1.(2011天门)在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴的
两个交点分别为A (-3,0)、B (1,0),过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .
(1)直接填写:a = ,b = ,顶点C 的坐标为 ;
(2)在y 轴上是否存在点D ,使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合),PQ ⊥AC 于点Q ,当△PCQ 与△ACH 相似时,求点P 的坐标.
2.如图,抛物线y =ax 2+bx 经过点A (—4,0)、B (—2,2),连接
OB 、AB ,
(1)求该抛物线的解析式. (2)求证:△OAB 是等腰直角三角形.
(3)将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′,写出A′B′的中点P 的坐标,试判断点P 是否在此抛物线上.
(4)在抛物线上是否存在这样的点M ,使得四边形ABOM 成直角梯形,若存在,请求出点M 坐标及该直角梯形的面积,若不存在,请说明理由.
3.(2011绵阳)已知抛物线y =x 2-2x +m -1与x 轴只有一个交点,
且于y 轴交于A 点,如图,设它的顶点为B 。(1)求m 的值;
(2)过A 作x 轴的平行线,交抛物线于点C ,求证△ABC 是等腰直角三角形;
(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C′,且与x 轴的左半轴交于E 点,与y 轴交于F 点。如图,请在抛物线C′上求点P ,使得△EFP 是以EF 为直角边得直角三角形。
4.(2011四川眉山)如图.在直角坐标系中,已知点A(0.1.) ,
B(-4.4) .将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ,顶点在坐标原点的抛物线经过点B .
(1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标;
(2) 抛物线上一动点P .设点P 到x 轴的距离为d 1,点P 到点A 的
距离为d 2,试说明d 2=d 1+1;
(3) 在-(2)的条件下,请探究当点P 位于何处时.△PAC 的周长有最小值,并求出△PAC 的周长的最小值。
5.(2011达州)如图,已知抛物线与x 轴交于A(1,0) ,B (-3,0)
两点,与y 轴交于点
C(0,3) ,抛物线的顶点为P ,连结AC . (1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上找一点D ,使得DC 与AC 垂直,且直线DC 与x 轴交于点Q ,求点D 的坐标;
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M ,使得S △MAP =2S△ACP ,若存在,求出M 点坐标;若不存在,请说明理由.
26.(2011湖北黄石)已知二次函数y =x -2mx +4m -8
(1)当x ≤2时,函数值y 随x 的增大而减小,求m 的取值范围.
(2)以抛物线y =x 2-2mx +4m -8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN (M ,N 两点在抛物线上),请问:△AMN 的面积是与m 无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(3)若抛物线y =x 2-2mx +4m -8与x 轴交点的横坐标均为整数,求整数m 的值.
7.(2011山东烟台)如图,已知抛物线y =x 2+bx -3a 过点A (1,0),
B (0,-3),与x 轴交于另一点C . (1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P ,使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形,求点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q ,使以P , Q , B , C 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
1.(2011天门)在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴的
两个交点分别为A (-3,0)、B (1,0),过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .
(1)直接填写:a = ,b = ,顶点C 的坐标为 ;
(2)在y 轴上是否存在点D ,使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合),PQ ⊥AC 于点Q ,当△PCQ 与△ACH 相似时,求点P 的坐标.
2.如图,抛物线y =ax 2+bx 经过点A (—4,0)、B (—2,2),连接
OB 、AB ,
(1)求该抛物线的解析式. (2)求证:△OAB 是等腰直角三角形.
(3)将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′,写出A′B′的中点P 的坐标,试判断点P 是否在此抛物线上.
(4)在抛物线上是否存在这样的点M ,使得四边形ABOM 成直角梯形,若存在,请求出点M 坐标及该直角梯形的面积,若不存在,请说明理由.
3.(2011绵阳)已知抛物线y =x 2-2x +m -1与x 轴只有一个交点,
且于y 轴交于A 点,如图,设它的顶点为B 。(1)求m 的值;
(2)过A 作x 轴的平行线,交抛物线于点C ,求证△ABC 是等腰直角三角形;
(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C′,且与x 轴的左半轴交于E 点,与y 轴交于F 点。如图,请在抛物线C′上求点P ,使得△EFP 是以EF 为直角边得直角三角形。
4.(2011四川眉山)如图.在直角坐标系中,已知点A(0.1.) ,
B(-4.4) .将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ,顶点在坐标原点的抛物线经过点B .
(1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标;
(2) 抛物线上一动点P .设点P 到x 轴的距离为d 1,点P 到点A 的
距离为d 2,试说明d 2=d 1+1;
(3) 在-(2)的条件下,请探究当点P 位于何处时.△PAC 的周长有最小值,并求出△PAC 的周长的最小值。
5.(2011达州)如图,已知抛物线与x 轴交于A(1,0) ,B (-3,0)
两点,与y 轴交于点
C(0,3) ,抛物线的顶点为P ,连结AC . (1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上找一点D ,使得DC 与AC 垂直,且直线DC 与x 轴交于点Q ,求点D 的坐标;
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M ,使得S △MAP =2S△ACP ,若存在,求出M 点坐标;若不存在,请说明理由.
26.(2011湖北黄石)已知二次函数y =x -2mx +4m -8
(1)当x ≤2时,函数值y 随x 的增大而减小,求m 的取值范围.
(2)以抛物线y =x 2-2mx +4m -8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN (M ,N 两点在抛物线上),请问:△AMN 的面积是与m 无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(3)若抛物线y =x 2-2mx +4m -8与x 轴交点的横坐标均为整数,求整数m 的值.
7.(2011山东烟台)如图,已知抛物线y =x 2+bx -3a 过点A (1,0),
B (0,-3),与x 轴交于另一点C . (1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P ,使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形,求点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q ,使以P , Q , B , C 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.