1．（2011天门）在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .
（1）直接填写：a =，b =，顶点C 的坐标为；
（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.
2．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过点A （—4，0）、B （—2，2），连接OB 、AB ，
（1）求该抛物线的解析式. （2）求证：△OAB 是等腰直角三角形.
（3）将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此抛物线上.
（4）在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形ABOM 成直角梯形，若存在，请求出点M 坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.
3．（2011绵阳）已知抛物线y
＝
x 2－2x ＋m －1与x 轴只有一个交点，且于y 轴交于A 点，如图，设它的顶点为B 。（1）求m 的值；
（2）过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证△ABC 是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点。如图，请在抛物线C′上求点P ，使得△EFP 是以EF 为直角边得直角三角形。
4．（2011四川眉山）如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．) ，B(-4．4) ．将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ，顶点在坐标原点的抛物线经过点B ．
(1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标；
(2) 抛物线上一动点P ．设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的
距离为d 2，试说明d 2=d 1+1；
(3) 在-(2)的条件下，请探究当点P 位于何处时．△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值。
5．（2011达州）如图，已知抛物线与x 轴交于A(1，0) ，B （-3，0）两点，与y 轴交于点
C(0，3) ，抛物线的顶点为P ，连结AC ． (1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q ，求点D 的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得S △MAP =2S△ACP ，若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2011湖北黄石）已知二次函数y =x -2mx +4m -8
（1）当x ≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围.
（2）以抛物线y =x 2-2mx +4m -8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
（3）若抛物线y =x 2-2mx +4m -8与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值.
7．（2011山东烟台）如图，已知抛物线y =x 2+bx -3a 过点A （1,0），B (0,-3),与x 轴交于另一点C . （1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P , Q , B , C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
1．（2011天门）在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .
（1）直接填写：a =，b =，顶点C 的坐标为；
（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.
2．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过点A （—4，0）、B （—2，2），连接OB 、AB ，
（1）求该抛物线的解析式. （2）求证：△OAB 是等腰直角三角形.
（3）将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此抛物线上.
（4）在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形ABOM 成直角梯形，若存在，请求出点M 坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.
3．（2011绵阳）已知抛物线y
＝
x 2－2x ＋m －1与x 轴只有一个交点，且于y 轴交于A 点，如图，设它的顶点为B 。（1）求m 的值；
（2）过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证△ABC 是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点。如图，请在抛物线C′上求点P ，使得△EFP 是以EF 为直角边得直角三角形。
4．（2011四川眉山）如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．) ，B(-4．4) ．将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ，顶点在坐标原点的抛物线经过点B ．
(1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标；
(2) 抛物线上一动点P ．设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的
距离为d 2，试说明d 2=d 1+1；
(3) 在-(2)的条件下，请探究当点P 位于何处时．△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值。
5．（2011达州）如图，已知抛物线与x 轴交于A(1，0) ，B （-3，0）两点，与y 轴交于点
C(0，3) ，抛物线的顶点为P ，连结AC ． (1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q ，求点D 的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得S △MAP =2S△ACP ，若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2011湖北黄石）已知二次函数y =x -2mx +4m -8
（1）当x ≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围.
（2）以抛物线y =x 2-2mx +4m -8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
（3）若抛物线y =x 2-2mx +4m -8与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值.
7．（2011山东烟台）如图，已知抛物线y =x 2+bx -3a 过点A （1,0），B (0,-3),与x 轴交于另一点C . （1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P , Q , B , C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.