2004年11月安徽教育学院学报Nov. 2004
第22卷第6期Journal of Anhui Institute of Education Vol. 22No. 6
半正定矩阵迹的两个不等式
朱广化
(安徽教育学院数学系, 安徽合肥230061)
[摘 要]利用矩阵代数的理论与方法, 研究了半正定矩阵的不等式问题, 给出半正定矩阵迹的两个不等式。
[关键词]半正定矩阵; 迹; 不等式
[中图分类号]O241 [文献标识码]A [文章编号]1001-5116(2004) 06-0009-01
定义1 设A 是n 阶实矩阵(A ∈R n ×n ) 。若A T =A (A T
=-A ) , 则称A 是对称(反对称) 矩阵。
证明:显然, 矩阵ρ(A ) E -A , E 为n 阶单位矩阵。T [B 2(A ) E A ) B 2(x ) (T
定义2 设A =(a ij ) ∈R n ×n , 称矩阵A 的对角线元素的和∑a ii 为A 的迹, 记为tr A 。
i =1n
(ρ(A ) E -A ) ・
[1]给出
引理1 设A , B ∈R n ×n , (1) tr (A +B =B (2) tr (αA ) =(3) tr (AB ) =tr () 。
, B 2(ρ(A ) E -A ) B 2是半正定矩阵。所以tr [B 2・
(ρ(A ) E -A ) B 2]≥0,
由引理2, 有
tr (AB ) =tr (B 2AB 2) ≤tr (ρ(A ) B ) =ρ(A ) tr B ≤tr A ・tr B 。
易证
引理2 设A , B ∈R n ×n 为对称矩阵, 则
tr (AB ) =tr (B 2AB 2)
定理2 设A , B ∈R n ×n 为半正定矩阵, 则
ρ(A ) (n +tr AB ) tr [(E +AB ) A ]≤
证明:tr [(E +AB ) A ]=tr A +tr (ABA ) =tr A +tr (A 2
BA 2A )
定义3 设A ∈R n ×n 为对称矩阵, 若对任意非零向量x ∈R n , 有x T A x >0(≥0) , 则称A 是正定(半正定) 矩阵。
设A ∈R n ×n 是正定(半正定) 矩阵, λ是A 的特征值, x 是相应的特征向量, 则
T T x A x =λx x >0(≥0) , 从而有λ>0(≥0) 。
定义4[2] 设A ∈R n ×n , A 的全部特征值为λ1, λ2, …, λ(A ) =max |λn , 称ρi |为A 的谱半径。
1≤i ≤n
ρ(A ) tr (E +A 2BA 2) =tr [(E +A 2BA 2) A ]≤
=ρ(A ) [tr E +tr (A 2BA 2) ]=ρ(A ) (n +tr AB )
[参 考 文 献]
[1]蒋尔雄, 高坤敏等编, 线性代数[M ], 上海, 人民教育出版
显然, 对于正定(半正定) 矩阵A , 有ρ(A ) =max λi , 且由
1≤i ≤n
[3],
社,19781
[2]李庆扬, 王能超等编, 数值分析[M ], 武汉, 华中理工大学
λ) ρ(A ) >0(≥tr A =∑0) 。i >(≥
i =1
n
出版社,20001
[3]北京大学数学系编, 高等代数[M ], 北京, 高等教育出版
定理1 设A , B ∈R n ×n 为半正定矩阵, 则
ρ(A ) ・tr (AB ) ≤tr B ≤tr A ・tr B 。
社,19881
Tw o I nequ ality of the Positive Semi -def inite Matrix T race
ZHU Guang -hua
(Department of Mathematics , Anhui Institute of Education , Hefei , 230061, China )
Abstract :In this paper , two inequalities of the positive semi -definite matrix trace are given. K ey Words :positive semi -definite matrix ; trace ; inequality
[收稿日期] 2004-05-10
[作者简介] 朱广化, 安徽教育学院数学系副主任、副教授。
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2004年11月安徽教育学院学报Nov. 2004
第22卷第6期Journal of Anhui Institute of Education Vol. 22No. 6
半正定矩阵迹的两个不等式
朱广化
(安徽教育学院数学系, 安徽合肥230061)
[摘 要]利用矩阵代数的理论与方法, 研究了半正定矩阵的不等式问题, 给出半正定矩阵迹的两个不等式。
[关键词]半正定矩阵; 迹; 不等式
[中图分类号]O241 [文献标识码]A [文章编号]1001-5116(2004) 06-0009-01
定义1 设A 是n 阶实矩阵(A ∈R n ×n ) 。若A T =A (A T
=-A ) , 则称A 是对称(反对称) 矩阵。
证明:显然, 矩阵ρ(A ) E -A , E 为n 阶单位矩阵。T [B 2(A ) E A ) B 2(x ) (T
定义2 设A =(a ij ) ∈R n ×n , 称矩阵A 的对角线元素的和∑a ii 为A 的迹, 记为tr A 。
i =1n
(ρ(A ) E -A ) ・
[1]给出
引理1 设A , B ∈R n ×n , (1) tr (A +B =B (2) tr (αA ) =(3) tr (AB ) =tr () 。
, B 2(ρ(A ) E -A ) B 2是半正定矩阵。所以tr [B 2・
(ρ(A ) E -A ) B 2]≥0,
由引理2, 有
tr (AB ) =tr (B 2AB 2) ≤tr (ρ(A ) B ) =ρ(A ) tr B ≤tr A ・tr B 。
易证
引理2 设A , B ∈R n ×n 为对称矩阵, 则
tr (AB ) =tr (B 2AB 2)
定理2 设A , B ∈R n ×n 为半正定矩阵, 则
ρ(A ) (n +tr AB ) tr [(E +AB ) A ]≤
证明:tr [(E +AB ) A ]=tr A +tr (ABA ) =tr A +tr (A 2
BA 2A )
定义3 设A ∈R n ×n 为对称矩阵, 若对任意非零向量x ∈R n , 有x T A x >0(≥0) , 则称A 是正定(半正定) 矩阵。
设A ∈R n ×n 是正定(半正定) 矩阵, λ是A 的特征值, x 是相应的特征向量, 则
T T x A x =λx x >0(≥0) , 从而有λ>0(≥0) 。
定义4[2] 设A ∈R n ×n , A 的全部特征值为λ1, λ2, …, λ(A ) =max |λn , 称ρi |为A 的谱半径。
1≤i ≤n
ρ(A ) tr (E +A 2BA 2) =tr [(E +A 2BA 2) A ]≤
=ρ(A ) [tr E +tr (A 2BA 2) ]=ρ(A ) (n +tr AB )
[参 考 文 献]
[1]蒋尔雄, 高坤敏等编, 线性代数[M ], 上海, 人民教育出版
显然, 对于正定(半正定) 矩阵A , 有ρ(A ) =max λi , 且由
1≤i ≤n
[3],
社,19781
[2]李庆扬, 王能超等编, 数值分析[M ], 武汉, 华中理工大学
λ) ρ(A ) >0(≥tr A =∑0) 。i >(≥
i =1
n
出版社,20001
[3]北京大学数学系编, 高等代数[M ], 北京, 高等教育出版
定理1 设A , B ∈R n ×n 为半正定矩阵, 则
ρ(A ) ・tr (AB ) ≤tr B ≤tr A ・tr B 。
社,19881
Tw o I nequ ality of the Positive Semi -def inite Matrix T race
ZHU Guang -hua
(Department of Mathematics , Anhui Institute of Education , Hefei , 230061, China )
Abstract :In this paper , two inequalities of the positive semi -definite matrix trace are given. K ey Words :positive semi -definite matrix ; trace ; inequality
[收稿日期] 2004-05-10
[作者简介] 朱广化, 安徽教育学院数学系副主任、副教授。
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