结构动力学思考题 made by 李云屹
思考题一
1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？ 主要区别为：
(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；
(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化； (3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。 运动方程的不同：
动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？ 动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；
静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？
4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？ (1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散；
(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？ 如果满足条件： (1)线性问题；
(2)重力的影响预先被平衡；
则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二 1、刚度系数k ij 和质量系数m ij 的直接物理意义是什么？如何直接用m ij 的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？
k ij ：由第j 自由度的单位位移所引起的第i 自由度的力； m ij ：由第j 自由度的单位加速度所引起的第i 自由度的力。
依次令第j （j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i 自由度上的力，从而得到m ij ，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？
1T
}[M ]{u } {u 21T
V ={u }[K ]{u }
2T =
3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：
优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。 缺点：涉及矢量计算，通常计算较繁琐；涉及叠加原理，不易处理非线性问题。 (2)拉格朗日方程法：
优点：仅涉及标量计算；求解不限于线性问题，适用范围广。 缺点：不便计算机编程，不适用于大规模问题。
4、什么是几何刚度，几何刚度主要与什么量有关，几何刚度对结构动力特性有什么影响？ 几何刚度：表示结构在变形状态下的刚度变化。（轴力引起的附加弯矩的影响） 几何刚度主要与轴力的大小及构件的几何形状与尺寸有关。
几何刚度会产生P-Δ效应，改变结构的动力特性。压力降低刚度，拉力增加刚度。
5、什么是结构动力问题分析中的静力凝聚法？动力自由度的概念是什么？静力凝聚法在结构动力问题分析中可起什么作用？ 静力凝聚法：当静力自由度数目大于动力自由度时，消去广义质量为零或很小的广义坐标，从而缩减结构体系自由度数目的方法。
动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数。 作用：缩减计算规模，提高计算效率，降低计算量。
6、试证明多自由度体系的位能和动能分别为：
1N N
V =∑∑k ij u i u j
2i =1j =1T =
1
i u j ∑∑m ij u
2i =1j =1
N
N
证明：
弹性恢复力所做的功为
W =∑⎰
i =1N
N
B N A
∑F ij du i =∑∑⎰k ij u j du i =∑∑
j =1B
i =1j =1N
A
i =1
N
N N
B
N
1B
k ij u j du i +k ji u i du j )(⎰A
j =12
N
=∑∑
i =1
N
11
k du u =k ij (u iB u jB -u iA u jA )∑∑ij i j ⎰A 22j =1i =1j =1
故定义弹性位能为：
1N N
V =∑∑k ij u i u j
2i =1j =1
惯性力所做的功为
W =∑⎰
i =1N
N
B N A
j du i =∑∑∑F ij du i =∑∑⎰m ij u
j =1
i =1j =1
N
A
i =1
N
N N
B
N
1B
j du i +m ji u i du j )m ij u (⎰A
j =12
N
=∑∑
i =1
N
1B 1
iB u jB -u iA u jA )m du u =m ij (u ∑∑ij i j ⎰A
j =12i =1j =12
j du dt
i du j du i =u
j du i =注意到u
故定义动能为：
1N N
i u j T =∑∑m ij u
2i =1j =1
7、如何充分论证，当多自由度体系的动力自由度不能充分确定体系的几何位置时，初始建立的运动方程组中一定含有非动力自由度的静力自由度？ 证明：
假设初始建立的运动方程组不含非动力自由度的静力自由度，则质量矩阵[M]满秩，则动力自由度可以充分确定体系的几何位置，与前提条件矛盾。
8、在推导拉格朗日方程时，给出了以下几个基本表达式： 位移：u i =u i (q 1, q 2,..., q n ; t )
(1) (2) (3)
1, q 2,..., q n ) 动能：T =T (q 1, q 2,..., q n ; q
势能：V =V (q 1, q 2,..., q n )
问题：
(1)式为什么显含时间t ？
有时位移中可以存在已知的显含的时间t 的函数，比如地基运动问题。 (2)式(2)中是否应显含时间t ？
如果位移显含t ，由于动能是位移的函数，也应该显含时间t 。
(3)难道广义坐标及速度完全确定后，体系的动能还与时间t 有关系？ 可以有关系，比如地基运动问题中，体系的动能就与时间t 有关系。 (4)势能中是否应显含时间t ？
如果位移显含时间t ，由于势能是相对位移的函数，也可能会显含时间t 。 (5)为什么在变分运算时，不对显含的时间t 进行运算？
因为显含时间的函数随时间的变化规律是已知的，它的变分为零，即δt=0。 (6)若式(2)、(3)中显含时间t ，对拉格朗日方程的推导是否有影响？ 由于时间t 的变分为零，对拉格朗日方程的推导没有影响。（实质上是方程的边界条件）
思考题三
1、在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？什么叫临界阻尼？什么叫阻尼比？怎样测量结构振动过程中的阻尼比？一般建筑结构的阻尼比是多少？ 产生阻尼的原因：
(1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散； (2)构件之间或构件与非构件之间的摩擦； (3)结构外部介质的阻力。
临界阻尼：使体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。 阻尼比：体系中实际阻尼系数与临界阻尼系数的比值。 测量结构阻尼比的方法： (1)对数衰减率法； (2)共振放大法； (3)半功率带宽法； (4)等效粘性阻尼法。
对于钢结构，ζ=0.01左右；
对于混凝土结构，脉动荷载下ζ=0.03左右，地震下ζ=0.05左右。
2、分析临界阻尼体系自由振动的可能运动形式及其满足的条件。
(0)≥-ωn u (0)时，位移不会变号； u
(0)
3、阻尼对结构的自振频率有什么影响？阻尼变大，结构的自振周期如何变化？
由ωD =ω当ζ
当ζ
4、为什么说自振周期是结构的固有特性？它与结构哪些固有量有关？
动荷载及初始条件确定后，结构的动力响应就仅由结构的自振周期（自振频率）控制。自振频率与结构的质量、刚度及阻尼比有关。
5、什么是动力放大系数？动力放大系数的大小与哪些因素有关？单自由度体系位移的动力放大系数与内力的动力放大系数是否一样？ 动力放大系数：动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应的比值。 简谐荷载下的动力放大系数与频率比（自振频率、荷载频率）、阻尼比有关：
R d =
当惯性力与动荷载作用线重合时，位移动力系数与内力动力系数相等，否则不相等。原因是：
当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时，引起的质量位移相等，但内力并不等效，根据动力系数的概念可知不会相等。
6、根据动力放大系数分析，什么时候动力放大系数Rd->1，如何理解下述结论：“随时间变化很慢的动荷载实际上可看作静荷载”。这里“很慢”的标准是什么？ 当ω->0时，Rd->1。
根据上述结论，当动荷载的频率很小时，动力放大系数趋于1，动荷载可以看作静荷载。 “很慢”的标准是惯性力相对于总荷载可忽略不计。
7、单自由度体系动荷载作用点不在体系的集中质量上时，动力计算如何进行？此时，体系中的动力放大系数是否仍然一样？ 通过动平衡方程或虚位移原理，将原动荷载用沿自由度方向作用于质量上的等效动荷载代替。集中质量位移的动力放大系数仍然一样，但体系其他部位的位移以及内力的动力系数通常不再相同，即不能采用统一的动力系数。
8、简谐荷载作用下有初始条件影响的无阻尼单自由度体系动力反应的瞬态反应项中
p 0ω/ωn
sin ωn t
k 1-(ω/ωn )2
一项是如何产生的，它与外荷载和初始条件的关系如何？ 是由外荷载产生的伴生自由振动，作用是使求得的解满足初始条件，它与外荷载的幅值和频率有关，与初始条件无关。
9、什么是共振？什么是共振频率？结构位移反应、速度反应和加速度反应的共振频率是否相同？ 定义一：共振是指体系在动荷载作用下振幅最大的情形，相应的动荷载的频率称为共振频率。 定义二：共振是指体系自振频率与动荷载频率相同而使振幅变得很大的一种现象。 当体系无阻尼时，结构位移反应、速度反应和加速度反应的共振频率相同；当体系有阻尼时，结构位移反应、速度反应好加速度反应的共振频率不同。
10、无阻尼体系和有阻尼体系的自振频率和共振频率是否相同？分别为多少？ 不相同，分别为：
思考题四
1、在结构动力反应分析中采用的阻尼理论有哪几种？各有什么特点？ (1)粘滞阻尼：大小与速度成正比 (2)摩擦阻尼：大小为常数
(3)滞变阻尼：大小与位移成正比
(4)流体阻尼：大小与速度的平方成正比
2、加速度计和位移计的设计原理是什么？如何设计速度计？
加速度计：在所量测的频段内（低频段，ω≤0.5ωn ）动力放大系数接近常数。 速度计：在所量测的频段内（高频段，ω>2ωn ）动力放大系数接近常数。
速度计：在所量测的频段内（中频段）动力放大系数接近常数。
3、用拟静力试验（往复加载的静力试验）测量结构构件阻尼比的原理是什么？如何实现？ 原理是阻尼耗能与加载频率关系不大。
实现方法是通过拟静力试验测出一个周期内的阻尼耗能E D ，从而计算出等效粘滞阻尼比：
ζeq =
22πku 0
ωn
E D
4、测量结构阻尼比的方法有几种？每一方法的优点和缺点是什么？ (1)对数衰减率法
优点：测量一阶振型的阻尼比比较容易。
缺点：确定高阶振型的阻尼比时，要能够激发出相应振型的自由振动，这一点比较困难。 (2)共振放大法
优点：方法简单，且可处理任意类型的多自由度体系。 缺点：等效静位移较难确定。 (3)半功率带宽法 优点：可操作性强。
缺点：对多自由度体系要求共振频率稀疏。 (4)能量等效阻尼比 优点：可操作性强。
缺点：对于共振频率之外的其他频率，物理概念不一定正确，只是一个近似。
5、简谐荷载作用下，在结构的一个振动循环中，外力、阻尼力、弹性恢复力和惯性力做工及其关系如何？
在稳定状态下，外力和阻尼力所做的功和为零，弹性恢复力和惯性力所做的功为零。
6、结构中阻尼的来源以摩擦型阻尼为主，为什么实际结构动力反应分析中采用的结构阻尼是滞变阻尼而不采用经典的库伦摩擦阻尼？仅仅是出于计算上的方便？ (1)在简谐反应分析（频域分析）中，滞变阻尼理论与试验结果相符； (2)函数连续可微，便于计算；
(3)结构的等效阻尼比可以通过试验测得，而摩擦系数较难通过试验确定。
7、滞变阻尼（复阻尼）的三种形式在复数域是完全等价的，但在一个振动循环内的耗能确不相同，原因是什么？
复数域上取模后会丢失一部分信息（不再一一对应），做围道积分时会产生差异，故第一种形式与后两种有所不同。
8、第1和第3种形式的滞变阻尼在实数域的定义不尽相同，但在复数域则完全等价，若分别采用这两种形式的滞变阻尼进行结构动力反应分析，是否预示着采用实数域分析和复数域分析会获得矛盾的结果？
因为实数域与复数域并不是一一对应的关系，所以可能会获得矛盾的结果。（扯的）
思考题五
1、在杜哈梅积分中时间变量τ和t 有什么区别？怎样用杜哈梅积分求解任意动荷载作用下的动力位移问题？简谐荷载下的动位移可以用杜哈梅积分求解吗？
积分上限t 是原函数的自变量，是动力响应发生的时刻；τ是积分变量，是瞬时冲量作用的时刻。
对于无阻尼体系：
u (t )=
1m ωn
⎣ω(τ-t )⎤⎦d τ ⎰p (τ)sin ⎡
n
t
对于阻尼体系：
1
u (t )=
m ωD
⎣-ζω(τ-t )⎤⎦sin ⎡⎣ω(τ-t )⎤⎦d τ ⎰p (τ)exp ⎡
n
D
t
简谐荷载可以使用杜哈梅积分。
2、采用连续傅里叶变换和离散傅里叶变换研究非周期荷载作用下体系动力反应问题时的最主要差别是什么？在采用离散傅里叶变换分析时都应注意哪些问题？
采用连续傅里叶变换时仍为非周期函数，而离散傅里叶变换会将非周期函数周期化。 注意事项：
(1)离散傅里叶变换将非周期时间函数周期化；
(2)对荷载P(t)要增加足够多的零点以增大持续时间Tp ，以保证在所计算的时间段[0,Tp]内体系位移能衰减到0；
(3)频谱上限频率（奈奎斯特频率）为f Nyquist =1/2∆t ； (4)频谱的分辨率为∆f =1/T p ； (5)频谱的下限f 1=1/T p 。
3、对比基于傅里叶级数和离散傅里叶变换得到的结构动力反应的解式，分析两者之间的异同。
傅里叶级数：u (t )=
j =-∞
∑H (i ω)exp (i ωt )
j
j
∞
1
离散傅里叶变换：u (t k )=
T p ⎛2πkj ⎫
U ωexp -i (j ) ∑⎪
N ⎭⎝j =0
N -1
相同点：
(1)计算的结果都具有周期性； 不同点：
(1)从本质上讲，傅里叶级数处理的是周期性荷载，而离散傅里叶变换处理的是任意荷载； (2)傅里叶级数得到的结果是连续的，离散傅里叶变换得到的结果是离散的； (3)傅里叶级数是无穷级数，离散傅里叶变换是有限项求和。
4、在离散傅里叶变换中，从傅里叶谱离散化给出的离散频率点看，最大频率点为f N =1/∆t ，但理论上给出的上限频率却仅为f Nyquist =1/2∆t ，为什么？
如果采样频率高于奈奎斯特频率，将会发生频率混叠现象，不能真实还原被测信号。
5、什么是奈奎斯特频率？为什么称奈奎斯特频率为折叠频率？它有什么作用？为保证离散数值分析的精度，最大有效频率应如何取值？
奈奎斯特频率是离散信号系统采样频率的一半，即f Nyquist =1/2∆t
因为超过奈奎斯特频率的信号与其关于奈奎斯特频率对称的频率的信号相同，故称奈奎斯特频率为折叠频率。
作用是确定了采样频率的上限。
由于接近奈奎斯特频率的信号在采样和重建过程中可能会产生畸变，最大有效频率一般取奈奎斯特频率的三分之二。
6、在采用离散傅里叶变换方法进行结构动力反应问题分析时，将导致“周期化”，什么是非周期问题的“周期化”？如何避免“周期化”对结构动力反应的影响？ “周期化”是指离散傅里叶变换会将非周期函数变为周期函数。
对荷载P(t)要增加足够多的零点以增大持续时间Tp ，以保证在所计算的时间段[0,Tp]内体系位移能衰减到0。
7、什么是数值信号处理问题中的分辨率？如何提高分辨率？分辨率对结构阻尼比的计算有什么影响？
分辨率是指采样间隔，表达式为∆f =1/T p
可以通过增大持续时间Tp 来提高分辨率。
分辨率越高，解的精度越高，计算阻尼比时的精度通常也越高。
8、什么是反应谱，它与那些物理量有关？什么是地震影响系数，它与反应谱有什么关系？什么是动力系数，它与反应谱和地震影响系数有什么关系，与动力放大系数有什么关系？ 反应谱是指在给定的地震作用下，结构的最大（相对）位移反应和最大（绝对）加速度反应随自振周期变化的曲线，它与给定的地震动加速度时程、结构的阻尼比以及自振周期有关。 地震影响系数是以重力加速度g 为单位的反应谱，
与反应谱的关系为：α=S a /g 地震动力系数是归一化的反应谱，
g 与反应谱的关系为：β=S a /u
g 与地震影响系数的关系为：β=α⋅g /u
st /u g 与动力放大系数的关系为：β=R d ⋅u
思考题六
1、什么是多自由度体系的振型，用振型对结构的位移进行展开，即采用振型叠加法进行结构动力反应分析有什么优点？
振型是体系上所有质量按相同频率做自由振动时的振动形状。
优点是将耦联的N 个自由度问题解耦为N 个独立的单自由度问题，避免求解联立方程。
2、什么是振型的正交性？振型关于刚度阵正交的物理意义是什么？振型关于质量阵正交的物理意义是什么？
振型的正交性：当m ≠n 时，
{φ}m [M ]{φ}n =0 {φ}m [K ]{φ}n =0
物理意义：某一振型产生的弹性恢复力（惯性力）在另一振型上做功为零，即不同振型间能量不会传递。
3、如何证明振型的完备性？如何证明结构振型之间是线性无关的？
由于振型{φ}i 为矩阵[K ]⋅[M ]的特征向量，而矩阵[K]、[M]都是正定矩阵，故矩阵
-1
T
T
[K ]⋅[M ]-1也为正定矩阵，则其特征向量{φ}i 是线性无关的。
对于N 维空间，由于向量{φ}i (i =1,2,..., N )是线性无关的，故它们构成了该线性空间的一组基，故振型具有完备性。
4、什么是振型质量Mn 和阵型刚度Kn ？它们与自振频率ωn有什么关系？对应于结构某阶振型，振兴质量Mn 和阵型刚度Kn 是否为固定常数？
M n ={φ}n [M ]{φ}n K n =
{φ}n [K ]{φ}n
T
T
ωn =
2
它们不是固定常数，但它们的比值是固定常数ωn 。
5、对于单自由度体系通过自由振动分析可以获得结构的无阻尼自振频率ωn和有阻尼自振频率ωD，对于多自由度有阻尼体系，如何获得结构的自振频率和振型？ 通过阻尼的解耦假定，仍可得到与单自由度体系类似的结论：
ωD =
振型与无阻尼体系一致。
6、振型叠加法用到了叠加原理，什么情况下能用这个方法？什么情况下不能用？ 只有线性体系才能使用叠加原理。
如果出现材料非线性、几何非线性或运动非线性，都不能使用叠加原理。
7、在多自由度体系振型阻尼比的现场动力测量时，可以采用自由振动试验法，此时需要使结构按不同振型做自由衰减振动，如何使多自由度体系只按某个特定的振型振动？ 各质点之间的初位移和初速度的比值应具有该振型的比值关系。
8、N 个自由度的体系有多少发生共振的可能性？为什么？ 有N 个，因为有N 种不同的振型。
9、多自由度体系的频率方程存在重根时，体系自振频率个数、振型个数与自由度数关系如何？各振型之间的关系如何？ 自振频率个数少于自由度数。 振型个数等与自由度数。 各振型之间仍然保持正交性。
10、如何判断频率方程是否存在重根及其为几重根？ 记f (ω)=[K ]-ω则若f
(j )
2
[M ]
(ωi )=0(j =1,2,..., k )且f (k +1)(ωi )≠0
便在ωi处存在k 重根。 11、什么是矩阵的正定条件？体系刚度矩阵和质量矩阵的正定条件是否能保证频率方程不出现重根？
对于对称矩阵A ，若对于任意非零向量x ，均满足不等式x Ax >0，则称矩阵A 为正定矩阵。
不能保证。
思考题七
1、为什么阻尼会对结构振型的正交性产生影响，什么时候阻尼称为经典阻尼？什么时候称
T
为非经典阻尼？
因为推到正交性时没有考虑阻尼。（而使用复模态时就考虑了阻尼） 经典阻尼是指满足振型正交条件的阻尼。（阻尼矩阵为对角阵） 非经典阻尼是指不满足振型正交条件的阻尼。（阻尼矩阵为非对角阵）
2、当结构的阻尼为非经典阻尼时，采用振型叠加法计算结构动力反应时，避免求解联立方程组的两种基本分析方法是什么？各有什么优缺点？ (1)迭代法
优点：形式简单直观；
缺点：需要计算多步，计算量可能较大。 (2)复模态方法
优点：可以得到解耦的独立方程；
缺点：矩阵的阶数增大，且自振频率和振型都是复数，要花费更多的时间。
3、Rayleigh 阻尼的概念和特点，确定Rayleigh 阻尼公式中两参数的原则是什么？ Rayleigh 阻尼的定义：假设结构的阻尼矩阵是质量矩阵好刚度矩阵的组合，即 [C]=a0[M]+a1[K]
特点：满足振型正交条件。
原则：所有感兴趣的频率都在频段内⎡⎣ωi , ωj ⎤⎦。
4、扩展的Rayleigh 阻尼（Caughey 阻尼）的概念；用多个自振频率和振型阻尼比确定扩展Rayleigh 阻尼的常数时，在自振频率个数的选取上应注意的基本原则是什么？ Caughey 阻尼的概念：[C ]=[M ]
∑a ([M ][K ])
-1
l
l l =0
L -1
基本原则：频率点应取偶数个，防止出现负阻尼。
5、为什么高阶振型对结构动力反应的影响小？ 对于地震荷载，外荷载的频率较小，故对于高阶振型，
ω
较小，则动力放大系数趋于1。 ωn
6、当结构不同部分的阻尼比存在明显差异时，如何较高精度地实现结构地震反应的振型分解反应谱分析？
(1)先将结构分为几个内部阻尼接近的子结构； (2)各子结构阻尼是经典的，可分别建立阻尼矩阵； (3)集成后得到结构总体阻尼阵。
7、构造结构阻尼矩阵的目的是什么？为什么采用Rayleigh 阻尼假设？当结构由阻尼相差较大的几部分构成时，结构体系的阻尼矩阵如何建立？ 目的：在有阻尼体系的动力分析问题中使用振型叠加法。
采用Rayleigh 阻尼假设是为了构造出既满足振型正交条件又具有一定精度的阻尼矩阵，从而简化计算。
(1)先将结构分为几个内部阻尼接近的子结构； (2)各子结构阻尼是经典的，可分别建立阻尼矩阵； (3)集成后得到结构总体阻尼阵。
8、Rayleigh 阻尼是一种经典阻尼，满足振型正交条件，用振型叠加法分析经典阻尼结构的动力反应问题时，是否需要采用Rayleigh 阻尼假设并构造阻尼矩阵？
对于经典阻尼结构，阻尼矩阵已经满足了振型正交条件，无需再使用Rayleigh 阻尼假设。
9、什么是振型阻尼比？实际工程中不同阶振型阻尼比的变化规律如何？数值计算时一般如何选取？
振型阻尼比：某一特定振型下的阻尼比，即
ξn =
C n
2ωn M n
实际工程中振型阻尼比随振幅的增大而增大，且因振型的不同而不同。 数值计算中一般取为与振型阶数无关的定值。 10、什么是振型加速度？什么是振型加速度法？什么是静力修正法？两种分析方法有什么异同？
振型加速度：振型位移q n (t)关于时间的二阶导。
振型加速度法：在叠加公式中使用振型加速度法（包括振型速度）。 静力修正法：对于高阶振型，采用简化的静力分析方法。
除数值计算引起的误差外，静力修正法好振型加速度法给出的结果是相同的。
思考题八 1、建立杜哈梅积分公式和Newmark-β法时域逐步积分公式时最主要的区别是什么？如果在用杜哈梅积分求解任意动荷载作用下的反应问题时，先将时间τ等步距离散化，然后采用数值积分，可否用杜哈梅积分求解非线性问题？
最主要区别是杜哈梅积分公式得到的是精确的解析解；而Newmark-β法得到的是近似的数值解。
不能，因为杜哈梅积分公式建立在叠加原理的基础上，不能求解非线性问题。
2、用中心差分逐步分析方法计算结构非线性动力反应问题时，在每一步的计算中能否像Newmark-β法那样实现对非平衡力的迭代修正计算？
不能，中心差分逐步分析方法使用的是原始的运动方程，而非增量运动平衡方程，不涉及位移增量的计算，运动状态是一个整体，无法进行迭代修正。
3、结构阻尼的存在有助于减小结构的动力反应，阻尼是否有助于控制时域逐步积分法引起的结构振荡失稳，即提高动力问题数值算法的稳定性？
不一定，比如在Clough 格式的显式中心差分法中，当阻尼比超过0.5时，稳定性随阻尼比的增大而变差。
4、Wilson-θ法将引起结构动力反应振幅的进一步衰减，这称为算法阻尼，试讨论算法阻尼
利：通常能提高算法的稳定性。 弊：会降低计算结果的精度。
5、时域逐步积分法的计算精度和稳定性的概念及两者之间的关系。 计算精度：截断误差与时间步长之间的关系。
稳定性：随时间步数的增大，数值解是否会远离精确解。 一般而言，计算精度与稳定性正相关，但也有例外。
6、建立一种时域逐步积分算法，要进行包括收敛性、计算精度、稳定性和计算效率四方面基本问题的分析，如何进行算法的收敛性和计算精度的分析？ 按照定义进行，分析截断误差及计算结果随时间步长的变化规律。
7、显示算法不需要求解联立方程组，而隐式算法需要求解联立方程组。如何证明“所有的显示算法都是有条件稳定的，而隐式算法可以是有条件稳定或无条件稳定”这一论断？ 对于显示算法，所有的系数矩阵均为对角阵，故计算公式可化简为：
{u }i +1=f (∆t )[A ]{u }i +{b }i
式中，A 为对角阵，若要求算法稳定，则
ρ(f (∆t )[A ])=f (∆t )ρ([A ])≤1
显式地存在∆t ，必然对∆t 有所要求，故显示算法都是有条件稳定的。 对于隐式算法，f (∆t )可能被消掉，故可以是无条件稳定的。
8、结构阻尼常用于描述结构线弹性动力反应时的耗能效应，对于结构弹塑性反映问题，塑形反应将引起结构振动能量的耗散，称为塑性耗能。在结构弹塑性反应问题分析中是否还应继续考虑阻尼耗能？如果不考虑，能否出现问题？如果要考虑，如何考虑？ 要考虑，
(1)塑性耗能只是耗能的一种，还有摩擦耗能、环境阻力耗能等的影响；
(2)结构并不是一直处在塑性状态中，在弹性状态不考虑阻尼耗能会产生较大误差。
思考题九 1、什么是欧拉-伯努利梁？什么是铁木辛柯梁？剪切变形和转动惯量对梁的自振频率和变形有什么影响？
欧拉-伯努利梁：仅考虑弯曲变形的梁。
铁木辛柯梁：除了弯曲变形外，还考虑了剪切变形和转动惯量的影响。
剪切变形和转动惯量会使结构的自振频率降低，并会改变阵型，且阶数越高，影响越大。
2、欧拉-伯努利梁和铁木辛柯梁在梁的变形基本假设上的异同。 相同点：都使用了平截面假定；
不同点：欧拉-伯努利梁仅考虑了弯曲变形，而铁木辛柯梁还考虑了剪切变形和转动惯量的影响。
3、均匀梁有多少个自振频率？对于实际建筑结构，粗略推断作为结构构件的单梁（柱）自振频率和整体结构自振频率之比值的可能范围。 有无穷多个自振频率。 可能会差很多。
4、轴力对弯曲梁和剪切梁的自振频率有什么影响？轴力对杆的自振频率是否有影响？轴力是否影响梁的振型？
拉力会使得梁的自振频率增大，压力会使得梁的自振频率减小。 对于杆，轴力是外荷载，对其自振频率没有影响。 轴力不影响梁的振型。
5、梁的每一个端点分别有位移、转角、弯矩、剪力四个条件，为什么仅能提供两个边界条件？
因为位移与剪力不独立，转角与弯矩不独立。
6、欧拉-伯努利梁为什么被称为纯弯曲梁？是梁中不存在剪力吗？ 因为欧拉-伯努利梁中只有弯曲变形。 存在剪力，但不存在剪切变形。
7、铁木辛柯梁是否是完全合理、精确地描述均直梁变形关系的理论？ 不是，铁木辛柯梁仍然用到了平截面假定。
8、试叙述建立铁木辛柯梁时的几何方程、物理方程和平衡方程。 见教材。
9、横向变形梁的平截面假设有几种，各有什么特点？对应着什么梁？
欧拉-伯努利梁：平面截面变形后仍为平面，且变形后的截面与变形后的轴线垂直。 铁木辛柯梁：同上。
均匀剪切梁：平面截面变形后仍为平面，且变形后的截面与变形前的轴线垂直。 轴向杆：同上。
10、如果要更深入、系统地研究梁截面的变化、变形规律及平截面假设带来的影响，都可以采用什么方法开展分析？
可以采用弹塑性力学数值计算的方法来开展分析。
11、不同梁理论（轴向，剪切，弯曲，弯剪）的关键不同点在何处？ 关键不同点在于对变形形态的假设不同，轴向杆只发生轴向变形，均匀剪切梁只发生剪切变形，弯曲梁只发生弯曲变形，弯剪梁发生弯曲变形和剪切变形。
思考题十
1、当均匀梁中有一集中质量M 时，梁的运动方程有什么变化，梁的振型如何推导？ 运动方程中会多出一项惯性力。
在推导振型时，可以将集中质量当作边界条件来处理，即通解不变，但系数会有所变化。
2、如果在进行结构模态分析时未考虑梁上集中质量M 的影响，得到的振型是否可以用于梁的动力反应分析（用振型叠加法）？如果可以，会出现什么问题？ 可以，此时将集中质量的惯性力视为外荷载。 运动方程会变成耦联的。 3、当均匀简支梁的梁端支座产生竖向运动时，如何求解支座运动引起的简支梁的动力反应？ 可将支座运动等效为线性分布的动力荷载。
4、如何将一根梁的研究成果推广用于具有分布参数的框架结构的自振频率和振型的分析？ 可以使用动力直接刚度法。将梁单元的动力刚度矩阵组装成结构的动力刚度矩阵，并进行求解。
5、一根梁的自振频率ωn 与n 或n 2成正比，为什么由梁组成的大型复杂结构体系，例如大跨悬索桥的自振频率不按这一规律变化，而表现出频率密集的性质？ 我！不！知！道！
思考题十一
1、有限元法和一般广义坐标法的试函数（有限元法中称插值函数或形函数）及广义坐标有什么主要差别？
2、集中质量和一致质量有限元法的差异和优缺点，采用这两种有限元模型给出的结构自振频率与实际结构自振频率的关系。 差异：对质量分布的假设不同。
3、在结构有限元模型中，动力自由度和静力自由度是否相同？ 对于一致质量法，是相同的； 对于集中质量法，是不同的。
4、对于一致质量和集中质量有限元模型，如果采用Rayleigh 阻尼，与质量矩阵成正比的阻尼比有什么不同？与刚度阵成正比的阻尼比是否相同？
Rayleigh 阻尼不仅与质量阵、刚度阵有关，还和自振频率有关，故与质量矩阵成正比的阻尼比完全不同，与刚度阵成正比的阻尼比只是系数a 1不同。
5、当采用中心差分法对无阻尼结构有限元模型的运动方程进行时域逐步积分求解时，集中质量法和一致质量法的逐步积分公式的最主要差别是什么？
集中质量法的质量阵是对角阵，公式为显式；一致质量法的质量阵是非对角阵，公式为隐式。
6、是否可以从理论上证明一致质量有限元模型的基本自振频率必定高于相应连续结构的基本自振频率？
可以，一致质量模型相当于对体系增加了约束，提高了结构刚度，故计算的自振频率不小于理论值。
思考题十二
1、结构动力反应问题中引起不确定性的来源有几种？指出工程结构动力分析中的两类不确定性问题。 有3中：
(1)结构确定，输入不确定； (2)结构不确定，输入确定； (3)结构和输入都不确定。 主要是前两种。
2、什么是随机变量？什么是随机过程？两者之间有什么关系？ 随机变量：一个量不能预先确定，但其取值满足一定的分布。 随机过程：作为时间函数的随机变量。
3、什么是平稳随机过程？强平稳和弱平稳的定义？
平稳随机过程：统计特征不随时间的推移而发生变化的随机过程。 强平稳：随机过程的各阶矩均与时间t 无关。
弱平稳：随机过程的一阶矩和二阶矩与时间t 无关。
4、什么是宽带随机过程？什么是窄带随机过程？把平稳随机过程划分为窄带过程和宽带过程在工程上有什么实际意义？
宽带随机过程：功率谱密度函数在相当宽的频带上取有意义的数量级。 窄带随机过程：功率谱密度函数只在较窄的频带内具有有意义的数量级。
实际意义：如果结构的输入谱具有窄带特征，则结构设计时应优先选择避开该频段，避免发生共振；如果结构的输入谱具有宽带特征，则应考虑通过增大结构阻尼等方式减小结构反应。
5、什么是各态历经随机过程？它与平稳随机过程的关系？
各态历经随机过程：平稳过程的一个样本包含了其他各次取样的全部特征。 平稳是各态历经的必要条件，但不是充分条件。
6、给出三种常见的随机过程描述。 无聊不无聊！
7、功率谱密度函数和自相关函数的定义，什么是Wiener-Khintchin 定理。 功率谱密度函数：S x (ω)=lim
21
F (ω)
T →∞T
自相关函数：R (t , t +τ)=E ⎡⎣x (t )x (t +τ)⎤⎦
Wiener-Khintchin 定理：功率谱密度函数和自相关函数互为Fourier 变换对。
8、在结构动力学课程介绍的线性结构随机反应的频域分析方法中如何反映或说如何实现结构动力反应的不确定性计算。
(1)输入的功率谱密度函数S x (ω)已知，确定结构的复频响应函数H (i ω)； (2)计算结构反映的功率谱密度函数S y (ω)=H (i ω)S x (ω)； (3)通过Fourier 逆变换计算自相关函数R y (τ)=
2
12π
⎰
+∞
-∞
S y (ω)exp (i ωτ)d ω；
(4)假设结构相应的均值，计算其方差。
思考题十三
1、推导Rayleigh-Ritz 法时，通过对Rayleigh 熵取极值得到了Rayleigh-Ritz 法的基本公式，取极值的物理背景是什么？
增加约束会使体系的频率变大，Rayleigh 法得到的是固有频率的上限，故取极小值最接近真实的固有频率。
2、Rayleigh-Ritz 法首先假设一组振型，通过在一个减缩空间的模态分析获得结构体系的一组振型和自振频率。能否利用所获得的振型继续用Rayleigh-Ritz 法进行迭代分析以获得精度更好的一组振型和自振频率？
不能，Rayleigh-Ritz 法求得的已经是线性空间中Rayleigh 熵最小的解了，继续使用Rayleigh-Ritz 法不会改变结果。
3、在用振型叠加法分析结构动力反应问题时，可以采用自振振型，也可以采用Ritz 向量，与普通自振振型相比，荷载相关的Ritz 向量的优缺点是什么？ 优点：对于相应的外荷载收敛很快，且易于编程。
缺点：与外荷载的分布形式有关，当外荷载的分布形式变化时，需要重新计算相应的Ritz 向量。
4、Lanczos 向量与Ritz 向量的关系，用Lanczos 方法得到的振型与Lanczos 向量是否是同一概念(是否相同) ？
Lanczos 向量与Ritz 向量是等价的，但物理概念不同（Lanczos 方法计算的是自振振型，Lanczos 向量则是强迫振动时的振型）。
5、子空间迭代法与Rayleigh-Ritz 法和矩阵迭代法的关系，与Rayleigh-Ritz 法和矩阵迭代法相比，子空间迭代法有什么优点？
子空间迭代法是Rayleigh-Ritz 法和矩阵迭代法的综合应用，通过矩阵迭代法修正子空间，再通过Rayleigh-Ritz 法得到子空间的频率和振型。
与Rayleigh-Ritz 法相比的优点：子空间得到修正，精度更高。
与矩阵迭代法相比的优点：迭代次数减少，且一次可计算出多个频率和振型。
6、分析用Rayleigh-Ritz 法给出的连续介质模型的特征方程和一般广义坐标法给出的体系的运动方程，讨论两者之间的异同。
不同点：Rayleigh-Ritz 法是有限自由度（一种特殊的广义坐标法），一般广义坐标法是无限自由度。
相同点：表达式类似，当Rayleigh-Ritz 法的自由度数趋于无穷时，两者等价。
7、当研究的对象为非均匀连续梁时，如何运用Rayleigh 方法，或Rayleigh-Ritz 法计算非均匀梁的自振频率和振型？如何完成相应的理论和计算公式的推导？ 只需在计算Rayleigh 熵时将[K]与[M]换成相应的积分形式：
ρ(ψ)=
⎰
⎣ψ(x )⎤⎦⎰m (x )⎡
0l 0
l
EI (x )⎡⎣ψ'' (x )⎤⎦dx
2
2
dx
8、在结构自振频率的Rayleigh 方法近似分析中，选取假设振型的原则是什么？ 尽量接近所关心的真实振型。
9、用Rayleigh-Ritz 法可以得到结构的一组自振频率和振型，在使用这一方法时，如何选取一组假设振型？
振型是独立的，且满足相应的边界条件。 10、为什么矩阵逆迭代法会使结果收敛于低阶自振频率和振型，而矩阵正迭代法则使结果收敛于高阶自振频率和振型？
矩阵正迭代法等价于幂法（计算最大特征值），矩阵逆迭代法等价于反幂法（计算最小特征值）。
11、对于多自由度体系，是否根据任意选取的两阶假设振型，采用近似分析方法得到的两阶频率一定是结构前一、二阶频率的近似值？ 不能，只能得到前一、二阶频率的上界。
12、能否用荷载相关的Ritz 向量做为一组假设振型，由Rayleigh-Ritz 法得到结构的一组自振频率和振型？如果可以，在计算Ritz 向量时，计算的每一步都要求了各振型满足正交条件，为什么还可以进行迭代？
可以。在计算Ritz 向量时，只要求Ritz 向量关于质量阵正交，而没有要求它们关于刚度阵正交，故仍有迭代的空间。
思考题十四 1、什么是P-Δ效应？P-Δ效应的本质是什么？如何处理高层结构动力反应问题分析中的P-Δ效应？
P-Δ效应：轴力与横向荷载导致的位移相耦合而引起附加弯矩的现象。 本质：几何非线性（相对大转动）。 处理方法：引入几何刚度矩阵。
2、什么是结构健康监测？什么是结构检测？两者的研究目标和采用的研究方法有什么异同？
结构健康监测：对工程结构实施的损伤监测和识别。
结构检测：以各种试验测试手段对结构或构件的工作性能作出评价。 相同点：研究方法上均通过静力或动力试验得到数据，进行分析。 不同点：前者的目标是确定结构的健康状态，后者的目标是对工程结构的工作性能作出评价。
3、什么是结构地震反应问题中的多维地震动输入问题，这一问题的本质是什么？
结构动力反应分析中所需要考虑的结构不同反应分量之间的耦合影响，即“二阶效应”。
4、什么是结构多点地震动输入问题，如何建立这一问题的运动方程，能否用振型叠加法分析该问题？
将位移分解为相对运动和牵连运动，牵连运动也是与位置有关的量。 对于线性问题可以使用。
5、什么是物理非线性？在结构地震反应分析研究中，大体上有几种层面的结构物理非线性模型？
物理方程的非线性。
有材料层面、单轴应力应变层面、截面层面、构件层面等。
结构动力学思考题 made by 李云屹
思考题一
1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？ 主要区别为：
(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；
(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化； (3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。 运动方程的不同：
动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？ 动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；
静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？
4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？ (1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散；
(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？ 如果满足条件： (1)线性问题；
(2)重力的影响预先被平衡；
则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二 1、刚度系数k ij 和质量系数m ij 的直接物理意义是什么？如何直接用m ij 的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？
k ij ：由第j 自由度的单位位移所引起的第i 自由度的力； m ij ：由第j 自由度的单位加速度所引起的第i 自由度的力。
依次令第j （j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i 自由度上的力，从而得到m ij ，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？
1T
}[M ]{u } {u 21T
V ={u }[K ]{u }
2T =
3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：
优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。 缺点：涉及矢量计算，通常计算较繁琐；涉及叠加原理，不易处理非线性问题。 (2)拉格朗日方程法：
优点：仅涉及标量计算；求解不限于线性问题，适用范围广。 缺点：不便计算机编程，不适用于大规模问题。
4、什么是几何刚度，几何刚度主要与什么量有关，几何刚度对结构动力特性有什么影响？ 几何刚度：表示结构在变形状态下的刚度变化。（轴力引起的附加弯矩的影响） 几何刚度主要与轴力的大小及构件的几何形状与尺寸有关。
几何刚度会产生P-Δ效应，改变结构的动力特性。压力降低刚度，拉力增加刚度。
5、什么是结构动力问题分析中的静力凝聚法？动力自由度的概念是什么？静力凝聚法在结构动力问题分析中可起什么作用？ 静力凝聚法：当静力自由度数目大于动力自由度时，消去广义质量为零或很小的广义坐标，从而缩减结构体系自由度数目的方法。
动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数。 作用：缩减计算规模，提高计算效率，降低计算量。
6、试证明多自由度体系的位能和动能分别为：
1N N
V =∑∑k ij u i u j
2i =1j =1T =
1
i u j ∑∑m ij u
2i =1j =1
N
N
证明：
弹性恢复力所做的功为
W =∑⎰
i =1N
N
B N A
∑F ij du i =∑∑⎰k ij u j du i =∑∑
j =1B
i =1j =1N
A
i =1
N
N N
B
N
1B
k ij u j du i +k ji u i du j )(⎰A
j =12
N
=∑∑
i =1
N
11
k du u =k ij (u iB u jB -u iA u jA )∑∑ij i j ⎰A 22j =1i =1j =1
故定义弹性位能为：
1N N
V =∑∑k ij u i u j
2i =1j =1
惯性力所做的功为
W =∑⎰
i =1N
N
B N A
j du i =∑∑∑F ij du i =∑∑⎰m ij u
j =1
i =1j =1
N
A
i =1
N
N N
B
N
1B
j du i +m ji u i du j )m ij u (⎰A
j =12
N
=∑∑
i =1
N
1B 1
iB u jB -u iA u jA )m du u =m ij (u ∑∑ij i j ⎰A
j =12i =1j =12
j du dt
i du j du i =u
j du i =注意到u
故定义动能为：
1N N
i u j T =∑∑m ij u
2i =1j =1
7、如何充分论证，当多自由度体系的动力自由度不能充分确定体系的几何位置时，初始建立的运动方程组中一定含有非动力自由度的静力自由度？ 证明：
假设初始建立的运动方程组不含非动力自由度的静力自由度，则质量矩阵[M]满秩，则动力自由度可以充分确定体系的几何位置，与前提条件矛盾。
8、在推导拉格朗日方程时，给出了以下几个基本表达式： 位移：u i =u i (q 1, q 2,..., q n ; t )
(1) (2) (3)
1, q 2,..., q n ) 动能：T =T (q 1, q 2,..., q n ; q
势能：V =V (q 1, q 2,..., q n )
问题：
(1)式为什么显含时间t ？
有时位移中可以存在已知的显含的时间t 的函数，比如地基运动问题。 (2)式(2)中是否应显含时间t ？
如果位移显含t ，由于动能是位移的函数，也应该显含时间t 。
(3)难道广义坐标及速度完全确定后，体系的动能还与时间t 有关系？ 可以有关系，比如地基运动问题中，体系的动能就与时间t 有关系。 (4)势能中是否应显含时间t ？
如果位移显含时间t ，由于势能是相对位移的函数，也可能会显含时间t 。 (5)为什么在变分运算时，不对显含的时间t 进行运算？
因为显含时间的函数随时间的变化规律是已知的，它的变分为零，即δt=0。 (6)若式(2)、(3)中显含时间t ，对拉格朗日方程的推导是否有影响？ 由于时间t 的变分为零，对拉格朗日方程的推导没有影响。（实质上是方程的边界条件）
思考题三
1、在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？什么叫临界阻尼？什么叫阻尼比？怎样测量结构振动过程中的阻尼比？一般建筑结构的阻尼比是多少？ 产生阻尼的原因：
(1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散； (2)构件之间或构件与非构件之间的摩擦； (3)结构外部介质的阻力。
临界阻尼：使体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。 阻尼比：体系中实际阻尼系数与临界阻尼系数的比值。 测量结构阻尼比的方法： (1)对数衰减率法； (2)共振放大法； (3)半功率带宽法； (4)等效粘性阻尼法。
对于钢结构，ζ=0.01左右；
对于混凝土结构，脉动荷载下ζ=0.03左右，地震下ζ=0.05左右。
2、分析临界阻尼体系自由振动的可能运动形式及其满足的条件。
(0)≥-ωn u (0)时，位移不会变号； u
(0)
3、阻尼对结构的自振频率有什么影响？阻尼变大，结构的自振周期如何变化？
由ωD =ω当ζ
当ζ
4、为什么说自振周期是结构的固有特性？它与结构哪些固有量有关？
动荷载及初始条件确定后，结构的动力响应就仅由结构的自振周期（自振频率）控制。自振频率与结构的质量、刚度及阻尼比有关。
5、什么是动力放大系数？动力放大系数的大小与哪些因素有关？单自由度体系位移的动力放大系数与内力的动力放大系数是否一样？ 动力放大系数：动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应的比值。 简谐荷载下的动力放大系数与频率比（自振频率、荷载频率）、阻尼比有关：
R d =
当惯性力与动荷载作用线重合时，位移动力系数与内力动力系数相等，否则不相等。原因是：
当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时，引起的质量位移相等，但内力并不等效，根据动力系数的概念可知不会相等。
6、根据动力放大系数分析，什么时候动力放大系数Rd->1，如何理解下述结论：“随时间变化很慢的动荷载实际上可看作静荷载”。这里“很慢”的标准是什么？ 当ω->0时，Rd->1。
根据上述结论，当动荷载的频率很小时，动力放大系数趋于1，动荷载可以看作静荷载。 “很慢”的标准是惯性力相对于总荷载可忽略不计。
7、单自由度体系动荷载作用点不在体系的集中质量上时，动力计算如何进行？此时，体系中的动力放大系数是否仍然一样？ 通过动平衡方程或虚位移原理，将原动荷载用沿自由度方向作用于质量上的等效动荷载代替。集中质量位移的动力放大系数仍然一样，但体系其他部位的位移以及内力的动力系数通常不再相同，即不能采用统一的动力系数。
8、简谐荷载作用下有初始条件影响的无阻尼单自由度体系动力反应的瞬态反应项中
p 0ω/ωn
sin ωn t
k 1-(ω/ωn )2
一项是如何产生的，它与外荷载和初始条件的关系如何？ 是由外荷载产生的伴生自由振动，作用是使求得的解满足初始条件，它与外荷载的幅值和频率有关，与初始条件无关。
9、什么是共振？什么是共振频率？结构位移反应、速度反应和加速度反应的共振频率是否相同？ 定义一：共振是指体系在动荷载作用下振幅最大的情形，相应的动荷载的频率称为共振频率。 定义二：共振是指体系自振频率与动荷载频率相同而使振幅变得很大的一种现象。 当体系无阻尼时，结构位移反应、速度反应和加速度反应的共振频率相同；当体系有阻尼时，结构位移反应、速度反应好加速度反应的共振频率不同。
10、无阻尼体系和有阻尼体系的自振频率和共振频率是否相同？分别为多少？ 不相同，分别为：
思考题四
1、在结构动力反应分析中采用的阻尼理论有哪几种？各有什么特点？ (1)粘滞阻尼：大小与速度成正比 (2)摩擦阻尼：大小为常数
(3)滞变阻尼：大小与位移成正比
(4)流体阻尼：大小与速度的平方成正比
2、加速度计和位移计的设计原理是什么？如何设计速度计？
加速度计：在所量测的频段内（低频段，ω≤0.5ωn ）动力放大系数接近常数。 速度计：在所量测的频段内（高频段，ω>2ωn ）动力放大系数接近常数。
速度计：在所量测的频段内（中频段）动力放大系数接近常数。
3、用拟静力试验（往复加载的静力试验）测量结构构件阻尼比的原理是什么？如何实现？ 原理是阻尼耗能与加载频率关系不大。
实现方法是通过拟静力试验测出一个周期内的阻尼耗能E D ，从而计算出等效粘滞阻尼比：
ζeq =
22πku 0
ωn
E D
4、测量结构阻尼比的方法有几种？每一方法的优点和缺点是什么？ (1)对数衰减率法
优点：测量一阶振型的阻尼比比较容易。
缺点：确定高阶振型的阻尼比时，要能够激发出相应振型的自由振动，这一点比较困难。 (2)共振放大法
优点：方法简单，且可处理任意类型的多自由度体系。 缺点：等效静位移较难确定。 (3)半功率带宽法 优点：可操作性强。
缺点：对多自由度体系要求共振频率稀疏。 (4)能量等效阻尼比 优点：可操作性强。
缺点：对于共振频率之外的其他频率，物理概念不一定正确，只是一个近似。
5、简谐荷载作用下，在结构的一个振动循环中，外力、阻尼力、弹性恢复力和惯性力做工及其关系如何？
在稳定状态下，外力和阻尼力所做的功和为零，弹性恢复力和惯性力所做的功为零。
6、结构中阻尼的来源以摩擦型阻尼为主，为什么实际结构动力反应分析中采用的结构阻尼是滞变阻尼而不采用经典的库伦摩擦阻尼？仅仅是出于计算上的方便？ (1)在简谐反应分析（频域分析）中，滞变阻尼理论与试验结果相符； (2)函数连续可微，便于计算；
(3)结构的等效阻尼比可以通过试验测得，而摩擦系数较难通过试验确定。
7、滞变阻尼（复阻尼）的三种形式在复数域是完全等价的，但在一个振动循环内的耗能确不相同，原因是什么？
复数域上取模后会丢失一部分信息（不再一一对应），做围道积分时会产生差异，故第一种形式与后两种有所不同。
8、第1和第3种形式的滞变阻尼在实数域的定义不尽相同，但在复数域则完全等价，若分别采用这两种形式的滞变阻尼进行结构动力反应分析，是否预示着采用实数域分析和复数域分析会获得矛盾的结果？
因为实数域与复数域并不是一一对应的关系，所以可能会获得矛盾的结果。（扯的）
思考题五
1、在杜哈梅积分中时间变量τ和t 有什么区别？怎样用杜哈梅积分求解任意动荷载作用下的动力位移问题？简谐荷载下的动位移可以用杜哈梅积分求解吗？
积分上限t 是原函数的自变量，是动力响应发生的时刻；τ是积分变量，是瞬时冲量作用的时刻。
对于无阻尼体系：
u (t )=
1m ωn
⎣ω(τ-t )⎤⎦d τ ⎰p (τ)sin ⎡
n
t
对于阻尼体系：
1
u (t )=
m ωD
⎣-ζω(τ-t )⎤⎦sin ⎡⎣ω(τ-t )⎤⎦d τ ⎰p (τ)exp ⎡
n
D
t
简谐荷载可以使用杜哈梅积分。
2、采用连续傅里叶变换和离散傅里叶变换研究非周期荷载作用下体系动力反应问题时的最主要差别是什么？在采用离散傅里叶变换分析时都应注意哪些问题？
采用连续傅里叶变换时仍为非周期函数，而离散傅里叶变换会将非周期函数周期化。 注意事项：
(1)离散傅里叶变换将非周期时间函数周期化；
(2)对荷载P(t)要增加足够多的零点以增大持续时间Tp ，以保证在所计算的时间段[0,Tp]内体系位移能衰减到0；
(3)频谱上限频率（奈奎斯特频率）为f Nyquist =1/2∆t ； (4)频谱的分辨率为∆f =1/T p ； (5)频谱的下限f 1=1/T p 。
3、对比基于傅里叶级数和离散傅里叶变换得到的结构动力反应的解式，分析两者之间的异同。
傅里叶级数：u (t )=
j =-∞
∑H (i ω)exp (i ωt )
j
j
∞
1
离散傅里叶变换：u (t k )=
T p ⎛2πkj ⎫
U ωexp -i (j ) ∑⎪
N ⎭⎝j =0
N -1
相同点：
(1)计算的结果都具有周期性； 不同点：
(1)从本质上讲，傅里叶级数处理的是周期性荷载，而离散傅里叶变换处理的是任意荷载； (2)傅里叶级数得到的结果是连续的，离散傅里叶变换得到的结果是离散的； (3)傅里叶级数是无穷级数，离散傅里叶变换是有限项求和。
4、在离散傅里叶变换中，从傅里叶谱离散化给出的离散频率点看，最大频率点为f N =1/∆t ，但理论上给出的上限频率却仅为f Nyquist =1/2∆t ，为什么？
如果采样频率高于奈奎斯特频率，将会发生频率混叠现象，不能真实还原被测信号。
5、什么是奈奎斯特频率？为什么称奈奎斯特频率为折叠频率？它有什么作用？为保证离散数值分析的精度，最大有效频率应如何取值？
奈奎斯特频率是离散信号系统采样频率的一半，即f Nyquist =1/2∆t
因为超过奈奎斯特频率的信号与其关于奈奎斯特频率对称的频率的信号相同，故称奈奎斯特频率为折叠频率。
作用是确定了采样频率的上限。
由于接近奈奎斯特频率的信号在采样和重建过程中可能会产生畸变，最大有效频率一般取奈奎斯特频率的三分之二。
6、在采用离散傅里叶变换方法进行结构动力反应问题分析时，将导致“周期化”，什么是非周期问题的“周期化”？如何避免“周期化”对结构动力反应的影响？ “周期化”是指离散傅里叶变换会将非周期函数变为周期函数。
对荷载P(t)要增加足够多的零点以增大持续时间Tp ，以保证在所计算的时间段[0,Tp]内体系位移能衰减到0。
7、什么是数值信号处理问题中的分辨率？如何提高分辨率？分辨率对结构阻尼比的计算有什么影响？
分辨率是指采样间隔，表达式为∆f =1/T p
可以通过增大持续时间Tp 来提高分辨率。
分辨率越高，解的精度越高，计算阻尼比时的精度通常也越高。
8、什么是反应谱，它与那些物理量有关？什么是地震影响系数，它与反应谱有什么关系？什么是动力系数，它与反应谱和地震影响系数有什么关系，与动力放大系数有什么关系？ 反应谱是指在给定的地震作用下，结构的最大（相对）位移反应和最大（绝对）加速度反应随自振周期变化的曲线，它与给定的地震动加速度时程、结构的阻尼比以及自振周期有关。 地震影响系数是以重力加速度g 为单位的反应谱，
与反应谱的关系为：α=S a /g 地震动力系数是归一化的反应谱，
g 与反应谱的关系为：β=S a /u
g 与地震影响系数的关系为：β=α⋅g /u
st /u g 与动力放大系数的关系为：β=R d ⋅u
思考题六
1、什么是多自由度体系的振型，用振型对结构的位移进行展开，即采用振型叠加法进行结构动力反应分析有什么优点？
振型是体系上所有质量按相同频率做自由振动时的振动形状。
优点是将耦联的N 个自由度问题解耦为N 个独立的单自由度问题，避免求解联立方程。
2、什么是振型的正交性？振型关于刚度阵正交的物理意义是什么？振型关于质量阵正交的物理意义是什么？
振型的正交性：当m ≠n 时，
{φ}m [M ]{φ}n =0 {φ}m [K ]{φ}n =0
物理意义：某一振型产生的弹性恢复力（惯性力）在另一振型上做功为零，即不同振型间能量不会传递。
3、如何证明振型的完备性？如何证明结构振型之间是线性无关的？
由于振型{φ}i 为矩阵[K ]⋅[M ]的特征向量，而矩阵[K]、[M]都是正定矩阵，故矩阵
-1
T
T
[K ]⋅[M ]-1也为正定矩阵，则其特征向量{φ}i 是线性无关的。
对于N 维空间，由于向量{φ}i (i =1,2,..., N )是线性无关的，故它们构成了该线性空间的一组基，故振型具有完备性。
4、什么是振型质量Mn 和阵型刚度Kn ？它们与自振频率ωn有什么关系？对应于结构某阶振型，振兴质量Mn 和阵型刚度Kn 是否为固定常数？
M n ={φ}n [M ]{φ}n K n =
{φ}n [K ]{φ}n
T
T
ωn =
2
它们不是固定常数，但它们的比值是固定常数ωn 。
5、对于单自由度体系通过自由振动分析可以获得结构的无阻尼自振频率ωn和有阻尼自振频率ωD，对于多自由度有阻尼体系，如何获得结构的自振频率和振型？ 通过阻尼的解耦假定，仍可得到与单自由度体系类似的结论：
ωD =
振型与无阻尼体系一致。
6、振型叠加法用到了叠加原理，什么情况下能用这个方法？什么情况下不能用？ 只有线性体系才能使用叠加原理。
如果出现材料非线性、几何非线性或运动非线性，都不能使用叠加原理。
7、在多自由度体系振型阻尼比的现场动力测量时，可以采用自由振动试验法，此时需要使结构按不同振型做自由衰减振动，如何使多自由度体系只按某个特定的振型振动？ 各质点之间的初位移和初速度的比值应具有该振型的比值关系。
8、N 个自由度的体系有多少发生共振的可能性？为什么？ 有N 个，因为有N 种不同的振型。
9、多自由度体系的频率方程存在重根时，体系自振频率个数、振型个数与自由度数关系如何？各振型之间的关系如何？ 自振频率个数少于自由度数。 振型个数等与自由度数。 各振型之间仍然保持正交性。
10、如何判断频率方程是否存在重根及其为几重根？ 记f (ω)=[K ]-ω则若f
(j )
2
[M ]
(ωi )=0(j =1,2,..., k )且f (k +1)(ωi )≠0
便在ωi处存在k 重根。 11、什么是矩阵的正定条件？体系刚度矩阵和质量矩阵的正定条件是否能保证频率方程不出现重根？
对于对称矩阵A ，若对于任意非零向量x ，均满足不等式x Ax >0，则称矩阵A 为正定矩阵。
不能保证。
思考题七
1、为什么阻尼会对结构振型的正交性产生影响，什么时候阻尼称为经典阻尼？什么时候称
T
为非经典阻尼？
因为推到正交性时没有考虑阻尼。（而使用复模态时就考虑了阻尼） 经典阻尼是指满足振型正交条件的阻尼。（阻尼矩阵为对角阵） 非经典阻尼是指不满足振型正交条件的阻尼。（阻尼矩阵为非对角阵）
2、当结构的阻尼为非经典阻尼时，采用振型叠加法计算结构动力反应时，避免求解联立方程组的两种基本分析方法是什么？各有什么优缺点？ (1)迭代法
优点：形式简单直观；
缺点：需要计算多步，计算量可能较大。 (2)复模态方法
优点：可以得到解耦的独立方程；
缺点：矩阵的阶数增大，且自振频率和振型都是复数，要花费更多的时间。
3、Rayleigh 阻尼的概念和特点，确定Rayleigh 阻尼公式中两参数的原则是什么？ Rayleigh 阻尼的定义：假设结构的阻尼矩阵是质量矩阵好刚度矩阵的组合，即 [C]=a0[M]+a1[K]
特点：满足振型正交条件。
原则：所有感兴趣的频率都在频段内⎡⎣ωi , ωj ⎤⎦。
4、扩展的Rayleigh 阻尼（Caughey 阻尼）的概念；用多个自振频率和振型阻尼比确定扩展Rayleigh 阻尼的常数时，在自振频率个数的选取上应注意的基本原则是什么？ Caughey 阻尼的概念：[C ]=[M ]
∑a ([M ][K ])
-1
l
l l =0
L -1
基本原则：频率点应取偶数个，防止出现负阻尼。
5、为什么高阶振型对结构动力反应的影响小？ 对于地震荷载，外荷载的频率较小，故对于高阶振型，
ω
较小，则动力放大系数趋于1。 ωn
6、当结构不同部分的阻尼比存在明显差异时，如何较高精度地实现结构地震反应的振型分解反应谱分析？
(1)先将结构分为几个内部阻尼接近的子结构； (2)各子结构阻尼是经典的，可分别建立阻尼矩阵； (3)集成后得到结构总体阻尼阵。
7、构造结构阻尼矩阵的目的是什么？为什么采用Rayleigh 阻尼假设？当结构由阻尼相差较大的几部分构成时，结构体系的阻尼矩阵如何建立？ 目的：在有阻尼体系的动力分析问题中使用振型叠加法。
采用Rayleigh 阻尼假设是为了构造出既满足振型正交条件又具有一定精度的阻尼矩阵，从而简化计算。
(1)先将结构分为几个内部阻尼接近的子结构； (2)各子结构阻尼是经典的，可分别建立阻尼矩阵； (3)集成后得到结构总体阻尼阵。
8、Rayleigh 阻尼是一种经典阻尼，满足振型正交条件，用振型叠加法分析经典阻尼结构的动力反应问题时，是否需要采用Rayleigh 阻尼假设并构造阻尼矩阵？
对于经典阻尼结构，阻尼矩阵已经满足了振型正交条件，无需再使用Rayleigh 阻尼假设。
9、什么是振型阻尼比？实际工程中不同阶振型阻尼比的变化规律如何？数值计算时一般如何选取？
振型阻尼比：某一特定振型下的阻尼比，即
ξn =
C n
2ωn M n
实际工程中振型阻尼比随振幅的增大而增大，且因振型的不同而不同。 数值计算中一般取为与振型阶数无关的定值。 10、什么是振型加速度？什么是振型加速度法？什么是静力修正法？两种分析方法有什么异同？
振型加速度：振型位移q n (t)关于时间的二阶导。
振型加速度法：在叠加公式中使用振型加速度法（包括振型速度）。 静力修正法：对于高阶振型，采用简化的静力分析方法。
除数值计算引起的误差外，静力修正法好振型加速度法给出的结果是相同的。
思考题八 1、建立杜哈梅积分公式和Newmark-β法时域逐步积分公式时最主要的区别是什么？如果在用杜哈梅积分求解任意动荷载作用下的反应问题时，先将时间τ等步距离散化，然后采用数值积分，可否用杜哈梅积分求解非线性问题？
最主要区别是杜哈梅积分公式得到的是精确的解析解；而Newmark-β法得到的是近似的数值解。
不能，因为杜哈梅积分公式建立在叠加原理的基础上，不能求解非线性问题。
2、用中心差分逐步分析方法计算结构非线性动力反应问题时，在每一步的计算中能否像Newmark-β法那样实现对非平衡力的迭代修正计算？
不能，中心差分逐步分析方法使用的是原始的运动方程，而非增量运动平衡方程，不涉及位移增量的计算，运动状态是一个整体，无法进行迭代修正。
3、结构阻尼的存在有助于减小结构的动力反应，阻尼是否有助于控制时域逐步积分法引起的结构振荡失稳，即提高动力问题数值算法的稳定性？
不一定，比如在Clough 格式的显式中心差分法中，当阻尼比超过0.5时，稳定性随阻尼比的增大而变差。
4、Wilson-θ法将引起结构动力反应振幅的进一步衰减，这称为算法阻尼，试讨论算法阻尼
利：通常能提高算法的稳定性。 弊：会降低计算结果的精度。
5、时域逐步积分法的计算精度和稳定性的概念及两者之间的关系。 计算精度：截断误差与时间步长之间的关系。
稳定性：随时间步数的增大，数值解是否会远离精确解。 一般而言，计算精度与稳定性正相关，但也有例外。
6、建立一种时域逐步积分算法，要进行包括收敛性、计算精度、稳定性和计算效率四方面基本问题的分析，如何进行算法的收敛性和计算精度的分析？ 按照定义进行，分析截断误差及计算结果随时间步长的变化规律。
7、显示算法不需要求解联立方程组，而隐式算法需要求解联立方程组。如何证明“所有的显示算法都是有条件稳定的，而隐式算法可以是有条件稳定或无条件稳定”这一论断？ 对于显示算法，所有的系数矩阵均为对角阵，故计算公式可化简为：
{u }i +1=f (∆t )[A ]{u }i +{b }i
式中，A 为对角阵，若要求算法稳定，则
ρ(f (∆t )[A ])=f (∆t )ρ([A ])≤1
显式地存在∆t ，必然对∆t 有所要求，故显示算法都是有条件稳定的。 对于隐式算法，f (∆t )可能被消掉，故可以是无条件稳定的。
8、结构阻尼常用于描述结构线弹性动力反应时的耗能效应，对于结构弹塑性反映问题，塑形反应将引起结构振动能量的耗散，称为塑性耗能。在结构弹塑性反应问题分析中是否还应继续考虑阻尼耗能？如果不考虑，能否出现问题？如果要考虑，如何考虑？ 要考虑，
(1)塑性耗能只是耗能的一种，还有摩擦耗能、环境阻力耗能等的影响；
(2)结构并不是一直处在塑性状态中，在弹性状态不考虑阻尼耗能会产生较大误差。
思考题九 1、什么是欧拉-伯努利梁？什么是铁木辛柯梁？剪切变形和转动惯量对梁的自振频率和变形有什么影响？
欧拉-伯努利梁：仅考虑弯曲变形的梁。
铁木辛柯梁：除了弯曲变形外，还考虑了剪切变形和转动惯量的影响。
剪切变形和转动惯量会使结构的自振频率降低，并会改变阵型，且阶数越高，影响越大。
2、欧拉-伯努利梁和铁木辛柯梁在梁的变形基本假设上的异同。 相同点：都使用了平截面假定；
不同点：欧拉-伯努利梁仅考虑了弯曲变形，而铁木辛柯梁还考虑了剪切变形和转动惯量的影响。
3、均匀梁有多少个自振频率？对于实际建筑结构，粗略推断作为结构构件的单梁（柱）自振频率和整体结构自振频率之比值的可能范围。 有无穷多个自振频率。 可能会差很多。
4、轴力对弯曲梁和剪切梁的自振频率有什么影响？轴力对杆的自振频率是否有影响？轴力是否影响梁的振型？
拉力会使得梁的自振频率增大，压力会使得梁的自振频率减小。 对于杆，轴力是外荷载，对其自振频率没有影响。 轴力不影响梁的振型。
5、梁的每一个端点分别有位移、转角、弯矩、剪力四个条件，为什么仅能提供两个边界条件？
因为位移与剪力不独立，转角与弯矩不独立。
6、欧拉-伯努利梁为什么被称为纯弯曲梁？是梁中不存在剪力吗？ 因为欧拉-伯努利梁中只有弯曲变形。 存在剪力，但不存在剪切变形。
7、铁木辛柯梁是否是完全合理、精确地描述均直梁变形关系的理论？ 不是，铁木辛柯梁仍然用到了平截面假定。
8、试叙述建立铁木辛柯梁时的几何方程、物理方程和平衡方程。 见教材。
9、横向变形梁的平截面假设有几种，各有什么特点？对应着什么梁？
欧拉-伯努利梁：平面截面变形后仍为平面，且变形后的截面与变形后的轴线垂直。 铁木辛柯梁：同上。
均匀剪切梁：平面截面变形后仍为平面，且变形后的截面与变形前的轴线垂直。 轴向杆：同上。
10、如果要更深入、系统地研究梁截面的变化、变形规律及平截面假设带来的影响，都可以采用什么方法开展分析？
可以采用弹塑性力学数值计算的方法来开展分析。
11、不同梁理论（轴向，剪切，弯曲，弯剪）的关键不同点在何处？ 关键不同点在于对变形形态的假设不同，轴向杆只发生轴向变形，均匀剪切梁只发生剪切变形，弯曲梁只发生弯曲变形，弯剪梁发生弯曲变形和剪切变形。
思考题十
1、当均匀梁中有一集中质量M 时，梁的运动方程有什么变化，梁的振型如何推导？ 运动方程中会多出一项惯性力。
在推导振型时，可以将集中质量当作边界条件来处理，即通解不变，但系数会有所变化。
2、如果在进行结构模态分析时未考虑梁上集中质量M 的影响，得到的振型是否可以用于梁的动力反应分析（用振型叠加法）？如果可以，会出现什么问题？ 可以，此时将集中质量的惯性力视为外荷载。 运动方程会变成耦联的。 3、当均匀简支梁的梁端支座产生竖向运动时，如何求解支座运动引起的简支梁的动力反应？ 可将支座运动等效为线性分布的动力荷载。
4、如何将一根梁的研究成果推广用于具有分布参数的框架结构的自振频率和振型的分析？ 可以使用动力直接刚度法。将梁单元的动力刚度矩阵组装成结构的动力刚度矩阵，并进行求解。
5、一根梁的自振频率ωn 与n 或n 2成正比，为什么由梁组成的大型复杂结构体系，例如大跨悬索桥的自振频率不按这一规律变化，而表现出频率密集的性质？ 我！不！知！道！
思考题十一
1、有限元法和一般广义坐标法的试函数（有限元法中称插值函数或形函数）及广义坐标有什么主要差别？
2、集中质量和一致质量有限元法的差异和优缺点，采用这两种有限元模型给出的结构自振频率与实际结构自振频率的关系。 差异：对质量分布的假设不同。
3、在结构有限元模型中，动力自由度和静力自由度是否相同？ 对于一致质量法，是相同的； 对于集中质量法，是不同的。
4、对于一致质量和集中质量有限元模型，如果采用Rayleigh 阻尼，与质量矩阵成正比的阻尼比有什么不同？与刚度阵成正比的阻尼比是否相同？
Rayleigh 阻尼不仅与质量阵、刚度阵有关，还和自振频率有关，故与质量矩阵成正比的阻尼比完全不同，与刚度阵成正比的阻尼比只是系数a 1不同。
5、当采用中心差分法对无阻尼结构有限元模型的运动方程进行时域逐步积分求解时，集中质量法和一致质量法的逐步积分公式的最主要差别是什么？
集中质量法的质量阵是对角阵，公式为显式；一致质量法的质量阵是非对角阵，公式为隐式。
6、是否可以从理论上证明一致质量有限元模型的基本自振频率必定高于相应连续结构的基本自振频率？
可以，一致质量模型相当于对体系增加了约束，提高了结构刚度，故计算的自振频率不小于理论值。
思考题十二
1、结构动力反应问题中引起不确定性的来源有几种？指出工程结构动力分析中的两类不确定性问题。 有3中：
(1)结构确定，输入不确定； (2)结构不确定，输入确定； (3)结构和输入都不确定。 主要是前两种。
2、什么是随机变量？什么是随机过程？两者之间有什么关系？ 随机变量：一个量不能预先确定，但其取值满足一定的分布。 随机过程：作为时间函数的随机变量。
3、什么是平稳随机过程？强平稳和弱平稳的定义？
平稳随机过程：统计特征不随时间的推移而发生变化的随机过程。 强平稳：随机过程的各阶矩均与时间t 无关。
弱平稳：随机过程的一阶矩和二阶矩与时间t 无关。
4、什么是宽带随机过程？什么是窄带随机过程？把平稳随机过程划分为窄带过程和宽带过程在工程上有什么实际意义？
宽带随机过程：功率谱密度函数在相当宽的频带上取有意义的数量级。 窄带随机过程：功率谱密度函数只在较窄的频带内具有有意义的数量级。
实际意义：如果结构的输入谱具有窄带特征，则结构设计时应优先选择避开该频段，避免发生共振；如果结构的输入谱具有宽带特征，则应考虑通过增大结构阻尼等方式减小结构反应。
5、什么是各态历经随机过程？它与平稳随机过程的关系？
各态历经随机过程：平稳过程的一个样本包含了其他各次取样的全部特征。 平稳是各态历经的必要条件，但不是充分条件。
6、给出三种常见的随机过程描述。 无聊不无聊！
7、功率谱密度函数和自相关函数的定义，什么是Wiener-Khintchin 定理。 功率谱密度函数：S x (ω)=lim
21
F (ω)
T →∞T
自相关函数：R (t , t +τ)=E ⎡⎣x (t )x (t +τ)⎤⎦
Wiener-Khintchin 定理：功率谱密度函数和自相关函数互为Fourier 变换对。
8、在结构动力学课程介绍的线性结构随机反应的频域分析方法中如何反映或说如何实现结构动力反应的不确定性计算。
(1)输入的功率谱密度函数S x (ω)已知，确定结构的复频响应函数H (i ω)； (2)计算结构反映的功率谱密度函数S y (ω)=H (i ω)S x (ω)； (3)通过Fourier 逆变换计算自相关函数R y (τ)=
2
12π
⎰
+∞
-∞
S y (ω)exp (i ωτ)d ω；
(4)假设结构相应的均值，计算其方差。
思考题十三
1、推导Rayleigh-Ritz 法时，通过对Rayleigh 熵取极值得到了Rayleigh-Ritz 法的基本公式，取极值的物理背景是什么？
增加约束会使体系的频率变大，Rayleigh 法得到的是固有频率的上限，故取极小值最接近真实的固有频率。
2、Rayleigh-Ritz 法首先假设一组振型，通过在一个减缩空间的模态分析获得结构体系的一组振型和自振频率。能否利用所获得的振型继续用Rayleigh-Ritz 法进行迭代分析以获得精度更好的一组振型和自振频率？
不能，Rayleigh-Ritz 法求得的已经是线性空间中Rayleigh 熵最小的解了，继续使用Rayleigh-Ritz 法不会改变结果。
3、在用振型叠加法分析结构动力反应问题时，可以采用自振振型，也可以采用Ritz 向量，与普通自振振型相比，荷载相关的Ritz 向量的优缺点是什么？ 优点：对于相应的外荷载收敛很快，且易于编程。
缺点：与外荷载的分布形式有关，当外荷载的分布形式变化时，需要重新计算相应的Ritz 向量。
4、Lanczos 向量与Ritz 向量的关系，用Lanczos 方法得到的振型与Lanczos 向量是否是同一概念(是否相同) ？
Lanczos 向量与Ritz 向量是等价的，但物理概念不同（Lanczos 方法计算的是自振振型，Lanczos 向量则是强迫振动时的振型）。
5、子空间迭代法与Rayleigh-Ritz 法和矩阵迭代法的关系，与Rayleigh-Ritz 法和矩阵迭代法相比，子空间迭代法有什么优点？
子空间迭代法是Rayleigh-Ritz 法和矩阵迭代法的综合应用，通过矩阵迭代法修正子空间，再通过Rayleigh-Ritz 法得到子空间的频率和振型。
与Rayleigh-Ritz 法相比的优点：子空间得到修正，精度更高。
与矩阵迭代法相比的优点：迭代次数减少，且一次可计算出多个频率和振型。
6、分析用Rayleigh-Ritz 法给出的连续介质模型的特征方程和一般广义坐标法给出的体系的运动方程，讨论两者之间的异同。
不同点：Rayleigh-Ritz 法是有限自由度（一种特殊的广义坐标法），一般广义坐标法是无限自由度。
相同点：表达式类似，当Rayleigh-Ritz 法的自由度数趋于无穷时，两者等价。
7、当研究的对象为非均匀连续梁时，如何运用Rayleigh 方法，或Rayleigh-Ritz 法计算非均匀梁的自振频率和振型？如何完成相应的理论和计算公式的推导？ 只需在计算Rayleigh 熵时将[K]与[M]换成相应的积分形式：
ρ(ψ)=
⎰
⎣ψ(x )⎤⎦⎰m (x )⎡
0l 0
l
EI (x )⎡⎣ψ'' (x )⎤⎦dx
2
2
dx
8、在结构自振频率的Rayleigh 方法近似分析中，选取假设振型的原则是什么？ 尽量接近所关心的真实振型。
9、用Rayleigh-Ritz 法可以得到结构的一组自振频率和振型，在使用这一方法时，如何选取一组假设振型？
振型是独立的，且满足相应的边界条件。 10、为什么矩阵逆迭代法会使结果收敛于低阶自振频率和振型，而矩阵正迭代法则使结果收敛于高阶自振频率和振型？
矩阵正迭代法等价于幂法（计算最大特征值），矩阵逆迭代法等价于反幂法（计算最小特征值）。
11、对于多自由度体系，是否根据任意选取的两阶假设振型，采用近似分析方法得到的两阶频率一定是结构前一、二阶频率的近似值？ 不能，只能得到前一、二阶频率的上界。
12、能否用荷载相关的Ritz 向量做为一组假设振型，由Rayleigh-Ritz 法得到结构的一组自振频率和振型？如果可以，在计算Ritz 向量时，计算的每一步都要求了各振型满足正交条件，为什么还可以进行迭代？
可以。在计算Ritz 向量时，只要求Ritz 向量关于质量阵正交，而没有要求它们关于刚度阵正交，故仍有迭代的空间。
思考题十四 1、什么是P-Δ效应？P-Δ效应的本质是什么？如何处理高层结构动力反应问题分析中的P-Δ效应？
P-Δ效应：轴力与横向荷载导致的位移相耦合而引起附加弯矩的现象。 本质：几何非线性（相对大转动）。 处理方法：引入几何刚度矩阵。
2、什么是结构健康监测？什么是结构检测？两者的研究目标和采用的研究方法有什么异同？
结构健康监测：对工程结构实施的损伤监测和识别。
结构检测：以各种试验测试手段对结构或构件的工作性能作出评价。 相同点：研究方法上均通过静力或动力试验得到数据，进行分析。 不同点：前者的目标是确定结构的健康状态，后者的目标是对工程结构的工作性能作出评价。
3、什么是结构地震反应问题中的多维地震动输入问题，这一问题的本质是什么？
结构动力反应分析中所需要考虑的结构不同反应分量之间的耦合影响，即“二阶效应”。
4、什么是结构多点地震动输入问题，如何建立这一问题的运动方程，能否用振型叠加法分析该问题？
将位移分解为相对运动和牵连运动，牵连运动也是与位置有关的量。 对于线性问题可以使用。
5、什么是物理非线性？在结构地震反应分析研究中，大体上有几种层面的结构物理非线性模型？
物理方程的非线性。
有材料层面、单轴应力应变层面、截面层面、构件层面等。