数字滤波器毕业论文

摘要

本文介绍了数字滤波器、IIR 数字滤波器的设计和内插技术及用MA TLAB

工具箱进行IIR 数字滤波器的设计和内插程序的实现。本文介绍了IIR 数字滤波器的三种设计方法，即脉冲响应不变法，双线性变换法和一种IIR 数字滤波器的优化设计。本文还介绍了内插技术。包括内插依据，内插算法描述和内插技术的实现都做了详细的说明。

本文还应用了MATLAB 信号处理工具箱，先简介了MATLAB 的界面，然

后通过对IIR 数字滤波器的设计、Simulink 实验仿真、误差比较及性能比较，最终得出正确的IIR 数字滤波器仿真结果。

关键词：数字滤波器，IIR 数字滤波器，内插技术，MATLAB , Simulink

ABSTRACT

This article introduced the digital filter, the IIR digital filter design and the

interpolation technology and carry on the IIR digital filter with the MATLAB toolbox the design and the interpolation procedure realization. This article introduced the IIR digital filter three designs method, namely pulse response not political reform, Alignment method of transformation and one kind of IIR digital filter optimized design. This article also introduced the interpolation technology. Including the interpolation basis, the interpolation algorithm description and the interpolation technology realization has all given detailed showing.

This article has also applied the MATLAB signal processing toolbox, first has

introduced MATLAB the contact surface, second through to the IIR digital filter design, the Simulink experiment simulation, the erroneous comparison and the performance comparison, finally obtains the correct IIR digital filter simulation result.

KEY WORDS: Digital filter, IIR digital filter, interpolation technology, MATLAB, Simulink

前言

数字滤波在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域中有着十分广泛的

应用。目前，数字信号滤波器的设计图像处理、数据压缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就。近年来迅速发展起来的小波理论，由于其局部分析性能的优异在图像处理中的应用研究，尤其是在图像压缩图像、去噪等方面的应用研究，受到了越来越多的关注。

MATLAB 是美国MathWorks 公司推出的一套用于工程计算的可视化高性能

语言与软件环境。MATLAB 为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个交互式的工作环境中。MATLAB 推出的工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究、工程应用，其中的信号处理、图像处理, 小波等工具箱为数字滤波研究的蓬勃发展提供了有力的工具。

本文着重研究了基于MATLAB 下的IIR 滤波器的设计实现、数字图像处理

中的滤波器的设计，并对内插技术做了一些粗浅的尝试。

第1章数字滤波器

1.1 数字滤波器的概念

滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。

一般用两种方法来实现数字滤波器:一是采用通用计算机，把滤波器所要完

成的运算编成程序通过计算机来执行，也就是采用计算机软件来实现:二是设计专用的数字处理硬件。

MATLAB 的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它

的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。

1.2 数字滤波器的分类

下面从各种不同角度对数字滤波器分类：

1. 按冲激响应h (n ) 的长度分类

按冲激响应h (n ) 的长度分类可分为有限冲激响应（FIR ）和无限冲激响应

（IIR ）两种。冲激响应本来是用于模拟系统，指系统对冲激函数 (t ) 的响应。发展到数字滤波器后，工程上仍沿用这个名称，与单位抽样响应和单位脉冲响应的说法通用。

FIR 的冲激响应h (n ) 为有限长序列，其差分方程为

y (n )=∑i b (x -n ) i (1.1)

i =0M

系统函数为：

i H (z )=∑i b -z (1.2)

i -1M

IIR 的冲激响应h(n)为无限长序列，其差分方程为

y (n )=∑b i x (n -i )-∑a i y (n -i ) (1.3)

i =0i =1M N

系统函数为：

H (z )=∑b z i

i =1

i =1M -i (1.4) 1+∑a i z -i

IIR 和FIR 在特性、结构、设计方法、运用场合等方面均不相同，本章及下

一章将分别对 IIR 和FIR 的区别进行论述。

2. 按有无递归结构分类

按有无递归结构分类分为递归型和非递归型。递归表现为实现过程中出现

反馈回路。即将某些输出量反馈到原输入点与原输入量相加。一般来说，IIR 的H(z)有分母，须用递归型结构实现；FIR 的H (z ) 无分母，用非递归型结构实现。但是FIR 也可以用递归型结构实现，比如：

H (z )=1+z +z +z -1-2-3 (1.5)

可以改写为

1-z -4

H (z )= (1.6) 1-z -1

然后用递归型结构实现。

因此，尽管IIR 、FIR 与递归非递归有着密切的关系，但它们毕竟是从不同

的角度看问题，在概念上不能混为一谈。

3. 按频域特点分

按频域特点分分为低通滤波器（LP DF）、高通滤波器(HP DF)、带通滤波器

（BP DF）和带阻滤波器（BS DF）四种。

这里要特别强调一点的是：数字滤波器的频响是周期的, 其重复周期是采样

频率f s , 或者数字频率2π，且在每一周期内，幅频特性具有对称性。比如采样频

率f s =8000Hz,数字带通的通带是300～3400Hz ，那么它的重复周期为8000Hz ，

由对称性可知4600～7700Hz 也是通带，由周期性可知8300～11400Hz 也是通带，等等。因此，如果你想从0～20kHz 的信号中滤出1～4kHz 的频率成分，那么在0～20kHz 的频率范围内，带通滤波器应该只有1～4kHz 的通带。因为频响的周期为采样频率f s 所以在f s 内与1～4kHz 相对称的通带f s -4kHz ～f -1kHz 必须在

20kHz 的频率之外，应有f s -4kHz>20kHz，即f s >24kHz。

则此时带通滤波器的通带范围为1～4kHz ，20～23kHz ，25～28kHz ，从而

保证了在0～20 kHz的频率范围内，只有1～4kHz 的频率成分可以通过该滤波器。

因此，所谓低通、高通、带通、带阻都是指频率f 介于0～f s /2或数字频率

ω介于0～π的那一段幅频特性而言的。也就是说，数字滤波器处理的频率应该小于f s /2。

关于数字频率ω，一定要注意它是真实频率于采样频率之比。说一个数字频

率低通的带通是0～0.1π,则时钟为1Hz 时是指0～50Hz ，时钟为2Hz 时是指0～100Hz ，时钟为100kHz 时是指0～5kHz ，是相对频率。

4 . 按同时处理的变量的个数分

按同时处理的变量的个数分可分为一维和多维滤波器。一维滤波器的输入、

输出、冲激响应和频响分别是x (n ) ，y (n ) ，h (n ) ，H (e j ω)，二维滤波器分别是x (n , m ) ，y (n , m ) ，h (n , m ) ， h (e j ω1, e j ω2) ，三维和三维以上类推。一位滤波器最常用。二维滤波器主要用于图象处理，其用途日益广泛。对二维和多维系统理论和实现的研究是目前颇受重视的课题，但本课题只涉及一位滤波器。

分类的方法还有很多，比如线性滤波器和非线性滤波器、时变DF 和非时变

DF 、纯振幅DF 和纯相位DF 、线性相位DF 和非线性相位DF 等等，不再一一细述。

1.3 FIR 和IIR 数字滤波器的比较

在很多实际应用中如语音和音频信号处理中，数字滤波器来实现选频功能。

因此，指标的形式应为频域中的幅度和相位响应。在通带中，通常希望具有线性相位响应。在FIR 滤波器中可以得到精确的线性相位。在IIR 滤波器中通带的相位是不可能得到的，因此主要考虑幅度指标。IIR 数字滤波器的设计和模拟滤波器的设计有着紧密的联系，通常要设计出适当地模拟滤波器，再通过一定的频带变换把它转换成为所需要的数字IIR 滤波器。此外，任何数字信号处理系统中也还不可避免地用到模拟滤波器，比如A/D变换器前的抗混叠滤波器及D/A转换后的平缓滤波器，因此模拟滤波器设计也是数字信号处理中应当掌握的技术。从性能上来说，IIR 数字滤波器传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的唯一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少、计算量小、效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的选择性越好，则相位非线性越严重。FIR 滤波器传递函数的极点是固定在原点，是不能动的，它只能靠改变零点位置来改变它的性能，所以要达到高的选择性，必须用高的阶数，对于同样的滤波器设计指标，FIR 滤波器所要求的阶数可能比IIR 滤波器高5-10倍，结果成本高信号延时也较大，如果按线性相位要求来说，则IIR 滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样大大增加了滤波器的阶数和复杂性。而FIR 滤波器却可以得到严格的线性相位。

从结构上看，IIR 滤波器必须采用递归结构来配置极点，并保证极点位置在单位圆内。由于有限字长效应，运算过程中将对系数进行舍入处理，引起极点的偏移，这种情况有时会造成稳定性问题，甚至造成寄生振荡。相反，FIR 滤波器只要采用非递归结构，不论在理论上还是实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此造成的频率特性误差也较小。此外FIR 滤波器可以采用快速傅立叶变换算法，在相同的阶数条件下运算速度可以快的多。

从设计工具看，IIR 滤波器可以借助模拟滤波器的成果，因此一般都有有效

的封闭形式的设计公式可供参考，计算工作量比较小，而且对计算工具的要求不高;FIR 滤波器一般没有封闭形式的设计公式。窗函数法设计FIR 滤波器也仅给

出了窗函数的计算公式，但是在计算通带阻带衰减时无显示表达式。一般FIR 滤波器的设计只有计算程序可循，因此它对计算工具要求较高。

在设计和实现上FIR 滤波器具有如下优越性:

(1)相位响应可为严格的线性，因此它不存在延迟失真，只有固定的时间延

迟。

(2)由于不存在稳定性问题，所以设计相对简单。

(3)只包含实数算法，不涉及复数算法，不需要递推运算，长度为M 的滤波

器(阶数为M-1) ，它的计算值约为M/2。

另外，也应看到，IIR 滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有分段常

数特性的滤波器，如低通、高通、带通和带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR 滤波器则要灵活的多，尤其是他易于适应某些特殊应用，如构数字微分器或希尔伯特变换器等，因而有更大的适应性和广阔的应用领域。从上面的简单比较可以看到IIR 与FIR 滤波器各有所长，所以在实际应时应该从多方面考虑来加以选择。从使用要求来看，在对相位要求不敏感的场合，如语言通信等选用IIR 较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点; 对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高。如果有条件，采用FIR 滤波器较好。当然在实际应用中可能还要考虑更多方面的因素.

对数字滤波器的要求可归纳为具有低通频响特性和线性相位的稳定系统。因

此将FIR 和IIR 滤波器做个比较，如下表所示：

表1-1 FIR和IIR 滤波器的比较

1.4 数字滤波器的一般分析、设计方法

对数字滤波器的分析，主要是考察它再频域和时域两个方面体现的一些特

性。

频域：

1. 幅频特性，相位特性，群延迟特性。

2. 舍入噪声（平均噪声功率、噪声譜）。

时域：

1. 冲激响应，阶跃响应，对任意输入的时间响应。

2. 极限环。

为了描述和分析这些特性，需要有描述系统的方法，主要有：

1. 节点方程式。

2. 混合方程式。

3. 状态方程式。

4. 传输函数。

从包含的输入输出关系信息看，14逐渐增多，如能得到4的传输函数，

1逐则可以推出频域时域输入输出关系特性。从包含的系统结构信息量看，4

渐增多，只要知道节点方程式，就可画出系统结构，反之亦然。这集中描述方法式可以相互转化的，比如从状态方程可以推出传递函数。从节点方程可以推出状

态方程等等。我们的兴趣主要是在输入输出关系上，所以只讨论传递函数。传递函数H(z)以知后，则可以确定系统的频响为:

H (e j ω)=H (e j ω)e j Φ(ω) (1.6)

其中H (e j ω)和Φ(ω)分别是幅频特性和相位特性。

对于无失真的传输系统，有

H (e j ω) =ke -j ωπ (1.7)

j ω⎧⎪H (e ) =k 即 ⎨ (1.8) ⎪⎩Φ(ω) =-ωπ

这就是说，幅频特性为常数，信号通过线性系统后个频率分量的相对大小保持不变，没有失相位失真。相位特性为线性，是对应时域方程的时延量为常数

y (n n τ) (1.9) )=k (x -

即系统对个频率分量的延迟时间相同，这就保证各频率分量的相对位置不变，没有相位失真。

数字通信对相位的要求比模拟通信要高的多，线性相位时很重要的。数字系统描述对各频率分量的相位延迟的函数于模拟系统一样，有两个：

群时延： -d Φ(ω)/d ω

相时延： -Φ(ω)/ω

群时延特性能反映相频曲线的线性程度，相时延特性能反映各频率分量在时延的相对延时。因无相位失真的传输条件具有恒群时延和恒相时延，即

⎛d Φ(ω)⎫⎛Φ(ω)⎫-群时延 ⎪=相时延 -⎪＝常数τ d ωω⎝⎭⎝⎭

上面我们讨论的时分析数字滤波器的一般方法，下面来看一个有关数字滤波器的设计问题。

设计一个数字滤波器必须经过下来步骤：

1. 确定是用IIR 还是用FIR ；

2. 确定滤波器的传递函数；

3. 用有限精度算法来实现这个系统函数（包括选择运算结构，选择合适的字长以及有效数字的处理方法）。

实际的技术实现（包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或者是二者结合的方法）。

应该指出，在设计是并不是可以按照上述顺序一次性解决的，而是互相牵连，需要上下反复多次才能完成。滤波器的传递函数决定了滤波器的特性。

IIR 的设计方法大致有两种。一种是借助模拟滤波器的设计技术，应用模拟滤波器低通原型设计各种数字滤波器。另一种是计算机辅助设计，也叫最优化设计，即在某种最优化准则下逼近所希望的响应。

第2章 IIR 数字滤波器的设计

数字滤波器是数字信号处理的主要内容之一。数字滤波器和模拟滤波器有同的滤波功能. 但具不同的实现方式。前者是利用有限精度算法来实现. 精度高. 稳性强. 实现灵活且不要求阻抗匹配. 故在很多方而优于模拟滤波器。

设计思路:先设计一个合适的模拟滤波器, 然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法的方便之处在于模拟滤波器的理论和设计办法已发展得相当成熟. 且有若干典型的模拟滤波器我们选择. 它们有严格的设计公式. 现成的曲线和图表. 只需选定一种类型. 按规定的技术指标设计出模拟滤波器的传输函数H a (s )，再按一定的转换关系将H a (s )转换成数字滤波器H(z)。这样问题就变成了如何将S 平而上的H a (s )转换成Z 平面上的H(z)。为了保证转换后的H(z)少仍满足技术要求，必须对转换关系提出如下要求：

(1) H ( z)的频率响应要能模仿H a (s )的频率响应，即S 平而的虚轴j Ω必须映射

到Z 平而的单位圆上，e j ω也就是频率轴要对应；

(2) 因果稳定的H a (s )应能映射成因果稳定的H (z)。也就是s 平而的左半平而

Re(S)

将传输函数H a (s )从S 平而转换到Z 平面的方法有多种，但常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。

2.1 脉冲响应不变法

设模拟滤波器的传输函数

H a (s ) =∑A -s i /(

i =1N i (2.1) s )

(s i 为单阶极点) 只有单阶极点，将H a (s )进行逆拉氏变换，

得到相应的单位冲激响应是h a (t ) ：

s i t h a (t ) =∑Ae u (t ) (2.2) i

i =1N

(u(t) 为单位阶跃函数) ，

对h a (t ) 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到:

s i nT h (n ) =h a (nt ) =∑Ae u (nT ) (2.3) i

i =1N

作为数字滤波器的单位取样响应。对它进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数h(z):

h (z ) =∑A i /(-1e s i T z -1 ) (2.4)

i =1N

例如：一个RC 低通滤波器的传输函数为：

h a (s ) (1/ sc) /[R+(1/ sc)]=(1/ RC)/[S+ (l/RC)] (2.5) 因为极点为-1/RC，转换成H (z )，H (z )的极点为e

因此

T / H (Z ) =(1R /C ) -/(-1e -1T RC ， R ⋅C -1Z ) (2.6)

令τ=RC,

-1 H (Z ) =(1/τ)/(1-e -T /RC ⋅Z ) (2.7)

所以上它的差分方程为：

y (n ) =(e -T /τ) y (n -1) +(1/τ) x (n ) (2.8) 画出其数字低通滤波器的网络结构如图2.1所示。

脉冲响应不变法转变关系满足前而提出的两点要求，但有频率响应的周期延拓象，因而如果H a (s ) 不是严格限带的（一般如此），必然会有频率响应的混叠失真。为此要求模拟滤波器是一个带限滤波器。实际上的频率响应不可能真正带限，只要在折叠频率π/ T 以上频响哀减加快，即是锐截止的，用脉冲响应不变法设计的数字滤波仍能较好地满足要求。

图 2.1 数字低通滤波电路

2.2 双线性变换法

双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，为了克服多值映射这一缺点，首先把整个S 平面压缩变换到某一中介的S 1，平面里的一条横带里（宽度为2π/T,即从- π/T到π/ T），其次通过

标准变换关系z=e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面是一一对应的关系，消除了多值变换法，也就消除了频谱混叠现象。

模拟滤波器可用一N 阶微分方程描述，相应的传输函数

M =∞

H a (s ) =∑b s r

r =0r /(1+∑a k s k ) ，极点是单阶的，展开成部分分式，每一个部分k =1N

设输入信号X a (t ) 和输出y a (t ) 满A k /(S +S k ) 分式相对应的是一个一阶微分方程。

足一阶微分方程，即满足

d y ) /d +t a (t

该方程对应的模拟系统函数为

H a (s ) =d /(+s a c y (=) t a t (2.9) d (x ) (2.10) c

求积分，然后进行Z 变换，得到

H (z ) =d /{(2/T )[(1-z -1)/(1+z -1)]+c} (2.11)

所以， s=(2/T)[(1-z -1)/(1+z -1)] (2.12) 则 z=(2/T+s)/(2/T-s) (2.13)

H (z ) = H a (s ) /s=(2/T)[(1-z -1)/(1+z -1)] (2.14)

例：己知模拟滤波器H a (s ) =1/(1+s),试利用双线性变换法将H a (s ) 转换成数字滤波器H(z)。

解: H(z)= H a (s ) /s=T(1+z -1)/[ 2(1-z -1)+T (1+z -1)]

从设T=1s，则 H (z)=(1+z -1)/(3-z -1).

H (z ) 幅频特性如图2.2 所示。模拟滤波器H a (j ω) 并不是带限的，它拖了个“长尾巴”。但由于双线性变换法具有频率压缩作用，数字滤波器的频响限制在0与 π 之间，不存在频率混叠作用。

设计方法与举例

设计数字低通滤波器的步骤：

(1) 确定数字低通滤波器的性能指标；

(2) 确定对应模拟低通滤波器的性能指标:脉冲响应不变法 Wk =Ωk T ，双线性变

换法Ωk =(2/T ) tg (1/2) W k 。通带及阻带哀减与数字低通滤波器相同；

( 3) 按照模拟低通滤波器的性能指标，设计模拟滤波器H a (s ) ；

( 4) 利用双线性变换法或脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字低通H(z)；

(5) 编制好主程序及相应子程序后，在计算机上进行设计、验证。

图2.2 H (z)幅频特性

设计低通滤波器要求在通带内频率低于0.2πrad 时容许幅度误差在1dB 以内, 在频率0.3π 到π之间的阻带衰减大于15dB 。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试用脉冲响应不变法设计滤波器。

解：用脉冲不变法设计：

规定：WP ，Ws 为数字低通滤波器通带和阻带的截止频率; 为Ωp ，Ωs 模拟滤波

器的通带和阻带截止频率。Ωc 为截止频率(衰减3dB 的频率) 。巴特沃斯低通滤

波器的幅度特性是单调下降的, 其技术指标要求如下：

20lg H (e jW p ) ≥-1

20lg H (e jW s ) ≤-15

(W p =0. π2W , s = (2.15) 0. π3

设计步骤：

(1) 将设计要求转换为对模拟滤波器的设计要求, 本例模拟滤波器的设计要求: 20lg H (j p ) ≥-1

20lg H (j Ωs ) ≤-15(W =ΩT , T =1) (2.16) Ω

(2) 计算模拟滤波器的需阶数N 及3dB 截止频率 Ωc ：

⎡10-1⎤Ωlg K 式中λ=s ，K =⎢0.1d s ⎥ (2.17) -1⎦lg λΩp ⎣100.1d p 12N =

⎡Ωp ⎤1+⎢⎥Ω⎣c ⎦2N =10d p /10 (2.18)

所以 N=6, Ωc =0.7032rad/s

(3) 根据阶数N 和Ωc , 得模拟滤波器的传输函数:

Ha(s)=0.12093/[(s 2+0.3640s+0.4945)(s 2+0.9945s+0.4945) (s 2+1.3585s+0.4945)]

(4)Ha(s)展开成部分分式, 并进行z 变换, 求得数字滤波器的传输函数：

0.2871-0.4466z -1-2.1428+1.1454z -11.8558-0.6304z -1

H (z ) =++1-0.1297z -1+0.6949z -21-1.0691z -1+0.3699z -21-0.9972z -1+0.2570z -1

为了验证设计是否达到指标, 必须计算系统的频率响应。为此，用N-S 图及程序。这个程序对于由二阶级联构成的滤波器具有通用性。程序运行后, 能打印出滤波器的幅频特性和增益特性曲线及其数值。

结论：

设计不同类型的滤波器的方法归纳有两类：

（1）把一个归一化原形模拟低通滤波器经模拟频带变换成需要类型的模拟滤波器, 然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需类型的数字滤波器

（2）由模拟低通原形先利用双线性变换法变换成数字低通滤波器, 然后利用数频带变换法, 将它变换为所需要的各类型滤波器。

2. 3 一种IIR 数字滤波器的优化设计

借助模拟滤波器变换设计IIR 数字滤波器的方法, 可以利用现成的滤波器(如巴特沃斯，切比雪夫或椭圆函数滤器) 的设计公式或设计图表来完成。但是, 无论是模拟式还是数字式滤波器, 都希望它们具有任意给定频率响应或任意给定特性的解析性能。这样上述方法便不适用了。为此，常运用计算机辅助设计技术, 用计算机解一组线性或非线性方程的方法, 来逼近任意频率特性。

本节采用频域均方误差最小设计法, 使所求的幅频特性尽力逼近期望的幅频特性, 其逼近准则是使均方误差最小。

1. 优化设计的数学描述

以数学方式来描述优化设计时, 函数极值是受元件参数选择和调整等因素约束的。可见优化设计问题便转化为在一定条件下求函数的极值问题, 即可用数学式描述如下：

min f (x ) x ∈R n (2.19)

h i (x )=0 i=1,2,3…m (2.20)

g i (x )≥0 j=1,2,3…l (2.21)

式中, R n 表示n 维欧氏空间。x =[x 1, x 2,... x n ]T 是n 维空间R n 中的向量, 在电路中则是设计变量,f(x)为目标函数,hi(x)=0和g i (x )≥0为约束条件或称为约束方程。由于等式约束hi(x)=0等价于

h i (x ) ≥0, -h i (x ) ≥0 (2.22)

两个不等式约束。因此, 最优化数学模型可表示如下:

m i n f x ( ) x ∈R n (2.23)

g i (x ) ≥0 j=1,2,3…i (2.24)

约束条件是设计变量允许变化的范围。目标(误差) 函数f(x)是优化设计的目标, 用来度量实际响应特性与要求特性之间的误差, 它的大小反映实际响应接近设计指标的程度。

设计时常采用均方误差函数(即最小二乘法目标函数) 法, 可描述如下:

f (x )=21θl x , θ (2.25) ()()∑2θ∈H

或者

f (x )=21W θl x , θ (2.26) ()()∑i i 2i =1

式中, 是电l (x , θ)路的实际响应和待求响应的误差, 可为实数或复数,W(θ) 为正实权函数, 其值是对l (x , θ)的加权, θ为连续独立变量,H 为θ值的允许变化范围,M 是在区间H 内抽样点数。目标函数建立后, 最优化设计就转化为求函数的极值问题。对IIR 滤波器设计也一样。

2. IIR 数字滤波器优化设计的数学模型

设计数字滤波器的问题实质上是要确定传递函数

H (Z )=∑a Z k

k =0

k =1M -k (2.27) 1+∑b k Z -1

式中的一组系数a k 和b k 。为了在Z 平面上直接求解这组函数, 可采用计算机辅助设计方法, 按照规定准则, 逐个改变这组系数, 使H(Z)的特性逼近预定目标, 当

**⎤a , b 系数达到最佳值⎡k k ⎣⎦时, 就认为达到了最逼近于目标的传递函数H*(Z)。

根据频域均方误差最小化准则, 在一组离散频率{ωi }(i=1, 2,3…M)上给出所需的频率响应H d (l j ω), 在这些离散频率上, 均方误差定义为：

E (θ)=∑[H l j ωi -H d l j ωi ]2 （2.28）

i =l M ()()

如数字滤波器的传递函数可选择为：

1+a k l -j ω+b k l -j 2ω

H (l )=A ∏=AG (l j ω) (2.29) -j ω-j 2ω+d k l k =11+c k l j ωM

选择这种级联形式, 是因为它对系数变化不敏感, 且便于在最优化设计中计算导数。

式(2.19)所表示的误差, 可看作是参数的函数, 即:

θ=(A , a 1, b 1, c 1, d 1...... a N , b N , c N , d N )=(A , Φ) (2.30)

人们希望求出误差E 最小时这些参数值, 所以取E 对每一参数的偏导数, 并且令其偏导数等于零。这样共有4N+1个未知数, 而需解4N+1个方程, 方程对增益因子A 的偏导数为： ∂E (A , Φ)M j ωi j ωi =∑2⎡A ⋅G l -H l d ⎣∂A i =l {()()]⋅G (l )}j ωi (2.31)

对|A|求解, 得: A =∑G (l ω)⋅H (l ω)j i M j i d

i =l

∑G (l ω)j i M 2=A *

(2.32) i =l

A*是使E(θ) 为最小时的最佳增益值, 亦是的函数, 将A*代入误差公式, 有:

2M j ωj ω*E (A , Φ)=E (Φ)=∑⎡A G l i -H d l i ⎤⎣⎦i =l *()() (2.33)

只含4N 个未知数, 于是在这基础上求其它4N 个未知数最佳值, 则有:

**∂E (Φ)∂E (A , Φ)∂E (A , Φ)∂A *

=+⋅*∂Φ∂Φ∂A ∂Φ (2.34)

因为A*已使E(A, Φ) 极小, 所以

∂E (A *, Φ)

∂A

则有: *=0 (2.35)

j ωi M ∂G l ∂E (Φ)=2A *∑⎡A *G l j ωi -H d l j ωi ⎤⋅⎣⎦∂Φi =l ∂Φ (2.36) ()()()

式(2.36)是非线性方程, 可采用迭代法求解。又因G =⎡⎣GG ⎤⎦, 并设G =α+j β, G *=α-j β, 而且 *12

∂α∂β⎡∂G ⎤Re ⎢G *=α-β∂Φ∂Φ (2.37) ⎣∂Φ⎥⎦

得:

∂G ∂G *⎡∂G ⎤G +G =j 2Re ⎢G *⎥∂Φ∂Φ∂Φ⎣⎦ (2.38) *

可求出:

∂G ⎡1∂G ⎤=G Re ⎢⎥∂ΦG ∂Φ⎣⎦ (2.39)

由于Φ=(a 1, b 1, c 1, d 1....... a N , b N , c N , d N ), 所以, a k ，b k ，c k ，d k ，都各有N 个, 因此式(2.38)可化成为:

⎡1∂G ⎤∂G =G Re ⎢⋅⎥∂a k G ∂a k ⎦ (2.40) ⎣

而

1+a k Z -1+b k Z -2

G =∏=G 1⋅G 2⋅...... G k ⋅G N -1-2+d k Z k =11+c k Z (2.41) N

得：

∂G Z -1

=G ∂a k 1+a k Z -1+b k Z -2 (2.42) 于是式(2.30)可写成为

∂G Z -1

=G Re [∂a k 1+a k Z -1+b k Z -2

同理可推导出： ] (2.43) ∂G Z -1

=G Re [∂b k 1+a k Z -1+b k Z -2] (2.44)

∂G Z -1

=-G Re [∂c k 1+c k Z -1+d k Z -2

∂G Z -1

=-G Re [∂d k 1+c k Z -1+d k Z -2]] (2.45) (2.46)

将式(2.43)-(2.46)代入式(2.36)中, 可求出误差函数E(Φ) 对4N 个未知数中的偏导数, 从而得到4N 个非线性方程。这些方程可用FletcherPowell 算法求解。计算误差函数E(Φ) 的梯度, 由此搜索误差函数E(Φ) 的最小值, 从而确定最佳值参数。当两个相邻E (Φ) 的差值落在10-4~10-5以内时, 就可以认为误差函数收敛到最小值。

在上述的设计过程中, 当函数收敛时, 极点和零点将随机地出现在单位圆的内部和外部, 这是因迭代起点不同, 在最后得到的传递函数中, 可能会有Z 平面单位圆外的零点和极点, 它使滤波器不稳定, 为此, 可在程序中应用全通网络特性, 可把单位圆外的零点和极点反演到单位圆内部。

设极点|Z|=Zi,Zi>1可用Z=Z i -1的极点来代替, 这相当于系统函数乘了一个分

式：(Z-Zi)/(Z-Z i -1), 该分式是一个全通函数, 对极点作这样调节, 除了可能相差一比

例常数外, 并不影响幅频特性的规律, 因为此时网络的幅频特性为：

Z -Z i l j ω-γl j ωi H (Z )==11Z -l j ω-j ω-j i Z i l -l /γ (2.47)

1+γ2-2γcos (ω-ωi )H (Z )=γ1+γ2-2γcos ω+ωi 等于一个常数。 (2.48)

同理, 因一个不稳定的复数极点, 都是以共轭成对出现的, 所以在单位圆外极点Z i =ρi ≤θi 可用镜象极点Z =1/ρi ≤θi 来代替。如果要求滤波器有最小相位, 可对圆外零点用同样方法确定零点位置。将零点也移到单位圆内。在将单位圆外所有零。极点反演到单位圆内后, 再进行优化设计, 常可使均方误差进一步减少。 3 应用举例

要求设计一个满足下述的二阶低通滤波器:

H d l j ωn =1.0

H d l j ωn =0.5

H d l j ωn =0.0()1, 0. π02...... π ωn =0. 0π (2.49) ()1 (2.50) ωn =0. π()π, 0. π3.... π ωn =0. 2 (2.51)

上述设计条件中, ωn 是给定的一组频率点, H d (l j ωn )是该频率点上要求的振幅响应。n 从1到30, 采样点为30。

二阶低通滤波器的传递函数为：

H (Z ) =A 1+aZ -1+bZ -2

1+cZ -1+dZ -2

输入参数和数据后, 经计算机迭代运算结果为：

极点：0.8967389±0.19181085, E=0.56731821

零点：0.82191163±0.56961502,A=0.11733977

因极点在单位圆内, 系统是稳定的。

(2.52)

第3章内插技术

将连续信号变成数字信号是在计算机上实现信号数字处理的必要步骤。那么如何从采样后的离散信号完全恢复和重建原信号呢？这就与信号采样和内插两个过程都有关系，下面就这两方面进行分析。

3.1 内插依据

3.1.1 信号的采样

要完全恢复和重建原信号，对信号采样时就必须遵守一个基本原则，即采样定理，其内容是：当采样频率fs 不低于两倍信号的最高频率fc 时，信号能从采样信号中完全恢复。

该定理是由奈奎斯特于1928 年提出的，所以采样频率fs 又被称为奈奎斯特频率（Nyqulst frequency ) ，比如对于频率为fc 的正弦波，其采样频率必须在2fc 以上，这样采样定理可以作为选取采样周期T 的理论依据，当然，在实际选取中往往留有余地，一般fs 为fc 的2.5 倍以上，我们取为4 倍。那么，用低于奈奎斯特频率的信号采样，会出现本来肯定不包括信号中的低频成分会显现出来，这叫混叠。混叠在采样后不能去除，为了回避它，在实际应用中，会在进行采样之前，将原来的信号通过一个抗混叠低通滤波（low pass filter ) ，预先将不必要的高频成分截取掉，然后进行采样。

3.1.2 信号的重建

采样定理的又一个结论是说：采样信号x (nTs ) 可用一个理想低通滤波器恢复其原始模拟信号x (t)。这一过程如图3 -1 所示，设有一理想低通滤波器，其频率响应是：

Ωs ⎧T Ω≤⎪⎪s 2 H (j ω) =⎨ （3.1） Ω⎪0 Ω>s

⎪⎩2

令x (nTs ) 通过该低通滤波器，其输出为y (t)，其频域关系为：

X s (j Ω)H j )=(Y Ω(Ω)j (3.2) 由图 3 - 1 所示H (j Ω)X (j Ω)相乘的结果是截了 X s (j Ω)的一个周期，则 Y (j Ω)=T s X s (Ωj )=a X (j (3.3))Ω

图3-1由x ( nTs ）重建 x(t)

H (j Ω) 对应的单位抽样响应： h (t )=Ωs /2sin Ωs /21 （3.4） ⎰T s e j Ωt d Ω= -Ω/2s 2πΩs t /2

则： y (t )=x (nT s )*h (t )=

n =-∞∑∞x (nT s )s i n ⎡⎣Ωs (t -nT s )/⎤⎦2 Ωs t -nT s /2 （3.5）

因为Y (j Ω)=X (j Ω)，所以y(t)也应等于x(t),即

x (t )=

n =-∞∑∞x (nT s )s i n ⎡⎣π(t -nT s )T /s ⎤⎦ （3.6） πt -nT s /T s

此式即为由抽样后的离散信号重建原信号的公式。不难发现，这是一个插值公式，插值函数为sinc 函数，插值间距为T ，权重为x ( nTs)。只要满足抽样定理，那么，由无穷多加权sinc 函数移位后的和即可重建出原信号。

但是，由上面的理想内插函数公式的要求，需要无限样值的求和是不可能的，因此，在实际中又导出了许多次优化的方法，其逼近原始信号的精度是视具体情况而定。其中最为常用的方法分为两种：一种是内插（如线性插值等），另一个是拟合，其不同之处在于：内插时，是过已知数据点构造一个解析表达式，由此可计算数据点之间的函数值，构造的曲线必通过原数据点。而第二种方法曲线拟

合（或磨光），是选择一个“最好”的光滑曲线去逼近已知离散据，但这条曲线不要求通过已知数据点。但要求拟合曲线与已知点的函数值之差的平方和最小，这在数学上也叫最小二乘法。由于曲线拟合方式构造的波形不通过原数据点，因此在示波器显示中会造成触发点不稳定的问题，而导致显示不稳定，所以本课题中未采用此种方式。

3.2 内插算法描述

3.2.1 线性插值和立方插值

线性插值和立方插值都属于拉格朗日多项式插值。其定义为：设函y = f (x)在[a,b］上有定义，且已知它在n+1个互异点a ≤x 0≤x 1... ≤x n ≤b , 函数值为y 1, y 2,... y n ，若存在一个次数不超过n 次的多项式

P n (x )=a 0+a 1x +... +a n x n (3.7) 式中a i 为实数，P 相应的插n (x i )=y i ,(i = 0 ,l,2…n), 则称Pn(x)为n 次代数多项式。值问题称为代数插值问题。x 称为插值点，当x ∈[a,b],称为内插：否则称为外插。再令拉格朗日多项式为：

n x -x 0)... x -x k -1)(x -x k +)x -x )(((1... n l k == x ... x -x x k -x 0... x k -x -k 1x -j k +k 1k n j =0≠x -x j k x -x k (3.8) j

则n 次拉格朗日多项式为：

P n (x )=l 0(x )y 0+l (1x )y +1... +l n (x )y n =∑l k (x )y k (3.9)

k =0n

当n = l 时，其称为拉格朗日线性插值；当n =3 时，其称为拉格朗日立方插值。其特点有：

（1）多项式的次数越高，插值精度并不越好。如著名的龙格现象。

（2）利用一阶拉格朗日函数进行插值方法简单，内插速度快，但在采样信号点数少时，重建信号差。

（3）利用三阶拉格朗日函数进行插值方法简单，内插速度快，但在采样信号数减少时，重建信号差。

3.2.2 取样函数（即sinc 函数）插值

基于采样定理，我们得到的取样函数插值公式：

y (t )=x (nT s )*h (t )=

n =-∞∑∞x (nT s )sin ⎡⎣Ωs (t -nT s )/2⎤⎦Ωs t -nT s /2 （3.10）

其中：h (t )=Ωs /2sin Ωs /21为sinc 内插函数，从频域来看，它起 ⎰T s e j Ωt d Ω= 2π-Ωs /2Ωs t /2

着低通滤波器的作用；在实际应用中，由于存在有限项的近似问题，即内插函数被截短了，在频域上来看，原来的理想低通滤波器在截止频率附近产生了过渡带，从而导致当信号的谱线落在过渡带时，会产生较大的恢复误差。为了使信号的主瓣落在滤波器的通带内，一方而要适当增大采样频率；另一方而通过选择合适的窗函数，对信号进行加权。

该方法重建信号和适应性好，但插值方法较复杂，内插速度较慢。

3.3 内插技术的实现

3.3.1 内插技术的应用背景

在一些需要进行D ／A （数字／模拟）变换的场合，常常需要提高数字信号的采样率以降低对模拟滤波器的要求。周期信号的数字采样要求采样信号与其严格同步. 若周期信号或抽样信号受干扰影响，频率出现微小变化，其抽样序列的DFT(离散时间傅里叶变换) 变换将产生较大的频谱泄漏和截短误差，造成不正确的测量结果. 为此，提出了内插技术来减少误差。

3.3.2内插程序实现的程序流程图

图3.2 内插程序实现的流程图

第4章利用MATLAB 进行数字滤波和内插程序设计及实现

4.1 MATLAB的简介

名为“矩阵实验室”的Matlab ( Matrix Laboratory ) ，是一种面向科学与工程计算的高级语言，它集科学计算、自动控制、信号处理、神经网络、图像处理等于一体，具有极高的编程效率。而Matlab 的工具箱，更是为不同领域内使用Matlab 的研究开发者提供了一条捷径，它主要由各行各业的专业人士编写，其目的是为了方便某一领域内的科学研究和工程应用，将一些已经非常成熟或完善的算法标准化供人们调用。迄今为止，已有30 多种各类工具箱面世，内容涉及信号处理、自动控制、图像处理、经济、数学、化学等不同领域。由于应用工具箱可以大大减小编程时的复杂程度，因此，我们使Matlab 的信号处理工具箱来简便快捷的计算、考察和实现数字滤波器和内插器，直观地在计算机屏幕上控制数字信号输人、观察和测量；完成大部分的信号分析处理工作。

在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号的处理和分析都是基于滤波器而进行的．但是，传统数字滤波器的设计使用繁琐的公式计算，改变参数后需要重新计算，从而在设计滤波器尤其是高阶滤波器时工作量很大．利用MATLAB 信号处理箱（signal Processing Toolbox ) 可以快速有效地实现数字滤波器的设计与仿真．利用MATLAB 设计IIR 滤波器并进行仿真，可随时调整参数对比滤波器特性，快速得到仿真结果，直观方便，极大地减轻了工作量，提高了工作效率。

FDAToo1 ( Filter : Design & Analysis Tool ）是MATLAB 信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，MATLAB 6 . 0 以上的版本还专门增加了滤波器设计工具箱（Filter : Design Toolbox小 ).FDAToo1可以设计几乎所有的常规滤波器，包括FIR 和IIR 的各种设计方法．它操作简单，方便灵活。

FDAToo1 界面分为两大部分，一部分是Design Filter 在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性．Design Filter部分主要分为：Filter Type （滤波器类型）选

项，包括Lowpass （低通）、Highpass （高通）、Bandpass （带通）、Bandstop （带阻）和特殊的FIR 滤波器。

Design Method （设计方法）选项，包括IIR 滤波器的Butterworth （巴特沃思）法、Chebyshev Type Ⅰ（切比雪夫I 型）法、Chebyshev Type Ⅱ（切比雪夫Ⅱ型）法、Elliptic （椭圆滤波器）法和FIR 滤波器的E- quiripple 法、Least-Squares （最小乘方）法、Window （窗函数）法。

Filter Order （滤波器阶数）选项，定义滤波器的阶数，包括Specify Order （指定阶数）和Minimum Order （最小阶数）．在Specify Order 中填入所要设计的滤波器的阶数（N 阶滤波器，Specifyer Order= N-1) . 如果选择Minimum Order ，则MATLAB 根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。

Frequency Specifications 选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率和频带的截止频率．它的具体选项由Filter Type 。选项和Design Method 选项决定．例如Bandpass （带通）滤波器需要定义Fstopl （下阻带截止频率）、Fpassl （通带下限截止频率）、Fpass2（通带上限截止频率）、FStop2 （上阻带截止频率），而Lowpass （低通）滤波器只需要定义Fstopl 、Fpass1．采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定，所以只需定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。

Wagnitude Specifications 选项，可以定义幅值衰减的情况．例如设计带通滤波器时，可以定义Wstopl （频率Fstopl 处的幅值衰减）、Wpass （通带范围内的幅值衰减）、Wstop2（频率Fstop2处的幅值衰减）. 当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db ，所以不必定义。

Window Pecifications 选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种窗函数

4.2 IIR 滤波器设计实例

4.2.1 IIR 在MATLAB 中的设计

本文以一个IIR 滤波器的设计为例说明如何使用MATLAB 设计数字滤波器．要求设计一个10 阶的带通Chebyshev I 滤波器，它的通带范围是100 到200Hz ，采样频率为l000Hz , Rp = 0.5。

本例中，首先在Filter Type 。中选择Bandpass （带通滤波器）；在Design Method 选项中选择IIR ，接着在相邻的右则选项中选择Chebyshev I（切比雪夫I 型）；指定Filter Order项中的Specify Order = 10 ；由于采用的是切比雪夫设计，不必在Options 中选择；然后在Frequency Specifications 中选择Unit 为Hz , 给出采样频率Fs= 1000 ，通带Fpass1 = 100 和Fpass2 = 200 ；最后在Magnitude specifications 中选择Unit 为db , Apass = 0 . 5 ．设置完成后点击Design Filter 即可得到所设计的IIR 滤波器。通过菜单选项Analysis 可以在特性区看到所设计的幅频响应、相频响应、冲激响应和零极点配置等特性，如图4.1 所示．设计完成后将结果保存为filter. fda 文件。

(a) 幅频特性

(b)相频特性

(c)冲击响应

图 4.1 滤波器的幅频、相频和冲激响应（特性区）

4.2.2 程序的设计方法

在 MATLAB 中，对各种滤波器的设计都有相应的计算振幅、相位和冲激响应的函数，可以用来做滤波器程序设计。

上例IIR 滤波器的冲激响应可用程序设计如下：

%chebyshev1 bpf

n=10; 阶数为10

Rp=0.5; %的幅植衰减为0.5

Wn=[100 200]/500;

[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn);

[y,t]=impz(b,a,101);

stem(t,y,’.’);

在MATLAB 环境下运行该程序即可得到滤波器的时域冲激响应。

4.2 .3 设计实例分析

由图4. l ( a )可知，这种滤波器在 100 -200z 的通带范围内是等波纹的，而在阻带中是单调的，这是Chebyshev Ⅰ幅频特性．由图4.1 ( b )可知，在100--200Hz 的范围内相移较小，其曲线近似一条直线，失真较小；当频率超过这一范围时，相移较大，而且其曲线是非直线的，所以失真也较大．图4.l (c)得到了Chebyshev Ⅰ滤波器的时域冲激响应，在5 --100mS 有冲激响应，超过这一范围的冲激响应近似为零，进而实现了Chebyshev I带通滤波器的设计。

4.3 Simulink 仿真

4.3. 1 Simulink 仿真实例

通过调用Simulink 中的功能模块，可以构成数字滤波器的仿真框图。在仿真过程中，双击各功能模块，随时改变参数，获得不同状态下的仿真结果。例如原始信号x (t )=2sin (0.05πt )+ω(t )，ω(t )为随机信号，幅值为0.2 ，通过一传递函数为H (z )=0.15的滤波器可得到如图4.2的仿真结果。其中仿真过程中1-0.8z -1

可导入FDATool 所设计的滤波器文件。

(a) Simulink 仿真图

(b) 原始信号波形

图4.2 Simulink仿真结果

4.3.2 仿真结果

比较图4.2中的(b)和(c)的波形可知，输入的原始信号经过滤波器后，(b)中的波形毛刺部分（即干扰噪声）被滤除，输出的信号更接近正弦波，如(c)中所示波形。由此说明，传递函数为H (z )=0.15的滤波器的设计是恰当的。 -11-0.8z

结论：利用MATLAB 的强大运算功能，基于MATLAB 的信号处理工具箱（Signal Processing Toolbox ）的数字滤波器设计法可以快速有效地设计由软件组成的常规数字滤波器，设计方便、快捷，大大减轻了设计工作量．在设计过程中可以对比滤波器特性，随时更改参数，以达到滤波器设计的最优化。利用MATLAB 设计数字滤波器在数字通信系统和计算机领域的信号处理中，有着广泛的应用前景。

总结

自二十世纪60年代以来，随着计算机和信息学科的飞速发展，数字信号处理(Digital Signal Processing DSP) 技术应运而生并迅速发展，目前DSP 技术可说是应用最快、成效最为显著的新学科之一，在语音、雷达、声纳、地震、图像、通信系统、系统控制、生物医学工程、机械振动、航空航天、故障检测、自动化仪表等众多领域都获得了极其广泛的应用，它有效地推动了众多工程技术领域的技术改造和学科发展。因此，数字信号处理已成为现代信号处理的主要方式。

本篇论文是在数字信号处理基础上来研究IIR 数字滤波器，主要从三方面对进行了研究。分别是：首先对滤波器分类和结构的了解，以及对数字滤波器的设计及其实现；再接着是对内插技术原理的了解及其在数字滤波器中的应用；最后在MATLAB 环境下编程实现数字滤波器的仿真。从中我得出IIR 滤波器有以下优点：

(1) 从性能上来说，IIR 数字滤波器传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的唯一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少、计算量小、效率高。

(2) 从结构上看，IIR 滤波器必须采用递归结构来配置极点，并保证极点位置在单位圆内。

(3) 从设计工具看，IIR 滤波器可以借助模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供参考，计算工作量比较小，而且对计算工具的要求不高。

综上所述，IIR 滤波器设计简单，主要用于设计具有分段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通和带阻等。在MATLAB 环境下，数字滤波器的设计已变得非常简单和高效率，所以IIR 滤波器是相对稳定的。

致谢

在这次论文完成的过程中，非常感谢张会生老师给予我的大力支持和帮助! 还有我的指导老师吴萌，没有他们的热心帮助和指导，我是不可能这么快这么顺利的完成论文。老师的渊博知识，敏锐的思路和实事求是的工作作风给我留下了深刻印象，这将使我受益终生，谨此向老师表示衷心的感谢和崇高的敬意。

在完成论文过程中我也学会了很多论文以外的东西，比如：我对计算机的操作更加熟练、懂得如何更快的搜集资料等的实际操作，最重要的是让我看到了同学间的团结、互相协作关系。让我非常高兴！

这次经历让我受益不少，我将以这次的实际经验作为我以后工作的动力，让我对以后的工作充满信心。

我还要深深地感谢我的父母，毫无怨言默默地供养着我，感谢他们对我无私的爱，对我的学习和生活提供了无限的支持。

感谢所有曾经给予我热情帮助的人，祝他们永远幸福快乐。

参考文献

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[11] 姜建国，曹建中，高玉明. 信号与系统分析基础. 清华大学出版社，1994.

毕业设计小结

通过这几个月对毕业设计的完成和对相关资料的收集, 自我感觉这是一次对我在大学三年所学知识的一次总结和应用，我感到受益匪浅。

这次我的论文是IIR 数字滤波器及其内插技术，这以前对我是个陌生的东西，我只学了一点理论知识并不大了解，这次我对滤波器有了比较深刻的认识，知道了IIR 滤波器的分类、结构、比较及其设计。这次让我认识并学会了MATLAB 工具箱和画图软件visio 的应用，我感到这些知识非常实用。

在完成论文的过程中，我一方面澄清了先前的一些错误理解，另一方面也真正的体会到了书本知识转化为实践时的困难，往往很不起眼的一件事情，说不定就是完成的关键，必须得搞清楚。为了查找相关的技术文献资料，我们上网，去学校图书馆甚至去其他学校的图书馆查找资料，虽然辛苦一点，但是令人欣慰的是学到了书本上学不到的东西，并且掌握了设计的一般方法。

两个月的时间很短，我们的能力也有限，很可能我们的设计存在这样或那样的不足，希望各位多多批评斧正。我在这次设计中学到了很多东西，我认为最大的收获就是学会了和别人分工协作去完成一件事。这次设计的成功是我和本组同学团结协作的成果。

摘要

本文介绍了数字滤波器、IIR 数字滤波器的设计和内插技术及用MA TLAB

本文还应用了MATLAB 信号处理工具箱，先简介了MATLAB 的界面，然

后通过对IIR 数字滤波器的设计、Simulink 实验仿真、误差比较及性能比较，最终得出正确的IIR 数字滤波器仿真结果。

关键词：数字滤波器，IIR 数字滤波器，内插技术，MATLAB , Simulink

ABSTRACT

This article introduced the digital filter, the IIR digital filter design and the

This article has also applied the MATLAB signal processing toolbox, first has

KEY WORDS: Digital filter, IIR digital filter, interpolation technology, MATLAB, Simulink

前言

数字滤波在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域中有着十分广泛的

MATLAB 是美国MathWorks 公司推出的一套用于工程计算的可视化高性能

本文着重研究了基于MATLAB 下的IIR 滤波器的设计实现、数字图像处理

中的滤波器的设计，并对内插技术做了一些粗浅的尝试。

第1章数字滤波器

1.1 数字滤波器的概念

一般用两种方法来实现数字滤波器:一是采用通用计算机，把滤波器所要完

成的运算编成程序通过计算机来执行，也就是采用计算机软件来实现:二是设计专用的数字处理硬件。

MATLAB 的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它

1.2 数字滤波器的分类

下面从各种不同角度对数字滤波器分类：

1. 按冲激响应h (n ) 的长度分类

按冲激响应h (n ) 的长度分类可分为有限冲激响应（FIR ）和无限冲激响应

FIR 的冲激响应h (n ) 为有限长序列，其差分方程为

y (n )=∑i b (x -n ) i (1.1)

i =0M

系统函数为：

i H (z )=∑i b -z (1.2)

i -1M

IIR 的冲激响应h(n)为无限长序列，其差分方程为

y (n )=∑b i x (n -i )-∑a i y (n -i ) (1.3)

i =0i =1M N

系统函数为：

H (z )=∑b z i

i =1

i =1M -i (1.4) 1+∑a i z -i

IIR 和FIR 在特性、结构、设计方法、运用场合等方面均不相同，本章及下

一章将分别对 IIR 和FIR 的区别进行论述。

2. 按有无递归结构分类

按有无递归结构分类分为递归型和非递归型。递归表现为实现过程中出现

H (z )=1+z +z +z -1-2-3 (1.5)

可以改写为

1-z -4

H (z )= (1.6) 1-z -1

然后用递归型结构实现。

因此，尽管IIR 、FIR 与递归非递归有着密切的关系，但它们毕竟是从不同

的角度看问题，在概念上不能混为一谈。

3. 按频域特点分

按频域特点分分为低通滤波器（LP DF）、高通滤波器(HP DF)、带通滤波器

（BP DF）和带阻滤波器（BS DF）四种。

这里要特别强调一点的是：数字滤波器的频响是周期的, 其重复周期是采样

频率f s , 或者数字频率2π，且在每一周期内，幅频特性具有对称性。比如采样频

率f s =8000Hz,数字带通的通带是300～3400Hz ，那么它的重复周期为8000Hz ，

20kHz 的频率之外，应有f s -4kHz>20kHz，即f s >24kHz。

则此时带通滤波器的通带范围为1～4kHz ，20～23kHz ，25～28kHz ，从而

保证了在0～20 kHz的频率范围内，只有1～4kHz 的频率成分可以通过该滤波器。

因此，所谓低通、高通、带通、带阻都是指频率f 介于0～f s /2或数字频率

ω介于0～π的那一段幅频特性而言的。也就是说，数字滤波器处理的频率应该小于f s /2。

关于数字频率ω，一定要注意它是真实频率于采样频率之比。说一个数字频

率低通的带通是0～0.1π,则时钟为1Hz 时是指0～50Hz ，时钟为2Hz 时是指0～100Hz ，时钟为100kHz 时是指0～5kHz ，是相对频率。

4 . 按同时处理的变量的个数分

按同时处理的变量的个数分可分为一维和多维滤波器。一维滤波器的输入、

分类的方法还有很多，比如线性滤波器和非线性滤波器、时变DF 和非时变

DF 、纯振幅DF 和纯相位DF 、线性相位DF 和非线性相位DF 等等，不再一一细述。

1.3 FIR 和IIR 数字滤波器的比较

在很多实际应用中如语音和音频信号处理中，数字滤波器来实现选频功能。

从设计工具看，IIR 滤波器可以借助模拟滤波器的成果，因此一般都有有效

出了窗函数的计算公式，但是在计算通带阻带衰减时无显示表达式。一般FIR 滤波器的设计只有计算程序可循，因此它对计算工具要求较高。

在设计和实现上FIR 滤波器具有如下优越性:

(1)相位响应可为严格的线性，因此它不存在延迟失真，只有固定的时间延

迟。

(2)由于不存在稳定性问题，所以设计相对简单。

(3)只包含实数算法，不涉及复数算法，不需要递推运算，长度为M 的滤波

器(阶数为M-1) ，它的计算值约为M/2。

另外，也应看到，IIR 滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有分段常

对数字滤波器的要求可归纳为具有低通频响特性和线性相位的稳定系统。因

此将FIR 和IIR 滤波器做个比较，如下表所示：

表1-1 FIR和IIR 滤波器的比较

1.4 数字滤波器的一般分析、设计方法

对数字滤波器的分析，主要是考察它再频域和时域两个方面体现的一些特

性。

频域：

1. 幅频特性，相位特性，群延迟特性。

2. 舍入噪声（平均噪声功率、噪声譜）。

时域：

1. 冲激响应，阶跃响应，对任意输入的时间响应。

2. 极限环。

为了描述和分析这些特性，需要有描述系统的方法，主要有：

1. 节点方程式。

2. 混合方程式。

3. 状态方程式。

4. 传输函数。

从包含的输入输出关系信息看，14逐渐增多，如能得到4的传输函数，

1逐则可以推出频域时域输入输出关系特性。从包含的系统结构信息量看，4

态方程等等。我们的兴趣主要是在输入输出关系上，所以只讨论传递函数。传递函数H(z)以知后，则可以确定系统的频响为:

H (e j ω)=H (e j ω)e j Φ(ω) (1.6)

其中H (e j ω)和Φ(ω)分别是幅频特性和相位特性。

对于无失真的传输系统，有

H (e j ω) =ke -j ωπ (1.7)

j ω⎧⎪H (e ) =k 即 ⎨ (1.8) ⎪⎩Φ(ω) =-ωπ

y (n n τ) (1.9) )=k (x -

即系统对个频率分量的延迟时间相同，这就保证各频率分量的相对位置不变，没有相位失真。

数字通信对相位的要求比模拟通信要高的多，线性相位时很重要的。数字系统描述对各频率分量的相位延迟的函数于模拟系统一样，有两个：

群时延： -d Φ(ω)/d ω

相时延： -Φ(ω)/ω

群时延特性能反映相频曲线的线性程度，相时延特性能反映各频率分量在时延的相对延时。因无相位失真的传输条件具有恒群时延和恒相时延，即

⎛d Φ(ω)⎫⎛Φ(ω)⎫-群时延 ⎪=相时延 -⎪＝常数τ d ωω⎝⎭⎝⎭

上面我们讨论的时分析数字滤波器的一般方法，下面来看一个有关数字滤波器的设计问题。

设计一个数字滤波器必须经过下来步骤：

1. 确定是用IIR 还是用FIR ；

2. 确定滤波器的传递函数；

3. 用有限精度算法来实现这个系统函数（包括选择运算结构，选择合适的字长以及有效数字的处理方法）。

实际的技术实现（包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或者是二者结合的方法）。

应该指出，在设计是并不是可以按照上述顺序一次性解决的，而是互相牵连，需要上下反复多次才能完成。滤波器的传递函数决定了滤波器的特性。

第2章 IIR 数字滤波器的设计

(1) H ( z)的频率响应要能模仿H a (s )的频率响应，即S 平而的虚轴j Ω必须映射

到Z 平而的单位圆上，e j ω也就是频率轴要对应；

(2) 因果稳定的H a (s )应能映射成因果稳定的H (z)。也就是s 平而的左半平而

Re(S)

将传输函数H a (s )从S 平而转换到Z 平面的方法有多种，但常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。

2.1 脉冲响应不变法

设模拟滤波器的传输函数

H a (s ) =∑A -s i /(

i =1N i (2.1) s )

(s i 为单阶极点) 只有单阶极点，将H a (s )进行逆拉氏变换，

得到相应的单位冲激响应是h a (t ) ：

s i t h a (t ) =∑Ae u (t ) (2.2) i

i =1N

(u(t) 为单位阶跃函数) ，

对h a (t ) 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到:

s i nT h (n ) =h a (nt ) =∑Ae u (nT ) (2.3) i

i =1N

作为数字滤波器的单位取样响应。对它进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数h(z):

h (z ) =∑A i /(-1e s i T z -1 ) (2.4)

i =1N

例如：一个RC 低通滤波器的传输函数为：

h a (s ) (1/ sc) /[R+(1/ sc)]=(1/ RC)/[S+ (l/RC)] (2.5) 因为极点为-1/RC，转换成H (z )，H (z )的极点为e

因此

T / H (Z ) =(1R /C ) -/(-1e -1T RC ， R ⋅C -1Z ) (2.6)

令τ=RC,

-1 H (Z ) =(1/τ)/(1-e -T /RC ⋅Z ) (2.7)

所以上它的差分方程为：

y (n ) =(e -T /τ) y (n -1) +(1/τ) x (n ) (2.8) 画出其数字低通滤波器的网络结构如图2.1所示。

图 2.1 数字低通滤波电路

2.2 双线性变换法

标准变换关系z=e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面是一一对应的关系，消除了多值变换法，也就消除了频谱混叠现象。

模拟滤波器可用一N 阶微分方程描述，相应的传输函数

M =∞

H a (s ) =∑b s r

r =0r /(1+∑a k s k ) ，极点是单阶的，展开成部分分式，每一个部分k =1N

设输入信号X a (t ) 和输出y a (t ) 满A k /(S +S k ) 分式相对应的是一个一阶微分方程。

足一阶微分方程，即满足

d y ) /d +t a (t

该方程对应的模拟系统函数为

H a (s ) =d /(+s a c y (=) t a t (2.9) d (x ) (2.10) c

求积分，然后进行Z 变换，得到

H (z ) =d /{(2/T )[(1-z -1)/(1+z -1)]+c} (2.11)

所以， s=(2/T)[(1-z -1)/(1+z -1)] (2.12) 则 z=(2/T+s)/(2/T-s) (2.13)

H (z ) = H a (s ) /s=(2/T)[(1-z -1)/(1+z -1)] (2.14)

例：己知模拟滤波器H a (s ) =1/(1+s),试利用双线性变换法将H a (s ) 转换成数字滤波器H(z)。

解: H(z)= H a (s ) /s=T(1+z -1)/[ 2(1-z -1)+T (1+z -1)]

从设T=1s，则 H (z)=(1+z -1)/(3-z -1).

设计方法与举例

设计数字低通滤波器的步骤：

(1) 确定数字低通滤波器的性能指标；

(2) 确定对应模拟低通滤波器的性能指标:脉冲响应不变法 Wk =Ωk T ，双线性变

换法Ωk =(2/T ) tg (1/2) W k 。通带及阻带哀减与数字低通滤波器相同；

( 3) 按照模拟低通滤波器的性能指标，设计模拟滤波器H a (s ) ；

( 4) 利用双线性变换法或脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字低通H(z)；

(5) 编制好主程序及相应子程序后，在计算机上进行设计、验证。

图2.2 H (z)幅频特性

解：用脉冲不变法设计：

规定：WP ，Ws 为数字低通滤波器通带和阻带的截止频率; 为Ωp ，Ωs 模拟滤波

器的通带和阻带截止频率。Ωc 为截止频率(衰减3dB 的频率) 。巴特沃斯低通滤

波器的幅度特性是单调下降的, 其技术指标要求如下：

20lg H (e jW p ) ≥-1

20lg H (e jW s ) ≤-15

(W p =0. π2W , s = (2.15) 0. π3

设计步骤：

(1) 将设计要求转换为对模拟滤波器的设计要求, 本例模拟滤波器的设计要求: 20lg H (j p ) ≥-1

20lg H (j Ωs ) ≤-15(W =ΩT , T =1) (2.16) Ω

(2) 计算模拟滤波器的需阶数N 及3dB 截止频率 Ωc ：

⎡10-1⎤Ωlg K 式中λ=s ，K =⎢0.1d s ⎥ (2.17) -1⎦lg λΩp ⎣100.1d p 12N =

⎡Ωp ⎤1+⎢⎥Ω⎣c ⎦2N =10d p /10 (2.18)

所以 N=6, Ωc =0.7032rad/s

(3) 根据阶数N 和Ωc , 得模拟滤波器的传输函数:

Ha(s)=0.12093/[(s 2+0.3640s+0.4945)(s 2+0.9945s+0.4945) (s 2+1.3585s+0.4945)]

(4)Ha(s)展开成部分分式, 并进行z 变换, 求得数字滤波器的传输函数：

0.2871-0.4466z -1-2.1428+1.1454z -11.8558-0.6304z -1

H (z ) =++1-0.1297z -1+0.6949z -21-1.0691z -1+0.3699z -21-0.9972z -1+0.2570z -1

结论：

设计不同类型的滤波器的方法归纳有两类：

（2）由模拟低通原形先利用双线性变换法变换成数字低通滤波器, 然后利用数频带变换法, 将它变换为所需要的各类型滤波器。

2. 3 一种IIR 数字滤波器的优化设计

本节采用频域均方误差最小设计法, 使所求的幅频特性尽力逼近期望的幅频特性, 其逼近准则是使均方误差最小。

1. 优化设计的数学描述

min f (x ) x ∈R n (2.19)

h i (x )=0 i=1,2,3…m (2.20)

g i (x )≥0 j=1,2,3…l (2.21)

h i (x ) ≥0, -h i (x ) ≥0 (2.22)

两个不等式约束。因此, 最优化数学模型可表示如下:

m i n f x ( ) x ∈R n (2.23)

g i (x ) ≥0 j=1,2,3…i (2.24)

设计时常采用均方误差函数(即最小二乘法目标函数) 法, 可描述如下:

f (x )=21θl x , θ (2.25) ()()∑2θ∈H

或者

f (x )=21W θl x , θ (2.26) ()()∑i i 2i =1

2. IIR 数字滤波器优化设计的数学模型

设计数字滤波器的问题实质上是要确定传递函数

H (Z )=∑a Z k

k =0

k =1M -k (2.27) 1+∑b k Z -1

**⎤a , b 系数达到最佳值⎡k k ⎣⎦时, 就认为达到了最逼近于目标的传递函数H*(Z)。

根据频域均方误差最小化准则, 在一组离散频率{ωi }(i=1, 2,3…M)上给出所需的频率响应H d (l j ω), 在这些离散频率上, 均方误差定义为：

E (θ)=∑[H l j ωi -H d l j ωi ]2 （2.28）

i =l M ()()

如数字滤波器的传递函数可选择为：

1+a k l -j ω+b k l -j 2ω

H (l )=A ∏=AG (l j ω) (2.29) -j ω-j 2ω+d k l k =11+c k l j ωM

选择这种级联形式, 是因为它对系数变化不敏感, 且便于在最优化设计中计算导数。

式(2.19)所表示的误差, 可看作是参数的函数, 即:

θ=(A , a 1, b 1, c 1, d 1...... a N , b N , c N , d N )=(A , Φ) (2.30)

对|A|求解, 得: A =∑G (l ω)⋅H (l ω)j i M j i d

i =l

∑G (l ω)j i M 2=A *

(2.32) i =l

A*是使E(θ) 为最小时的最佳增益值, 亦是的函数, 将A*代入误差公式, 有:

2M j ωj ω*E (A , Φ)=E (Φ)=∑⎡A G l i -H d l i ⎤⎣⎦i =l *()() (2.33)

只含4N 个未知数, 于是在这基础上求其它4N 个未知数最佳值, 则有:

**∂E (Φ)∂E (A , Φ)∂E (A , Φ)∂A *

=+⋅*∂Φ∂Φ∂A ∂Φ (2.34)

因为A*已使E(A, Φ) 极小, 所以

∂E (A *, Φ)

∂A

则有: *=0 (2.35)

j ωi M ∂G l ∂E (Φ)=2A *∑⎡A *G l j ωi -H d l j ωi ⎤⋅⎣⎦∂Φi =l ∂Φ (2.36) ()()()

式(2.36)是非线性方程, 可采用迭代法求解。又因G =⎡⎣GG ⎤⎦, 并设G =α+j β, G *=α-j β, 而且 *12

∂α∂β⎡∂G ⎤Re ⎢G *=α-β∂Φ∂Φ (2.37) ⎣∂Φ⎥⎦

得:

∂G ∂G *⎡∂G ⎤G +G =j 2Re ⎢G *⎥∂Φ∂Φ∂Φ⎣⎦ (2.38) *

可求出:

∂G ⎡1∂G ⎤=G Re ⎢⎥∂ΦG ∂Φ⎣⎦ (2.39)

由于Φ=(a 1, b 1, c 1, d 1....... a N , b N , c N , d N ), 所以, a k ，b k ，c k ，d k ，都各有N 个, 因此式(2.38)可化成为:

⎡1∂G ⎤∂G =G Re ⎢⋅⎥∂a k G ∂a k ⎦ (2.40) ⎣

而

1+a k Z -1+b k Z -2

G =∏=G 1⋅G 2⋅...... G k ⋅G N -1-2+d k Z k =11+c k Z (2.41) N

得：

∂G Z -1

=G ∂a k 1+a k Z -1+b k Z -2 (2.42) 于是式(2.30)可写成为

∂G Z -1

=G Re [∂a k 1+a k Z -1+b k Z -2

同理可推导出： ] (2.43) ∂G Z -1

=G Re [∂b k 1+a k Z -1+b k Z -2] (2.44)

∂G Z -1

=-G Re [∂c k 1+c k Z -1+d k Z -2

∂G Z -1

=-G Re [∂d k 1+c k Z -1+d k Z -2]] (2.45) (2.46)

设极点|Z|=Zi,Zi>1可用Z=Z i -1的极点来代替, 这相当于系统函数乘了一个分

式：(Z-Zi)/(Z-Z i -1), 该分式是一个全通函数, 对极点作这样调节, 除了可能相差一比

例常数外, 并不影响幅频特性的规律, 因为此时网络的幅频特性为：

Z -Z i l j ω-γl j ωi H (Z )==11Z -l j ω-j ω-j i Z i l -l /γ (2.47)

1+γ2-2γcos (ω-ωi )H (Z )=γ1+γ2-2γcos ω+ωi 等于一个常数。 (2.48)

要求设计一个满足下述的二阶低通滤波器:

H d l j ωn =1.0

H d l j ωn =0.5

H d l j ωn =0.0()1, 0. π02...... π ωn =0. 0π (2.49) ()1 (2.50) ωn =0. π()π, 0. π3.... π ωn =0. 2 (2.51)

上述设计条件中, ωn 是给定的一组频率点, H d (l j ωn )是该频率点上要求的振幅响应。n 从1到30, 采样点为30。

二阶低通滤波器的传递函数为：

H (Z ) =A 1+aZ -1+bZ -2

1+cZ -1+dZ -2

输入参数和数据后, 经计算机迭代运算结果为：

极点：0.8967389±0.19181085, E=0.56731821

零点：0.82191163±0.56961502,A=0.11733977

因极点在单位圆内, 系统是稳定的。

(2.52)

第3章内插技术

3.1 内插依据

3.1.1 信号的采样

3.1.2 信号的重建

Ωs ⎧T Ω≤⎪⎪s 2 H (j ω) =⎨ （3.1） Ω⎪0 Ω>s

⎪⎩2

令x (nTs ) 通过该低通滤波器，其输出为y (t)，其频域关系为：

X s (j Ω)H j )=(Y Ω(Ω)j (3.2) 由图 3 - 1 所示H (j Ω)X (j Ω)相乘的结果是截了 X s (j Ω)的一个周期，则 Y (j Ω)=T s X s (Ωj )=a X (j (3.3))Ω

图3-1由x ( nTs ）重建 x(t)

H (j Ω) 对应的单位抽样响应： h (t )=Ωs /2sin Ωs /21 （3.4） ⎰T s e j Ωt d Ω= -Ω/2s 2πΩs t /2

则： y (t )=x (nT s )*h (t )=

n =-∞∑∞x (nT s )s i n ⎡⎣Ωs (t -nT s )/⎤⎦2 Ωs t -nT s /2 （3.5）

因为Y (j Ω)=X (j Ω)，所以y(t)也应等于x(t),即

x (t )=

n =-∞∑∞x (nT s )s i n ⎡⎣π(t -nT s )T /s ⎤⎦ （3.6） πt -nT s /T s

3.2 内插算法描述

3.2.1 线性插值和立方插值

n x -x 0)... x -x k -1)(x -x k +)x -x )(((1... n l k == x ... x -x x k -x 0... x k -x -k 1x -j k +k 1k n j =0≠x -x j k x -x k (3.8) j

则n 次拉格朗日多项式为：

P n (x )=l 0(x )y 0+l (1x )y +1... +l n (x )y n =∑l k (x )y k (3.9)

k =0n

当n = l 时，其称为拉格朗日线性插值；当n =3 时，其称为拉格朗日立方插值。其特点有：

（1）多项式的次数越高，插值精度并不越好。如著名的龙格现象。

（2）利用一阶拉格朗日函数进行插值方法简单，内插速度快，但在采样信号点数少时，重建信号差。

（3）利用三阶拉格朗日函数进行插值方法简单，内插速度快，但在采样信号数减少时，重建信号差。

3.2.2 取样函数（即sinc 函数）插值

基于采样定理，我们得到的取样函数插值公式：

y (t )=x (nT s )*h (t )=

n =-∞∑∞x (nT s )sin ⎡⎣Ωs (t -nT s )/2⎤⎦Ωs t -nT s /2 （3.10）

其中：h (t )=Ωs /2sin Ωs /21为sinc 内插函数，从频域来看，它起 ⎰T s e j Ωt d Ω= 2π-Ωs /2Ωs t /2

该方法重建信号和适应性好，但插值方法较复杂，内插速度较慢。

3.3 内插技术的实现

3.3.1 内插技术的应用背景

3.3.2内插程序实现的程序流程图

图3.2 内插程序实现的流程图

第4章利用MATLAB 进行数字滤波和内插程序设计及实现

4.1 MATLAB的简介

项，包括Lowpass （低通）、Highpass （高通）、Bandpass （带通）、Bandstop （带阻）和特殊的FIR 滤波器。

Window Pecifications 选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种窗函数

4.2 IIR 滤波器设计实例

4.2.1 IIR 在MATLAB 中的设计

(a) 幅频特性

(b)相频特性

(c)冲击响应

图 4.1 滤波器的幅频、相频和冲激响应（特性区）

4.2.2 程序的设计方法

在 MATLAB 中，对各种滤波器的设计都有相应的计算振幅、相位和冲激响应的函数，可以用来做滤波器程序设计。

上例IIR 滤波器的冲激响应可用程序设计如下：

%chebyshev1 bpf

n=10; 阶数为10

Rp=0.5; %的幅植衰减为0.5

Wn=[100 200]/500;

[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn);

[y,t]=impz(b,a,101);

stem(t,y,’.’);

在MATLAB 环境下运行该程序即可得到滤波器的时域冲激响应。

4.2 .3 设计实例分析

4.3 Simulink 仿真

4.3. 1 Simulink 仿真实例

可导入FDATool 所设计的滤波器文件。

(a) Simulink 仿真图

(b) 原始信号波形

图4.2 Simulink仿真结果

4.3.2 仿真结果

总结

(2) 从结构上看，IIR 滤波器必须采用递归结构来配置极点，并保证极点位置在单位圆内。

致谢

这次经历让我受益不少，我将以这次的实际经验作为我以后工作的动力，让我对以后的工作充满信心。

我还要深深地感谢我的父母，毫无怨言默默地供养着我，感谢他们对我无私的爱，对我的学习和生活提供了无限的支持。

感谢所有曾经给予我热情帮助的人，祝他们永远幸福快乐。

参考文献

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[2] 胡广书，数字信号处理—理论、算法与实现. 清华大学出版社，1997.

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[10] 魏巍，MATLAB 信息工程工具箱技术手册[ M].北京:国防下业出版社，2004.

[11] 姜建国，曹建中，高玉明. 信号与系统分析基础. 清华大学出版社，1994.

毕业设计小结

通过这几个月对毕业设计的完成和对相关资料的收集, 自我感觉这是一次对我在大学三年所学知识的一次总结和应用，我感到受益匪浅。

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