第2章 控制系统的状态方程求解
要点：
① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点：
① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解
一 线性定常系统状态方程的解
1 齐次状态方程的解
考虑n 阶线性定常齐次方程
⎧x
(t ) =Ax (t ) ⎨
x (0) =x ⎩
0 的解。
先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为
⎧x =ax ⎨
⎩x (0) =x 0
对式（2-2）取拉氏变换得
sX (s ) -X 0=aX (s )
移项 (s -a ) X (s ) =x 0
则
X (s ) =
x 0s -a
2-1）2-2） （
（
取拉氏反变换，得
∞
x (t ) =e x 0=
at
∑
k =0
(at ) k !
k
x 0
标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：
定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 式中，e
∞
At
∞
x (t ) =e
At
x 0=
∑
k =0
(At ) k !
k
x 0
（2-3）
=
∑
k =0
(At ) k !
k
推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 的解为
(t ) =Ax (t ) ⎧x
⎨
x (t ) =x 00⎩x (t ) =e
A (t -t 0)
（2-4） （2-5）
x 0
齐次状态方程解的物理意义是e A (t -t ) 将系统从初始时刻t 0的初始状态x 0转移到t 时刻的状态x (t ) 。故e A (t -t ) 又称为定常系统的状态转移
矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法)
从上面得到两个等式
e
At
∞
e
At
=
∑
k =0
(At ) k !
k
-1
=L [(sI -A )
-1
]
其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为e At 的频域求法或拉氏反变换法
2 非齐次状态方程的解
设n 阶非齐次方程
(t ) =Ax (t ) +Bu (t ) ⎧x ⎨
⎩x (t ) =x 0
(2-6)
将状态方程左乘e -At ，有
e
-At
(t ) =e -At Ax (t ) +e -At Bu (t ) x
移项 积分，再移项左乘e At ，得
x (t ) =e
A (t -t 0)
x 0+
⎰
t
t 0
e
A (t -τ)
Bu (τ) d τ
定理2-2 n 阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为
x (t ) =e
A (t -t 0)
x 0+
⎰
t
t 0
e
A (t -τ)
Bu (τ) d τ
从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u （t ）的作用两部分结合而成。
二 矩阵指数e 的性质
At
1. 2. 3. 4.
e e e
At
=L [(sI -A ) =I e
A τ
-1-1
]
=e
A (t +τ)
At
(e
At
)
-1
=e
-At
5. 若矩阵A ，B 满足交换律，即AB=BA，则有
e
At
⋅e
Bt
=e
At
(A +B ) t
kAt
6.
(e )
k
=e
7. 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有
e
P
-1
APt
=P e
-1At
P
dt
有e >t 1>t 0，
A (t 2-t 1)
9. 传递性。对任意t 2, t 1, t 0，且t 2
e
A (t 1-t 0)
=e
A (t 2-t 0)
三 e 的计算方法
At
1. 定义法
∞
e
At
=
∑
k =0
(At ) k !
k
（2-6）
2. 拉氏变换法
e
At
=L [(sI -A )
-1-1
] （2-7）
3. 特征值法
这种方法分两种情况计算。
首先，考虑A 的特征值不重时（互异），设A 的特征值为λi
(i =1, 2, n )
则可经过非奇异变换把A 化成对角标准形。
ˆ=即：A
P
-1
AP
根据e A t 的性质7写出
⎡e λ1t
⎢=⎢⎢⎢⎢0⎣
e
λ2t
ˆ
e
ˆt A
⎤
⎥⎥⎥⎥λt e n ⎦⎥0
（2-8）
根据定义，得
e
ˆt A
ˆt +1A ˆ2t 2+1A ˆ3t 3+ =I +A
2! 3! =I +P
-1
AP +
-1
12!
(P
-1
APt ) +
-1
2
13!
-1
(P
-1
APt ) +
-1
-1
3
(P AP )
m
= P AP P AP AP ⋅ P =P
m
A P
m
e
=P
12!
2!
2
2
3!
ˆt A
-1
(I +At +e
At
A t + ) P
=P
-1
P
从而可得：
⎡e λ1t ⎢=P ⎢
⎢⎢⎢⎣0
e
λ2t
e
At
⎤
⎥
⎥P -1 ⎥⎥λn t e ⎥⎦0
（2-9）
（2-9）式即为A 的特征值不重时，计算e At 的公式。其中P 阵为把A 化为对角标准形的交换阵。P 阵的特征向量的求法：
（P
=[ξ1, , ξn ]
，(λi I -A ) ξi =0）
（2-9）
若矩阵A 的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块A J 的矩阵指数e Ajt 的分式为
⎡λjt
⎢e ⎢=⎢⎢⎢⎢⎣0
te e
λjt
e
λjt
1(n -1)! te e
λjt λjt
t
n -1
e
λjt
e
Ajt
λjt
⎤
⎥⎥
⎥ （2-10） ⎥⎥⎥⎦
求矩阵指数e At 的分式为：
⎡λjt
⎢e ⎢=P ⎢
⎢⎢⎢0⎣
te e
λjt
e
λjt
1(n -1)! te e
λjt λjt
t
n -1
e
λjt
e
At
=Pe
Ajt
P
-1
λjt
⎤
⎥⎥-1
⎥P ⎥⎥⎥⎦
（2-11）
式中P 是把A j 化为约当标准形的变换阵。当A 既有j 重根又有互
异的根时：
e
At
⎡e A j t
=P ⎢
⎣
⎤-1
P （2-12） ˆt ⎥A
e ⎦
P 阵的特征向量的求法：
P =[p 1, p 2, , p j , ξj +1, , , ξn , ] (2-13)
⎧(λ1I -A ) p 1=0⎪
(λ1I -A ) p 2=-p 1⎪⎪
⎪(λI -A ) p =-p
j j -1⎨1
⎪(λI -A ) ξ=0j +1j +1⎪
⎪⎪⎩(λn I -A ) ξn =0
(2-14)
(注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量p 1, p 2, , p j 可放在P 阵的前部，也可以放后，无严格规定。)
4. 莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法 考虑A 的特征多项式
λI -A =Φ(λ) =λ+a 1λ
n
n -1
+ +a n -1λ+a n
显然对A 的n 个特征值λi , i =1, 2, , n ，有Φ(λi ) =0。 根据Cayley-Hamilton 定理有
Φ(A ) =A +a 1A
n
n -1
+ +a n -1A +a n I =0
这里可以看出矩阵A 与λi 具有同等地位。 移项
A
n
=-a 1A -a 2A
n n -1
- -a n -1A -a n A
2
上式表明，A n 是A n -1, A n -2, , A , I 的线性组合。
因此，可设
n -1
e
At
=
∑β
k =0
k
(t ) A
k
=β0(t ) I +β1(t ) A + +βn -1(t ) A
n -1
（2-15）
式中，βi (t ) 是待定系数，i =0, 1, , n -1。 下面分两种情况确定待定系数：
（1）A 有n 个不同特征值λ1, λ2, λn ,A 的特征值λi 与A 具有同等地位，
则有
n -1
e
λi t
=
∑β
k =0
k
(t ) λi
k
i =1, 2, , n （2-16）
这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数βi (t ) 。
（2） 当A 的特征值有重时，设A 有p 个互异特征值，r 个不同的重特征值，且各重数为m j ，j =1, 2, , r 。若λj 是m j 重特征值，则将λj 满足的方程e
λj t
n -1
k
k
=
∑β
k =0
(t )
j
对λi 求m j -1次导，这样共有m j 个独立方程。一
般地，设A 的特征值为λ1, λ2 , λp 为单特征值
λp +1
是m 1重特征值
…………
λp +r
为m r 重特征值。
j
有 则
βi (t ) 由下面
r
p +
∑m
j =1
=n
n 个独立方程确定：
i =1, 2 , p
n -1
⎧⎧λi t k ⎪p 个方程⎨e =∑βk (t ) λi
k =0⎩⎪
n -1
⎧λp +j t ⎪k e =β(t ) λ∑k p +j ⎪⎪
k =0
⎪⎪n -1
d n 个方程⎨k ⎪d (e λp +j t ) =(∑βk (t ) λp +j ) ⎪⎪m 个方程d λd λp +j k =0⎨p +j j
⎪
⎪
⎪m -1n -1⎪d m j -1
d j λp +j t k ⎪
⎪(e ) =(β(t ) λ∑k p +j m j m j
⎪d λd λ⎪k =0p +j p +j
⎩⎩
j =1, 2 , r
（2-17）
例4阶系统（n=4），有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得：
⎡1
⎢⎥⎢β1(t ) 0⎢⎢⎥β(t ) ==⎢β2(t ) ⎥⎢0⎢⎥⎢⎣β3(t ) ⎦⎢⎣1
⎡β0(t ) ⎤
λ1
10
λ
2
1
2λ12
λ4
At
λ4
n -1
2
λ⎤2⎥3λ1⎥6λ1⎥
⎥3λ4⎥⎦
k
31
-1
⎡e λ1t t ⎤⎢λ1t t ⎥⎢te ⎥
⎢t 2e λ1t t ⎥ （2-18） ⎢λt ⎥
14
⎢⎥⎣e ⎦
n -1
然后按（2-15）式计算e
=
∑β
k =0
(t ) A
k
=β0(t ) I +β1(t ) A + +βn -1(t ) A
四 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化
1 离散系统的状态空间模型
在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。与连续系统相似，对n 阶离散系统的差分方程
y [k +n ]+a 1y [k +n -1]+ +a n -1y [k +1]+a n y [k ]=b 0u [k +m ]+b 1u [k +m -1]+ +b n -1u [k +1]+b m u [k ]
（2-19）
若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。即
⎧x [(k +1) T ]=Fx [kT ]+Gu [kT
⎨
⎩y [kT ]=Cx [kT ]+Du [kT ]
]
（2-20）
此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。
例 已知某离散系统的差分方程为 y [k +3]+3y [k +2]+y [k +1]+2y [k ]=u [k ] 试求其状态空间表达式。
解：选状态变量x 1[k ]=y [k ], x 2[k ]=y [k +1], x 3[k ]=y [k +2]，则可直接写出状
态空间表达式。
⎧x 1[k +1]=x 2[k ]⎪
⎨x 2[k +1]=x 3[k ]
⎪x [k +1]=-2x [k ]-x [k ]-3x [k ]+u [k ]
123⎩3
y [k ]=x 1[k ] 写成矩阵形式
⎡x 1[k +1]⎤⎡0
⎢⎥⎢x 2[k +1]=0⎢⎥⎢⎢⎣x 3[k +1]⎥⎦⎢⎣-2
10-1
0⎤⎡x 1[k ]⎤⎡0⎤
⎥⎢⎥⎢⎥1x 2[k ]+0u ⎥⎢⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3[k ]⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
y [k ]=[1
⎡x 1[k ]⎤
⎢⎥0]x 2[k ]⎢⎥⎢⎣x 3[k ]⎥⎦
显然这是能控标准形，若改变选择状态变量的方法，也可以将该离散系统的差分方程转换成另一种形式的状态空间表达式。
2线性定常系统状态方程的离散化
线性定常连续系统的状态方成为
=Ax +Bu x
（2-21）
由第二章可知，其基本解式为 取t 0
x (t ) =e
A (t -t 0)
x (t 0) +
⎰
t
t 0
e
A (t -t 0)
Bu (τ) dr
（2-22）
=kT , t =(k +1) T , k =0, 1, 2,
，式（1-53）变成
e
A [(k +1) T -τ]
x [(k +1) T ]=e
AT
x [kT ]+
⎰
(k +1) T
kT
Bu (τ) d τ
（2-23）
（2-23）式的τ在kT 和(k
+1) T
之间，且有u (τ) =u [kT ]=常数。这是由于
在离散化式采样器后面常放置零阶保持器，故输入u [kT ]可以放到积分符号之外，从而有
x [(k +1) T ]=e
AT
x [kT ]+
⎰
(k +1) T
kT
e
A [(k +1) T -τ]
d τ⋅Bu [kT ] （2-24）
式中，令
t =(k +1) T -τ
，则
dt =-d τ
，而积分下限时，则t
τ=kT
，则
t =(k +1) T -kT =T
。当积分上限τ
=(k +1) T
=(k +1) T -τ=0，故
式（2-24）可化简为
x [(k +1) T ]=e
AT
x (kT ) +
AT
⎰
T
e
AT
d (-t ) ⋅Bu (kT )
AT
=e x (kT ) +
⎰
T
e
dt ⋅Bu (kT ) （2-25）
将式（2-25）与式（2-20）比较
F (kT ) =e
AT
=L -1[(sI -A )
-1
] G (kT ) =
⎰
T
e
AT
Bdt
例 已知某连续系统的状态空间表达式为
⎡x
1⎤⎡x ⎢1⎤⎡01⎤⎡0⎤
⎣x
⎥=⎢2⎦⎣0-1⎥⎢⎥+⎢⎥u ⎦⎣x 2⎦⎣1⎦
y =[10]⎡x ⎢1⎤
⎣x ⎥2⎦
试求其离散状态空间表达式。
解：根据式(2-26)可求出离散状态方程的系数阵
F (kT ) =e
AT
=L -1[(sI --A ) -1]=L -1⎡
s -1⎤
-1
⎢
⎣0s +1⎥⎦
⎡11
⎤
=L -1⎢⎢
s s (s +1) ⎥⎡⎥=1
1-e -T
⎤
1⎢⎢⎥⎣0e
T
⎥ ⎦
⎢⎣0s +1⎥⎦
其离散状态方程的输入阵根据式（2-27）写成
G (kT ) =
⎰
T
e
At
Bdt =
⎰
T
⎡11-e -t
⎤⎡0⎤0
⎢
⎣0
e
-t
⎥⎦⎢⎣1⎥dt ⎦
=
⎰
T
⎡1-e -t ⎤⎡T -1+e -T ⎤0
⎢e -t ⎥dt =⎢1--T
⎥
⎣⎦⎣e ⎦
2-26）
2-27）
（（
从而可得该系统的状态空间表达式
⎡x 1[(k +1) T ]⎤⎡1⎢⎥=⎢x [(k +1) T ]⎣2⎦⎣0
1-e e
-T -T
⎤⎡x 1(kT ) ⎤⎡T -1+e -T
⎥⎢⎥+⎢-T
x (kT ) ⎦⎣1-e ⎦⎣2
⎤
⎥u (kT ) ⎦
y [kT ]=[1
⎡x 1(kT ) ⎤0]⎢⎥⎣x 2(kT ) ⎦
3离散系统的传递函数阵
与连续系统相对应，离散系统也可以与传递函数阵作为数学模型来描述，为此对状态空间模型式（2-20）的两边取Z 变换，有
zX (z ) -zX
=FX (z ) +GU (z )
从而可推出
Y (z ) =CX (z ) +DU (z )
X (z ) =(zI -F ) GU (z ) +z (zI -F )
-1-1
x 0
（2-28）
-1
Y (z ) =[C (zI -F )
-1
+D ]U (z ) +zC (zI -F )
x 0
（2-29）
若初值x 0
=0，则有
Y (z ) =[C (zI -F ) G +D ]U (z )
-1
（2-30）
定义传递函数阵为
G (z ) =c (zI -F ) G +D
-1
（2-31）
五 线性定常离散系统状态方程的解
对n 阶线性定常离散系统
⎧x [k +1]=Fx [k ]+Gu [k ]
⎨
x [0]=x 0⎩
（2-32）
其求解方法有两种：
1． 递推法
x [0]=x 0
x [1]=Fx [0]+Gu [0]x [2]=Fx [1]+Gu [1]
=F x [0]+FGu [0]+Gu [1]
2
x [3]=Fx [2]+Gu [2]
=F x [0]+F Gu [0]+FGu [1]+Gu [2]
x [k ]=F x [0]+F
k -1
k
k -1
3
2
Gu [0]+ +Gu [k -1]Gu [k -j -1]
=F x [0]+
k
∑F
j =0
j
2． Z 变换法
Z 是频域解法。对式（2-32）作Z 变换，有 移项 左乘(zI
-F )
-1
zX [z ]-zx [0]=FX [z ]+GU [z ] (zI -F ) X [z ]=zx [0]+GU [z ]
X [z ]=(zI -F ) x [k ]=Z
-1
-1
zx [0]+(zI -F ) GU [z ]
-1
-1
取Z -1
{(zI -F ) [zx 0+GU [z ]]}
定理2-3 n 阶线性定常离散系统式（2-32）的解为
k -1
x [k ]=F x 0+
k
∑F
i =0k -1
k -i -1
GU [i ]
=F x 0+=Z
-1
k
∑F
i =0
i
GU [k -i -1]
{(zI -F ) [zx 0+GU [z ]]}
-1
第2章 控制系统的状态方程求解
要点：
① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点：
① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解
一 线性定常系统状态方程的解
1 齐次状态方程的解
考虑n 阶线性定常齐次方程
⎧x
(t ) =Ax (t ) ⎨
x (0) =x ⎩
0 的解。
先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为
⎧x =ax ⎨
⎩x (0) =x 0
对式（2-2）取拉氏变换得
sX (s ) -X 0=aX (s )
移项 (s -a ) X (s ) =x 0
则
X (s ) =
x 0s -a
2-1）2-2） （
（
取拉氏反变换，得
∞
x (t ) =e x 0=
at
∑
k =0
(at ) k !
k
x 0
标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：
定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 式中，e
∞
At
∞
x (t ) =e
At
x 0=
∑
k =0
(At ) k !
k
x 0
（2-3）
=
∑
k =0
(At ) k !
k
推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 的解为
(t ) =Ax (t ) ⎧x
⎨
x (t ) =x 00⎩x (t ) =e
A (t -t 0)
（2-4） （2-5）
x 0
齐次状态方程解的物理意义是e A (t -t ) 将系统从初始时刻t 0的初始状态x 0转移到t 时刻的状态x (t ) 。故e A (t -t ) 又称为定常系统的状态转移
矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法)
从上面得到两个等式
e
At
∞
e
At
=
∑
k =0
(At ) k !
k
-1
=L [(sI -A )
-1
]
其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为e At 的频域求法或拉氏反变换法
2 非齐次状态方程的解
设n 阶非齐次方程
(t ) =Ax (t ) +Bu (t ) ⎧x ⎨
⎩x (t ) =x 0
(2-6)
将状态方程左乘e -At ，有
e
-At
(t ) =e -At Ax (t ) +e -At Bu (t ) x
移项 积分，再移项左乘e At ，得
x (t ) =e
A (t -t 0)
x 0+
⎰
t
t 0
e
A (t -τ)
Bu (τ) d τ
定理2-2 n 阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为
x (t ) =e
A (t -t 0)
x 0+
⎰
t
t 0
e
A (t -τ)
Bu (τ) d τ
从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u （t ）的作用两部分结合而成。
二 矩阵指数e 的性质
At
1. 2. 3. 4.
e e e
At
=L [(sI -A ) =I e
A τ
-1-1
]
=e
A (t +τ)
At
(e
At
)
-1
=e
-At
5. 若矩阵A ，B 满足交换律，即AB=BA，则有
e
At
⋅e
Bt
=e
At
(A +B ) t
kAt
6.
(e )
k
=e
7. 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有
e
P
-1
APt
=P e
-1At
P
dt
有e >t 1>t 0，
A (t 2-t 1)
9. 传递性。对任意t 2, t 1, t 0，且t 2
e
A (t 1-t 0)
=e
A (t 2-t 0)
三 e 的计算方法
At
1. 定义法
∞
e
At
=
∑
k =0
(At ) k !
k
（2-6）
2. 拉氏变换法
e
At
=L [(sI -A )
-1-1
] （2-7）
3. 特征值法
这种方法分两种情况计算。
首先，考虑A 的特征值不重时（互异），设A 的特征值为λi
(i =1, 2, n )
则可经过非奇异变换把A 化成对角标准形。
ˆ=即：A
P
-1
AP
根据e A t 的性质7写出
⎡e λ1t
⎢=⎢⎢⎢⎢0⎣
e
λ2t
ˆ
e
ˆt A
⎤
⎥⎥⎥⎥λt e n ⎦⎥0
（2-8）
根据定义，得
e
ˆt A
ˆt +1A ˆ2t 2+1A ˆ3t 3+ =I +A
2! 3! =I +P
-1
AP +
-1
12!
(P
-1
APt ) +
-1
2
13!
-1
(P
-1
APt ) +
-1
-1
3
(P AP )
m
= P AP P AP AP ⋅ P =P
m
A P
m
e
=P
12!
2!
2
2
3!
ˆt A
-1
(I +At +e
At
A t + ) P
=P
-1
P
从而可得：
⎡e λ1t ⎢=P ⎢
⎢⎢⎢⎣0
e
λ2t
e
At
⎤
⎥
⎥P -1 ⎥⎥λn t e ⎥⎦0
（2-9）
（2-9）式即为A 的特征值不重时，计算e At 的公式。其中P 阵为把A 化为对角标准形的交换阵。P 阵的特征向量的求法：
（P
=[ξ1, , ξn ]
，(λi I -A ) ξi =0）
（2-9）
若矩阵A 的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块A J 的矩阵指数e Ajt 的分式为
⎡λjt
⎢e ⎢=⎢⎢⎢⎢⎣0
te e
λjt
e
λjt
1(n -1)! te e
λjt λjt
t
n -1
e
λjt
e
Ajt
λjt
⎤
⎥⎥
⎥ （2-10） ⎥⎥⎥⎦
求矩阵指数e At 的分式为：
⎡λjt
⎢e ⎢=P ⎢
⎢⎢⎢0⎣
te e
λjt
e
λjt
1(n -1)! te e
λjt λjt
t
n -1
e
λjt
e
At
=Pe
Ajt
P
-1
λjt
⎤
⎥⎥-1
⎥P ⎥⎥⎥⎦
（2-11）
式中P 是把A j 化为约当标准形的变换阵。当A 既有j 重根又有互
异的根时：
e
At
⎡e A j t
=P ⎢
⎣
⎤-1
P （2-12） ˆt ⎥A
e ⎦
P 阵的特征向量的求法：
P =[p 1, p 2, , p j , ξj +1, , , ξn , ] (2-13)
⎧(λ1I -A ) p 1=0⎪
(λ1I -A ) p 2=-p 1⎪⎪
⎪(λI -A ) p =-p
j j -1⎨1
⎪(λI -A ) ξ=0j +1j +1⎪
⎪⎪⎩(λn I -A ) ξn =0
(2-14)
(注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量p 1, p 2, , p j 可放在P 阵的前部，也可以放后，无严格规定。)
4. 莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法 考虑A 的特征多项式
λI -A =Φ(λ) =λ+a 1λ
n
n -1
+ +a n -1λ+a n
显然对A 的n 个特征值λi , i =1, 2, , n ，有Φ(λi ) =0。 根据Cayley-Hamilton 定理有
Φ(A ) =A +a 1A
n
n -1
+ +a n -1A +a n I =0
这里可以看出矩阵A 与λi 具有同等地位。 移项
A
n
=-a 1A -a 2A
n n -1
- -a n -1A -a n A
2
上式表明，A n 是A n -1, A n -2, , A , I 的线性组合。
因此，可设
n -1
e
At
=
∑β
k =0
k
(t ) A
k
=β0(t ) I +β1(t ) A + +βn -1(t ) A
n -1
（2-15）
式中，βi (t ) 是待定系数，i =0, 1, , n -1。 下面分两种情况确定待定系数：
（1）A 有n 个不同特征值λ1, λ2, λn ,A 的特征值λi 与A 具有同等地位，
则有
n -1
e
λi t
=
∑β
k =0
k
(t ) λi
k
i =1, 2, , n （2-16）
这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数βi (t ) 。
（2） 当A 的特征值有重时，设A 有p 个互异特征值，r 个不同的重特征值，且各重数为m j ，j =1, 2, , r 。若λj 是m j 重特征值，则将λj 满足的方程e
λj t
n -1
k
k
=
∑β
k =0
(t )
j
对λi 求m j -1次导，这样共有m j 个独立方程。一
般地，设A 的特征值为λ1, λ2 , λp 为单特征值
λp +1
是m 1重特征值
…………
λp +r
为m r 重特征值。
j
有 则
βi (t ) 由下面
r
p +
∑m
j =1
=n
n 个独立方程确定：
i =1, 2 , p
n -1
⎧⎧λi t k ⎪p 个方程⎨e =∑βk (t ) λi
k =0⎩⎪
n -1
⎧λp +j t ⎪k e =β(t ) λ∑k p +j ⎪⎪
k =0
⎪⎪n -1
d n 个方程⎨k ⎪d (e λp +j t ) =(∑βk (t ) λp +j ) ⎪⎪m 个方程d λd λp +j k =0⎨p +j j
⎪
⎪
⎪m -1n -1⎪d m j -1
d j λp +j t k ⎪
⎪(e ) =(β(t ) λ∑k p +j m j m j
⎪d λd λ⎪k =0p +j p +j
⎩⎩
j =1, 2 , r
（2-17）
例4阶系统（n=4），有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得：
⎡1
⎢⎥⎢β1(t ) 0⎢⎢⎥β(t ) ==⎢β2(t ) ⎥⎢0⎢⎥⎢⎣β3(t ) ⎦⎢⎣1
⎡β0(t ) ⎤
λ1
10
λ
2
1
2λ12
λ4
At
λ4
n -1
2
λ⎤2⎥3λ1⎥6λ1⎥
⎥3λ4⎥⎦
k
31
-1
⎡e λ1t t ⎤⎢λ1t t ⎥⎢te ⎥
⎢t 2e λ1t t ⎥ （2-18） ⎢λt ⎥
14
⎢⎥⎣e ⎦
n -1
然后按（2-15）式计算e
=
∑β
k =0
(t ) A
k
=β0(t ) I +β1(t ) A + +βn -1(t ) A
四 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化
1 离散系统的状态空间模型
在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。与连续系统相似，对n 阶离散系统的差分方程
y [k +n ]+a 1y [k +n -1]+ +a n -1y [k +1]+a n y [k ]=b 0u [k +m ]+b 1u [k +m -1]+ +b n -1u [k +1]+b m u [k ]
（2-19）
若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。即
⎧x [(k +1) T ]=Fx [kT ]+Gu [kT
⎨
⎩y [kT ]=Cx [kT ]+Du [kT ]
]
（2-20）
此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。
例 已知某离散系统的差分方程为 y [k +3]+3y [k +2]+y [k +1]+2y [k ]=u [k ] 试求其状态空间表达式。
解：选状态变量x 1[k ]=y [k ], x 2[k ]=y [k +1], x 3[k ]=y [k +2]，则可直接写出状
态空间表达式。
⎧x 1[k +1]=x 2[k ]⎪
⎨x 2[k +1]=x 3[k ]
⎪x [k +1]=-2x [k ]-x [k ]-3x [k ]+u [k ]
123⎩3
y [k ]=x 1[k ] 写成矩阵形式
⎡x 1[k +1]⎤⎡0
⎢⎥⎢x 2[k +1]=0⎢⎥⎢⎢⎣x 3[k +1]⎥⎦⎢⎣-2
10-1
0⎤⎡x 1[k ]⎤⎡0⎤
⎥⎢⎥⎢⎥1x 2[k ]+0u ⎥⎢⎥⎢⎥-3⎥⎦⎢⎣x 3[k ]⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
y [k ]=[1
⎡x 1[k ]⎤
⎢⎥0]x 2[k ]⎢⎥⎢⎣x 3[k ]⎥⎦
显然这是能控标准形，若改变选择状态变量的方法，也可以将该离散系统的差分方程转换成另一种形式的状态空间表达式。
2线性定常系统状态方程的离散化
线性定常连续系统的状态方成为
=Ax +Bu x
（2-21）
由第二章可知，其基本解式为 取t 0
x (t ) =e
A (t -t 0)
x (t 0) +
⎰
t
t 0
e
A (t -t 0)
Bu (τ) dr
（2-22）
=kT , t =(k +1) T , k =0, 1, 2,
，式（1-53）变成
e
A [(k +1) T -τ]
x [(k +1) T ]=e
AT
x [kT ]+
⎰
(k +1) T
kT
Bu (τ) d τ
（2-23）
（2-23）式的τ在kT 和(k
+1) T
之间，且有u (τ) =u [kT ]=常数。这是由于
在离散化式采样器后面常放置零阶保持器，故输入u [kT ]可以放到积分符号之外，从而有
x [(k +1) T ]=e
AT
x [kT ]+
⎰
(k +1) T
kT
e
A [(k +1) T -τ]
d τ⋅Bu [kT ] （2-24）
式中，令
t =(k +1) T -τ
，则
dt =-d τ
，而积分下限时，则t
τ=kT
，则
t =(k +1) T -kT =T
。当积分上限τ
=(k +1) T
=(k +1) T -τ=0，故
式（2-24）可化简为
x [(k +1) T ]=e
AT
x (kT ) +
AT
⎰
T
e
AT
d (-t ) ⋅Bu (kT )
AT
=e x (kT ) +
⎰
T
e
dt ⋅Bu (kT ) （2-25）
将式（2-25）与式（2-20）比较
F (kT ) =e
AT
=L -1[(sI -A )
-1
] G (kT ) =
⎰
T
e
AT
Bdt
例 已知某连续系统的状态空间表达式为
⎡x
1⎤⎡x ⎢1⎤⎡01⎤⎡0⎤
⎣x
⎥=⎢2⎦⎣0-1⎥⎢⎥+⎢⎥u ⎦⎣x 2⎦⎣1⎦
y =[10]⎡x ⎢1⎤
⎣x ⎥2⎦
试求其离散状态空间表达式。
解：根据式(2-26)可求出离散状态方程的系数阵
F (kT ) =e
AT
=L -1[(sI --A ) -1]=L -1⎡
s -1⎤
-1
⎢
⎣0s +1⎥⎦
⎡11
⎤
=L -1⎢⎢
s s (s +1) ⎥⎡⎥=1
1-e -T
⎤
1⎢⎢⎥⎣0e
T
⎥ ⎦
⎢⎣0s +1⎥⎦
其离散状态方程的输入阵根据式（2-27）写成
G (kT ) =
⎰
T
e
At
Bdt =
⎰
T
⎡11-e -t
⎤⎡0⎤0
⎢
⎣0
e
-t
⎥⎦⎢⎣1⎥dt ⎦
=
⎰
T
⎡1-e -t ⎤⎡T -1+e -T ⎤0
⎢e -t ⎥dt =⎢1--T
⎥
⎣⎦⎣e ⎦
2-26）
2-27）
（（
从而可得该系统的状态空间表达式
⎡x 1[(k +1) T ]⎤⎡1⎢⎥=⎢x [(k +1) T ]⎣2⎦⎣0
1-e e
-T -T
⎤⎡x 1(kT ) ⎤⎡T -1+e -T
⎥⎢⎥+⎢-T
x (kT ) ⎦⎣1-e ⎦⎣2
⎤
⎥u (kT ) ⎦
y [kT ]=[1
⎡x 1(kT ) ⎤0]⎢⎥⎣x 2(kT ) ⎦
3离散系统的传递函数阵
与连续系统相对应，离散系统也可以与传递函数阵作为数学模型来描述，为此对状态空间模型式（2-20）的两边取Z 变换，有
zX (z ) -zX
=FX (z ) +GU (z )
从而可推出
Y (z ) =CX (z ) +DU (z )
X (z ) =(zI -F ) GU (z ) +z (zI -F )
-1-1
x 0
（2-28）
-1
Y (z ) =[C (zI -F )
-1
+D ]U (z ) +zC (zI -F )
x 0
（2-29）
若初值x 0
=0，则有
Y (z ) =[C (zI -F ) G +D ]U (z )
-1
（2-30）
定义传递函数阵为
G (z ) =c (zI -F ) G +D
-1
（2-31）
五 线性定常离散系统状态方程的解
对n 阶线性定常离散系统
⎧x [k +1]=Fx [k ]+Gu [k ]
⎨
x [0]=x 0⎩
（2-32）
其求解方法有两种：
1． 递推法
x [0]=x 0
x [1]=Fx [0]+Gu [0]x [2]=Fx [1]+Gu [1]
=F x [0]+FGu [0]+Gu [1]
2
x [3]=Fx [2]+Gu [2]
=F x [0]+F Gu [0]+FGu [1]+Gu [2]
x [k ]=F x [0]+F
k -1
k
k -1
3
2
Gu [0]+ +Gu [k -1]Gu [k -j -1]
=F x [0]+
k
∑F
j =0
j
2． Z 变换法
Z 是频域解法。对式（2-32）作Z 变换，有 移项 左乘(zI
-F )
-1
zX [z ]-zx [0]=FX [z ]+GU [z ] (zI -F ) X [z ]=zx [0]+GU [z ]
X [z ]=(zI -F ) x [k ]=Z
-1
-1
zx [0]+(zI -F ) GU [z ]
-1
-1
取Z -1
{(zI -F ) [zx 0+GU [z ]]}
定理2-3 n 阶线性定常离散系统式（2-32）的解为
k -1
x [k ]=F x 0+
k
∑F
i =0k -1
k -i -1
GU [i ]
=F x 0+=Z
-1
k
∑F
i =0
i
GU [k -i -1]
{(zI -F ) [zx 0+GU [z ]]}
-1