误码率会随着天线数的增多而增大。
2