第二章控制系统的状态空间表达式

一、主要内容

1. 状态空间描述的几个重要概念 2. 状态空间表达式的一般形式

1) 非线性系统的状态空间描述 2) 线性时变系统的状态空间描述 3) 线性定常系统的状态空间描述 4) 离散系统的状态空间描述 3. 系统状态空间表达式的特点 4. 状态空间表达式的建立

1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式 2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述 3) 由系统传递函数化为状态空间描述 4) 由系统状态变量图列写状态空间描述 5) 由系统方块图列写状态空间描述 5. 状态向量的线性变换

1) 系统状态空间表达式的非唯一性 2) 系统特征值的不变性

3) 将状态方程化为型规范型（对角线型和约当型）

二、教学基本要求

1、正确理解状态变量和状态空间描述的概念、涵义和特点。

2、熟练掌握建立状态空间表达式的不同方法，能够依据不同的已知条件建立系统相应的状态空间表达式。

3、熟练掌握线性变换方面的知识。理解坐标变换的概念，了解系统特征方程和特征值不变性及传递函数不变性的特点，熟练掌握将系统状态空间描述化为规范型的方法。

三、重点内容概要

1. 状态空间描述的几个重要概念

状态变量是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。给定了这个变量组在初始时刻t =t 0的值和时刻t ≥t 0系统的输入函数，那么系统在时刻t ≥t 0的行为就可以完全确定。这样一组变量就称为状态变量。

状态矢量以状态变量为元组成的向量，称为状态矢量。

状态空间以状态变量x 1(t ), x 2(t ), , x n (t ) 为坐标轴构成的n 维空间称为状态空间，记作R n 。

状态方程状态变量和输入变量之间的关系用一组一阶微分方程来描述。输出方程系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式。状态空间表达式状态方程和输出方程综合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述（数学模型），称为系统的状态空间表达式。 2. 状态空间表达式的一般形式

(1) 非线性系统的状态空描述

(t ) =f (X (t ), u (t ), t ) ⎧X

（2.1） ⎨

⎩y =g (X , u , t )

其中，X ∈R n 为状态向量；u ∈R p 为输入向量；y ∈R q 为输出向量。向量函数

(t ) =f (X (t ), u (t ), t ) 和y =g (X , u , t ) 的全部或至少一组成元素为状态变量X 和X

控制u 的非线性函数。

(2) 线性系统的状态空间描述 ① 线性时变系统的状态空间描述

(t ) =A (t ) X (t ) +B (t ) u (t ) ⎧X

⎨

⎩y (t ) =C (t ) X (t ) +D (t ) u (t )

（2.2）

其中，A (t ) ∈R n ⨯n 为系统矩阵；B (t ) ∈R n ⨯p 为控制矩阵；C (t ) ∈R q ⨯n 为输出矩阵；

D (t ) ∈R

q ⨯p

为在直接传递矩阵。

② 线性定常系统的状态空间描述

(t ) =AX (t ) +Bu (t ) ⎧X

⎨

⎩y (t ) =CX (t ) +Du (t )

（2.3）

其中各个系数矩阵微常数矩阵。

③ 离散时间系统的状态空间描述

⎧X (k +1) =G (k ) X (k ) +H (k ) u (k )

⎨

⎩y (k ) =C (k ) X (k ) +D (k ) u (k )

（2.4）

其中，k =0, 1, 2, 表示离散的时刻。

3. 系统状态空间表达式的特点

(1) 状态空间描述考虑输入—状态—输出这一过程，是对系统动态行为的完全

描述。

(2) 对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的，即个数

等于系统包含的独立储能元件的个数。

(3) 选择不同的状态变量，系统有不同的状态空间描述。系统任意两个状态向

量之间的关系是线性非奇异的关系。即若X 是系统的一个状态向量，只要

ˆ矩阵P 是非奇异的，则X

-1

也是系统一个状态向量。

4. 状态空间表达式的建立

(1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式

① 根据系统内部的运动规律，直接推导其输入/输出关系的建模方法称为机

理分析法。 ② 列写步骤

A. 确定输入变量和输出变量。

B. 将物理系统划分为若干子系统，根据物理定律列写各子系统的微分

方程。

C. 根据各子系统微分方程的阶次选择状态变量（通常选择独立储能元

件的输出物理量为状态变量，如电感电流，电容电压等），将各子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，即可得到系统的状态方程。

D. 按照输出量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程的形式，即

可得到输出方程。

(2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述

设线性连续时不变单输入单输出系统的高阶微分方程为：

(n )

+a 1y

(n -1)

+ +a n y =b 0u

(n )

+b 1u

(n -1)

+ +b n u

（2.5）

将其化为状态空间描述的关键问题是选择系统适当的状态变量，确定相应的系数矩阵。分两种情况讨论：

第一种情况：方程（2.5）中不包含输入函数的导数

微分方程形式为：

y (n ) +a 1y (n -1) + +a n y =b n u （2.6）

①、选择状态变量

(0), , y (n -1) (0) 和t ≥0一个n 阶系统，具有n 个状态变量，因为当给定y (0), y

, , y (n -1) 为的输入u (t ) 时，系统在t ≥0时的运动状态就完全确定，所以选择y , y

系统的一组状态变量令

⎧x 1=y

⎪

⎪x 2=y

（2.7） ⎨

⎪

⎪x =y (n -1) ⎩n

②、将高阶微分方程（2.5）化为状态空间表达式

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢ ⎥⎢ ⎢⎥⎢ n ⎦⎣-a n ⎣x

10 -a n -1⎡x 1⎤⎢⎥x 20]⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎣x n ⎦

01 -a n -2

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 0⎥⎢2⎥+⎢⎥u ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎥⎢⎥-a 1⎦⎣x n ⎦⎣b n ⎦

（2.8）

y =[1

当Ａ矩阵具有形如（2.8）式的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为１；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。第二种情况：方程（2.5）中包含输入函数的导数

线性连续时不变系统输入—输出的时域模型一般形式：

(n )

(n -1)

(n )

(n -1)

+a 1y + +a n y =b 0u +b 1u + +b n u

①、选择状态变量

⎧x =y -βu 10⎪

-β0u -β1u ⎪x 2=y

⎪x = -β0u -β1u -β2u y 3⎪⎪

（2.9）

⎨x 4= y

-β0 u -β1u -β2u -β3u ⎪⎪

⎪⎪x (n -1) n =y -β0u (n -1) -β(n -2) 1u - -βn -1u ⎪⎩x (n ) n +1=y

-βu (n ) -β(n -1) 01u - -βn u 其中βi , i =0, , n 可由下式计算，即

⎧β=b ⎪00

⎪β=b ⎪11-a 1β0

⎨β 2=b 2-a 1β1-a 2β0

⎪⎪ ⎪⎩βn

=b n -a 1βn -1-a 2βn -2- -a n β0

②、系统状态空间表达式

系统状态方程：

⎡x

1⎤⎡010 0⎤⎡x

1⎤⎡β1⎤⎢⎥⎢⎢x 2001 0⎥⎢⎥⎢⎥⎢x ⎥2⎥⎢β2⎥X

⎥⎢=⎢x 3⎥=⎢00

00⎥⎢x

⎢3⎥+⎢β ⎥⎢⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢3⎥u ⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣-a n

-a n -1

-a n -2

-a 1⎥⎦⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣βn ⎥⎦

系统输出方程：

⎡x

1⎤⎢⎢x ⎥2⎥

y =[1

000

0]⎢x ⎢3⎥+β ⎥0u ⎢⎥⎢⎣x n ⎥⎦

(3) 由系统传递函数化为状态空间描述控制系统的传递函数为：

W (s ) =

Y (s ) b 1s

n -1

+ +b n -1s +b n

U (s )

s n

+a n -1

1s + +a n -1s +a n

分两种情况讨论：

第一种情况：控制系统传递函数的极点为两两相异

把式（2.13）化为部分分式形式：

2.10）

2.11）

2.12） 2.13）

（（（（

W (s ) =

Y (s ) U (s )

k 1s -s 1

k 2s -s 2

k n s -s n

（2.14）

其中：s 1, s 2, , s n 为系统中两两相异的极点，k 1, k 2, , k n 为待定常数，通过下式计算求得：

k i =lim W (s )(s -s i ) （2.15）

s →s i

可得到系统状态空间表达式为：

⎡x 1⎤⎡s 1⎤⎡x 1⎤⎡1⎤⎢s ⎥⎢⎥⎢⎥⎢x ⎥⎢2⎥⎢2

⎥⎢x 2⎥⎢1⎥

⎢ ⎥=⎢

⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u ⎢⎥s ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢x ⎢n -1⎥⎢n -1

⎥⎢x n -1⎥⎢1⎥⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣

s n ⎥⎦⎢⎣x n ⎥⎦⎣⎢1⎥⎦⎡x 1⎤⎢y =[k 1

k 2

k n -1

]⎢x ⎥2⎥

k n ⎢ ⎥⎢ ⎢x ⎥n -1⎥⎢⎣x n ⎥⎦

第二种情况：控制系统传递函数的极点为重根

设式（2.13）的极点仅有一个重根将其化为：

W (s ) =

Y (s ) k 12U (s )

k 11(s -s n

(s -s -1

+ +

k 1n 1)

n s -s 1

其中k 1, k 2, , k n 为待定常数，通过下式计算求得：

k 1i =lim

i -1

s )(s -s n

1, 2 , n s →s i -1

1) ]i = 1

(i -1)! ds

[W (可得系统状态空间表达式为:

⎡x

1⎤⎡s 1⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎢1⎢x ⎥⎢2⎥⎢s ⎥⎢1

⎥⎢

x ⎥⎢⎥2⎥⎢0⎥ ⎢ ⎥=⎢

1⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u ⎢⎥⎢⎢x n -1⎥⎢s 1

1⎥⎢

⎥⎢⎥ ⎥⎢x n -1⎥⎢0⎥⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣

s 1⎥⎦⎢⎣x n ⎥⎦⎣⎢

1⎥⎦2.16） 2.17） 2.18）

2.19）

(2.20)

（（（（

y =[k 11

k 12

⎡x 1⎤⎢⎥x 2⎢⎥

k 1n ]⎢ ⎥ (2.21)

⎢⎥x ⎢n -1⎥⎢x n ⎥⎣⎦

(4) 由系统状态变量图列写状态空间描述

① 状态变量图：由积分器、加法器和放大器构成的图形表示。

② 意义：状态变量图既描述了状态变量之间的相互关系，又说明了状态变

量的物理的物理意义，它是系统相应方块图拉氏反变换的图形。 ③ 绘制状态变量图的方法设二阶系统的传递函数为：

Y (s ) U (s )

b 1s +b 2s +a 1s +a 2

将上式分子分母同除以s 2，令

U (s ) 1+a 1s

-1

+a 2s

-2

=ε(s ) ，得

-1-2

⎧⎪Y (s ) =b 1s ε(s ) +b 2s ε(s )

（2.22） ⎨-1-2

⎪⎩ε(s ) =U (s ) -a 1s ε(s ) -a 2s ε(s )

根据式（2.22）可画出系统方块图（图2.1）与系统状态变量图（图2.2）。

图2.1 二阶线性系统方块图

图2.2 二阶线性系统的状态变量图

同理，设n 阶线性系统的传递函数为：

W (s ) =

Y (s ) U (s )

b 1s

n -1

+ +b n -1s +b n

+ +a n -1s +a n

s +a 1s

n -1

（2.23）

将式（2.23）分子分母同除以s n ，令

U (s )

1+a 1s

-1

+ +a n s

-n

=ε(s ) ，得

-1-(n -1) -n

⎧ε(s ) +b n s ε(s ) ⎪Y (s ) =b 1s ε(s ) + +b n -1s

（2.24） ⎨-1-2-n

⎪⎩ε(s ) =U (s ) -a 1s ε(s ) -a 2s ε(s ) - -a n s ε(s )

根据式（2.24）可画出系统方块图（图2.3）与系统状态变量图（图2.4）。

图2.3 n

阶线性系统方块图

④ 由状态变量图列写状态空间描述的步骤:

A. 由已知条件画系统状态变量图。

B. 选择每个积分器的输出作为一个状态变量。 C. 依据状态变量图，列写出系统

图2.4 n 阶线性系统状态变量图

考虑n 阶线性系统（2.23），由状态变量图2.4，列写其状态方程与输出方程，有

1=x 2⎧x

⎪

=x 3x ⎪2⎪

⎨

⎪x =x n ⎪n -1

n =-a n x 1--a n -1x 2- --a 1x n +u ⎪⎩x

即

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ 2x 0⎢⎥⎢⎢ ⎥=⎢ ⎢⎥⎢ x ⎢n -1⎥⎢0⎢x ⎥⎢⎣ n ⎦⎣-a n

10 0-a n -1

01 0-a n -2

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 20⎥⎢⎥⎢⎥ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u ⎥⎢⎥⎢⎥1⎥⎢x n -1⎥⎢0⎥

⎢⎥⎢⎥-a 1⎥⎦⎣x n ⎦⎣1⎦

（2.25）

y =[b n

b n -1

⎡x 1⎤

⎢⎥x 2

b 1]⎢⎥ （2.26） ⎢ ⎥⎢⎥⎣x n ⎦

(5) 由系统方块图列写状态空间描述

① 由系统方块图导出状态空间描述的步骤

A. 将系统方块图中的各个环节均化为典型环节：积分环节和一阶惯性

环节。

B. 把每个积分器的输出选为状态变量拉氏变换，并列写每个典型环节

的传递函数。

C. 拉氏反变换得一阶微分方程组。

D. 写成矩阵向量形式，得到状态空间表达式。 ② 典型二阶系统状态空间描述

图2.5 控制系统方块图

1）列写每个典型环节的传递函数

⎧x 1(s ) 1⎪x (s ) =s ⎪2

⎨

x 2(s ) 1⎪=⎪⎩U (s ) -x 1(s ) s +1

2）叉乘拉氏反变换得一阶微分方程组

⎧sx 1(s ) =x 2(s )

⎨

⎩sx 2(s ) =U (s ) -x 1(s ) -x 2(s )

拉氏反变换为

1=x 2⎧x

⎨

2=-x 1-x 2+u ⎩x

由图可知

y =x 1

3）用向量矩阵形式表示

1⎤⎡01⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎡x

⎢⎥=⎢⎢⎥+⎢⎥u ⎥ 2⎦⎣-11⎦⎣x 2⎦⎣1⎦⎣x y =[1

⎡x 1⎤

0]⎢⎥⎣x 2⎦

5. 状态向量的线性变换

(1) 系统状态空间描述的非唯一性

对于给定系统，状态变量的选择不唯一，若X 是系统一个状态向量，则必存在一个非奇异矩阵P ，对X 作线性变换（坐标变换）X 个状态向量。已知：

=AX +Bu ⎧X ⎨

⎩y =CX +Du

ˆ=P X

ˆ，则X

-1

也是一

对原状态变量作线性变换，得到新的状态空间描述：

⎧ˆ=P -1AP X ˆ+P -1Bu ⎪X

⎨

ˆ⎪⎩y =CP X +Du

即：

⎧ˆX ˆ=A ˆ+B ˆu ⎪X

⎨

ˆˆ⎪⎩y =C X +Du

ˆ=P -1AP , 其中：A ˆ=P -1B , B ˆ=CP C

(2) 系统特征值的不变性

①特征方程：系统∑=(A , B , C , D ) ，其特征方程就是系统矩阵A 的特征方程，即

λI -A =0

其中，I 为单位矩阵。

②系统特征值：特征方程的根称为系统特征值。 ③系统特征值的不变性

原系统∑

经坐标变换

=(A , B , C , D )

X =P X

→ˆ

ˆ, B ˆ, D ) ˆ, C ˆ=(A ∑

即经过线性变换后的系统，有

ˆ=λI -P -1AP =λP -1P -P -1AP =P -1λI -A P =0λI -A ⇒λI -A =0

所以，同一系统，经非奇异变换（坐标变换）后，其特征值不变。

④ 特征向量：系统矩阵A 对应于特征值λi 的特征矢量P i ，满足：

AP i =λi P i （其中P i 为n ⨯1列向量）

(3) 将状态方程化为规范型

① 将状态方程化为对角线规范型

A. 当矩阵A 的特征值两两相异且A 矩阵具有任意形式

定理：对于系统∑=(A , B , C , D ) ，设其特征值λ1, , λn 两两相异，则存在线性变换X =P X ，将系统化为如下对角线规范型：

⎡λ1

⎢

=A X +B u =⎢X

⎢⎢⎣

⎤⎥

⎥X +P -1Bu ⎥⎥λn ⎦

λ2

其中，变换矩阵P =[P 1

P n ]，P i 为特征值λi 所对应的特征矢量。

B. 当矩阵A 的特征值两两相异且A 矩阵为友阵

定理：当系统矩阵A 两两相异且A 矩阵为友阵时，将其化为规范型的变换矩阵是一个范德蒙德矩阵，即

⎡0⎢0⎢已知：A =⎢⎢⎣-a n

-a n -1

0⎤⎥0

⎥， ⎥⎥-a 1⎦

⎡1⎢λ1⎢则变换矩阵P =⎢ ⎢n -1⎣λ1

1λ2 λ2

n -1

1⎤⎥λn

⎥（范德蒙德矩阵） ⎥n -1⎥λn ⎦

C. 当矩阵A 的特征值有重根，且对应于重特征值的线性无关的特征

向量数目等于重特征值数，那么矩阵A 可以化为对角线规范型。（但这种情况很少见。）

② 将状态方程化为约当规范型

A. 当矩阵A 的特征值有重根，且对应于重特征值的线性无关的特征

向量数目小于重特征值数，那么矩阵A 可以化为约当规范型。

四、典型例题

[例2.1] 以恒压u 为驱动的电网络如图2.6所示。选择电感L 上的支路电流i L

和电容C 上的支路电压u C 作为状态变量时，求它的状态空间表达式。又输出是图2.6中所示电容C 上的支路电压y 。

y 2R

R y

图2.6 电网结构图

解采用机理分析法求状态空间表达式。此题根据基尔霍夫定理，列方程得：

di L ⎧

R (i +i ) +L =u ⎪1L C

dt ⎨

⎪R (i +i ) +R i +u =u

C 2C C ⎩1L

因为i C 不是系统的状态变量，所以需要将i C =C

⎧

R 1i L +R 1C ⎪⎪⎨

⎪R i +R C 1L 1⎪⎩

du C dt du C dt

di L dt

du C dt

代入上式，消去i C ，即

+L =u du C dt

+u C =u

+R 2C

解得

R 111⎧

C =-u u -i +u (t ) C L ⎪C (R 1+R 2) C (R 1+R 2) C (R 1+R 2) ⎪

⎨

R R R R 1122⎪i =-u C -i L +u (t ) L

⎪L (R 1+R 2) L (R 1+R 2) L (R 1+R 2) ⎩

将上式写成矩阵向量形式，为

1⎡

C ⎤⎢C (R +R ) ⎡u 12⎢ ⎥=⎢R 1⎣i L ⎦⎢-

⎢⎣L (R 1+R 2)

1⎤⎡⎤

C (R 1+R 2) ⎥⎡u C ⎤⎢C (R 1+R 2) ⎥

⎥⎢⎥+⎢⎥u

R R 1R 22⎥⎣i L ⎦⎢⎥-

⎢L (R 1+R 2) ⎥⎣L (R 1+R 2) ⎥⎦⎦

R 1

输出方程为

y =u C =[1

⎡u C ⎤

0]⎢⎥ ⎣i L ⎦

[例2.2] 试求图2.7所示的电网络中，以电感L 1、L 2上的支路电流x 1、x 2作为状态变量的状态空间表达式。这里u 是恒流源的电流值，输出y 是R 3上的支路电压。

x 1x

图2.7 RL电网络

解采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程，即

2(x 1+x 2) R 3=-R 2x 2-L 2x 1+(x 1+x 2) R 3]/R 1 u =x 1+[L 1x y =(x 1+x 2) R 3

整理得状态空间表达式为:

⎡R 1+R 2

1⎤⎢⎡x L 1

=⎢⎢⎥R 2⎦⎢⎣x -2

⎢L 2⎣

⎤

⎥⎡x ⎤⎡R 1⎤L 11

⎥⎢⎥+⎢L 1⎥u

R +R 3⎥⎣x 2⎦⎢⎥-2

⎣0⎦⎥L 2⎦-⎡x 1⎤

R 3]⎢⎥ ⎣x 2⎦

R 3

y =[R 3

[例2.3] 图2.8所示的机械运动模型中，M 1、M 2为质量块（同时也为质量），K 1、K 2为弹簧，也为弹性系数，B 1、B 2是阻尼器，列写出在外力f 作用下，以质量块M 1和M 2的位移y 1和y 2为输出的状态空间表达式。

图2.8 机械运动模型图

解弹簧K 1、K 2，质量块M 1、M 2是储能元件，故弹簧的伸长度y 1和y 2，质量块M 1、M 2的速度v 1，v 2可以选作状态变量。由结构图2.8可以直接看出，它们是相互独立的。选x 1=y 1，x 2=y 2

x 3=v 1=

dy 1dt

，x 4=v 2=

dy 2dt

根据牛顿定律，对于M 1有：

M 1

dv 1dt

=K 2(y 1-y 2) +B 2(

dy 2dt

-dy 1dt

) -K 1y 1-B 1

dy 1dt

对于M 2有：

dv 2

=f -K 2(y 2-y 1) -B 2(

dy 2dt

dy 1dt

)

把x 1=y 1, x 2=y 2, x 3=

1⎧x ⎪ x ⎪2⎪ 3⎨x ⎪⎪ 4⎪x ⎩

=x 3

dy 1dt

, x 4=

dy 2dt

及u=f代入上面两个式子，经整理可得：

=x 4=-=

1M 1

(K 1+K 2) x 1+

K 2M 2

x 2+

K 2M 1

x 2-

1M 1

(B 1+B 2) x 3+

1M 2

B 2M 1

x 4

K 2M 2

x 1-

B 2M 2

x 3-

B 2M 2

x 4+

写成矩阵向量形式：

0⎡

1⎤⎢⎡x

⎢⎥⎢ 1x

⎢2⎥=⎢-(K 1+K 2)

M ⎢x 3⎥⎢1

⎢⎥⎢K 2 4⎦⎣x ⎢

M 2

⎣

00K 2M 1K 2M 2

1M 1

(B 1+B 2) B 2M 2

⎤

⎡0⎤

⎥⎡x 1⎤1⎢⎥

⎥⎢⎥0B 2x ⎢⎥⎥⎢2⎥+f M 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥

⎢1⎥

B 2⎥⎢⎥⎢⎥-⎥⎣x 4⎦⎣M 2⎦M 2⎦0

指定x 1，x 2为输出，所以

⎡x 1⎤⎢⎥0⎤x 2

⎢⎥⎥⎢⎥ 0⎦x 3⎢⎥⎣x 4⎦

⎡y 1⎤⎡1⎢⎥=⎢⎣y 2⎦⎣0

[例2.4] 图2.9是直流他励电动机的示意图。图中R 、L 分别为电枢回路的电阻和电感，J 为机械旋转部分的转动惯量，B 为旋转部分的粘性摩擦系数。列写该图在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式。

图2.9 自流电动机示意图

解电感L 、转动惯量J 是贮能元件，相应的物理变量电流i 及旋转速度w 是相互独立的，可选择为状态变量，即

x 1=i ，x 2=w

则由电枢回路的电路方程，有

L di dt

+Ri +e =u

由动力学方程有

J dw dt

+Bw =K a i

由电磁感应关系，有

e =K b w

式中，e 为反电动势；K a , K b 为转矩常数和反电动势常数。把上面三式整理，改写成：

di dt dw dt =-=

R L J i -i -K b L B J w +w

1L u

K a

把x 1=i ，x 2=w 代入，有

⎡R 1⎤⎢-⎡x L ⎢⎥=⎢K 2⎦⎣x ⎢a

⎣J

K b ⎤

⎡1⎤

L ⎥⎡x 1⎤+⎢⎥u B ⎥⎢x ⎥⎢L ⎥-⎥⎣2⎦⎣0⎦J ⎦

若指定角速度w 为输出，则

y =x 2=[0

⎡x 1⎤1]⎢⎥ ⎣x 2⎦

[例2.5] 已知系统的微分方程

+28 +196y +740y =440u （1） y y

（2） y +2 +3y +5y =5 +7u y u

+3y =u -u （3）2 y

试列写出它们的状态空间表达式。解

=x 2, =x 3，则有（1）选择状态变量y =x 1, y y

1=x 2⎧x ⎪

2=x 3⎪x

⎨

3=-740x 1-196x 2-28x 3+440u ⎪x ⎪y =x ⎩1

状态空间表达式为:

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ =x 0⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣-740⎣x ⎦⎢y =[1

10-196

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+0u ⎥⎢⎥⎢⎥-28⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣440⎥⎦

⎡x 1⎤

⎢⎥0]x 2

⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

（2）已知a 1=2, a 2=3, a 3=5, b 0=5, b 1=0, b 2=0, b 3=0。按照式（2.10）求出

⎧β0

⎪⎪β1⎨⎪β2⎪β⎩3

=b 0=5

=b 1-a 1β0=-10=b 2-a 1β1-a 2β0=5=b 3-a 1β2-a 2β1-a 3β0=5

所以由式（2.11）和式（2.12）可以直接写出状态空间表达式为

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣-5⎣x ⎦⎢y =[1

10-3

0⎤⎡x 1⎤⎡-10⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+5u ⎥⎢⎥⎢⎥-2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣5⎥⎦

⎡x 1⎤⎢⎥

0]x 2+5u ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

（3）对题中微分方程在零初始条件下取拉氏变换得

(2s +3s ) Y (s ) =(s -1) U (s )

所以：

Y (s ) U (s )

=32s +3s 3

s +s

s -1

s -

根据式（2.25）和式（2.26），可直接写出系统状态空间表达式：

⎡ 1⎤0⎡x ⎢⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢0

⎣⎡1y =⎢-

⎣2

103-20

⎤

0⎡x 1⎤⎡0⎤⎥

⎢⎥⎢⎥1⎥x 2+0u ⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎦

⎡x 1⎤1⎤⎢⎥

x 2

2⎥⎦⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

[例2.6] 已知系统的传递函数，试建立系统的状态空间描述。（1）W (s ) =

Y (s ) U (s ) Y (s ) U (s )

s +6s +11s +6

（2）W (s ) =

2s +19s +49s +20s +6s +11s +6

（3）W (s ) =

2s +5s +1(s -2)

（4）W (s ) =

(s -1) (s -2) 2s +5s +1(s -1)(s -2)

（5）W (s ) =

k 1s +1

k 2s +2

k 3s +3

解：（1）W (s ) ==

(s +1)(s +2)(s +3)

=++

其极点为：s 1=-1, s 2=-2, s 3=-3

k 1=lim W (s )(s +1) =lim

s →-1

6(s +2)(s +3)

6(s +1)(s +3)

6(s +1)(s +2)

s →-1

k 2=lim W (s )(s +2) =lim

s →-2

=-6

k 3=lim W (s )(s +3) =lim

s →-3

因此，其相应的状态空间表示式为：

1⎤⎡-1⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x +1u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

，y =[3-6

⎡x 1⎤

⎢⎥3]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

（2）W (s ) ==

(s +1)(s +2)(s +3)

=2+

k 1s +1

k 2s +2

k 3s +3

其极点为：s 1=-1, s 2=-2, s 3=-3

k 1=lim W (s )(s +1) =lim

s →-1

2s +19s +49s +20

(s +2)(s +3) 2s +19s +49s +20

(s +1)(s +3) 2s +19s +49s +20

(s +1)(s +2)

s →-1

=-6

k 2=lim W (s )(s +2) =lim

s →-2

=-18

k 3=lim W (s )(s +3) =lim

s →-3

=-5

因此，其相应的状态空间表示式为：

1⎤⎡-1⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x +1u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

y =[-6

-18

⎡x 1⎤

⎢⎥

-5]x 2+2u ⎢⎥

⎢⎣x 3⎥⎦+

k 13(s -2)

（3）W (s ) =

2s +5s +1(s -2)

k 11(s -2)

k 12(s -2)

k 11=lim [W (s )(s -2) ]=lim (2s +5s +1) =19

s →2

k 12=lim

d ds

s →2

(2s +5s +1) =lim (4s +5) =13

s →2

k 13=lim

1d 2ds

s →2

(2s +5s +1) =lim 2=2

s →2

因此，其对应的状态空间描述为：

1⎤⎡2⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

120

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+0u ⎥⎢⎥⎢⎥2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎡x 1⎤

⎢⎥2]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

y =[19

（4）W (s ) =

(s -1) (s -2)

k 11(s -1) 2

k 12(s -1)

k 21(s -2)

k 22(s -2)

k 11=lim [W (s )(s -1) ]=lim

s →1

(s -2) d

k 12=lim [W (s )(s -1) ]=lim

s →1

ds (s -2)

2(s -1)

[

]=4

k 21=lim [W (s )(s -2) ]=lim

s →2

k 22=lim

s →2

ds (s -1)

[

]=-4

所以，写成状态空间表达形式为：

1⎤⎡1⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢x 3⎥⎢0⎢⎥⎢ 4⎦⎣0⎣x

1100

0020

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x 21⎥⎢⎥+⎢⎥u 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎢⎥2⎦⎣x 4⎦⎣1⎦⎡x 1⎤⎢⎥x 2⎢⎥ -4]⎢x 3⎥⎢⎥⎣x 4⎦+

k 22(s -2)

y =[2

（5）W (s ) =

2s +5s +1(s -1)(s -2)

k 1s -1

k 21(s -2)

k 23(s -2)

k 1=lim W (s )(s -1) =lim

s →1

2s +5s +1(s -2)

s →1

=-8

k 21=lim [W (s )(s -2) ]=lim

s →2

(2s +5s +1)

s -1

s →2

=19

k 22=lim

d ds

s →2

(

2s +5s +1

s -1

) =-6

k 23=lim

1d 2ds

s →2

(

2s +5s +1

s -1

) =8

所以，写成状态空间表达形式为：

1⎤⎡1⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢x 3⎥⎢0⎢⎥⎢ 4⎦⎣0⎣x

0200

0120

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x 20⎥⎢⎥+⎢⎥u 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎢⎥2⎦⎣x 4⎦⎣1⎦

⎡x 1⎤⎢⎥x 28]⎢⎥ ⎢x 3⎥⎢⎥⎣x 4⎦

y =[-8

19-6

[例2.7] 某随动系统的方框图如图2.10所示，列写其状态空间表达式。

解由系统方块图，可得：

x 1(s ) =x 2(s ) =x 3(s ) =

1s x 2(s ) 1T m s 1T m s +1

x 3(s )

{k [u (s ) -x 1(s )]-x 2(s )}

对上式进行拉式反变换得

1(t ) =x 2(t ) x 2(t ) =x

1T m

x 3(t ) k T m

x 1(t ) -

1T m

x 2(t ) -

1T m

x 3(t ) +

k T m

u (t )

3(t ) =-x

状态空间表达式为：

⎡

⎢0

1(t ) ⎤⎢⎡x ⎢⎥

2(t ) =⎢0x ⎢⎥⎢⎢ 3(t ) ⎥⎣x ⎦⎢k

⎢-⎢⎣T m

10-1T m

⎤⎡⎤

0⎥⎢0⎥⎥⎡x 1(t ) ⎤⎢⎥1⎥⎢⎥

x 2(t ) +⎢0⎥u (t )

⎥⎢⎥T m ⎥⎢

⎥⎢x (t ) ⎥⎢⎥1⎣3⎦k ⎥⎢⎥-

T m ⎥⎢⎦⎣T m ⎥⎦

y =[1

⎡x 1⎤⎢⎥0]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

[例2.8] 试将下列状态方程化为对角线规范型。（1）⎢

1⎤⎡0⎡x

⎥=⎢ 2⎦⎣-5⎣x

1⎤⎡x 1⎤

⎥⎢⎥+-6⎦⎣x 2⎦10-26

⎡0⎤⎢⎥u ⎣1⎦

⎡0⎤⎢⎥0u ⎢⎥⎢⎣1⎥⎦

1⎤⎡0⎡x

⎥⎢ 2=x 0（2）⎢

⎢⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣-24 1⎤0⎤⎡x

⎥⎢⎥ +1x ⎥⎢2⎥ 3⎥-9⎥⎦⎢⎣x ⎦

解：（1）

1）求特征值

λI -A =

-1

λ+6

=(λ+1)(λ+5) =0

解得：λ1=-1, λ2=-5 2）求特征向量当λ1=-1时，有

⎡0

AP 1=λ1P 1⇒⎢

⎣-5

1⎤⎡p 11⎤⎡-p 11⎤

⎥=⎢⎥ ⎥⎢p -p -6⎦⎣21⎦⎣21⎦

解得：P 1=⎢⎥

⎣-1⎦当λ1=-5时, 有

⎡0

AP 2=λ2P 2⇒⎢

⎣-5

1⎤⎡p 12⎤⎡-5p 12⎤

⎥=⎢⎥ ⎥⎢

-6⎦⎣p 22⎦⎣-5p 22⎦

⎡1⎤

解得：P 2=⎢⎥

⎣-5⎦

3）构造变换矩阵P , 并求P

-1

⎡1⎤

；

1⎤-1

P ，⎥

-5⎦

⎡1P =⎢

⎣-1

⎡5⎢=⎢4

1⎢-⎣41⎤4⎥ 1⎥-⎥4⎦

4）求A , B

A =P

-1

⎡-1AP =⎢

⎣00⎤⎥-5⎦

⎡1⎤⎢⎥-1

B =P B =⎢4⎥

1⎢-⎥⎣4⎦

所以得到对角线规范型：

⎤⎡-1⎡1

⎢⎥=⎢⎣2⎦⎣0

⎡1⎤

0⎤⎡1⎤⎢4⎥⎥⎢⎥+⎢1⎥u -5⎦⎣2⎦

⎢-⎥⎣4⎦

（2）

1) 计算特征值

λI -A =0

-1

0-1

=λ+9λ+26λ+24=(λ+2)(λ+3)(λ+4) =0

λ26

λ+9

解得：λ1=-2, λ2=-3, λ3=-4 2）构造变换矩阵P

⎡1⎢P =-2

⎢⎢⎣4

1-39

1⎤

⎥

-4, P -1

⎥16⎥⎦

⎡

⎢6=⎢-8⎢⎢3⎢⎣

-652

1⎤2⎥-1⎥ 1⎥⎥2⎦⎥

3) 求A , B

⎡-2

⎢-1

A =P AP =0

⎢⎢⎣0⎡1⎤⎢2⎥-1

B =P B =⎢-1⎥

⎢1⎥⎢⎥⎢⎣2⎥⎦

0-30

0⎤

⎥0⎥-4⎥⎦

4）变换后的状态方程为对角规范型：

⎡-2

⎢X ==0

⎢⎢⎣0

0-30

⎡1⎤

0⎤⎢2⎥⎥

0X +⎢-1⎥u ⎥⎢1⎥-4⎥⎢⎥⎦

⎢⎣2⎥⎦

[例2.9] 试将下列状态方程化为约当规范型。

⎡0 =⎢0（1）X

⎢⎢⎣2⎡4 =⎢1（2）X

⎢⎢⎣1

10310-1

0⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥1X +0u ⎥⎢⎥

⎢0⎥⎦⎣1⎥⎦-2⎤⎡3⎥⎢2X +2⎥⎢

⎢3⎥⎦⎣5

1⎤

⎥⎡u 1⎤7⎢⎥ ⎥u ⎣2⎦3⎥⎦

解（1）

1）求矩阵A 的特征值

λI -A =0

-2

-1

-1=λ-3λ-2=0

λ-3

解得：λ1=λ2=-1, λ3=2

2）求变换矩阵P 当λ1=-1时，根据AP 1=λ1P 1

⎡0⎢0⎢⎢⎣2

103

0⎤⎡p 11⎤⎡-p 11⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1p 21=-p 21 ⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎦⎢⎣p 31⎥⎦⎢⎣-p 31⎥⎦

⎡1⎤

⎥-1 求得P 1=⎢⎢⎥⎢⎣1⎥⎦

再求对应于λ1=-1时的另一个广义特征向量，根据AP 2-P 1=λ1P 2，求得

⎡1⎤

⎢⎥P 2=0 ⎢⎥

⎢⎣-1⎥⎦

当λ3=2时，根据AP 3=λ3P 3，求得

⎡1⎤⎢⎥P 3=2 ⎢⎥

⎢⎣4⎥⎦

所以

⎡1⎢P =-1

⎢⎢⎣1

10-1

1⎤

⎥2 ⎥4⎥⎦

3）求变换后的状态方程为对角规范型：

⎡-1

⎢-1

A =P AP =0

⎢⎢⎣0

1-10

⎡

⎢0⎤

⎢

⎥-1

0，B =P B =⎢-⎥

⎢

2⎥⎦⎢

⎢⎣

2⎤9⎥1⎥⎥ 3⎥1⎥9⎥⎦

（2）

1）求矩阵A 的特征值

λ-4

λI -A =

-1-1

-1

-2=(λ-1)(λ-3) =0

λ1

λ-3

解得：λ1=1, λ2==λ3=3 2）求变换矩阵P

当λ1=1时，根据AP 1=λ1P 1

⎡4

⎢1⎢⎢⎣1

10-1

-2⎤⎡p 11⎤⎡p 11⎤

⎥⎢⎥⎢⎥2p 21=p 21 ⎥⎢⎥⎢⎥3⎥⎦⎢⎣p 31⎥⎦⎢⎣p 31⎥⎦

⎡0⎤

⎢⎥

求得P 1=⎢2⎥

⎢⎣1⎥⎦

同理，当λ2=3时，根据AP 2=λ2P 2，求得

⎡1⎤

⎢⎥P 2=1 ⎢⎥

⎢⎣1⎥⎦

再求对应于λ3=3时的另一个广义特征向量，根据AP 3-P 2=λ3P 3，求得

⎡1⎤⎢⎥P 3=0 ⎢⎥

⎢⎣0⎥⎦

所以

⎡0⎢P =2

⎢⎢⎣1

111

1⎤⎡0

⎥⎢-1

0，P =0⎥⎢

⎢0⎥⎦⎣1

1-11

-1⎤

⎥2 ⎥-2⎥⎦

3）求变换后的状态方程为对角规范型：

⎡1

⎢-1

A =P AP =0

⎢⎢⎣0

030

0⎤⎡-3

⎥⎢-1

1，B =P B =8⎥⎢

⎢3⎥⎦⎣-5

4⎤

⎥-1 ⎥2⎥⎦

则得约当规范型为

⎡1

⎢X =0

⎢⎢⎣0

030

0⎤⎡-3

⎥⎢1X +8⎥⎢

⎢3⎥⎦⎣-5

4⎤

⎥⎡u 1⎤-1⎢⎥ ⎥u

⎣2⎦2⎥⎦

五、同步训练

(t ) +b (t ) +c x (t ) +dx (t ) =u (t ) 表示的系统的状态方程。 1、试求三阶微分方程a x x +3 +2y +y =u +2u +u ，试写出系统的状态空间描述。2、设系统的微分方程为 y y

3、求W (s ) =

2s +5s +1(s -1)(s -2)

的状态空间描述。

4、求写出W (s ) =

s +4s +5s +6s +11s +6

的对角线规范型。

5、已知线性定常系统状态方程为：

⎡2

=⎢0X

⎢⎢⎣0

-1-12

-1⎤⎡7⎤

⎥⎢⎥0X +2u ⎥⎢⎥

⎢1⎥⎦⎣3⎥⎦

试将其化为对角线规范型。 6、已知系数矩阵为：

⎡0

⎢A =-6

⎢⎢⎣-6

1-11-11

-1⎤

⎥6 ⎥5⎥⎦

求将其化为规范型的变换矩阵P 。

=AX +Bu , y =CX 7、已知系统X

⎡-2⎢A =0

⎢⎢⎣1

2-2-4

-1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥

0，B =0，C =[1⎥⎢⎥

⎢0⎥⎣1⎥⎦⎦

-11]

将其划为规范型。

8、已知系统的方块图，求出系统的状态空间描述。

9、已知系统的状态变量图，试写出其状态空间描述。

y(t)

10、已知系统方块图，输入变量和输出变量分别为u 和y ，试求出系统的一个状态空间描述？

六、同步训练参考答案

⎡ 1⎤0⎡x ⎢⎥

2=⎢01、⎢x

⎢⎥⎢

⎢⎥ x -⎣3⎦⎢

⎣a

10c a

⎤⎡⎤x 1⎤0⎡⎥⎢⎥⎢⎥

1⎥x 2+⎢0⎥u

⎢⎥⎢⎥b ⎥1

⎥x -⎥⎢⎣3⎦⎢⎥a ⎦⎣a ⎦0

2、

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ 2=0 ⎢x

⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣-1

10-2

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x +0u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

y =[1

⎡x 1⎤⎢⎥1]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

3、

1⎤⎡1⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢x 3⎥⎢0⎢⎥⎢ 4⎦⎣0⎣x

0200

0120

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x 20⎥⎢⎥+⎢⎥u 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎢⎥2⎦⎣x 4⎦⎣1⎦⎡x 1⎤⎢⎥x 2⎢⎥8]⎢x 3⎥⎢⎥⎣x 4⎦

y =[-8

19-6

4、

1⎤⎡-1⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0y =[1

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x +1u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

⎡x 1⎤⎢⎥

-11]x 2

⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

⎡1

⎢

5、P =⎢0

⎢⎣0

101

0⎤⎡1

⎥⎢-1

1，P =0⎥⎢

⎢-1⎥⎦⎣0

010

-111

-1⎤

⎥1， ⎥0⎥⎦

⎡2

⎢

所以，A =P -1AP =⎢0

⎢⎣00⎤⎡2⎤

⎥⎢⎥-1

0，B =P B =5 ⎥⎢⎥

⎢-1⎥⎦⎣2⎥⎦

⎡1

⎢

6、P =⎢0

⎢⎣1⎡-1⎢

7、A =⎢0

⎢⎣0

1241

1⎤

⎥6 ⎥9⎥⎦

0⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥

0， B =1，C =[0⎥⎢⎥

⎢-2⎥⎦⎣1⎥⎦10-11

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+11u ⎥⎢⎥⎢⎥-6⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣-60⎥⎦

-10

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ 2=08、⎢x

⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣-6

y =[1

⎡x 1⎤⎢⎥0]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎡5⎥⎢⎥⎢⎥

0x 2+1u ，y =⎢-⎥⎢⎥⎢⎥⎣2⎢⎥⎢⎥-3⎥x 1⎦⎣3⎦⎣⎦

⎡x 1⎤

27⎤⎢⎥-x 2 ⎢⎥2⎥⎦

⎢⎣x 3⎥⎦

1⎤⎡-1⎡x

⎥⎢ 2=0x 或 ⎢

⎢⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

9、⎡x

⎢1⎤⎡-a ⎣x ⎥=⎦⎢

2⎣-c 10、

b ⎤⎡x -d ⎥⎢1⎤⎡1⎤

⎥+⎢⎥u ，y =[10]⎡x ⎢1⎤⎦⎣x 2⎦⎣1⎦⎣x ⎥ 2⎦

⎡x

-22⎤⎡x ⎢1⎤⎡0⎥⎢1⎤⎡0⎤

⎢x 2⎥=⎢1-10⎥⎢⎥⎥⎢x 2⎥+⎢⎢0⎥⎥u ⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣-10

-2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

⎡x y =[1

0]⎢1⎤

⎢x ⎥2⎥ ⎢⎣x 3⎥⎦

第二章控制系统的状态空间表达式

一、主要内容

1. 状态空间描述的几个重要概念 2. 状态空间表达式的一般形式

1) 系统状态空间表达式的非唯一性 2) 系统特征值的不变性

3) 将状态方程化为型规范型（对角线型和约当型）

二、教学基本要求

1、正确理解状态变量和状态空间描述的概念、涵义和特点。

2、熟练掌握建立状态空间表达式的不同方法，能够依据不同的已知条件建立系统相应的状态空间表达式。

三、重点内容概要

1. 状态空间描述的几个重要概念

状态矢量以状态变量为元组成的向量，称为状态矢量。

状态空间以状态变量x 1(t ), x 2(t ), , x n (t ) 为坐标轴构成的n 维空间称为状态空间，记作R n 。

(1) 非线性系统的状态空描述

(t ) =f (X (t ), u (t ), t ) ⎧X

（2.1） ⎨

⎩y =g (X , u , t )

其中，X ∈R n 为状态向量；u ∈R p 为输入向量；y ∈R q 为输出向量。向量函数

(t ) =f (X (t ), u (t ), t ) 和y =g (X , u , t ) 的全部或至少一组成元素为状态变量X 和X

控制u 的非线性函数。

(2) 线性系统的状态空间描述 ① 线性时变系统的状态空间描述

(t ) =A (t ) X (t ) +B (t ) u (t ) ⎧X

⎨

⎩y (t ) =C (t ) X (t ) +D (t ) u (t )

（2.2）

其中，A (t ) ∈R n ⨯n 为系统矩阵；B (t ) ∈R n ⨯p 为控制矩阵；C (t ) ∈R q ⨯n 为输出矩阵；

D (t ) ∈R

q ⨯p

为在直接传递矩阵。

② 线性定常系统的状态空间描述

(t ) =AX (t ) +Bu (t ) ⎧X

⎨

⎩y (t ) =CX (t ) +Du (t )

（2.3）

其中各个系数矩阵微常数矩阵。

③ 离散时间系统的状态空间描述

⎧X (k +1) =G (k ) X (k ) +H (k ) u (k )

⎨

⎩y (k ) =C (k ) X (k ) +D (k ) u (k )

（2.4）

其中，k =0, 1, 2, 表示离散的时刻。

3. 系统状态空间表达式的特点

(1) 状态空间描述考虑输入—状态—输出这一过程，是对系统动态行为的完全

描述。

(2) 对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的，即个数

等于系统包含的独立储能元件的个数。

(3) 选择不同的状态变量，系统有不同的状态空间描述。系统任意两个状态向

量之间的关系是线性非奇异的关系。即若X 是系统的一个状态向量，只要

ˆ矩阵P 是非奇异的，则X

-1

也是系统一个状态向量。

4. 状态空间表达式的建立

(1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式

① 根据系统内部的运动规律，直接推导其输入/输出关系的建模方法称为机

理分析法。 ② 列写步骤

A. 确定输入变量和输出变量。

B. 将物理系统划分为若干子系统，根据物理定律列写各子系统的微分

方程。

C. 根据各子系统微分方程的阶次选择状态变量（通常选择独立储能元

件的输出物理量为状态变量，如电感电流，电容电压等），将各子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，即可得到系统的状态方程。

D. 按照输出量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程的形式，即

可得到输出方程。

(2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述

设线性连续时不变单输入单输出系统的高阶微分方程为：

(n )

+a 1y

(n -1)

+ +a n y =b 0u

(n )

+b 1u

(n -1)

+ +b n u

（2.5）

将其化为状态空间描述的关键问题是选择系统适当的状态变量，确定相应的系数矩阵。分两种情况讨论：

第一种情况：方程（2.5）中不包含输入函数的导数

微分方程形式为：

y (n ) +a 1y (n -1) + +a n y =b n u （2.6）

①、选择状态变量

(0), , y (n -1) (0) 和t ≥0一个n 阶系统，具有n 个状态变量，因为当给定y (0), y

, , y (n -1) 为的输入u (t ) 时，系统在t ≥0时的运动状态就完全确定，所以选择y , y

系统的一组状态变量令

⎧x 1=y

⎪

⎪x 2=y

（2.7） ⎨

⎪

⎪x =y (n -1) ⎩n

②、将高阶微分方程（2.5）化为状态空间表达式

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢ ⎥⎢ ⎢⎥⎢ n ⎦⎣-a n ⎣x

10 -a n -1⎡x 1⎤⎢⎥x 20]⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎣x n ⎦

01 -a n -2

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 0⎥⎢2⎥+⎢⎥u ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎥⎢⎥-a 1⎦⎣x n ⎦⎣b n ⎦

（2.8）

y =[1

线性连续时不变系统输入—输出的时域模型一般形式：

(n )

(n -1)

(n )

(n -1)

+a 1y + +a n y =b 0u +b 1u + +b n u

①、选择状态变量

⎧x =y -βu 10⎪

-β0u -β1u ⎪x 2=y

⎪x = -β0u -β1u -β2u y 3⎪⎪

（2.9）

⎨x 4= y

-β0 u -β1u -β2u -β3u ⎪⎪

⎪⎪x (n -1) n =y -β0u (n -1) -β(n -2) 1u - -βn -1u ⎪⎩x (n ) n +1=y

-βu (n ) -β(n -1) 01u - -βn u 其中βi , i =0, , n 可由下式计算，即

⎧β=b ⎪00

⎪β=b ⎪11-a 1β0

⎨β 2=b 2-a 1β1-a 2β0

⎪⎪ ⎪⎩βn

=b n -a 1βn -1-a 2βn -2- -a n β0

②、系统状态空间表达式

系统状态方程：

⎡x

1⎤⎡010 0⎤⎡x

1⎤⎡β1⎤⎢⎥⎢⎢x 2001 0⎥⎢⎥⎢⎥⎢x ⎥2⎥⎢β2⎥X

⎥⎢=⎢x 3⎥=⎢00

00⎥⎢x

⎢3⎥+⎢β ⎥⎢⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢3⎥u ⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣-a n

-a n -1

-a n -2

-a 1⎥⎦⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣βn ⎥⎦

系统输出方程：

⎡x

1⎤⎢⎢x ⎥2⎥

y =[1

000

0]⎢x ⎢3⎥+β ⎥0u ⎢⎥⎢⎣x n ⎥⎦

(3) 由系统传递函数化为状态空间描述控制系统的传递函数为：

W (s ) =

Y (s ) b 1s

n -1

+ +b n -1s +b n

U (s )

s n

+a n -1

1s + +a n -1s +a n

分两种情况讨论：

第一种情况：控制系统传递函数的极点为两两相异

把式（2.13）化为部分分式形式：

2.10）

2.11）

2.12） 2.13）

（（（（

W (s ) =

Y (s ) U (s )

k 1s -s 1

k 2s -s 2

k n s -s n

（2.14）

其中：s 1, s 2, , s n 为系统中两两相异的极点，k 1, k 2, , k n 为待定常数，通过下式计算求得：

k i =lim W (s )(s -s i ) （2.15）

s →s i

可得到系统状态空间表达式为：

⎡x 1⎤⎡s 1⎤⎡x 1⎤⎡1⎤⎢s ⎥⎢⎥⎢⎥⎢x ⎥⎢2⎥⎢2

⎥⎢x 2⎥⎢1⎥

⎢ ⎥=⎢

⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u ⎢⎥s ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢x ⎢n -1⎥⎢n -1

⎥⎢x n -1⎥⎢1⎥⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣

s n ⎥⎦⎢⎣x n ⎥⎦⎣⎢1⎥⎦⎡x 1⎤⎢y =[k 1

k 2

k n -1

]⎢x ⎥2⎥

k n ⎢ ⎥⎢ ⎢x ⎥n -1⎥⎢⎣x n ⎥⎦

第二种情况：控制系统传递函数的极点为重根

设式（2.13）的极点仅有一个重根将其化为：

W (s ) =

Y (s ) k 12U (s )

k 11(s -s n

(s -s -1

+ +

k 1n 1)

n s -s 1

其中k 1, k 2, , k n 为待定常数，通过下式计算求得：

k 1i =lim

i -1

s )(s -s n

1, 2 , n s →s i -1

1) ]i = 1

(i -1)! ds

[W (可得系统状态空间表达式为:

⎡x

1⎤⎡s 1⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎢1⎢x ⎥⎢2⎥⎢s ⎥⎢1

⎥⎢

x ⎥⎢⎥2⎥⎢0⎥ ⎢ ⎥=⎢

1⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u ⎢⎥⎢⎢x n -1⎥⎢s 1

1⎥⎢

⎥⎢⎥ ⎥⎢x n -1⎥⎢0⎥⎢⎣x n ⎥⎦⎢⎣

s 1⎥⎦⎢⎣x n ⎥⎦⎣⎢

1⎥⎦2.16） 2.17） 2.18）

2.19）

(2.20)

（（（（

y =[k 11

k 12

⎡x 1⎤⎢⎥x 2⎢⎥

k 1n ]⎢ ⎥ (2.21)

⎢⎥x ⎢n -1⎥⎢x n ⎥⎣⎦

(4) 由系统状态变量图列写状态空间描述

① 状态变量图：由积分器、加法器和放大器构成的图形表示。

② 意义：状态变量图既描述了状态变量之间的相互关系，又说明了状态变

量的物理的物理意义，它是系统相应方块图拉氏反变换的图形。 ③ 绘制状态变量图的方法设二阶系统的传递函数为：

Y (s ) U (s )

b 1s +b 2s +a 1s +a 2

将上式分子分母同除以s 2，令

U (s ) 1+a 1s

-1

+a 2s

-2

=ε(s ) ，得

-1-2

⎧⎪Y (s ) =b 1s ε(s ) +b 2s ε(s )

（2.22） ⎨-1-2

⎪⎩ε(s ) =U (s ) -a 1s ε(s ) -a 2s ε(s )

根据式（2.22）可画出系统方块图（图2.1）与系统状态变量图（图2.2）。

图2.1 二阶线性系统方块图

图2.2 二阶线性系统的状态变量图

同理，设n 阶线性系统的传递函数为：

W (s ) =

Y (s ) U (s )

b 1s

n -1

+ +b n -1s +b n

+ +a n -1s +a n

s +a 1s

n -1

（2.23）

将式（2.23）分子分母同除以s n ，令

U (s )

1+a 1s

-1

+ +a n s

-n

=ε(s ) ，得

-1-(n -1) -n

⎧ε(s ) +b n s ε(s ) ⎪Y (s ) =b 1s ε(s ) + +b n -1s

（2.24） ⎨-1-2-n

⎪⎩ε(s ) =U (s ) -a 1s ε(s ) -a 2s ε(s ) - -a n s ε(s )

根据式（2.24）可画出系统方块图（图2.3）与系统状态变量图（图2.4）。

图2.3 n

阶线性系统方块图

④ 由状态变量图列写状态空间描述的步骤:

A. 由已知条件画系统状态变量图。

B. 选择每个积分器的输出作为一个状态变量。 C. 依据状态变量图，列写出系统

图2.4 n 阶线性系统状态变量图

考虑n 阶线性系统（2.23），由状态变量图2.4，列写其状态方程与输出方程，有

1=x 2⎧x

⎪

=x 3x ⎪2⎪

⎨

⎪x =x n ⎪n -1

n =-a n x 1--a n -1x 2- --a 1x n +u ⎪⎩x

即

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ 2x 0⎢⎥⎢⎢ ⎥=⎢ ⎢⎥⎢ x ⎢n -1⎥⎢0⎢x ⎥⎢⎣ n ⎦⎣-a n

10 0-a n -1

01 0-a n -2

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 20⎥⎢⎥⎢⎥ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥u ⎥⎢⎥⎢⎥1⎥⎢x n -1⎥⎢0⎥

⎢⎥⎢⎥-a 1⎥⎦⎣x n ⎦⎣1⎦

（2.25）

y =[b n

b n -1

⎡x 1⎤

⎢⎥x 2

b 1]⎢⎥ （2.26） ⎢ ⎥⎢⎥⎣x n ⎦

(5) 由系统方块图列写状态空间描述

① 由系统方块图导出状态空间描述的步骤

A. 将系统方块图中的各个环节均化为典型环节：积分环节和一阶惯性

环节。

B. 把每个积分器的输出选为状态变量拉氏变换，并列写每个典型环节

的传递函数。

C. 拉氏反变换得一阶微分方程组。

D. 写成矩阵向量形式，得到状态空间表达式。 ② 典型二阶系统状态空间描述

图2.5 控制系统方块图

1）列写每个典型环节的传递函数

⎧x 1(s ) 1⎪x (s ) =s ⎪2

⎨

x 2(s ) 1⎪=⎪⎩U (s ) -x 1(s ) s +1

2）叉乘拉氏反变换得一阶微分方程组

⎧sx 1(s ) =x 2(s )

⎨

⎩sx 2(s ) =U (s ) -x 1(s ) -x 2(s )

拉氏反变换为

1=x 2⎧x

⎨

2=-x 1-x 2+u ⎩x

由图可知

y =x 1

3）用向量矩阵形式表示

1⎤⎡01⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎡x

⎢⎥=⎢⎢⎥+⎢⎥u ⎥ 2⎦⎣-11⎦⎣x 2⎦⎣1⎦⎣x y =[1

⎡x 1⎤

0]⎢⎥⎣x 2⎦

5. 状态向量的线性变换

(1) 系统状态空间描述的非唯一性

对于给定系统，状态变量的选择不唯一，若X 是系统一个状态向量，则必存在一个非奇异矩阵P ，对X 作线性变换（坐标变换）X 个状态向量。已知：

=AX +Bu ⎧X ⎨

⎩y =CX +Du

ˆ=P X

ˆ，则X

-1

也是一

对原状态变量作线性变换，得到新的状态空间描述：

⎧ˆ=P -1AP X ˆ+P -1Bu ⎪X

⎨

ˆ⎪⎩y =CP X +Du

即：

⎧ˆX ˆ=A ˆ+B ˆu ⎪X

⎨

ˆˆ⎪⎩y =C X +Du

ˆ=P -1AP , 其中：A ˆ=P -1B , B ˆ=CP C

(2) 系统特征值的不变性

①特征方程：系统∑=(A , B , C , D ) ，其特征方程就是系统矩阵A 的特征方程，即

λI -A =0

其中，I 为单位矩阵。

②系统特征值：特征方程的根称为系统特征值。 ③系统特征值的不变性

原系统∑

经坐标变换

=(A , B , C , D )

X =P X

→ˆ

ˆ, B ˆ, D ) ˆ, C ˆ=(A ∑

即经过线性变换后的系统，有

ˆ=λI -P -1AP =λP -1P -P -1AP =P -1λI -A P =0λI -A ⇒λI -A =0

所以，同一系统，经非奇异变换（坐标变换）后，其特征值不变。

④ 特征向量：系统矩阵A 对应于特征值λi 的特征矢量P i ，满足：

AP i =λi P i （其中P i 为n ⨯1列向量）

(3) 将状态方程化为规范型

① 将状态方程化为对角线规范型

A. 当矩阵A 的特征值两两相异且A 矩阵具有任意形式

定理：对于系统∑=(A , B , C , D ) ，设其特征值λ1, , λn 两两相异，则存在线性变换X =P X ，将系统化为如下对角线规范型：

⎡λ1

⎢

=A X +B u =⎢X

⎢⎢⎣

⎤⎥

⎥X +P -1Bu ⎥⎥λn ⎦

λ2

其中，变换矩阵P =[P 1

P n ]，P i 为特征值λi 所对应的特征矢量。

B. 当矩阵A 的特征值两两相异且A 矩阵为友阵

定理：当系统矩阵A 两两相异且A 矩阵为友阵时，将其化为规范型的变换矩阵是一个范德蒙德矩阵，即

⎡0⎢0⎢已知：A =⎢⎢⎣-a n

-a n -1

0⎤⎥0

⎥， ⎥⎥-a 1⎦

⎡1⎢λ1⎢则变换矩阵P =⎢ ⎢n -1⎣λ1

1λ2 λ2

n -1

1⎤⎥λn

⎥（范德蒙德矩阵） ⎥n -1⎥λn ⎦

C. 当矩阵A 的特征值有重根，且对应于重特征值的线性无关的特征

向量数目等于重特征值数，那么矩阵A 可以化为对角线规范型。（但这种情况很少见。）

② 将状态方程化为约当规范型

A. 当矩阵A 的特征值有重根，且对应于重特征值的线性无关的特征

向量数目小于重特征值数，那么矩阵A 可以化为约当规范型。

四、典型例题

[例2.1] 以恒压u 为驱动的电网络如图2.6所示。选择电感L 上的支路电流i L

和电容C 上的支路电压u C 作为状态变量时，求它的状态空间表达式。又输出是图2.6中所示电容C 上的支路电压y 。

y 2R

R y

图2.6 电网结构图

解采用机理分析法求状态空间表达式。此题根据基尔霍夫定理，列方程得：

di L ⎧

R (i +i ) +L =u ⎪1L C

dt ⎨

⎪R (i +i ) +R i +u =u

C 2C C ⎩1L

因为i C 不是系统的状态变量，所以需要将i C =C

⎧

R 1i L +R 1C ⎪⎪⎨

⎪R i +R C 1L 1⎪⎩

du C dt du C dt

di L dt

du C dt

代入上式，消去i C ，即

+L =u du C dt

+u C =u

+R 2C

解得

R 111⎧

C =-u u -i +u (t ) C L ⎪C (R 1+R 2) C (R 1+R 2) C (R 1+R 2) ⎪

⎨

R R R R 1122⎪i =-u C -i L +u (t ) L

⎪L (R 1+R 2) L (R 1+R 2) L (R 1+R 2) ⎩

将上式写成矩阵向量形式，为

1⎡

C ⎤⎢C (R +R ) ⎡u 12⎢ ⎥=⎢R 1⎣i L ⎦⎢-

⎢⎣L (R 1+R 2)

1⎤⎡⎤

C (R 1+R 2) ⎥⎡u C ⎤⎢C (R 1+R 2) ⎥

⎥⎢⎥+⎢⎥u

R R 1R 22⎥⎣i L ⎦⎢⎥-

⎢L (R 1+R 2) ⎥⎣L (R 1+R 2) ⎥⎦⎦

R 1

输出方程为

y =u C =[1

⎡u C ⎤

0]⎢⎥ ⎣i L ⎦

x 1x

图2.7 RL电网络

解采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程，即

2(x 1+x 2) R 3=-R 2x 2-L 2x 1+(x 1+x 2) R 3]/R 1 u =x 1+[L 1x y =(x 1+x 2) R 3

整理得状态空间表达式为:

⎡R 1+R 2

1⎤⎢⎡x L 1

=⎢⎢⎥R 2⎦⎢⎣x -2

⎢L 2⎣

⎤

⎥⎡x ⎤⎡R 1⎤L 11

⎥⎢⎥+⎢L 1⎥u

R +R 3⎥⎣x 2⎦⎢⎥-2

⎣0⎦⎥L 2⎦-⎡x 1⎤

R 3]⎢⎥ ⎣x 2⎦

R 3

y =[R 3

图2.8 机械运动模型图

x 3=v 1=

dy 1dt

，x 4=v 2=

dy 2dt

根据牛顿定律，对于M 1有：

M 1

dv 1dt

=K 2(y 1-y 2) +B 2(

dy 2dt

-dy 1dt

) -K 1y 1-B 1

dy 1dt

对于M 2有：

dv 2

=f -K 2(y 2-y 1) -B 2(

dy 2dt

dy 1dt

)

把x 1=y 1, x 2=y 2, x 3=

1⎧x ⎪ x ⎪2⎪ 3⎨x ⎪⎪ 4⎪x ⎩

=x 3

dy 1dt

, x 4=

dy 2dt

及u=f代入上面两个式子，经整理可得：

=x 4=-=

1M 1

(K 1+K 2) x 1+

K 2M 2

x 2+

K 2M 1

x 2-

1M 1

(B 1+B 2) x 3+

1M 2

B 2M 1

x 4

K 2M 2

x 1-

B 2M 2

x 3-

B 2M 2

x 4+

写成矩阵向量形式：

0⎡

1⎤⎢⎡x

⎢⎥⎢ 1x

⎢2⎥=⎢-(K 1+K 2)

M ⎢x 3⎥⎢1

⎢⎥⎢K 2 4⎦⎣x ⎢

M 2

⎣

00K 2M 1K 2M 2

1M 1

(B 1+B 2) B 2M 2

⎤

⎡0⎤

⎥⎡x 1⎤1⎢⎥

⎥⎢⎥0B 2x ⎢⎥⎥⎢2⎥+f M 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥

⎢1⎥

B 2⎥⎢⎥⎢⎥-⎥⎣x 4⎦⎣M 2⎦M 2⎦0

指定x 1，x 2为输出，所以

⎡x 1⎤⎢⎥0⎤x 2

⎢⎥⎥⎢⎥ 0⎦x 3⎢⎥⎣x 4⎦

⎡y 1⎤⎡1⎢⎥=⎢⎣y 2⎦⎣0

图2.9 自流电动机示意图

解电感L 、转动惯量J 是贮能元件，相应的物理变量电流i 及旋转速度w 是相互独立的，可选择为状态变量，即

x 1=i ，x 2=w

则由电枢回路的电路方程，有

L di dt

+Ri +e =u

由动力学方程有

J dw dt

+Bw =K a i

由电磁感应关系，有

e =K b w

式中，e 为反电动势；K a , K b 为转矩常数和反电动势常数。把上面三式整理，改写成：

di dt dw dt =-=

R L J i -i -K b L B J w +w

1L u

K a

把x 1=i ，x 2=w 代入，有

⎡R 1⎤⎢-⎡x L ⎢⎥=⎢K 2⎦⎣x ⎢a

⎣J

K b ⎤

⎡1⎤

L ⎥⎡x 1⎤+⎢⎥u B ⎥⎢x ⎥⎢L ⎥-⎥⎣2⎦⎣0⎦J ⎦

若指定角速度w 为输出，则

y =x 2=[0

⎡x 1⎤1]⎢⎥ ⎣x 2⎦

[例2.5] 已知系统的微分方程

+28 +196y +740y =440u （1） y y

（2） y +2 +3y +5y =5 +7u y u

+3y =u -u （3）2 y

试列写出它们的状态空间表达式。解

=x 2, =x 3，则有（1）选择状态变量y =x 1, y y

1=x 2⎧x ⎪

2=x 3⎪x

⎨

3=-740x 1-196x 2-28x 3+440u ⎪x ⎪y =x ⎩1

状态空间表达式为:

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ =x 0⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣-740⎣x ⎦⎢y =[1

10-196

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+0u ⎥⎢⎥⎢⎥-28⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣440⎥⎦

⎡x 1⎤

⎢⎥0]x 2

⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

（2）已知a 1=2, a 2=3, a 3=5, b 0=5, b 1=0, b 2=0, b 3=0。按照式（2.10）求出

⎧β0

⎪⎪β1⎨⎪β2⎪β⎩3

=b 0=5

=b 1-a 1β0=-10=b 2-a 1β1-a 2β0=5=b 3-a 1β2-a 2β1-a 3β0=5

所以由式（2.11）和式（2.12）可以直接写出状态空间表达式为

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣-5⎣x ⎦⎢y =[1

10-3

0⎤⎡x 1⎤⎡-10⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+5u ⎥⎢⎥⎢⎥-2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣5⎥⎦

⎡x 1⎤⎢⎥

0]x 2+5u ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

（3）对题中微分方程在零初始条件下取拉氏变换得

(2s +3s ) Y (s ) =(s -1) U (s )

所以：

Y (s ) U (s )

=32s +3s 3

s +s

s -1

s -

根据式（2.25）和式（2.26），可直接写出系统状态空间表达式：

⎡ 1⎤0⎡x ⎢⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢0

⎣⎡1y =⎢-

⎣2

103-20

⎤

0⎡x 1⎤⎡0⎤⎥

⎢⎥⎢⎥1⎥x 2+0u ⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎦

⎡x 1⎤1⎤⎢⎥

x 2

2⎥⎦⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

[例2.6] 已知系统的传递函数，试建立系统的状态空间描述。（1）W (s ) =

Y (s ) U (s ) Y (s ) U (s )

s +6s +11s +6

（2）W (s ) =

2s +19s +49s +20s +6s +11s +6

（3）W (s ) =

2s +5s +1(s -2)

（4）W (s ) =

(s -1) (s -2) 2s +5s +1(s -1)(s -2)

（5）W (s ) =

k 1s +1

k 2s +2

k 3s +3

解：（1）W (s ) ==

(s +1)(s +2)(s +3)

=++

其极点为：s 1=-1, s 2=-2, s 3=-3

k 1=lim W (s )(s +1) =lim

s →-1

6(s +2)(s +3)

6(s +1)(s +3)

6(s +1)(s +2)

s →-1

k 2=lim W (s )(s +2) =lim

s →-2

=-6

k 3=lim W (s )(s +3) =lim

s →-3

因此，其相应的状态空间表示式为：

1⎤⎡-1⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x +1u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

，y =[3-6

⎡x 1⎤

⎢⎥3]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

（2）W (s ) ==

(s +1)(s +2)(s +3)

=2+

k 1s +1

k 2s +2

k 3s +3

其极点为：s 1=-1, s 2=-2, s 3=-3

k 1=lim W (s )(s +1) =lim

s →-1

2s +19s +49s +20

(s +2)(s +3) 2s +19s +49s +20

(s +1)(s +3) 2s +19s +49s +20

(s +1)(s +2)

s →-1

=-6

k 2=lim W (s )(s +2) =lim

s →-2

=-18

k 3=lim W (s )(s +3) =lim

s →-3

=-5

因此，其相应的状态空间表示式为：

1⎤⎡-1⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x +1u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

y =[-6

-18

⎡x 1⎤

⎢⎥

-5]x 2+2u ⎢⎥

⎢⎣x 3⎥⎦+

k 13(s -2)

（3）W (s ) =

2s +5s +1(s -2)

k 11(s -2)

k 12(s -2)

k 11=lim [W (s )(s -2) ]=lim (2s +5s +1) =19

s →2

k 12=lim

d ds

s →2

(2s +5s +1) =lim (4s +5) =13

s →2

k 13=lim

1d 2ds

s →2

(2s +5s +1) =lim 2=2

s →2

因此，其对应的状态空间描述为：

1⎤⎡2⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

120

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+0u ⎥⎢⎥⎢⎥2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎡x 1⎤

⎢⎥2]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

y =[19

（4）W (s ) =

(s -1) (s -2)

k 11(s -1) 2

k 12(s -1)

k 21(s -2)

k 22(s -2)

k 11=lim [W (s )(s -1) ]=lim

s →1

(s -2) d

k 12=lim [W (s )(s -1) ]=lim

s →1

ds (s -2)

2(s -1)

[

]=4

k 21=lim [W (s )(s -2) ]=lim

s →2

k 22=lim

s →2

ds (s -1)

[

]=-4

所以，写成状态空间表达形式为：

1⎤⎡1⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢x 3⎥⎢0⎢⎥⎢ 4⎦⎣0⎣x

1100

0020

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x 21⎥⎢⎥+⎢⎥u 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎢⎥2⎦⎣x 4⎦⎣1⎦⎡x 1⎤⎢⎥x 2⎢⎥ -4]⎢x 3⎥⎢⎥⎣x 4⎦+

k 22(s -2)

y =[2

（5）W (s ) =

2s +5s +1(s -1)(s -2)

k 1s -1

k 21(s -2)

k 23(s -2)

k 1=lim W (s )(s -1) =lim

s →1

2s +5s +1(s -2)

s →1

=-8

k 21=lim [W (s )(s -2) ]=lim

s →2

(2s +5s +1)

s -1

s →2

=19

k 22=lim

d ds

s →2

(

2s +5s +1

s -1

) =-6

k 23=lim

1d 2ds

s →2

(

2s +5s +1

s -1

) =8

所以，写成状态空间表达形式为：

1⎤⎡1⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢x 3⎥⎢0⎢⎥⎢ 4⎦⎣0⎣x

0200

0120

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x 20⎥⎢⎥+⎢⎥u 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎢⎥2⎦⎣x 4⎦⎣1⎦

⎡x 1⎤⎢⎥x 28]⎢⎥ ⎢x 3⎥⎢⎥⎣x 4⎦

y =[-8

19-6

[例2.7] 某随动系统的方框图如图2.10所示，列写其状态空间表达式。

解由系统方块图，可得：

x 1(s ) =x 2(s ) =x 3(s ) =

1s x 2(s ) 1T m s 1T m s +1

x 3(s )

{k [u (s ) -x 1(s )]-x 2(s )}

对上式进行拉式反变换得

1(t ) =x 2(t ) x 2(t ) =x

1T m

x 3(t ) k T m

x 1(t ) -

1T m

x 2(t ) -

1T m

x 3(t ) +

k T m

u (t )

3(t ) =-x

状态空间表达式为：

⎡

⎢0

1(t ) ⎤⎢⎡x ⎢⎥

2(t ) =⎢0x ⎢⎥⎢⎢ 3(t ) ⎥⎣x ⎦⎢k

⎢-⎢⎣T m

10-1T m

⎤⎡⎤

0⎥⎢0⎥⎥⎡x 1(t ) ⎤⎢⎥1⎥⎢⎥

x 2(t ) +⎢0⎥u (t )

⎥⎢⎥T m ⎥⎢

⎥⎢x (t ) ⎥⎢⎥1⎣3⎦k ⎥⎢⎥-

T m ⎥⎢⎦⎣T m ⎥⎦

y =[1

⎡x 1⎤⎢⎥0]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

[例2.8] 试将下列状态方程化为对角线规范型。（1）⎢

1⎤⎡0⎡x

⎥=⎢ 2⎦⎣-5⎣x

1⎤⎡x 1⎤

⎥⎢⎥+-6⎦⎣x 2⎦10-26

⎡0⎤⎢⎥u ⎣1⎦

⎡0⎤⎢⎥0u ⎢⎥⎢⎣1⎥⎦

1⎤⎡0⎡x

⎥⎢ 2=x 0（2）⎢

⎢⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣-24 1⎤0⎤⎡x

⎥⎢⎥ +1x ⎥⎢2⎥ 3⎥-9⎥⎦⎢⎣x ⎦

解：（1）

1）求特征值

λI -A =

-1

λ+6

=(λ+1)(λ+5) =0

解得：λ1=-1, λ2=-5 2）求特征向量当λ1=-1时，有

⎡0

AP 1=λ1P 1⇒⎢

⎣-5

1⎤⎡p 11⎤⎡-p 11⎤

⎥=⎢⎥ ⎥⎢p -p -6⎦⎣21⎦⎣21⎦

解得：P 1=⎢⎥

⎣-1⎦当λ1=-5时, 有

⎡0

AP 2=λ2P 2⇒⎢

⎣-5

1⎤⎡p 12⎤⎡-5p 12⎤

⎥=⎢⎥ ⎥⎢

-6⎦⎣p 22⎦⎣-5p 22⎦

⎡1⎤

解得：P 2=⎢⎥

⎣-5⎦

3）构造变换矩阵P , 并求P

-1

⎡1⎤

；

1⎤-1

P ，⎥

-5⎦

⎡1P =⎢

⎣-1

⎡5⎢=⎢4

1⎢-⎣41⎤4⎥ 1⎥-⎥4⎦

4）求A , B

A =P

-1

⎡-1AP =⎢

⎣00⎤⎥-5⎦

⎡1⎤⎢⎥-1

B =P B =⎢4⎥

1⎢-⎥⎣4⎦

所以得到对角线规范型：

⎤⎡-1⎡1

⎢⎥=⎢⎣2⎦⎣0

⎡1⎤

0⎤⎡1⎤⎢4⎥⎥⎢⎥+⎢1⎥u -5⎦⎣2⎦

⎢-⎥⎣4⎦

（2）

1) 计算特征值

λI -A =0

-1

0-1

=λ+9λ+26λ+24=(λ+2)(λ+3)(λ+4) =0

λ26

λ+9

解得：λ1=-2, λ2=-3, λ3=-4 2）构造变换矩阵P

⎡1⎢P =-2

⎢⎢⎣4

1-39

1⎤

⎥

-4, P -1

⎥16⎥⎦

⎡

⎢6=⎢-8⎢⎢3⎢⎣

-652

1⎤2⎥-1⎥ 1⎥⎥2⎦⎥

3) 求A , B

⎡-2

⎢-1

A =P AP =0

⎢⎢⎣0⎡1⎤⎢2⎥-1

B =P B =⎢-1⎥

⎢1⎥⎢⎥⎢⎣2⎥⎦

0-30

0⎤

⎥0⎥-4⎥⎦

4）变换后的状态方程为对角规范型：

⎡-2

⎢X ==0

⎢⎢⎣0

0-30

⎡1⎤

0⎤⎢2⎥⎥

0X +⎢-1⎥u ⎥⎢1⎥-4⎥⎢⎥⎦

⎢⎣2⎥⎦

[例2.9] 试将下列状态方程化为约当规范型。

⎡0 =⎢0（1）X

⎢⎢⎣2⎡4 =⎢1（2）X

⎢⎢⎣1

10310-1

0⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥1X +0u ⎥⎢⎥

⎢0⎥⎦⎣1⎥⎦-2⎤⎡3⎥⎢2X +2⎥⎢

⎢3⎥⎦⎣5

1⎤

⎥⎡u 1⎤7⎢⎥ ⎥u ⎣2⎦3⎥⎦

解（1）

1）求矩阵A 的特征值

λI -A =0

-2

-1

-1=λ-3λ-2=0

λ-3

解得：λ1=λ2=-1, λ3=2

2）求变换矩阵P 当λ1=-1时，根据AP 1=λ1P 1

⎡0⎢0⎢⎢⎣2

103

0⎤⎡p 11⎤⎡-p 11⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1p 21=-p 21 ⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎦⎢⎣p 31⎥⎦⎢⎣-p 31⎥⎦

⎡1⎤

⎥-1 求得P 1=⎢⎢⎥⎢⎣1⎥⎦

再求对应于λ1=-1时的另一个广义特征向量，根据AP 2-P 1=λ1P 2，求得

⎡1⎤

⎢⎥P 2=0 ⎢⎥

⎢⎣-1⎥⎦

当λ3=2时，根据AP 3=λ3P 3，求得

⎡1⎤⎢⎥P 3=2 ⎢⎥

⎢⎣4⎥⎦

所以

⎡1⎢P =-1

⎢⎢⎣1

10-1

1⎤

⎥2 ⎥4⎥⎦

3）求变换后的状态方程为对角规范型：

⎡-1

⎢-1

A =P AP =0

⎢⎢⎣0

1-10

⎡

⎢0⎤

⎢

⎥-1

0，B =P B =⎢-⎥

⎢

2⎥⎦⎢

⎢⎣

2⎤9⎥1⎥⎥ 3⎥1⎥9⎥⎦

（2）

1）求矩阵A 的特征值

λ-4

λI -A =

-1-1

-1

-2=(λ-1)(λ-3) =0

λ1

λ-3

解得：λ1=1, λ2==λ3=3 2）求变换矩阵P

当λ1=1时，根据AP 1=λ1P 1

⎡4

⎢1⎢⎢⎣1

10-1

-2⎤⎡p 11⎤⎡p 11⎤

⎥⎢⎥⎢⎥2p 21=p 21 ⎥⎢⎥⎢⎥3⎥⎦⎢⎣p 31⎥⎦⎢⎣p 31⎥⎦

⎡0⎤

⎢⎥

求得P 1=⎢2⎥

⎢⎣1⎥⎦

同理，当λ2=3时，根据AP 2=λ2P 2，求得

⎡1⎤

⎢⎥P 2=1 ⎢⎥

⎢⎣1⎥⎦

再求对应于λ3=3时的另一个广义特征向量，根据AP 3-P 2=λ3P 3，求得

⎡1⎤⎢⎥P 3=0 ⎢⎥

⎢⎣0⎥⎦

所以

⎡0⎢P =2

⎢⎢⎣1

111

1⎤⎡0

⎥⎢-1

0，P =0⎥⎢

⎢0⎥⎦⎣1

1-11

-1⎤

⎥2 ⎥-2⎥⎦

3）求变换后的状态方程为对角规范型：

⎡1

⎢-1

A =P AP =0

⎢⎢⎣0

030

0⎤⎡-3

⎥⎢-1

1，B =P B =8⎥⎢

⎢3⎥⎦⎣-5

4⎤

⎥-1 ⎥2⎥⎦

则得约当规范型为

⎡1

⎢X =0

⎢⎢⎣0

030

0⎤⎡-3

⎥⎢1X +8⎥⎢

⎢3⎥⎦⎣-5

4⎤

⎥⎡u 1⎤-1⎢⎥ ⎥u

⎣2⎦2⎥⎦

五、同步训练

3、求W (s ) =

2s +5s +1(s -1)(s -2)

的状态空间描述。

4、求写出W (s ) =

s +4s +5s +6s +11s +6

的对角线规范型。

5、已知线性定常系统状态方程为：

⎡2

=⎢0X

⎢⎢⎣0

-1-12

-1⎤⎡7⎤

⎥⎢⎥0X +2u ⎥⎢⎥

⎢1⎥⎦⎣3⎥⎦

试将其化为对角线规范型。 6、已知系数矩阵为：

⎡0

⎢A =-6

⎢⎢⎣-6

1-11-11

-1⎤

⎥6 ⎥5⎥⎦

求将其化为规范型的变换矩阵P 。

=AX +Bu , y =CX 7、已知系统X

⎡-2⎢A =0

⎢⎢⎣1

2-2-4

-1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥

0，B =0，C =[1⎥⎢⎥

⎢0⎥⎣1⎥⎦⎦

-11]

将其划为规范型。

8、已知系统的方块图，求出系统的状态空间描述。

9、已知系统的状态变量图，试写出其状态空间描述。

y(t)

10、已知系统方块图，输入变量和输出变量分别为u 和y ，试求出系统的一个状态空间描述？

六、同步训练参考答案

⎡ 1⎤0⎡x ⎢⎥

2=⎢01、⎢x

⎢⎥⎢

⎢⎥ x -⎣3⎦⎢

⎣a

10c a

⎤⎡⎤x 1⎤0⎡⎥⎢⎥⎢⎥

1⎥x 2+⎢0⎥u

⎢⎥⎢⎥b ⎥1

⎥x -⎥⎢⎣3⎦⎢⎥a ⎦⎣a ⎦0

2、

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ 2=0 ⎢x

⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣-1

10-2

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥1x +0u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

y =[1

⎡x 1⎤⎢⎥1]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

3、

1⎤⎡1⎡x

⎢⎥⎢ x 0⎢2⎥=⎢⎢x 3⎥⎢0⎢⎥⎢ 4⎦⎣0⎣x

0200

0120

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x 20⎥⎢⎥+⎢⎥u 1⎥⎢x 3⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎢⎥2⎦⎣x 4⎦⎣1⎦⎡x 1⎤⎢⎥x 2⎢⎥8]⎢x 3⎥⎢⎥⎣x 4⎦

y =[-8

19-6

4、

1⎤⎡-1⎡x

⎢⎥⎢ =0x

⎢2⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0y =[1

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x +1u ⎥⎢2⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

⎡x 1⎤⎢⎥

-11]x 2

⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

⎡1

⎢

5、P =⎢0

⎢⎣0

101

0⎤⎡1

⎥⎢-1

1，P =0⎥⎢

⎢-1⎥⎦⎣0

010

-111

-1⎤

⎥1， ⎥0⎥⎦

⎡2

⎢

所以，A =P -1AP =⎢0

⎢⎣00⎤⎡2⎤

⎥⎢⎥-1

0，B =P B =5 ⎥⎢⎥

⎢-1⎥⎦⎣2⎥⎦

⎡1

⎢

6、P =⎢0

⎢⎣1⎡-1⎢

7、A =⎢0

⎢⎣0

1241

1⎤

⎥6 ⎥9⎥⎦

0⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥

0， B =1，C =[0⎥⎢⎥

⎢-2⎥⎦⎣1⎥⎦10-11

0⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥1x 2+11u ⎥⎢⎥⎢⎥-6⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣-60⎥⎦

-10

1⎤⎡0⎡x

⎢⎥⎢ 2=08、⎢x

⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣-6

y =[1

⎡x 1⎤⎢⎥0]x 2 ⎢⎥⎢⎣x 3⎥⎦

0-20

0⎤⎡x 1⎤⎡1⎤

⎡5⎥⎢⎥⎢⎥

0x 2+1u ，y =⎢-⎥⎢⎥⎢⎥⎣2⎢⎥⎢⎥-3⎥x 1⎦⎣3⎦⎣⎦

⎡x 1⎤

27⎤⎢⎥-x 2 ⎢⎥2⎥⎦

⎢⎣x 3⎥⎦

1⎤⎡-1⎡x

⎥⎢ 2=0x 或 ⎢

⎢⎥⎢⎢ 3⎥⎣x ⎦⎢⎣0

9、⎡x

⎢1⎤⎡-a ⎣x ⎥=⎦⎢

2⎣-c 10、

b ⎤⎡x -d ⎥⎢1⎤⎡1⎤

⎥+⎢⎥u ，y =[10]⎡x ⎢1⎤⎦⎣x 2⎦⎣1⎦⎣x ⎥ 2⎦

⎡x

-22⎤⎡x ⎢1⎤⎡0⎥⎢1⎤⎡0⎤

⎢x 2⎥=⎢1-10⎥⎢⎥⎥⎢x 2⎥+⎢⎢0⎥⎥u ⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣-10

-2⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

⎡x y =[1

0]⎢1⎤

⎢x ⎥2⎥ ⎢⎣x 3⎥⎦

第二章 控制系统的状态空间表达式

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