初中数学知识结构图
两点说明：
一、初中数学知识总共包括代数、几何、统计概率三部分。本资料亦按照这一架构汇总。
二、背诵本资料请一定把握以下三点：
1、背诵定义，不仅要背诵定义内容，而且一定要牢记定义中的条件要素；
（注：大部分定义等同于公式，同样可以用于解题。比如定义的条件就是选择、填空甚至大题必考的考点。）
2、背诵公式，不仅要背诵公式内容，而且一定要熟记书上的标记例题，掌握公式的运用；
3、不管是背诵定义还是公式，头脑中务必要时刻与平时所做的练习题尤其是错题结合起来，加深对有关公式 定义的理解。
（注：以上三条同样适用于其他各学科。）
1、代数（这部分主要包括实数、代数式、方程式、不等式、函数五个内容。）
1.1 实数 有理数和无理数统称为实数。（实数包括有理数和无理数。）
∙ 有理数：整数与分数统称为有理数。它是有限小数或无限循环小数（带循环节符号，如5. 364）。 ∙
1.1.1概念 无理数：无限不循环小数叫无理数。（无限不循环小数：①带省略号...... ；②与π 有关；③带根号且开不尽。如5.63……；3π；；）
正整数：如1,2,3......
整数 零： 0 （0既不是正数也不是负数）
负整数：如 -1，-2.......
① 41 正分数：如2，3，5.2 ......
分数 5 负分数：如-3.5，-6......
有理数
（通常有 正整数（正数“+”可省略不写，“-”不行。但具体生活题最好写正号，如往东100米写作“+100”） 两种分 正有理数 （我们常常用正数和负数表示一些具有相反意义的量。如往东计正，往西就计负）
类方法） 正分数
② 零：0
① 负整数
负有理数
1.1.2 负分数
实数 正无理数
分类
（通常 负无理数
两种）
正实数（包括正有理数和正无理数）
② 零
负实数（包括负有理数和负无理数）
1.1.3 实数的几个概念及关系（注：要深刻理解相反数、绝对值在数轴上的表述意义。重要！！！掌握好可快速解有关方程式。）
概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（这个点叫原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的 方向为正方向，就得到一条数轴。（注：数轴是一条直线。）
原点
②三要素 正方向
A. 数轴 单位长度
③意义：数轴将数与图形完美结合起来，让数的大小和方程的解集等在图形上变得更直观。（注：每一个实数都可以用数轴 上的一个点来表示。但是说数轴上的点都表示有理数是错误的，因为还有无理数。可以说每一个点都表示实数是对的。）
右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
①概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 （0的相反数是0）
②在数轴上的表述：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且它们到原点的距离相等。反之，在 数轴上，与原点等距离的点表示的数有两个，即相反数。（重要！！）
B Ａ Ｂ
两个相反数相加等于零：a ，b 互为相反数，则；反之，a+b=0 则a 、b 互为相反数。 性质及数学表达式
零减去一个数等于这个数的相反数：0-b=a，则a 、b 互为相反数。
①概念：在数轴上，一个数对应的点与原点之间的距离叫该数的绝对值。（注：距离不能是负数，所以绝对值都是非负数。）
正数的绝对值是它本身：a =a （a ＞0）
②绝对值的性质及 负数的绝对值是它的相反数：a = -a （a ＜0）
数学表达式 0的绝对值是0：0=0
C 绝对值
一个减法式子的绝对值等于大数减小数：a -b =b-a （b ＞a ）如3. 14-π= -（3.14-π）=π-3.14 两个负数比较大小，绝对值大的反而小：a ＜0，b ＜0，a ＜b ，则a ＞b ③绝对值的几何意义： （因为有数轴这个图形，所以就是几何）从绝对值的定义中，我们可以看出，绝对值就是数轴 上一个数对应的点到原点的距离，所以a 就是点a 到原点的距离，而两点之间的距离是两个 数相减，所以a 也可以表示成a -0，所以a =a -0。 推而广之，数轴上点a 到点b 的距离就可以表示成a -b ； a +b 就是点a 到点 -b 的距离。因为a +b =a -(-b ) 如2-3就是数轴上点2到3的距离；2+3就是点2到点-3的距离。 ④绝对值的几何意义在解方程式和不等式中的应用： 解方程和不等式，一种方法就是用传统方法，就是先判断数的正负然后脱绝对值，这样做比较 麻烦，尤 其是做选择题和填空题，也容易出错；另一种方法就是利用几何意义解题。 例1、x +3=7 解题方法：①传统做法（略） ②几何意义解题：先画数轴，然后标出-3，再找左右两边哪个数与-3的距离是7。 -3 ┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴ 0 例2、x -3+x +4=9 -4 3 ┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴ 7
x ++x -3+x +4=9（思考题）
例3、x -3+x +4＞9
例4、求x -3+x +4最小值（注：当x 在两点之间时，x 到两点之间的距离和最短。线段最短。最小值为前数减后数（两 数都带前边的符号）的绝对值。即x -a +x -b 的最小值是 -a -(-b ) ，x 的取值范围 在两数之间。）
例5、求x -3-x +4最大值（注：当x 大于等于或小于等于被减数里边的数的相反数时，值最大，最大值为前数减后数 （两数都带前边的符号）的绝对值；当x 在两点中间时，值最小，最小值是0。即
x -a -x -b 最大值时-a -(-b ) ，x ≤-(-b),b在数轴最左边；x ≥-(-b)，b 在
-a -(-b ) 数轴最右边。x -a -x -b 最小值为零，x=。）
例6、x -3-x +4≤a ，求a 的取值范围；x -3+x +4≥a ，求a 的取值范围。
①概念：乘积为1的两个数互为倒数。
D 倒数
不为零的两个数互为倒数，乘积为1：a × 1
=1（a ≠0）
② 0没有倒数，±1的倒数是它本身。
（注：相反数、绝对值、倒数同样适用于代数式。不过有一点需要注意：代数式要表明不等于零才能有倒数。）
1.1.4 实数的运算
同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
法则 异号相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同零相加，仍得找个数。
A 加法
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a
运算律 加法结合律：多个数相加，先把前几个数相加，或者先把后几个数相加，和不变。
即（a+b）+（c+d）=（a+d）+（c+b）
B 减法 法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b ）（注：由此可见，减法可以转换成加法。）
C 加减混合运算 （要注意正负号的变化。）
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
任何数同0相乘，积仍为0
法则 多个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；是偶数时， 积的符号为正。
D 乘法 多个数与0相乘，积就为0。
乘法交换律：axb=bxa
运算律 乘法结合律：（axb ）xc=ax（bxc ）
乘法分配律：（a+b）xc=axc+bxc (可参看六年级上册第49页例题3)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
E 除法 法则 0除以任何数，都得0。（注：0不能作除数。） (0÷a=0，a ≠0) 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 （a ÷b=a×b ）
①概念：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方（a n ）。
乘方的结果a n 叫做幂，a 叫底数，n 叫指数，a n 读作a 的n 次幂或a 的n 次方。
②数学表达式：a n = a x a x a … x a
n 个a
F 乘方
⑴ 正数的任何次幂都是正数。（a ＞0，a n ＞0）
⑵ 负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。（a ＜0，a 2n ＞0；a 2n+1＜0）
⑶ 指数相同，底数越大，幂越大；底数相同，指数越大，幂不一定越大。如(-3)2 ＞（-3）3
法则 ⑷ 1的任何次幂都是1。（1n =1）
⑸ 任何数（0除外）的0次幂都是1。（a 0=1 ，a ≠0）
⑹ 0的正整数次幂是0，0 的0次幂和负次幂不存在。（n ＞0，0n = 0）
⑺ -1的奇次幂是它本身-1；偶次幂是1。 [ (-1)2n =1;(-1)2n+1 =-1] （参看六年级上册53页例1、55页例3）
G 混合运算 法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a，那么x 叫做a 的平方根。记作±a ，读作“正 负根号a ”。
①算术平方根：两个平方根中正的平方根叫做算术平方根。记作a 。
如叫做9的平方根，3叫做9的算术平方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。a 叫做“被开方数”。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数。(如64的平方根64=±8) 0只有一个平方根，平方根和算术平方根都是0本身。
②性质 0和1的算术平方根分别是0和1本身（1的平方根不是它本身，是±1）
①开平方
负数没有平方根。（如9有平方根，即±9=±3。但 -9却没有。）
0 = 0
（±a ）2 = a（a ≥0）
运算
(±1) 2=1; (±10) 2=100; (±11) 2 = 121; (±12) 2 = 144; (±13) 2 = 169; (±14) 2 = 196;
(±15) 2 = 225; (±16) 2 = 256; (±17) 2 = 289; (±18) 2 = 324; (±19) 2 = 361; (±20) 2 = 400;
H
（注：开平方时，先大约估算一下哪个数的平方等于被开方数，然后验算一下。开立方也是先估算一下哪个数的 立方等于被开方数，然后验算一下。）
立方根：一个数x 的立方等于a ，即x 3=a，那么x 叫做a 的立方根，也叫做a 的三次方根。记 ①概念 作a （其中3是指数，a 是被开方数），读作“三次根号a ”。
开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方。
每个数都有一个立方根。
②开立方
② 性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
立方根等于它本身的是0、1、-1。
0= 0； = 1； 1= -1 ③运算 (a ) 3 = a； a 3 = a 23=8； 33=27； 43=64； 53=125； 63=216；73=343；83=512； 93=729； 103=1000
（注：本节还有一节方根的估算。先看看哪两个数的立方最接近，然后通过验算，最终确定近似值。七年级上册52页做一做和例1）
形如a （a ≥0）的式子，也就是算术平方根，叫做二次根式。b a （即bx a ）也是二次根式。
最简二次根式：①被开方数都不含分母，②并且被开方数不含能开得尽方的因数或因式。（注：为做题速度快， 也要熟练掌握一些数的平方，然后化简时，用被开方数除以这些数。
⑴概念 参看八年级上册130页例5、例6以及自记的一些平方数。）
同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，就叫做同类二次根式。
① 二次根式（即算术平方根）大于等于0。 a ≥0 （a ≥0）
② 二次根式的平方等于它的被开方数。 (a ) 2 = a（a ≥0）
a (a≥0)
⑵性质 ③ 一个数的平方的二次根式等于这个数或其相反数。a 2 = a =
(a＜0)
④ 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）（注：当a 、b 都小 于0时，先去掉负号。如(-4) ⨯(-9) =
a
b 4⨯9=4 x ） ⑤ 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 =（a ≥0，b ≥0）（注同上）
I
① 要使二次根式有意义，被开方数不能为负数，如果二次根式是分母，被开方数只能是正数。被开方数 可能是一个数，也可能是一个整式。（如，要使-x 有意义，1-x ≥0，即x ≤1；
要使1-x 有意义，1-x ＞0，即x ＜1）
1 ⑶取值 ② 要使x -有意义，x-1≥0且x-5≠0，即x ≥1且x ≠5 （注：因为5包含在x ≥1这一解集中，所以要单独表明。）
③ 当被开方数互为相反数时，只有一种可能，那就是都等于0。（如，-x +x -5，那么x-5=0且5-x=0，即x=5）
④ 若+( )2+ = 0，则=0，( )2=0，=0。（因为≥0，( )2≥0，≥0）
（注：以上取值同样适用于所有数学范围）
① 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式分别化简，然后再用乘法分配律合并同类二次根式（具体
方法就是：提出共因式，即二次根式，再把系数相加减）。有括号时，先去括号。 如22+32=2x2+3x2=(2+3)x2=52
② 化简二次根式方法：通常用到①分解因式、②分数的性质、③二次根式的性质【参看上边（2）性质
③④⑤】、④将根号外的式子移到根号内（只能移非负数，是负数的把负号留在根号外。）等方法。
如，① =2⨯9=32（分解因式）
⑷加减
② 5=5=⨯55⨯5=（分数的性质、二次根式的性质⑤）
⨯9=5x =3（二次根式的性质④）
111⨯(-m ) 2=--m （将根号外的式子移到根号内） ③ m ＜0，m -=-（-m ）-=--m
b ＞0，-b = -3b 2
③比较大小：两个二次根式比较大小，可用①平方法（注：如果是负数，平方后大的反而小）、②根号
外的式子移到根号内（只能移非负数，同上）两种方法。
① 56和6比较大小 ② -56和 -65比较大小
5=6⨯52= (56) 2=52x(6) 2=150 -56=-6⨯52=- (-5) 2=150 65=5⨯62= (65) 2=62x() 2=180 -6=-5⨯62=- (-65) 2=180 因为＜ 因为150＜180 因为-＞- 因为150＜180 所以5＜6 所以56＜6 所以-56＞-6 所以-56＞-65 （根号外移到根号内） （平方法）
⑸乘除 法则：把二次根式的性质反过来，就得到二次根式的乘法和除法法则。即
a ·b = ab （a ≥0，b ≥0）
=b （a ≥0，b ≥0）
（参看八年级上册134页例1、红框内题、例2、例3）
实数小结
⑴ 相反数是它本身的只有0
⑵ 绝对值是它本身的是非负数（正数和零）
⑶ 倒数是它本身的有1和-1，0没有倒数
⑷ 平方根是它本身的只有0；算术平方根是它本身的有0和1
一、几个特例 ⑸ 立方根是它本身的有0和1、-1
⑹ 任何次幂都是它本身的只有1
⑺ 0的正整数次幂是0, 0没有0次幂和负次幂
⑻ -1的偶次幂是1，奇次幂是 -1
⑼ 任何数（0除外）的0次幂都是1
非正数：≤0
二、几个数学表达式
非负数：≥0
⑴ 相反数：若a=-b，则a+b=0或0-a=b；反之，若a+b=0或0-a=b则a 、b 互为相反数，a=-b 。
⑵ 倒数： a × 1
=1（a ≠0） ；反之，若a x b=1，则a 、b 互为倒数。
a =a （a ≥0）
⑶ 绝对值 a = -a （a ＜0）
a b =b-a （b ＞a ）
＜0，b ＜0，a ＜b ，则a ＞b 三、公式
加法交换律： a+b=b+a
⑷加法 加法结合律：（a+b）+（c+d）=（a+d）+（c+b）
⑸减法：a-b=a+（-b ）
0÷a=0，a ≠0
⑹除法
1 a ÷b=a×
a x b x c x 0 = 0
⑺乘法 乘法交换律：a x b= b x a
乘法结合律：（axb ）x c=a x（bxc ）
乘法分配律：（a+b）x c=a x c+b x c
⑴ a n = a x a x a … x a；反之，a x a x a … x a = a n
n 个a n 个a ⑻乘方
⑵ a ＞0，a n ＞0
⑶ a ＜0，a 2n ＞0；a 2n+1＜0
⑷ 1n =1
⑸ a 0=1 ，a ≠0）
⑹ n ＞0，0n = 0
⑺ (-1)2n =1; (-1)2n+1 =-1
（±a ）2 = a（a ≥0）；
⑼开方 a 2= a（a ≥0）；a 2 = -a（a ＜0）
(a ) 3 = a; a 3 = a
a ≥0 （a ≥0）
(a ) 2 = a（a ≥0）
a (a≥0) a 2 = a =
-a (a＜0) ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） ；反之， a ·= ab a =≥0，b ≥0）；反之，b （a b =a b b （a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0） （
1.2代数式
初中数学知识结构图
两点说明：
一、初中数学知识总共包括代数、几何、统计概率三部分。本资料亦按照这一架构汇总。
二、背诵本资料请一定把握以下三点：
1、背诵定义，不仅要背诵定义内容，而且一定要牢记定义中的条件要素；
（注：大部分定义等同于公式，同样可以用于解题。比如定义的条件就是选择、填空甚至大题必考的考点。）
2、背诵公式，不仅要背诵公式内容，而且一定要熟记书上的标记例题，掌握公式的运用；
3、不管是背诵定义还是公式，头脑中务必要时刻与平时所做的练习题尤其是错题结合起来，加深对有关公式 定义的理解。
（注：以上三条同样适用于其他各学科。）
1、代数（这部分主要包括实数、代数式、方程式、不等式、函数五个内容。）
1.1 实数 有理数和无理数统称为实数。（实数包括有理数和无理数。）
∙ 有理数：整数与分数统称为有理数。它是有限小数或无限循环小数（带循环节符号，如5. 364）。 ∙
1.1.1概念 无理数：无限不循环小数叫无理数。（无限不循环小数：①带省略号...... ；②与π 有关；③带根号且开不尽。如5.63……；3π；；）
正整数：如1,2,3......
整数 零： 0 （0既不是正数也不是负数）
负整数：如 -1，-2.......
① 41 正分数：如2，3，5.2 ......
分数 5 负分数：如-3.5，-6......
有理数
（通常有 正整数（正数“+”可省略不写，“-”不行。但具体生活题最好写正号，如往东100米写作“+100”） 两种分 正有理数 （我们常常用正数和负数表示一些具有相反意义的量。如往东计正，往西就计负）
类方法） 正分数
② 零：0
① 负整数
负有理数
1.1.2 负分数
实数 正无理数
分类
（通常 负无理数
两种）
正实数（包括正有理数和正无理数）
② 零
负实数（包括负有理数和负无理数）
1.1.3 实数的几个概念及关系（注：要深刻理解相反数、绝对值在数轴上的表述意义。重要！！！掌握好可快速解有关方程式。）
概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（这个点叫原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的 方向为正方向，就得到一条数轴。（注：数轴是一条直线。）
原点
②三要素 正方向
A. 数轴 单位长度
③意义：数轴将数与图形完美结合起来，让数的大小和方程的解集等在图形上变得更直观。（注：每一个实数都可以用数轴 上的一个点来表示。但是说数轴上的点都表示有理数是错误的，因为还有无理数。可以说每一个点都表示实数是对的。）
右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
①概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 （0的相反数是0）
②在数轴上的表述：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且它们到原点的距离相等。反之，在 数轴上，与原点等距离的点表示的数有两个，即相反数。（重要！！）
B Ａ Ｂ
两个相反数相加等于零：a ，b 互为相反数，则；反之，a+b=0 则a 、b 互为相反数。 性质及数学表达式
零减去一个数等于这个数的相反数：0-b=a，则a 、b 互为相反数。
①概念：在数轴上，一个数对应的点与原点之间的距离叫该数的绝对值。（注：距离不能是负数，所以绝对值都是非负数。）
正数的绝对值是它本身：a =a （a ＞0）
②绝对值的性质及 负数的绝对值是它的相反数：a = -a （a ＜0）
数学表达式 0的绝对值是0：0=0
C 绝对值
一个减法式子的绝对值等于大数减小数：a -b =b-a （b ＞a ）如3. 14-π= -（3.14-π）=π-3.14 两个负数比较大小，绝对值大的反而小：a ＜0，b ＜0，a ＜b ，则a ＞b ③绝对值的几何意义： （因为有数轴这个图形，所以就是几何）从绝对值的定义中，我们可以看出，绝对值就是数轴 上一个数对应的点到原点的距离，所以a 就是点a 到原点的距离，而两点之间的距离是两个 数相减，所以a 也可以表示成a -0，所以a =a -0。 推而广之，数轴上点a 到点b 的距离就可以表示成a -b ； a +b 就是点a 到点 -b 的距离。因为a +b =a -(-b ) 如2-3就是数轴上点2到3的距离；2+3就是点2到点-3的距离。 ④绝对值的几何意义在解方程式和不等式中的应用： 解方程和不等式，一种方法就是用传统方法，就是先判断数的正负然后脱绝对值，这样做比较 麻烦，尤 其是做选择题和填空题，也容易出错；另一种方法就是利用几何意义解题。 例1、x +3=7 解题方法：①传统做法（略） ②几何意义解题：先画数轴，然后标出-3，再找左右两边哪个数与-3的距离是7。 -3 ┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴ 0 例2、x -3+x +4=9 -4 3 ┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴ 7
x ++x -3+x +4=9（思考题）
例3、x -3+x +4＞9
例4、求x -3+x +4最小值（注：当x 在两点之间时，x 到两点之间的距离和最短。线段最短。最小值为前数减后数（两 数都带前边的符号）的绝对值。即x -a +x -b 的最小值是 -a -(-b ) ，x 的取值范围 在两数之间。）
例5、求x -3-x +4最大值（注：当x 大于等于或小于等于被减数里边的数的相反数时，值最大，最大值为前数减后数 （两数都带前边的符号）的绝对值；当x 在两点中间时，值最小，最小值是0。即
x -a -x -b 最大值时-a -(-b ) ，x ≤-(-b),b在数轴最左边；x ≥-(-b)，b 在
-a -(-b ) 数轴最右边。x -a -x -b 最小值为零，x=。）
例6、x -3-x +4≤a ，求a 的取值范围；x -3+x +4≥a ，求a 的取值范围。
①概念：乘积为1的两个数互为倒数。
D 倒数
不为零的两个数互为倒数，乘积为1：a × 1
=1（a ≠0）
② 0没有倒数，±1的倒数是它本身。
（注：相反数、绝对值、倒数同样适用于代数式。不过有一点需要注意：代数式要表明不等于零才能有倒数。）
1.1.4 实数的运算
同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
法则 异号相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同零相加，仍得找个数。
A 加法
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a
运算律 加法结合律：多个数相加，先把前几个数相加，或者先把后几个数相加，和不变。
即（a+b）+（c+d）=（a+d）+（c+b）
B 减法 法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b ）（注：由此可见，减法可以转换成加法。）
C 加减混合运算 （要注意正负号的变化。）
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
任何数同0相乘，积仍为0
法则 多个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积的符号为负；是偶数时， 积的符号为正。
D 乘法 多个数与0相乘，积就为0。
乘法交换律：axb=bxa
运算律 乘法结合律：（axb ）xc=ax（bxc ）
乘法分配律：（a+b）xc=axc+bxc (可参看六年级上册第49页例题3)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
E 除法 法则 0除以任何数，都得0。（注：0不能作除数。） (0÷a=0，a ≠0) 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 （a ÷b=a×b ）
①概念：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方（a n ）。
乘方的结果a n 叫做幂，a 叫底数，n 叫指数，a n 读作a 的n 次幂或a 的n 次方。
②数学表达式：a n = a x a x a … x a
n 个a
F 乘方
⑴ 正数的任何次幂都是正数。（a ＞0，a n ＞0）
⑵ 负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。（a ＜0，a 2n ＞0；a 2n+1＜0）
⑶ 指数相同，底数越大，幂越大；底数相同，指数越大，幂不一定越大。如(-3)2 ＞（-3）3
法则 ⑷ 1的任何次幂都是1。（1n =1）
⑸ 任何数（0除外）的0次幂都是1。（a 0=1 ，a ≠0）
⑹ 0的正整数次幂是0，0 的0次幂和负次幂不存在。（n ＞0，0n = 0）
⑺ -1的奇次幂是它本身-1；偶次幂是1。 [ (-1)2n =1;(-1)2n+1 =-1] （参看六年级上册53页例1、55页例3）
G 混合运算 法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a，那么x 叫做a 的平方根。记作±a ，读作“正 负根号a ”。
①算术平方根：两个平方根中正的平方根叫做算术平方根。记作a 。
如叫做9的平方根，3叫做9的算术平方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。a 叫做“被开方数”。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数。(如64的平方根64=±8) 0只有一个平方根，平方根和算术平方根都是0本身。
②性质 0和1的算术平方根分别是0和1本身（1的平方根不是它本身，是±1）
①开平方
负数没有平方根。（如9有平方根，即±9=±3。但 -9却没有。）
0 = 0
（±a ）2 = a（a ≥0）
运算
(±1) 2=1; (±10) 2=100; (±11) 2 = 121; (±12) 2 = 144; (±13) 2 = 169; (±14) 2 = 196;
(±15) 2 = 225; (±16) 2 = 256; (±17) 2 = 289; (±18) 2 = 324; (±19) 2 = 361; (±20) 2 = 400;
H
（注：开平方时，先大约估算一下哪个数的平方等于被开方数，然后验算一下。开立方也是先估算一下哪个数的 立方等于被开方数，然后验算一下。）
立方根：一个数x 的立方等于a ，即x 3=a，那么x 叫做a 的立方根，也叫做a 的三次方根。记 ①概念 作a （其中3是指数，a 是被开方数），读作“三次根号a ”。
开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方。
每个数都有一个立方根。
②开立方
② 性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
立方根等于它本身的是0、1、-1。
0= 0； = 1； 1= -1 ③运算 (a ) 3 = a； a 3 = a 23=8； 33=27； 43=64； 53=125； 63=216；73=343；83=512； 93=729； 103=1000
（注：本节还有一节方根的估算。先看看哪两个数的立方最接近，然后通过验算，最终确定近似值。七年级上册52页做一做和例1）
形如a （a ≥0）的式子，也就是算术平方根，叫做二次根式。b a （即bx a ）也是二次根式。
最简二次根式：①被开方数都不含分母，②并且被开方数不含能开得尽方的因数或因式。（注：为做题速度快， 也要熟练掌握一些数的平方，然后化简时，用被开方数除以这些数。
⑴概念 参看八年级上册130页例5、例6以及自记的一些平方数。）
同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，就叫做同类二次根式。
① 二次根式（即算术平方根）大于等于0。 a ≥0 （a ≥0）
② 二次根式的平方等于它的被开方数。 (a ) 2 = a（a ≥0）
a (a≥0)
⑵性质 ③ 一个数的平方的二次根式等于这个数或其相反数。a 2 = a =
(a＜0)
④ 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）（注：当a 、b 都小 于0时，先去掉负号。如(-4) ⨯(-9) =
a
b 4⨯9=4 x ） ⑤ 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 =（a ≥0，b ≥0）（注同上）
I
① 要使二次根式有意义，被开方数不能为负数，如果二次根式是分母，被开方数只能是正数。被开方数 可能是一个数，也可能是一个整式。（如，要使-x 有意义，1-x ≥0，即x ≤1；
要使1-x 有意义，1-x ＞0，即x ＜1）
1 ⑶取值 ② 要使x -有意义，x-1≥0且x-5≠0，即x ≥1且x ≠5 （注：因为5包含在x ≥1这一解集中，所以要单独表明。）
③ 当被开方数互为相反数时，只有一种可能，那就是都等于0。（如，-x +x -5，那么x-5=0且5-x=0，即x=5）
④ 若+( )2+ = 0，则=0，( )2=0，=0。（因为≥0，( )2≥0，≥0）
（注：以上取值同样适用于所有数学范围）
① 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式分别化简，然后再用乘法分配律合并同类二次根式（具体
方法就是：提出共因式，即二次根式，再把系数相加减）。有括号时，先去括号。 如22+32=2x2+3x2=(2+3)x2=52
② 化简二次根式方法：通常用到①分解因式、②分数的性质、③二次根式的性质【参看上边（2）性质
③④⑤】、④将根号外的式子移到根号内（只能移非负数，是负数的把负号留在根号外。）等方法。
如，① =2⨯9=32（分解因式）
⑷加减
② 5=5=⨯55⨯5=（分数的性质、二次根式的性质⑤）
⨯9=5x =3（二次根式的性质④）
111⨯(-m ) 2=--m （将根号外的式子移到根号内） ③ m ＜0，m -=-（-m ）-=--m
b ＞0，-b = -3b 2
③比较大小：两个二次根式比较大小，可用①平方法（注：如果是负数，平方后大的反而小）、②根号
外的式子移到根号内（只能移非负数，同上）两种方法。
① 56和6比较大小 ② -56和 -65比较大小
5=6⨯52= (56) 2=52x(6) 2=150 -56=-6⨯52=- (-5) 2=150 65=5⨯62= (65) 2=62x() 2=180 -6=-5⨯62=- (-65) 2=180 因为＜ 因为150＜180 因为-＞- 因为150＜180 所以5＜6 所以56＜6 所以-56＞-6 所以-56＞-65 （根号外移到根号内） （平方法）
⑸乘除 法则：把二次根式的性质反过来，就得到二次根式的乘法和除法法则。即
a ·b = ab （a ≥0，b ≥0）
=b （a ≥0，b ≥0）
（参看八年级上册134页例1、红框内题、例2、例3）
实数小结
⑴ 相反数是它本身的只有0
⑵ 绝对值是它本身的是非负数（正数和零）
⑶ 倒数是它本身的有1和-1，0没有倒数
⑷ 平方根是它本身的只有0；算术平方根是它本身的有0和1
一、几个特例 ⑸ 立方根是它本身的有0和1、-1
⑹ 任何次幂都是它本身的只有1
⑺ 0的正整数次幂是0, 0没有0次幂和负次幂
⑻ -1的偶次幂是1，奇次幂是 -1
⑼ 任何数（0除外）的0次幂都是1
非正数：≤0
二、几个数学表达式
非负数：≥0
⑴ 相反数：若a=-b，则a+b=0或0-a=b；反之，若a+b=0或0-a=b则a 、b 互为相反数，a=-b 。
⑵ 倒数： a × 1
=1（a ≠0） ；反之，若a x b=1，则a 、b 互为倒数。
a =a （a ≥0）
⑶ 绝对值 a = -a （a ＜0）
a b =b-a （b ＞a ）
＜0，b ＜0，a ＜b ，则a ＞b 三、公式
加法交换律： a+b=b+a
⑷加法 加法结合律：（a+b）+（c+d）=（a+d）+（c+b）
⑸减法：a-b=a+（-b ）
0÷a=0，a ≠0
⑹除法
1 a ÷b=a×
a x b x c x 0 = 0
⑺乘法 乘法交换律：a x b= b x a
乘法结合律：（axb ）x c=a x（bxc ）
乘法分配律：（a+b）x c=a x c+b x c
⑴ a n = a x a x a … x a；反之，a x a x a … x a = a n
n 个a n 个a ⑻乘方
⑵ a ＞0，a n ＞0
⑶ a ＜0，a 2n ＞0；a 2n+1＜0
⑷ 1n =1
⑸ a 0=1 ，a ≠0）
⑹ n ＞0，0n = 0
⑺ (-1)2n =1; (-1)2n+1 =-1
（±a ）2 = a（a ≥0）；
⑼开方 a 2= a（a ≥0）；a 2 = -a（a ＜0）
(a ) 3 = a; a 3 = a
a ≥0 （a ≥0）
(a ) 2 = a（a ≥0）
a (a≥0) a 2 = a =
-a (a＜0) ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） ；反之， a ·= ab a =≥0，b ≥0）；反之，b （a b =a b b （a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0） （
1.2代数式