旋转在三角形中的运用
图形与变换是新课程标准中空间与图形部分的重要内容，导致了课改实验区的中考试卷成为命题的热点，本文就旋转变换设计的有关命题加以探究，与读者共同感受旋转亮出的风采.
在平面内，一个图形绕某一点按一定的方向旋转一定的角度，这样的图形的运动称为旋转，这一点叫旋转中心. 旋转不改变图形的形状和大小，它是由旋转中心和旋转的角度确定的. 由旋转的定义可知，旋转具有如下的特征：①图形旋转时，图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；②旋转后的图形与原来的图形对应线段、对应角相等；③对应点到旋转中心的距离相等；④旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化. 一、旋转在三角形中的运用
1. 已知△ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=1，求PA 的长. 分析：观察图形，题目中给出的条件难以发挥作用，为了聚集条件，我们可将△APB 绕点A 逆时针旋转60°到△AQC 的位置，因而△AQC ≌△APB ，所以AP=AQ，又∠PAQ=60° 所以△APQ 为等边三角形，欲求PA 的长只需求PQ 的长. 由图形和条件可得∠1=180°－（∠APC+∠CAP ），∠3=180°－（∠APB+∠BAP ），所以∠1+∠2=∠1+∠3=180°－
（∠APC+∠CAP ）+180°－（∠APB+∠BAP ）=360°－∠BAC －（360°－∠BPC ）=∠BPC －∠BAC=150°－60°=90°；在RT △PCQ 中，由勾股定理得PQ=PC 2+CQ 二、旋转与全等
2. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E(1)当直线MN 绕着点C 旋转到图的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ，DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点着点C 旋转到图的位置时，求证： DE=AD-BE.
(3) 当直线MN 绕点着点C 旋转到图的位置时，试问：线段DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系式，并加以证明.
分析：观察图可知，运用角角边公理可证△ADC ≌△CEB ，从而AD=CE，DC=EB.故命题得证. 当直线MN 绕点着点C 旋转到图或图的位置时，虽然△ADC 与△CEB 的位置变了，但他们仍然全等，仍然有CD=BE，AD=CE，因此DE=CE-CD=AD-BE或DE=CD-CE=BE-AD. 解：（1）∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=∠CED=90°. ∵∠ACB=90°。∴∠1+∠2=90°，∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3. ∵AC=BC，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=DC+CE=EB+AD.即DE=AD+BE.
(2)当MN 旋转到图的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD =BE-DE，或BE=AD+DE等) ，由(1)可证△ADC ≌△CEB. ∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD
2
=PC
2
+PB
2
=5.
旋转与相似
(湖州) 将正方形ABCD 与正方形EFGB 按图甲放置，容易计算出
DF AG
=
2，
①若将正方形EFGB 绕点B 顺时针旋转到图乙的位置，此时上述结论是否成立，并说明理由. ②
A
G F
D
DF ：CE 的值.
图乙
图甲
B
E C
若将正方形EFGB 逆时针旋转120°，请画出图形并计算
分析：①连结DB 、FB ，因为∠FBD+∠DBG=∠DBG+∠ABG=45°所以∠FBD=∠ABG ，又因为
FB BG
=
2=
DB AB
；所以△DFB ∽△AGB ，所以
DF AG
=
FB BG
=2.
②画出图形如丙图（旋转正方形BEFG 时，标注字母时一定注意对应点位置的排列次序，否则酿成错误），连结BF 、DB ，则有∠DBF=∠FEB+∠EBA+∠ABD=45°+∠EBA+45°=90°+∠EBA=∠EBC ，且所以△DBF ∽△CBE ，所以
DF CE
=DB BC
=
2.
DB BC
=BF BE
=
2，
3. （武汉市）将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图放置
(1)将图中△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转45°得图, 点P 1是A 1C 与AB 的交点. 求证:CP1=
22
AP 1.
(2)将图中的△A 1B 1C, 绕点C 顺时针旋转30°到△A 2B 2C(如图), P 2是A 2C 与AB 的交点, 线段CP 1与P 1P 2之间存在一个确定的等量关系, 请你写出这个关系式, 并说明理由. (3)将图中线段CP 1绕点C 顺时针旋转60°到CP 3(如图), 连接P 2P 3, 求证P 2P 3⊥AB.
2 B B 1
B B A A 3 A
分析:这是一个三角板绕定点C 顺时针方向旋转问题, 在旋转过程中△A 1B 1C 与△ABC 的
2
A 对应元素的相等关系保持不变. 变化元素是CA 1与AB 的相对位置关系, 因而带动了CP 1长度的变化及AP 1长度的变化, 但是建立了CP 1与AP 1及CP 1与P A P 2之间的关系的方法是一致的.
解:(1)作P 1M ⊥AC 于M, 则∠P 1MC=∠P 1MA=90°, ∵△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转45°, 即∠BCP 1=45°, ∴∠P 1CM=45°, ∴CP 1=2P 1M. 在Rt △P 1MA 中, ∠A=30°,
∴ P1M=
12
P 1A, ∴CP 1=
22
AP 1.
(2)作P 1N ⊥CA 2于N, 则∠P 1NC=∠P 1NP 2=90°, 由于第一次旋转45°, 第二次旋转30°, 即∠BCA 1=45°, ∠A 1CA 2=30°, ∴∠A 2CA=15°∴∠P 1P 2C=∠P 2CA+∠A=45°, 在Rt △P 1CN 中,CP 1=2P1N. 在Rt △P 1NP 2 中,P 1N=
22
P 1P 2,CP 122
P 1P 2, 即CP 1=2 P 1P 2
(3)由题的旋转可知, ∠P 1P 2C=45°, ∠P 1CP 2=30°, ∠P 1CP 3=60°, ∴∠P 2CP 2=30°, 即∠P 1CP 2=∠P 2CP 2, 又CP 1=CP3,CP 2=CP2, 故∠P 1P 2C=∠CP 2P 2, ∴∠P 1P 2C=∠CP 2P 2=45°, ∴∠P 1P 2P 3=90°, 即P 2P 3⊥AB.
四、旋转与面积 在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC 上距B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？ 分析：由旋转变换知，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，所以BP=EP=3，PF=PC=2，又Rt △ABC ∽Rt △PQF ∽Rt △PSC ，利用线段比的关系，可求得QP=RF=
25
32
3
，
25⨯
，RS=
310
，所以S 四边形
PQRS
=S ∆QPF -S ∆RSF =
12
⨯
32
⨯2-
12
⨯
10
=1.44
旋转在三角形中的运用
图形与变换是新课程标准中空间与图形部分的重要内容，导致了课改实验区的中考试卷成为命题的热点，本文就旋转变换设计的有关命题加以探究，与读者共同感受旋转亮出的风采.
在平面内，一个图形绕某一点按一定的方向旋转一定的角度，这样的图形的运动称为旋转，这一点叫旋转中心. 旋转不改变图形的形状和大小，它是由旋转中心和旋转的角度确定的. 由旋转的定义可知，旋转具有如下的特征：①图形旋转时，图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；②旋转后的图形与原来的图形对应线段、对应角相等；③对应点到旋转中心的距离相等；④旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化. 一、旋转在三角形中的运用
1. 已知△ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=1，求PA 的长. 分析：观察图形，题目中给出的条件难以发挥作用，为了聚集条件，我们可将△APB 绕点A 逆时针旋转60°到△AQC 的位置，因而△AQC ≌△APB ，所以AP=AQ，又∠PAQ=60° 所以△APQ 为等边三角形，欲求PA 的长只需求PQ 的长. 由图形和条件可得∠1=180°－（∠APC+∠CAP ），∠3=180°－（∠APB+∠BAP ），所以∠1+∠2=∠1+∠3=180°－
（∠APC+∠CAP ）+180°－（∠APB+∠BAP ）=360°－∠BAC －（360°－∠BPC ）=∠BPC －∠BAC=150°－60°=90°；在RT △PCQ 中，由勾股定理得PQ=PC 2+CQ 二、旋转与全等
2. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E(1)当直线MN 绕着点C 旋转到图的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ，DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点着点C 旋转到图的位置时，求证： DE=AD-BE.
(3) 当直线MN 绕点着点C 旋转到图的位置时，试问：线段DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系式，并加以证明.
分析：观察图可知，运用角角边公理可证△ADC ≌△CEB ，从而AD=CE，DC=EB.故命题得证. 当直线MN 绕点着点C 旋转到图或图的位置时，虽然△ADC 与△CEB 的位置变了，但他们仍然全等，仍然有CD=BE，AD=CE，因此DE=CE-CD=AD-BE或DE=CD-CE=BE-AD. 解：（1）∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=∠CED=90°. ∵∠ACB=90°。∴∠1+∠2=90°，∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3. ∵AC=BC，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=DC+CE=EB+AD.即DE=AD+BE.
(2)当MN 旋转到图的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD =BE-DE，或BE=AD+DE等) ，由(1)可证△ADC ≌△CEB. ∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD
2
=PC
2
+PB
2
=5.
旋转与相似
(湖州) 将正方形ABCD 与正方形EFGB 按图甲放置，容易计算出
DF AG
=
2，
①若将正方形EFGB 绕点B 顺时针旋转到图乙的位置，此时上述结论是否成立，并说明理由. ②
A
G F
D
DF ：CE 的值.
图乙
图甲
B
E C
若将正方形EFGB 逆时针旋转120°，请画出图形并计算
分析：①连结DB 、FB ，因为∠FBD+∠DBG=∠DBG+∠ABG=45°所以∠FBD=∠ABG ，又因为
FB BG
=
2=
DB AB
；所以△DFB ∽△AGB ，所以
DF AG
=
FB BG
=2.
②画出图形如丙图（旋转正方形BEFG 时，标注字母时一定注意对应点位置的排列次序，否则酿成错误），连结BF 、DB ，则有∠DBF=∠FEB+∠EBA+∠ABD=45°+∠EBA+45°=90°+∠EBA=∠EBC ，且所以△DBF ∽△CBE ，所以
DF CE
=DB BC
=
2.
DB BC
=BF BE
=
2，
3. （武汉市）将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图放置
(1)将图中△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转45°得图, 点P 1是A 1C 与AB 的交点. 求证:CP1=
22
AP 1.
(2)将图中的△A 1B 1C, 绕点C 顺时针旋转30°到△A 2B 2C(如图), P 2是A 2C 与AB 的交点, 线段CP 1与P 1P 2之间存在一个确定的等量关系, 请你写出这个关系式, 并说明理由. (3)将图中线段CP 1绕点C 顺时针旋转60°到CP 3(如图), 连接P 2P 3, 求证P 2P 3⊥AB.
2 B B 1
B B A A 3 A
分析:这是一个三角板绕定点C 顺时针方向旋转问题, 在旋转过程中△A 1B 1C 与△ABC 的
2
A 对应元素的相等关系保持不变. 变化元素是CA 1与AB 的相对位置关系, 因而带动了CP 1长度的变化及AP 1长度的变化, 但是建立了CP 1与AP 1及CP 1与P A P 2之间的关系的方法是一致的.
解:(1)作P 1M ⊥AC 于M, 则∠P 1MC=∠P 1MA=90°, ∵△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转45°, 即∠BCP 1=45°, ∴∠P 1CM=45°, ∴CP 1=2P 1M. 在Rt △P 1MA 中, ∠A=30°,
∴ P1M=
12
P 1A, ∴CP 1=
22
AP 1.
(2)作P 1N ⊥CA 2于N, 则∠P 1NC=∠P 1NP 2=90°, 由于第一次旋转45°, 第二次旋转30°, 即∠BCA 1=45°, ∠A 1CA 2=30°, ∴∠A 2CA=15°∴∠P 1P 2C=∠P 2CA+∠A=45°, 在Rt △P 1CN 中,CP 1=2P1N. 在Rt △P 1NP 2 中,P 1N=
22
P 1P 2,CP 122
P 1P 2, 即CP 1=2 P 1P 2
(3)由题的旋转可知, ∠P 1P 2C=45°, ∠P 1CP 2=30°, ∠P 1CP 3=60°, ∴∠P 2CP 2=30°, 即∠P 1CP 2=∠P 2CP 2, 又CP 1=CP3,CP 2=CP2, 故∠P 1P 2C=∠CP 2P 2, ∴∠P 1P 2C=∠CP 2P 2=45°, ∴∠P 1P 2P 3=90°, 即P 2P 3⊥AB.
四、旋转与面积 在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC 上距B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？ 分析：由旋转变换知，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，所以BP=EP=3，PF=PC=2，又Rt △ABC ∽Rt △PQF ∽Rt △PSC ，利用线段比的关系，可求得QP=RF=
25
32
3
，
25⨯
，RS=
310
，所以S 四边形
PQRS
=S ∆QPF -S ∆RSF =
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⨯
32
⨯2-
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