近世代数基础Ⅱ学习报告
现代数学
现代数学的主要研究方向为结构数学, 结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系, 或几种事物间的相互组成联系。现代数学的基础是集合，在集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。 本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。
一 抽象代数
1.1 群
定义
群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。一般说来，群G 是指对于某种运算法则*满足以下四个条件的集合：
(1) 封闭性：若a , b ∈G ，则存在唯一确定的c ∈G 使得a *b =c ；
(2) 结合律成立：任意a , b , c ∈G ，有(a *b ) *c =a *(b *c ) ；
(3) 单位元存在：存在e ∈G 对任意a ∈G ，满足a *e =e *a =a ；
(4) 逆元存在：对任意a ∈G ，存在唯一确定的b ∈G 使得a *b =b *a =e ； 若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。
若群G 中元素个数有限，则G 为有限群；否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
子群
对于群G ，若集合H ∈G 对于群G 上定义的二元运算构成一个群，则称H 是G 的子群，记做H
小结
在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，而不用去管某个元素的具体含义是什么。
1.2 环
当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓的环。
定义
设R 是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法⨯，若(1) (R , +) 是交换群
(2) (R , ⨯) 是半群
(3) 乘法对加法满足分配律
则称R 为一个环。环也是一种群。
子环
环R 的一个非空子集S ，若对于R 的两种运算构成一个环，则称S 为R 的子环。
整环
设R 为含单位的环，且1≠0。若R 为没有零因子的交换环，则称R 为整环。
1.3 域
域也是一种环，要求⨯要满足交换律，除了有+的单位元还要有⨯的单位元(二者不等) ，除了+的单位元外其他元素都有⨯的逆元。
1.4 群的应用
群是刻画事物对称性的有效工具，比如图形的对称、函数的对称等。
二 微分几何
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面上一点的邻域的性质，即研究一般曲线或曲面在小范围上的性质。它主要包含曲线论和曲面论。曲线论主要就是Frenet 公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离推出第二基本形式，而曲率的推导顺序是：曲面上曲线的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分几何有两个十分重要的基础：坐标变换和求导的技巧。在学习微分几何之前需要熟练运用这两个部分。
标架
标架，这一概念在张量分析的学习中曾经涉及到。张量可以看作一个实体（几何体，几何量），这个实体由这组分量和分量所对应的基共同构成。通常说的张量是不依赖于坐标系的，而观察者和标架是等同的。用一个坐标系来充当观察者，再配上时间坐标，标架成为四维的。坐标系和标架（或者观察者）是不同的，同
一个标架下可以观察到多个“坐标系”。
测地线
曲面上测地曲率恒等于零的曲线，称为测地线。平面上的测地线就是直线； 测地线的概念就是平面上直线的概念在曲面上的推广。曲面上的曲线，当且仅当它是直线或者它的主法向量处处是曲线的法向量时，它才是测地线。旋转面上的经线是测地线，球面上的大圆周是测地线。
距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于
C 、等于c 、大于c 的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地线。
三 微分流形
3.1微分流形的数学定义
n 维流形就是一个Hausdorff 空间，它的每一点有开邻域与n 维欧式空间的开集同胚。微分流形是一类重要的拓扑空间，它除了具有通常的拓扑结构外，还添加上了微分结构，因而可以应用微积分学，从而就能建立一些微分几何的性质。
3.2流形描述
流形（Manifold ），是局部具有欧几里得空间性质的空间。流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
3.3 流形的应用
可以把经典数学分析中的几个著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高维的流形上，利用外微分，统一为一个形式。
空间最最本质的东西就是有关测度的概念。测度不同，导致空间定义，空间结构和形式的不同。欧氏空间和黎曼空间的区别也在于此，有了测度的概念，任何空间的构型就可以被决定，对空间的研究也就不再成问题。那么我们怎样来度量空间，显然欧氏空间已经不再十分凑效，我们只能选择黎曼流形。这就是光在宇宙中为什么沿着一条测地线前进，而不是直线。
近世代数基础Ⅱ学习报告
现代数学
现代数学的主要研究方向为结构数学, 结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系, 或几种事物间的相互组成联系。现代数学的基础是集合，在集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。 本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。
一 抽象代数
1.1 群
定义
群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。一般说来，群G 是指对于某种运算法则*满足以下四个条件的集合：
(1) 封闭性：若a , b ∈G ，则存在唯一确定的c ∈G 使得a *b =c ；
(2) 结合律成立：任意a , b , c ∈G ，有(a *b ) *c =a *(b *c ) ；
(3) 单位元存在：存在e ∈G 对任意a ∈G ，满足a *e =e *a =a ；
(4) 逆元存在：对任意a ∈G ，存在唯一确定的b ∈G 使得a *b =b *a =e ； 若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。
若群G 中元素个数有限，则G 为有限群；否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
子群
对于群G ，若集合H ∈G 对于群G 上定义的二元运算构成一个群，则称H 是G 的子群，记做H
小结
在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，而不用去管某个元素的具体含义是什么。
1.2 环
当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓的环。
定义
设R 是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法⨯，若(1) (R , +) 是交换群
(2) (R , ⨯) 是半群
(3) 乘法对加法满足分配律
则称R 为一个环。环也是一种群。
子环
环R 的一个非空子集S ，若对于R 的两种运算构成一个环，则称S 为R 的子环。
整环
设R 为含单位的环，且1≠0。若R 为没有零因子的交换环，则称R 为整环。
1.3 域
域也是一种环，要求⨯要满足交换律，除了有+的单位元还要有⨯的单位元(二者不等) ，除了+的单位元外其他元素都有⨯的逆元。
1.4 群的应用
群是刻画事物对称性的有效工具，比如图形的对称、函数的对称等。
二 微分几何
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面上一点的邻域的性质，即研究一般曲线或曲面在小范围上的性质。它主要包含曲线论和曲面论。曲线论主要就是Frenet 公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离推出第二基本形式，而曲率的推导顺序是：曲面上曲线的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分几何有两个十分重要的基础：坐标变换和求导的技巧。在学习微分几何之前需要熟练运用这两个部分。
标架
标架，这一概念在张量分析的学习中曾经涉及到。张量可以看作一个实体（几何体，几何量），这个实体由这组分量和分量所对应的基共同构成。通常说的张量是不依赖于坐标系的，而观察者和标架是等同的。用一个坐标系来充当观察者，再配上时间坐标，标架成为四维的。坐标系和标架（或者观察者）是不同的，同
一个标架下可以观察到多个“坐标系”。
测地线
曲面上测地曲率恒等于零的曲线，称为测地线。平面上的测地线就是直线； 测地线的概念就是平面上直线的概念在曲面上的推广。曲面上的曲线，当且仅当它是直线或者它的主法向量处处是曲线的法向量时，它才是测地线。旋转面上的经线是测地线，球面上的大圆周是测地线。
距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于
C 、等于c 、大于c 的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地线。
三 微分流形
3.1微分流形的数学定义
n 维流形就是一个Hausdorff 空间，它的每一点有开邻域与n 维欧式空间的开集同胚。微分流形是一类重要的拓扑空间，它除了具有通常的拓扑结构外，还添加上了微分结构，因而可以应用微积分学，从而就能建立一些微分几何的性质。
3.2流形描述
流形（Manifold ），是局部具有欧几里得空间性质的空间。流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
3.3 流形的应用
可以把经典数学分析中的几个著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高维的流形上，利用外微分，统一为一个形式。
空间最最本质的东西就是有关测度的概念。测度不同，导致空间定义，空间结构和形式的不同。欧氏空间和黎曼空间的区别也在于此，有了测度的概念，任何空间的构型就可以被决定，对空间的研究也就不再成问题。那么我们怎样来度量空间，显然欧氏空间已经不再十分凑效，我们只能选择黎曼流形。这就是光在宇宙中为什么沿着一条测地线前进，而不是直线。