第六讲 全等三角形旋转
【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，∆ACM 、∆CBN 是等边三角形．求证：AN =BM ．
M
F
N
A C B
练习1、如图，B ，C ，E 三点共线，且∆ABC 与∆DCE 是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM =CN ．
A D
M N
B
E C
【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE =CG ．
G A
B
D
C
E F
练习
如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方 形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： ① 猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断．
【例3】 如图，等边三角形∆ABC 与等边∆DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ．
A
E
D
B
C
练习
将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC ＝∠B ′A ′C ＝30°）按图①方式放置，固定三角板A ′B ′C ，然后将三角 板ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB 与A ′C 交于点E ，AC 与A ′B ′交于点F ， AB 与A ′B ′相交于点O ．（1）求证：△BCE ≌△B ′CF ；（2）当旋转角等于30°时，AB 与A ′B ′垂直吗？请说明理由．
【例4】 (2004河北) 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA ⊥AF ． 求
证：DE =BF ．
A D
E
F C B
CD 上的点，练习6、如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、且∠EAF =45︒，AH ⊥EF ，H 为垂足，求证：AH =AB ．
A D
F
E C B
【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE +CF =AB ．
A G 1
D
4C
H
2
F K
第六讲 全等三角形旋转
【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，∆ACM 、∆CBN 是等边三角形．求证：AN =BM ．
M
F
N
A C B
练习1、如图，B ，C ，E 三点共线，且∆ABC 与∆DCE 是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM =CN ．
A D
M N
B
E C
【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE =CG ．
G A
B
D
C
E F
练习
如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方 形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： ① 猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断．
【例3】 如图，等边三角形∆ABC 与等边∆DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ．
A
E
D
B
C
练习
将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC ＝∠B ′A ′C ＝30°）按图①方式放置，固定三角板A ′B ′C ，然后将三角 板ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB 与A ′C 交于点E ，AC 与A ′B ′交于点F ， AB 与A ′B ′相交于点O ．（1）求证：△BCE ≌△B ′CF ；（2）当旋转角等于30°时，AB 与A ′B ′垂直吗？请说明理由．
【例4】 (2004河北) 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA ⊥AF ． 求
证：DE =BF ．
A D
E
F C B
CD 上的点，练习6、如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、且∠EAF =45︒，AH ⊥EF ，H 为垂足，求证：AH =AB ．
A D
F
E C B
【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE +CF =AB ．
A G 1
D
4C
H
2
F K