决策分析理论与方法

第一章

1．1 如计划用六个鸡蛋煎蛋饼,已向碗里打了五个好蛋,准备打第六鸡蛋时,有三种不同的方案可供选择,即

方案a1：打入 方案a2：单打 方案a3 ：丢弃

由于第六个蛋事前不知是好是坏,每种方案均面对两种不确定的结果,即

状态1：第六个蛋是好蛋 状态2：第六个蛋是坏蛋 如用oij(i1,2,3;j1,2)分别表示方案ai在状态j下的决策结果

收益函数

1． 设决策问题的收益值为q，状态变量为，决策变量（方案或策略）为a。当决策变量a和状态变量确定后，收益值q随之确定。q是

a和的函数，称为收益函数，记作

qQ(a,)，如决策变量和状态变量均为离散的，即aai(i1,2,..,m)，

j(j1,2,..,n)

，则收益函数可表示为

qijQ(ai,j),(i1,2,..,m;j1,2,..,n)

这可以用矩阵表示，称为收益矩阵，既Q(qij)mn

q11q21

...qm1

q12q22...qm2

...q1n



...q2n

......

...qmn

2．损失函数

损失值（遗憾值），表示没有采取最满意方案或策略时造成的损失，当决策变量a和状态变量确定后，损失值r是a和的函数，称为损失函数，记着rR(a,)，如决策变量和状态变量均为离散的，即

aai(i1,2,..,m)，j(j1,2,..,n)，则损失函数可表示为

rijR(ai,j) (i1,2,..,m;j1,2,..,n)，损失函数也可表示为损失矩阵。损

失值可以通过收益值计算出来，公式为rijmaxqkjqij

1km

。损失值表

示在给定状态下，没有采取收益值最大方案，“舍优取劣”给决策带来的损失或遗憾。

3．决策函数

收益函数 损失函数和效用函数统称为决策函数，记着fF(a,) 收益矩阵 损失矩阵和效用矩阵统称为决策矩阵，记着O(oij)mn 决策矩阵常用表格表示，称为决策表

例：某企业拟定了三个生产方案，方案a1是新建两条生产线生产两种新产品；方案a2是新建一条生产线生产一种新产品；方案a3是扩建原有生产线改进老产品。在销售预测的基础上，测算了各方案在不同市场需求状态下的条件收益值，见表，试求该决策问题的损失矩阵

二 决策系统

在系统决策中，所有方案或策略a的集合，称为行动空间，记着A。当决策变量为有限的离散情况时，行动空间可用向量表示，即

A(a,a,..,a) 所有可能状态的集合，称为状态空间，记着。12m

T

当状态变量为有限的离散情况时，状态空间可用向量表示，即

(1,2,..,n)T

状态空间，行动空间A以及定义在其上的决策函数F(a,)共同构成一个系统，称为决策系统，记着(,A,F)。系统决策的目的，就是寻求最满意方案，记着a*或aopt，使得决策函数F达到最优值。 三 决策树

当状态空间和行动空间A的元素为有限的离散情况时，决策系统除了可以用决策矩阵表示之外，还可以用决策树形图表示。 设决策系统(,A,F)的决策矩阵O(oij)mn，现作出该系统的决策树 1． 决策点和方案枝

决策点用矩形方框表示，在该处需要对各种方案作出合理的选择。从决策点引出m条直线，每一条直线表示一个可行方案，称为方案枝，并将方案ai标注在方案枝直线之上。见下图

a2

.

am

在这个决策问题中，可行方案有m个，aai。用树形图表示这一局面

2.状态点和概率枝

对于每一个可行方案，都面临多个可能的自然状态j。为了表示这一局面，也可用树形图表示。每一个方案枝的末端画出一个圆圈，称为状态点或机会点，从状态点引出n个直线，每一条直线表示一种自然状态，称为概率枝或状态枝，并将状态值标注在概率枝直线之上，图类上。 3决策树

把决策点和方案枝，状态点和概率枝结合在一起，构成表示决策系统

(,A,F)的各种方案和各种状态的树形图。从决策点起沿方案枝经过

状态点到概率枝，表示了不同方案ai在不同状态j下的条件结果，并将条件结果值oij标注在概率枝的末端，图省略

用决策树表示决策系统形象直观 简便实用，特别是不同方案的自然状态不尽相同时，用决策矩阵表示就不太，而用决策树就很自然。 决策树在风险型和贝叶斯决策分析中用的很多

第二章 确定型决策分析（自己看）

如前所述，决策函数一般依赖于决策变量与状态变量，当决策变量既行动方案确定时，决策函数的结果值是一个随机变量。特别地，当状态变量固定即只存在一种状态时，每一个行动方案对应着一个确定的结果值，这时决策函数仅依赖于决策变量，这种决策问题称为确定型决策。这类问题可以通过建立最优化模型来求解（如运筹学）

第三章 效用函数

效用及其效用函数是随机决策分析（包含随机因素或不确定因素；其基本特点为：一 状态的随机性 二 决策结果值的效用特性）的基础。

第一节 理性行为公理

在随机决策中，决策系统(,A,F)中的决策方案是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。两个问题需要讨论，一是如何表述在状态空间背景中的决策方案（事态体），二是按照人们共同遵循的行为准则，得出评价方案优劣的价值标准（理性行为公理）。 一 事态体及其关系

事态体：具有两种以上有限个出现概率已知的方案。

设事态体的n个可能结果值为o1,o2,...,on,相应出现的概率为p1,p2,..,pn，并且pj1，则事态体记作T(p1,o1;p2,o2,...,pn,on)，事态体可用树形

j1n

图表示。

当n2时，称T为简单事态体，即T(p1,o1;1p,o2)，如书上例可表为T(0.6,20;0.4,5)

所有事态体的集合满足如下性质：1 如T1,T2,当01时

T1(1)T2 2 T(0,o1;0,o2;...;1,oj;...;0,on)

方案的排序就是事态体的比较。为此，给出条件结果值和事态体优劣关系比较的概念和表示方法。

定义1：设o1,o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，o1和o2有如下关系：

（1） 若偏好o1，则称o1优于o2，记作o1o2；反之，称o1劣于o2，记

作o1o2

（2） 若多o1，o2无偏好，则称o1无差异于o2，记作o1～o2

（3） 若不偏好o1，则称o1不优于o2，记作o1~o2；反之，称o1不劣于

o2，记作o1~o2

定义2：设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值o1，o2，即

T1(p1,o1;1p1,o2)，T2(p2,o1;1p2,o2)，并假定o1o2。

（1） 若p1p2，则称事态体T1无差异于T2，记作T1～T2

（2） 若p1p2，则称事态体T1优于T2，记作T1T2；反之，称T1劣于T2，

记作T1T2

定义3：设两个简单事态体T1,T2仅具有一个相同结果值，另一个不同，即T1(p1,o1;1p1,o0)，T2(p2,o2;1p2,o0)，其中o2o1o0 （1） 若p1p2，则称事态体T2优于T1，记作T2T1

（2） 若T1～T2，则一定有p1p2

二 理性行为公理

只有满足理性行为公理的事态体集合，其元素之间的优劣关系和其效用才具有一致性，理性行为公理是效用函数的基础。

公理1（连通性）上事态体的优劣关系是连通的。即若T1,T2，则或者T1T2，或者T1T2，或者T1～T2，三者必居其一。

公理2（传递性）上事态体的优劣关系是传递的。即若T1,T2,T3，且T1T2，T2T3，则T1T3，若T1～T2，T2～T3，则T1～T3。 满足公理1，2的事态体集合，称为全序集。

公理3（复合保序性）若T1,T2,Q且01，则T1T2当且仅当

T1(1)QT2(1)Q

公理4（相对序性）若T1,T2,T3，且T1T2T3，则存在数

p,q,0p1,0q1,使得pT1(1P)T3T2qT1(1q)T3。（说明事态体

的优劣关系是相对的，T1不是无限优，T3不是无限劣）

三 事态体的基本性质

性质1 设事态体T1(p,o1;1p,o0)，T2(x,o2;1x,o0)且o1o0，o2o0。若o2o1，则存在xp'p，使得T2～T1。其中x称为可调概率值（由定义4得）。

性质2 设事态体T(x,o1;1x,o2)，且o1o2。若对于满足优劣关系

o1oo2的任意结果值o，则必存在xp(0p1)，使得

（因为o～(1,o;0,o2)且o1oo2，由性质1，o～T(p,o1;1p,o2)。

必存在xp(0p1)，使得T(p,o1;1p,o2)～(1,o;0,o2)，由公理2知 。 o～T(p,o1;1p,o2)）

其中结果值o称为事态体T的确定当量，p称为o关于o1与o2的无差异概率。

性质3 任一事态体无差异于一个简单事态体。设事态体

T(p1,o1;p2,o2;...;pn,on),则必存在一个简单事态体T'(p',o*;1p',o0)

使得T～T。其中o~max(o1,o2,..,on) o0~min(o1,o2,..,on)且p'pjqj，

'

*

n

j1

其中qj(j1,2,..,n)是oj关于o*和o0的无差异概率。（比较一般事态体之间的优劣，可转化为比较相应简单事态体之间的优劣）。

由事态体定义，性质3及公理1，可对同一决策问题的不同方案进行排序

第二节 效用函数的定义与构造

设有决策系统(,A,F)，在离散的情况下，结果值可表示为决策矩阵O(oij)mn，其每一行都表示一个可行方案的n个可能结果值，即事态体Ti(p1,oi1;p2,oi2;...;pn,oin),(i1,2,..,m) pjp(j)。此问题的决策分析，就是对这m个事态体进行排序。由性质3知，存在简单事态体Ti'，

ma(xoij) o0~min(oij)且使得Ti～Ti'(pi',o*;1pi',o0)，其中o*~

i,ji,j

ppjqij，qij是oij关于o*和o0的无差异概率。于是，决策问题就转

'

i

j1

n

化为对m个简单事态体Ti'的排序。由事态体性质知，最满意方案所对

应的简单事态体，应该是最大概率值maxpmaxpjqij所对应的简单

1im

'

i

1im

j1

n

事态体。要求maxpmaxpjqij，关键在于求出无差异概率qij，而qij

1im

'i

1im

j1

n

由关系式oij～(qij,o*;1qij,o0)所确定。

由上述可知，qij的大小与结果值oij的优劣具有一致性。因此，结果值集合{oij}与无差异概率值集合{qij}之间存在某种对应关系。而无差异概率值是无量纲的量，通过这种对应关系，就可将可行的n个结果值具有量纲的量，转化为相应的无量纲的量，而且保持了优劣的一致性。由此，引入效用的概念和测算方法。 一、 效用和效用函数的概念

经济学中，效用是描述商品或劳务满足消费者需要程度的一个概念，主要用于消费者行为的理论分析。决策理论中，用效用描述可行方案的各种结果值满足决策者愿望，实现决策者偏好程度；它既是概念，反映决策方案的结果值满足和实现决策者愿望和倾向的程度，也是量值，可用具体的方法测定，并作为决策分析的依据。 1． 效用的定义与测定

效用：设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者有不同的值和作用。反映结果值o对决策者价值和作用大小的量值称为效用，记作uu(o)

标准效用测定法（V-M法）：（其实质是用无差异概率值来测度结果值的效用。由前公理与性质知，这种方法保证了结果值和效用值关系的

一致性）

设有决策系统(,A,F)，其结果值集合为O{o1,o2,...,on}，记

o*~max{o1,o2,..,on} o0~min{o1,o2,..,on}，现测定结果值oj(j1,2,..,n)的

效用值u(oj)。

（1） 设u(o*)1,u(o0)0 （2）建立简单事态体(x,o*;1x,o0)，其中x称

为可调概率。（3）通过反复提问，不断改变可调概率x，让决策者权衡比较；当xpj时，得到无差异关系oj～(pj,o*;1pj,o0)（4）测得结果值的oj的效用u(oj)pju(o*)(1pj)u(o0)pj 见书上例 2． 效用函数

结果值集合上的效用函数：设决策问题的结果值集合为

O{o1,o2,...,on}，且o*~max{o1,o2,..,on} o0~min{o1,o2,..,on}。

如定义在o上的实值函数u(o)满足条件：

（1）u(o*)1,u(o0)0，且oO，u(o)满足无差异关系o～

(u(o),o*;1u(o),o0)

（2）o1,o2O，如果o1~o2，当且仅当u(o1)u(o2)（结果值和效用值关系满足一致性要求，且由知oO，0u(o)1）

（3）o1,o2O，且01，则u[o1(1)o2]u(o1)(1)u(o2)（对于结果值的凸线性组合满足线性关系）

则称u(o)为结果值集合O上的效用函数，记着uu(o)

二、 效用函数的构造

为便于在分析中操作应用，需要得出具体的效用函数。

一种实用的效用函数构造法：

思路（反向应用标准效用测定法）：对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个基准效用值，即效用值等于0.5的结果值（称为确定当量o）。其余效用值对应的点无须测定，而是按比例用

线性内插的方法，用同一标准计算得到。

方法的要点：1、得到确定当量o 2、为使效用曲线规范化，对结果

值进行归一化处理。其中确定当量o后得权衡指标值。得三个点

3、将纵轴效用函数区间[0,1] 2n等分 4、根据同一标准用线性内插方法计算这些等分点所对应的横坐标值。

如n2时计算x0.25,x0.75，按照同一标准在区间[x0,x0.5],[x0.5,x*]中内插点

x0.25x0x0.5x01x0.75x0.5x0.5x01既按比例关系式x0.25,x0.75，* **00022x0.5xxxxx0.5xx

分别计算x0.25,x0.75

5、在坐标平面用光滑曲线连结

注意：由此法得到的效用函数曲线由权衡指标值唯一确定，进而由确定当量o唯一确定。

为了用数学归纳法构造效用函数（当然是基于前面得到的确定当量o及权衡指标值），用区间长度计算等分点所对应的横坐标值。（见教材）。

三、 效用与风险的关系

决策者选择方案要承担风险，可用不同类型的效用函数表征决策者对风险的不同态度。

1、 中立型效用函数：若有效用函数uu(x)满足对x1x2使得

u(x1)u(x2)xx2u(1)，则称uu(x)为中立型效用函数。 22

这是因为，中立型效用函数的图形是一条直线，当结果值增加时，效用值按按相同比例增加，决策者效用值增加的速度稳定，表明对风险的态度平和。（此时可用结果值直接评方案。

2、 保守型效用函数：若有效用函数uu(x)满足对x1x2使得

u(x1)u(x2)xx2u(1)，则称uu(x)为保守型效用函数。 22

这是因为，保守型效用函数是一条上凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加的速度由快至慢，反映了决策者随结果增加越来越谨慎。

3、 冒险型效用函数：若有效用函数uu(x)满足对x1x2使得

u(x1)u(x2)xx2u(1)，则称uu(x)为冒险型效用函数。 22

这是因为，冒险型效用函数是一条下凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加的速度越来越快，反映了决策者随结果增加越来越乐观。

问题：可否用效用函数的二阶导数来表征决策者对风险的不同态度？为什么？

案例见教材

第三节 效用函数表

为使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表 要点：1、当权衡指标值0.5时，效用函数的图形是上凸曲线，可直接查表。如在列中不能直接查到xj，则见二、1（4）式 3-14

2、当权衡指标值0.5时，效用函数的图形是下凸曲线，不可直接查表。但利用结论：0.5的效用曲线uu(x)与权衡指标值'1的上凸型效用曲线uu'(x)关于直线ux对称，且u(x)1u'(1x)。仍然可间接查表。

3．在管理决策的实际问题中，对于成本型指标值，条件结果值与效用值不是同时增长，而是结果值增加时对应效用值反而减少（如产品价格、生产成本）。此时，应使归一化指标正向化，即归一化值x越大，对应效用值越大（称逆向指标正向化）。

第四节 效用函数的曲线拟合

前面通过效用函数表，求得某效用函数上有限个点的坐标，将它们连接成一条光滑曲线，得到该函数的效用曲线。

为了得到该效用曲线的函数表达式（这样可研究其解析性质），也为了误差尽量小，讨论效用函数的曲线拟合。

效用函数的曲线拟合（幂函数型、对数函数型）要点：

1、确定效用函数的幂函数或对数函数表达式

2、通过对给定的权衡指标值，查表求效用曲线的一些点的坐标

3、用回归方法（如最小二乘法），求得幂函数或对数函数表达式中的待定常数值。得出拟合表达式

第五章的第一节 要注意例4-6的讨论，这是不确定型决策最合理、最符合实际的做法。

第一章

1．1 如计划用六个鸡蛋煎蛋饼,已向碗里打了五个好蛋,准备打第六鸡蛋时,有三种不同的方案可供选择,即

方案a1：打入 方案a2：单打 方案a3 ：丢弃

由于第六个蛋事前不知是好是坏,每种方案均面对两种不确定的结果,即

状态1：第六个蛋是好蛋 状态2：第六个蛋是坏蛋 如用oij(i1,2,3;j1,2)分别表示方案ai在状态j下的决策结果

收益函数

1． 设决策问题的收益值为q，状态变量为，决策变量（方案或策略）为a。当决策变量a和状态变量确定后，收益值q随之确定。q是

a和的函数，称为收益函数，记作

qQ(a,)，如决策变量和状态变量均为离散的，即aai(i1,2,..,m)，

j(j1,2,..,n)

，则收益函数可表示为

qijQ(ai,j),(i1,2,..,m;j1,2,..,n)

这可以用矩阵表示，称为收益矩阵，既Q(qij)mn

q11q21

...qm1

q12q22...qm2

...q1n



...q2n

......

...qmn

2．损失函数

损失值（遗憾值），表示没有采取最满意方案或策略时造成的损失，当决策变量a和状态变量确定后，损失值r是a和的函数，称为损失函数，记着rR(a,)，如决策变量和状态变量均为离散的，即

aai(i1,2,..,m)，j(j1,2,..,n)，则损失函数可表示为

rijR(ai,j) (i1,2,..,m;j1,2,..,n)，损失函数也可表示为损失矩阵。损

失值可以通过收益值计算出来，公式为rijmaxqkjqij

1km

。损失值表

示在给定状态下，没有采取收益值最大方案，“舍优取劣”给决策带来的损失或遗憾。

3．决策函数

收益函数 损失函数和效用函数统称为决策函数，记着fF(a,) 收益矩阵 损失矩阵和效用矩阵统称为决策矩阵，记着O(oij)mn 决策矩阵常用表格表示，称为决策表

例：某企业拟定了三个生产方案，方案a1是新建两条生产线生产两种新产品；方案a2是新建一条生产线生产一种新产品；方案a3是扩建原有生产线改进老产品。在销售预测的基础上，测算了各方案在不同市场需求状态下的条件收益值，见表，试求该决策问题的损失矩阵

二 决策系统

在系统决策中，所有方案或策略a的集合，称为行动空间，记着A。当决策变量为有限的离散情况时，行动空间可用向量表示，即

A(a,a,..,a) 所有可能状态的集合，称为状态空间，记着。12m

T

当状态变量为有限的离散情况时，状态空间可用向量表示，即

(1,2,..,n)T

状态空间，行动空间A以及定义在其上的决策函数F(a,)共同构成一个系统，称为决策系统，记着(,A,F)。系统决策的目的，就是寻求最满意方案，记着a*或aopt，使得决策函数F达到最优值。 三 决策树

当状态空间和行动空间A的元素为有限的离散情况时，决策系统除了可以用决策矩阵表示之外，还可以用决策树形图表示。 设决策系统(,A,F)的决策矩阵O(oij)mn，现作出该系统的决策树 1． 决策点和方案枝

决策点用矩形方框表示，在该处需要对各种方案作出合理的选择。从决策点引出m条直线，每一条直线表示一个可行方案，称为方案枝，并将方案ai标注在方案枝直线之上。见下图

a2

.

am

在这个决策问题中，可行方案有m个，aai。用树形图表示这一局面

2.状态点和概率枝

对于每一个可行方案，都面临多个可能的自然状态j。为了表示这一局面，也可用树形图表示。每一个方案枝的末端画出一个圆圈，称为状态点或机会点，从状态点引出n个直线，每一条直线表示一种自然状态，称为概率枝或状态枝，并将状态值标注在概率枝直线之上，图类上。 3决策树

把决策点和方案枝，状态点和概率枝结合在一起，构成表示决策系统

(,A,F)的各种方案和各种状态的树形图。从决策点起沿方案枝经过

状态点到概率枝，表示了不同方案ai在不同状态j下的条件结果，并将条件结果值oij标注在概率枝的末端，图省略

用决策树表示决策系统形象直观 简便实用，特别是不同方案的自然状态不尽相同时，用决策矩阵表示就不太，而用决策树就很自然。 决策树在风险型和贝叶斯决策分析中用的很多

第二章 确定型决策分析（自己看）

如前所述，决策函数一般依赖于决策变量与状态变量，当决策变量既行动方案确定时，决策函数的结果值是一个随机变量。特别地，当状态变量固定即只存在一种状态时，每一个行动方案对应着一个确定的结果值，这时决策函数仅依赖于决策变量，这种决策问题称为确定型决策。这类问题可以通过建立最优化模型来求解（如运筹学）

第三章 效用函数

效用及其效用函数是随机决策分析（包含随机因素或不确定因素；其基本特点为：一 状态的随机性 二 决策结果值的效用特性）的基础。

第一节 理性行为公理

在随机决策中，决策系统(,A,F)中的决策方案是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。两个问题需要讨论，一是如何表述在状态空间背景中的决策方案（事态体），二是按照人们共同遵循的行为准则，得出评价方案优劣的价值标准（理性行为公理）。 一 事态体及其关系

事态体：具有两种以上有限个出现概率已知的方案。

设事态体的n个可能结果值为o1,o2,...,on,相应出现的概率为p1,p2,..,pn，并且pj1，则事态体记作T(p1,o1;p2,o2,...,pn,on)，事态体可用树形

j1n

图表示。

当n2时，称T为简单事态体，即T(p1,o1;1p,o2)，如书上例可表为T(0.6,20;0.4,5)

所有事态体的集合满足如下性质：1 如T1,T2,当01时

T1(1)T2 2 T(0,o1;0,o2;...;1,oj;...;0,on)

方案的排序就是事态体的比较。为此，给出条件结果值和事态体优劣关系比较的概念和表示方法。

定义1：设o1,o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，o1和o2有如下关系：

（1） 若偏好o1，则称o1优于o2，记作o1o2；反之，称o1劣于o2，记

作o1o2

（2） 若多o1，o2无偏好，则称o1无差异于o2，记作o1～o2

（3） 若不偏好o1，则称o1不优于o2，记作o1~o2；反之，称o1不劣于

o2，记作o1~o2

定义2：设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值o1，o2，即

T1(p1,o1;1p1,o2)，T2(p2,o1;1p2,o2)，并假定o1o2。

（1） 若p1p2，则称事态体T1无差异于T2，记作T1～T2

（2） 若p1p2，则称事态体T1优于T2，记作T1T2；反之，称T1劣于T2，

记作T1T2

定义3：设两个简单事态体T1,T2仅具有一个相同结果值，另一个不同，即T1(p1,o1;1p1,o0)，T2(p2,o2;1p2,o0)，其中o2o1o0 （1） 若p1p2，则称事态体T2优于T1，记作T2T1

（2） 若T1～T2，则一定有p1p2

二 理性行为公理

只有满足理性行为公理的事态体集合，其元素之间的优劣关系和其效用才具有一致性，理性行为公理是效用函数的基础。

公理1（连通性）上事态体的优劣关系是连通的。即若T1,T2，则或者T1T2，或者T1T2，或者T1～T2，三者必居其一。

公理2（传递性）上事态体的优劣关系是传递的。即若T1,T2,T3，且T1T2，T2T3，则T1T3，若T1～T2，T2～T3，则T1～T3。 满足公理1，2的事态体集合，称为全序集。

公理3（复合保序性）若T1,T2,Q且01，则T1T2当且仅当

T1(1)QT2(1)Q

公理4（相对序性）若T1,T2,T3，且T1T2T3，则存在数

p,q,0p1,0q1,使得pT1(1P)T3T2qT1(1q)T3。（说明事态体

的优劣关系是相对的，T1不是无限优，T3不是无限劣）

三 事态体的基本性质

性质1 设事态体T1(p,o1;1p,o0)，T2(x,o2;1x,o0)且o1o0，o2o0。若o2o1，则存在xp'p，使得T2～T1。其中x称为可调概率值（由定义4得）。

性质2 设事态体T(x,o1;1x,o2)，且o1o2。若对于满足优劣关系

o1oo2的任意结果值o，则必存在xp(0p1)，使得

（因为o～(1,o;0,o2)且o1oo2，由性质1，o～T(p,o1;1p,o2)。

必存在xp(0p1)，使得T(p,o1;1p,o2)～(1,o;0,o2)，由公理2知 。 o～T(p,o1;1p,o2)）

其中结果值o称为事态体T的确定当量，p称为o关于o1与o2的无差异概率。

性质3 任一事态体无差异于一个简单事态体。设事态体

T(p1,o1;p2,o2;...;pn,on),则必存在一个简单事态体T'(p',o*;1p',o0)

使得T～T。其中o~max(o1,o2,..,on) o0~min(o1,o2,..,on)且p'pjqj，

'

*

n

j1

其中qj(j1,2,..,n)是oj关于o*和o0的无差异概率。（比较一般事态体之间的优劣，可转化为比较相应简单事态体之间的优劣）。

由事态体定义，性质3及公理1，可对同一决策问题的不同方案进行排序

第二节 效用函数的定义与构造

设有决策系统(,A,F)，在离散的情况下，结果值可表示为决策矩阵O(oij)mn，其每一行都表示一个可行方案的n个可能结果值，即事态体Ti(p1,oi1;p2,oi2;...;pn,oin),(i1,2,..,m) pjp(j)。此问题的决策分析，就是对这m个事态体进行排序。由性质3知，存在简单事态体Ti'，

ma(xoij) o0~min(oij)且使得Ti～Ti'(pi',o*;1pi',o0)，其中o*~

i,ji,j

ppjqij，qij是oij关于o*和o0的无差异概率。于是，决策问题就转

'

i

j1

n

化为对m个简单事态体Ti'的排序。由事态体性质知，最满意方案所对

应的简单事态体，应该是最大概率值maxpmaxpjqij所对应的简单

1im

'

i

1im

j1

n

事态体。要求maxpmaxpjqij，关键在于求出无差异概率qij，而qij

1im

'i

1im

j1

n

由关系式oij～(qij,o*;1qij,o0)所确定。

由上述可知，qij的大小与结果值oij的优劣具有一致性。因此，结果值集合{oij}与无差异概率值集合{qij}之间存在某种对应关系。而无差异概率值是无量纲的量，通过这种对应关系，就可将可行的n个结果值具有量纲的量，转化为相应的无量纲的量，而且保持了优劣的一致性。由此，引入效用的概念和测算方法。 一、 效用和效用函数的概念

经济学中，效用是描述商品或劳务满足消费者需要程度的一个概念，主要用于消费者行为的理论分析。决策理论中，用效用描述可行方案的各种结果值满足决策者愿望，实现决策者偏好程度；它既是概念，反映决策方案的结果值满足和实现决策者愿望和倾向的程度，也是量值，可用具体的方法测定，并作为决策分析的依据。 1． 效用的定义与测定

效用：设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者有不同的值和作用。反映结果值o对决策者价值和作用大小的量值称为效用，记作uu(o)

标准效用测定法（V-M法）：（其实质是用无差异概率值来测度结果值的效用。由前公理与性质知，这种方法保证了结果值和效用值关系的

一致性）

设有决策系统(,A,F)，其结果值集合为O{o1,o2,...,on}，记

o*~max{o1,o2,..,on} o0~min{o1,o2,..,on}，现测定结果值oj(j1,2,..,n)的

效用值u(oj)。

（1） 设u(o*)1,u(o0)0 （2）建立简单事态体(x,o*;1x,o0)，其中x称

为可调概率。（3）通过反复提问，不断改变可调概率x，让决策者权衡比较；当xpj时，得到无差异关系oj～(pj,o*;1pj,o0)（4）测得结果值的oj的效用u(oj)pju(o*)(1pj)u(o0)pj 见书上例 2． 效用函数

结果值集合上的效用函数：设决策问题的结果值集合为

O{o1,o2,...,on}，且o*~max{o1,o2,..,on} o0~min{o1,o2,..,on}。

如定义在o上的实值函数u(o)满足条件：

（1）u(o*)1,u(o0)0，且oO，u(o)满足无差异关系o～

(u(o),o*;1u(o),o0)

（2）o1,o2O，如果o1~o2，当且仅当u(o1)u(o2)（结果值和效用值关系满足一致性要求，且由知oO，0u(o)1）

（3）o1,o2O，且01，则u[o1(1)o2]u(o1)(1)u(o2)（对于结果值的凸线性组合满足线性关系）

则称u(o)为结果值集合O上的效用函数，记着uu(o)

二、 效用函数的构造

为便于在分析中操作应用，需要得出具体的效用函数。

一种实用的效用函数构造法：

思路（反向应用标准效用测定法）：对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个基准效用值，即效用值等于0.5的结果值（称为确定当量o）。其余效用值对应的点无须测定，而是按比例用

线性内插的方法，用同一标准计算得到。

方法的要点：1、得到确定当量o 2、为使效用曲线规范化，对结果

值进行归一化处理。其中确定当量o后得权衡指标值。得三个点

3、将纵轴效用函数区间[0,1] 2n等分 4、根据同一标准用线性内插方法计算这些等分点所对应的横坐标值。

如n2时计算x0.25,x0.75，按照同一标准在区间[x0,x0.5],[x0.5,x*]中内插点

x0.25x0x0.5x01x0.75x0.5x0.5x01既按比例关系式x0.25,x0.75，* **00022x0.5xxxxx0.5xx

分别计算x0.25,x0.75

5、在坐标平面用光滑曲线连结

注意：由此法得到的效用函数曲线由权衡指标值唯一确定，进而由确定当量o唯一确定。

为了用数学归纳法构造效用函数（当然是基于前面得到的确定当量o及权衡指标值），用区间长度计算等分点所对应的横坐标值。（见教材）。

三、 效用与风险的关系

决策者选择方案要承担风险，可用不同类型的效用函数表征决策者对风险的不同态度。

1、 中立型效用函数：若有效用函数uu(x)满足对x1x2使得

u(x1)u(x2)xx2u(1)，则称uu(x)为中立型效用函数。 22

这是因为，中立型效用函数的图形是一条直线，当结果值增加时，效用值按按相同比例增加，决策者效用值增加的速度稳定，表明对风险的态度平和。（此时可用结果值直接评方案。

2、 保守型效用函数：若有效用函数uu(x)满足对x1x2使得

u(x1)u(x2)xx2u(1)，则称uu(x)为保守型效用函数。 22

这是因为，保守型效用函数是一条上凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加的速度由快至慢，反映了决策者随结果增加越来越谨慎。

3、 冒险型效用函数：若有效用函数uu(x)满足对x1x2使得

u(x1)u(x2)xx2u(1)，则称uu(x)为冒险型效用函数。 22

这是因为，冒险型效用函数是一条下凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加的速度越来越快，反映了决策者随结果增加越来越乐观。

问题：可否用效用函数的二阶导数来表征决策者对风险的不同态度？为什么？

案例见教材

第三节 效用函数表

为使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表 要点：1、当权衡指标值0.5时，效用函数的图形是上凸曲线，可直接查表。如在列中不能直接查到xj，则见二、1（4）式 3-14

2、当权衡指标值0.5时，效用函数的图形是下凸曲线，不可直接查表。但利用结论：0.5的效用曲线uu(x)与权衡指标值'1的上凸型效用曲线uu'(x)关于直线ux对称，且u(x)1u'(1x)。仍然可间接查表。

3．在管理决策的实际问题中，对于成本型指标值，条件结果值与效用值不是同时增长，而是结果值增加时对应效用值反而减少（如产品价格、生产成本）。此时，应使归一化指标正向化，即归一化值x越大，对应效用值越大（称逆向指标正向化）。

第四节 效用函数的曲线拟合

前面通过效用函数表，求得某效用函数上有限个点的坐标，将它们连接成一条光滑曲线，得到该函数的效用曲线。

为了得到该效用曲线的函数表达式（这样可研究其解析性质），也为了误差尽量小，讨论效用函数的曲线拟合。

效用函数的曲线拟合（幂函数型、对数函数型）要点：

1、确定效用函数的幂函数或对数函数表达式

2、通过对给定的权衡指标值，查表求效用曲线的一些点的坐标

3、用回归方法（如最小二乘法），求得幂函数或对数函数表达式中的待定常数值。得出拟合表达式

第五章的第一节 要注意例4-6的讨论，这是不确定型决策最合理、最符合实际的做法。