1、有理数的分类
有理数
正整数（自然数）
整
数
零 负整数
正分数
有理 数
分
负分 数
数
2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规
定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3）正数都大于0, 负数都小于0；正数大于一切负数；
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 1）数a 的相反数是-a （a 是任意一个有理数） 2）0的相反数是0.
3）若a 、b 互为相反数，则a+b=0.
4、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。数a 的绝对值记作︱a ︱
1) 对任何有理数a, 总有︱a ︱≥0.
2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0。 3）若a ＞0，则︱a ︱= a ; 若a ＜0，则︱a ︱= -a ; 若a =0，则︱a ︱= 0 ; 6、有理数比较大小： 1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 3）两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算 ：
（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，对只含乘
除，或只含加减的运算，应从左往右运算。 （3）运算法则
1) 有理数加法法则
① 同号两数相加, 取相同的符号, 并把绝对值相加；
② 异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号, 并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；
2) 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即 a-b=a+(-b)
3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当因数有偶数个时，积为正.
② 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
4) 有理数除法法则 ①除以一个数等于乘上这个数的倒数;
② 两数相除, 同号得正, 异号得负, 并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数, 都得0.
5) 有理数的乘方 定义
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
（4）运算律
加法交换律 a +b =b +a
加法结合律 (a +b ) +c =a +(b +c ) 乘法交换律 ab =ba 乘法结合律 (ab ) c =a (bc ) 乘法对加法的分配律 a (b +c ) =ab +ac
8、例题：
（一、选择题）
1、下列各组数中，互为相反数的是( )
A ．-(-1) 与1 B ．（－1）2与1 C ．-1与1
D ．－12与1
2、如图，数轴A 、B 上两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是
1111-0a b a b A ．a ＋b>0 B ．ab >0 C ． D ． 、3、在–2，+3.5，0，-
2
，–0.7，11中．负分数有（ ） 3
A、l 个 B、2个 C、3个 D、4个 4、下列算式中，积为负数的是（ ）
A、0⨯(-5) B、4⨯(0. 5) ⨯(-10) C、(1. 5) ⨯(-2) D、(-2) ⨯(-) ⨯(-)
5、l 米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ） A、
1523
1111 B、 C、 D、
641281232
6、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（ ）
A、高12.8％ B、低12.8％ C、高40％ D、高28％ （二、填空题）
1、-
12
的倒数是____；1的相反数是____. 33
2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、计算：-
31
+=____;-9-5=_____. 22
4、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 .
5、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____.
6、数学考试成绩以90分为标准，老师将5位同学的成绩简单记作：+15，－4 ，+11，－7 ，0，则这五名同学的平均成绩为 。
7、计算：(-1) 8、平方得2
100
+(-1) 101=______.
1
的数是____；立方得–64的数是____. 4
9、观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_______.
（三、解答题计算下列各题（每小题4分，共20分）
11
（1） (-7) +(+15) -(-25) （2） (-2) ⨯(-7) ⨯(+5) ⨯(-) （3）1-22⨯5÷(-)
75
1⎤122⎤⎡2⎡32005
（4）(-3) 2-⎢(-) +(-) ⎥÷ （5）0. 25⨯ （-2）-⎢4÷（-）+1⎥+（-1）
34123⎣⎦⎣⎦
（6）已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求-2mn +
b +c
-x 的值 m -n
（7）、小虫从某点O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）： +5 ， －3， +10 ，－8， －6， +12， －10 问：①小虫是否回到原点O ？ ②小虫离开出发点O 最远是多少厘米？
③、在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
（9）、李明与王伟在玩一种计算的游戏，计算的规则是
3251
3251
a b c d
=ad -bc ，李明轮
到计算
2365
，根据规则=3×1－2×5＝3－10=－7，现在轮到王伟计算
，请你帮忙算一算，得 ．
（10）、你能根据右图得出计算规律吗？
1＋3＋5＋7＋9＋11＝( ) 2
请你猜想：1＋3＋5＋…＋2009＝( )2
（11）、①请猜想1+3+5+7+9+…+19= ；
②请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）=
③请用上述规律计算：103+105+107+…+2003+2005．
考点：规律型：数字的变化类． 专题：规律型．
分析：（1）一共有10个连续奇数相加，所以结果应为102； （2）一共有n 个连续奇数相加，所以结果应为n 2；
（3）让从1加到2005这些连续奇数的和，减去从1加到101这些连续奇数的和即可．
1、有理数的分类
有理数
正整数（自然数）
整
数
零 负整数
正分数
有理 数
分
负分 数
数
2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规
定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3）正数都大于0, 负数都小于0；正数大于一切负数；
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 1）数a 的相反数是-a （a 是任意一个有理数） 2）0的相反数是0.
3）若a 、b 互为相反数，则a+b=0.
4、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。数a 的绝对值记作︱a ︱
1) 对任何有理数a, 总有︱a ︱≥0.
2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0。 3）若a ＞0，则︱a ︱= a ; 若a ＜0，则︱a ︱= -a ; 若a =0，则︱a ︱= 0 ; 6、有理数比较大小： 1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 3）两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算 ：
（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，对只含乘
除，或只含加减的运算，应从左往右运算。 （3）运算法则
1) 有理数加法法则
① 同号两数相加, 取相同的符号, 并把绝对值相加；
② 异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号, 并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；
2) 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即 a-b=a+(-b)
3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当因数有偶数个时，积为正.
② 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
4) 有理数除法法则 ①除以一个数等于乘上这个数的倒数;
② 两数相除, 同号得正, 异号得负, 并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数, 都得0.
5) 有理数的乘方 定义
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
（4）运算律
加法交换律 a +b =b +a
加法结合律 (a +b ) +c =a +(b +c ) 乘法交换律 ab =ba 乘法结合律 (ab ) c =a (bc ) 乘法对加法的分配律 a (b +c ) =ab +ac
8、例题：
（一、选择题）
1、下列各组数中，互为相反数的是( )
A ．-(-1) 与1 B ．（－1）2与1 C ．-1与1
D ．－12与1
2、如图，数轴A 、B 上两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是
1111-0a b a b A ．a ＋b>0 B ．ab >0 C ． D ． 、3、在–2，+3.5，0，-
2
，–0.7，11中．负分数有（ ） 3
A、l 个 B、2个 C、3个 D、4个 4、下列算式中，积为负数的是（ ）
A、0⨯(-5) B、4⨯(0. 5) ⨯(-10) C、(1. 5) ⨯(-2) D、(-2) ⨯(-) ⨯(-)
5、l 米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ） A、
1523
1111 B、 C、 D、
641281232
6、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（ ）
A、高12.8％ B、低12.8％ C、高40％ D、高28％ （二、填空题）
1、-
12
的倒数是____；1的相反数是____. 33
2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、计算：-
31
+=____;-9-5=_____. 22
4、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 .
5、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____.
6、数学考试成绩以90分为标准，老师将5位同学的成绩简单记作：+15，－4 ，+11，－7 ，0，则这五名同学的平均成绩为 。
7、计算：(-1) 8、平方得2
100
+(-1) 101=______.
1
的数是____；立方得–64的数是____. 4
9、观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_______.
（三、解答题计算下列各题（每小题4分，共20分）
11
（1） (-7) +(+15) -(-25) （2） (-2) ⨯(-7) ⨯(+5) ⨯(-) （3）1-22⨯5÷(-)
75
1⎤122⎤⎡2⎡32005
（4）(-3) 2-⎢(-) +(-) ⎥÷ （5）0. 25⨯ （-2）-⎢4÷（-）+1⎥+（-1）
34123⎣⎦⎣⎦
（6）已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求-2mn +
b +c
-x 的值 m -n
（7）、小虫从某点O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）： +5 ， －3， +10 ，－8， －6， +12， －10 问：①小虫是否回到原点O ？ ②小虫离开出发点O 最远是多少厘米？
③、在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
（9）、李明与王伟在玩一种计算的游戏，计算的规则是
3251
3251
a b c d
=ad -bc ，李明轮
到计算
2365
，根据规则=3×1－2×5＝3－10=－7，现在轮到王伟计算
，请你帮忙算一算，得 ．
（10）、你能根据右图得出计算规律吗？
1＋3＋5＋7＋9＋11＝( ) 2
请你猜想：1＋3＋5＋…＋2009＝( )2
（11）、①请猜想1+3+5+7+9+…+19= ；
②请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）=
③请用上述规律计算：103+105+107+…+2003+2005．
考点：规律型：数字的变化类． 专题：规律型．
分析：（1）一共有10个连续奇数相加，所以结果应为102； （2）一共有n 个连续奇数相加，所以结果应为n 2；
（3）让从1加到2005这些连续奇数的和，减去从1加到101这些连续奇数的和即可．